第18讲 导数的概念及其意义（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第二册）

第18讲导数的概念及其意义(核心考点讲与练) 一、平均变化率 【例1】（2018·上海市吴淞中学高三期中）如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是（ ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】 根据与的变化趋势结合导数的几何意义判断即可； 【详解】 解：不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢； 当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快； 从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢． 由上可知函数y＝f(x)的图像应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确． 故选：D． 【例2】（2022·北京延庆·高二期末）函数在区间上的平均变化率等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平均变化率的定义算出答案即可. 【详解】 函数在区间上的平均变化率等于 故选：C 【例3】（2021·广西河池·高二阶段练习（理））在导数定义中“当时，”，（ ） A．恒取正值 B．恒取正值或恒去取负值 C．有时可取 D．可取正值可取负值，但不能取零 【答案】D 【分析】 根据题意，由导数的定义分析可得答案． 【详解】 解：根据题意，当时，， 的值可取正值和负数，但不能取0； 故选：D． 【例4】（2021·江苏·高二专题练习）“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器在9 min内将速度从约20000 km／h降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v，着陆过程中速度的平均变化率为a，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】 巡视器与火星表面的距离逐渐减小，所以. 巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小，所以. 故选：D. 二、瞬时变化率 【例1】（2021·广西·高三阶段练习（文））已知某物体位移（米）与时间（秒）的关系是，则速度为9米/秒的时刻是（ ） A．1秒末 B．0秒末 C．3秒末 D．1秒末或3秒末 【答案】C 【分析】 由位移函数的导数表示运动质点的瞬时速度，即令，从而可求得结果 【详解】 依题意，，由对求导得：， 而位移函数的导数表示运动质点的瞬时速度，由速度为9， 即得：，， 所以速度为9米/秒的时刻是3秒末. 故选：C 【例2】（2021·全国·高二课时练习）一物体的运动满足曲线方程s(t)＝4t2＋2t－3，且s′（5）＝42(m/s)，其实际意义是（ ） A．物体5 s内共走过42 m B．物体每5 s运动42 m C．物体从开始运动到第5 s运动的平均速度是42 m/s D．物体以t＝5 s时的瞬时速度运动的话，每经过1 s，物体运动的路程为42 m 【答案】D 【分析】 根据瞬时速度的定义即可得出选项. 【详解】 由导数的物理意义知， s′（5）＝42(m/s)表示物体在t＝5 s时的瞬时速度． 故选：D. 【例3】（2021·山东·高三阶段练习）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积（单位：）与直径（单位：）的关系式为，估计当时，气球体积的瞬时变化率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求导后，代入即可求得结果. 【详解】 设，则，， 即当时，气球体积的瞬时变化率为. 故选：C. 【例4】（2021·北京海淀·高二期中）一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中(单位：是小球相对于平衡点的位移，(单位：)为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】 求出导函数后，由余弦函数性质得结论． 【详解】 小球的瞬时速度为，，， 因此首次达到最大值时，． 故选：D． 【例5】（2021·重庆·高二期末）1999年12月1日，大足石刻被联合国教科文组织列为《世界遗产名录》，大足石刻创于晚唐，盛于两宋，是中国晚期石窟艺术的杰出代表作.考古科学家在测定石刻年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳的含量（单位：太贝克）随时间（单位：年）的衰变规律满足函数关系：，其中为时碳的含量，已知时，碳的含量的瞬时变化率是（太贝克/年），则（ ）太贝克. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根