第14讲 全等三角形（讲练）（思维导图+3考点+2命题点11种题型（含5种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第四章 三角形 第14讲 全等三角形（8~13分） （思维导图+3考点+2命题点11种题型（含5种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 全等三角形及其性质 考点二 全等三角形的判定 考点三 角平分线的性质 04题型精研·考向洞悉 命题点一 全等三角形的性质与判定 ►题型01 全等三角形的概念与性质 ►题型02 用SSS证明三角形全等 ►题型03 用SAS（AAS）证明三角形全等 ►题型04 用HL证明三角形全等 ►题型05 添加条件使三角形全等 ►题型06 灵活选用判定方法证明全等 ►题型07 倍长中线模型 命题点二 角平分线的性质与判定 ►题型01 角平分线的性质定理 ►题型02 角平分线的判定定理 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 全等三角形及其性质 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角. 10年3考 实数这一考点在安徽中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题或填空题形式出现；实数的运算考查形式多样，多数以填空填空题、计算题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点. 全等三角形的判定 1.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 2.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 3.掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等； 4.证明定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等； 5.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 10年4考 角平分线的性质 探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 10年3考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 全等三角形及其性质 1.全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形. 特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等. 2.全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 3.表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”.书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 4.全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换. 5.全等三角形的性质： （1）对应边相等，对应角相等. （2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． （3）全等三角形的周长相等、面积相等． 1. 形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形. 2. 通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形. 考点二 全等三角形的判定 一、全等三角形的判定 1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5.对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 二、判定两个三角形全等的思路 1.从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 2.若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目． 点三 角平分线的性质 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 全等三角形的性质与判定 ►题型01 全等三角形的概念与性质 例题1．（2024·广东汕头·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接． (1)求证：； (2)直接写出和的位置关系． 在利用全等三角形的性质解题时要注意： 1.先确定两个三角形是全等的； 2.找准对应角和对应边； 3.善于运用对应面积相等和对应高相等来求线段相等。 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，，．点D在上，且．连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，分别连接，．则的面积为（    ）． A．3 B． C． D． 2．（2024·河北秦皇岛·二模）如图，，有以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的个数是（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·山东菏泽·三模）如图，中，，，点D在边上，交于点F，若，则的度数是 ． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，，，且，则的度数为 ． 题型02 用SSS证明三角形全等 例题2．（2024·湖南长沙·三模）如图，在扇形中，，，分别以A、B两点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，连接与弧交于点P，连接与交于点D． (1)求证：射线为的角平分线； (2)求线段的长度． 在利用SSS来证明两三角形全等时，要找准三组对应边，按照书写格式进行书写； 1．（2024·河北·模拟预测）如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是的中点，是连接弹簧和伞骨的支架，且，则弹簧M在向上滑动的过程中，总有（     ） A． B． C．平分 D． 2．（2024·贵州黔东南·二模）如图，以点为圆心，画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，连接，则，判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南娄底·一模）已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 4．（2024·青海西宁·一模）如图，在四边形中，点，为对角线上的两点，，，．连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，猜测四边形的形状，并说明理由． ►题型03 用SAS（或AAS）证明全等 例题3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，分别是边上的点，且． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 1．（2024·贵州遵义·三模）如图，是等腰直角三角形，，O是的中点，连接并延长至D，使得，连接和．①以点D为圆心，的长为半径画弧交于点E；②分别以点C、E为圆心，大的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线交于点F，接．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，延长至E点，使． (1)求证：； (2)若，试判断四边形是什么特殊平行四边形，并说明理由． 3．（2024·江苏无锡·二模）如图，在矩形中，，点E、F分别在上，将四边形沿着直线翻折，使得点B落在边上（不与端点重合），落点记作，点A的落点记作．O是的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，，，． (1)求证：； (2)若，设四边形的面积为S，请求出S关于x的函数表达式． 4．（2025·上海杨浦·一模）已知中，，点在边上，． (1)如图1，当，时，求的长； (2)点是边上一点，满足． ①如图2，当时，求的值； ②当是等腰三角形时，求的余弦值． 题型04 用HL证明三角形全等 例题4．（2024·安徽淮北·三模）如图，在中，，以为直径的交于点D，于点E，过点D作的切线交于点F，连接，，交于点G． (1)若，，求的长； (2)求证：． 1.在利用HL来证明两个直角三角形全等时，注意一定要先说明两个直角三角形为直角三角形； 2.三角形的书写符号用； 1．（2024·湖南·模拟预测）如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，M为边的中点，线段的垂直平分线分别与，，交于点P，N，Q，分别连接，，若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 4．（2024·青海·一模）如图，在中，，平分，交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型05 添加条件使三角形全等 例题5．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，锐角三角形中，，点，分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．（2024·黑龙江鸡西·二模）如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）： ，使． 2．（2024·北京·模拟预测）如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 ．（写出一个即可） 3．（2024·贵州黔东南·一模）如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，______． 求证：． 在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在上面的横线上，并加以解答． 4．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形为正方形，． (1)证明： (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 ►题型06 灵活选用判定方法证明全等 例题5．（2023·山东东营·中考真题）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（        ） A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③ 综合运用各种方法来证明两个三角形全等时，首先应明确已知条件： （1）若两个三角形中，已知一组对应边和一组对应角相等： ①如果已知的边为角的邻边，可以再找该角的另一条邻边对应相等（SAS）； ②或找以该边为邻边的另一个角对应相等（ASA） ③如果已知的边是已知的角的对边，则只能再找一组对应角相等；（AAS） （2）若两个三角形中，已知两组对应边分别相等： ①再找两边的夹角（SAS）； ②再找第三组边对应相等（SSS） （3）若两个三角形中，已知两组对应角相等，则再任意找一组对应边相等即可。 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）下面三个判断：①顶角及一个底角的角平分线长对应相等的两个等腰三角形全等；②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；③三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍．其中正确的判断有 （填序号即可） 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，P是菱形对角线上的一点，连接并延长交边于点E，连接并延长交边于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，请直接写出图中所有的等腰三角形（不包括以菱形的边和为腰的等腰三角形）． 3．（2024·江苏无锡·一模）矩形中，，，点是中点，点从点出发，沿边运动至点停止，四边形与四边形关于直线对称，设，四边形与矩形重叠部分的面积记为． (1)当点、、三点共线时，求； (2)求关于的函数表达式． 4．（2024·重庆·二模）在中，，，点、分别是线段，上一动点，连接，交于点． (1)如图1，若平分，，求线段的长； (2)如图2，若平分，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，连接交于点，点是线段上一动点，连接，若，，求证：； (3)如图3，若，当取得最小值时，点是直线上一动点，连接，将沿着直线翻折至同一平面内得到，点是内一点，连接，，使，连接，直线交直线于点，连接，当最短时，直接写出的面积． ►题型07 倍长中线模型 例题7．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 1．（2024·山东临沂·一模）如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·广西·一模）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中与的数量关系是___________，位置关系是___________； (2)【初步应用】如图2，在中，是边上的中线，若，，，判断的形状； (3)【探究提升】如图3，在中，若，，D为边上的点，且，求的取值范围． 4．（2024·辽宁沈阳·一模）【知识回顾】 （1）如图1，在中，是边上的中线，，求的取值范围． 小明和小刚两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小明同学的思考过程：在中，已知两边和的长度，根据条件只能直接求出BC边的取值范围．而要想求中线的取值范围，只有将中线转化到一个三角形的两边长度是已知量的第三条边上．如图2，可以延长到点E，使，连接，这样就构造了，将求的取值范围，转化为求的边的取值范围； ②小刚同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点C作交延长线于点F，于是得到．进而将求的取值范围，转化为求的取值范围． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 如图4，在中，D是边的中点，点E在边上，，求的取值范围． 【能力提升】 （3）如图5，在正方形中，O为对角线的中点，，点G在边上，E为平面内一点且，以为斜边，在的右侧作等腰直角三角形，连接，求的取值范围． 命题点二 角平分线的性质与判定 ►题型01 角平分线的性质定理 例题1．（2024·湖北武汉·一模）如图，矩形中，，，点在矩形的内部，且，在的内部，存在一个点，使得值最小，则的最小值为 ． 熟练记住角平分线的性质与判定，再遇到角平分线时，通常需要过角平分线上的一点向角的两边做垂线，构造角平分线的模型进行解答。 1．（2022·广东深圳·三模）如图，在中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四边形中，连接，已知，，，，则（   ） A． B．5 C． D．2 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）在矩形中，，，如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，内接于，平分交边于点，交于点，过点作于点，已知的直径为6． (1)过点作直线，求证：是的切线 (2)若，，求． ►题型02 角平分线的判定定理 例题2．（2024·四川乐山·一模）如图，在中，，是的一条角平分线，点、、分别在、、上，且四边形是正方形． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 1．（2024·安徽安庆·一模）如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南玉溪·三模）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径，画弧，分别交、于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为 ． 4．（2023·广东惠州·二模）如图，，，于． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 3．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是（   ） A．为矩形两条对角线的交点 B． C． D． 4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 5．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 8．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 9．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 10．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 11．（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ． 12．（2024·四川德阳·中考真题）如图，四边形是矩形，是正三角形，点是的中点，点是矩形内一点，且是以为底的等腰三角形，则的面积与的面积的比值是 ． 12．（2023·四川乐山·中考真题）如图，与相交于点O，．求证：． 13．（2024·西藏·中考真题）如图，点C是线段的中点，，．求证：． 14．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，的对角线，相交于点，点，在上，且． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，交于点，若的周长为，求四边形的周长． 13．（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状． 14．（2024·湖北·中考真题）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 15．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接． 求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 能力提升 16．（2024·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 17．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 18．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 19．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F． （1）当点D在线段上时，如图①，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图①的证明过程： 探究问题：　　 （2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，若，，则______． $$第四章 三角形 第14讲 全等三角形（8~13分） （思维导图+3考点+2命题点11种题型（含5种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 全等三角形及其性质 考点二 全等三角形的判定 考点三 角平分线的性质 04题型精研·考向洞悉 命题点一 全等三角形的性质与判定 ►题型01 全等三角形的概念与性质 ►题型02 用SSS证明三角形全等 ►题型03 用SAS（AAS）证明三角形全等 ►题型04 用HL证明三角形全等 ►题型05 添加条件使三角形全等 ►题型06 灵活选用判定方法证明全等 ►题型07 倍长中线模型 命题点二 角平分线的性质与判定 ►题型01 角平分线的性质定理 ►题型02 角平分线的判定定理 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 全等三角形及其性质 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角. 10年3考 实数这一考点在安徽中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题或填空题形式出现；实数的运算考查形式多样，多数以填空填空题、计算题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点. 全等三角形的判定 1.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 2.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 3.掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等； 4.证明定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等； 5.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 10年4考 角平分线的性质 探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 10年3考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 全等三角形及其性质 1.全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形. 特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等. 2.全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 3.表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”.书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 4.全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换. 5.全等三角形的性质： （1）对应边相等，对应角相等. （2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． （3）全等三角形的周长相等、面积相等． 1. 形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形. 2. 通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形. 考点二 全等三角形的判定 一、全等三角形的判定 1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5.对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 二、判定两个三角形全等的思路 1.从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 2.若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目． 考点三 角平分线的性质 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 全等三角形的性质与判定 ►题型01 全等三角形的概念与性质 例题1．（2024·广东汕头·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接． (1)求证：； (2)直接写出和的位置关系． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，对顶角相等，证明是解答本题的关键． （1）先证明，然后根据即可证明； （2）延长交于点F，交于点N，由全等三角形的性质得，由可证，进而可证结论成立． 【解析】（1）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）延长交于点F，交于点N ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 在利用全等三角形的性质解题时要注意： 1.先确定两个三角形是全等的； 2.找准对应角和对应边； 3.善于运用对应面积相等和对应高相等来求线段相等。 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，，．点D在上，且．连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，分别连接，．则的面积为（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质．根据旋转得到，然后得到，，利用三角形的面积公式计算即可． 【解析】解：由，，，， 可得，，， 由旋转可知， 所以，， 所以， 所以． 2．（2024·河北秦皇岛·二模）如图，，有以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的个数是（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的性质；掌握三角形全等的性质是解题的关键． 根据已知找准对应关系，运用三角形全等的性质“全等三角形的对应角相等，对应边相等”求解即可． 【解析】解：， ，，故③正确； ， 即，故④正确； 与不是对应边，不能求出二者相等，也不能求出， 故①、②错误； ∴正确的有③④共2个． 故选：B． 3．（2024·山东菏泽·三模）如图，中，，，点D在边上，交于点F，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的利用全等三角形的性质解决问题是关键．由题意可得，进而可得，，据此即可求解． 【解析】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，，，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． ►题型02 用SSS证明三角形全等 例题2．（2024·湖南长沙·三模）如图，在扇形中，，，分别以A、B两点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，连接与弧交于点P，连接与交于点D． (1)求证：射线为的角平分线； (2)求线段的长度． 【分析】本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）连接，，根据全等三角形的判定证明，可得，即可得出结论． （2）结合等腰三角形的性质可得，，则，则． 【解析】（1）证明：连接，， 由作图可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴射线为的角平分线． （2）解：∵，为的平分线， ∴，， ∴． 在中，， ∵， ∴． 在利用SSS来证明两三角形全等时，要找准三组对应边，按照书写格式进行书写； 1．（2024·河北·模拟预测）如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是的中点，是连接弹簧和伞骨的支架，且，则弹簧M在向上滑动的过程中，总有（     ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．证明即可对各选项作出判断． 【解析】解：∵D，E分别是的中点， ∴； ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， 即平分， 故C正确； 对于A、B、D三个选项，只在伞开合的某一时刻正确； 故选：C． 2．（2024·贵州黔东南·二模）如图，以点为圆心，画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，连接，则，判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据题意可得和，结合即可利用证明． 【解析】解：∵以点为圆心，画弧，分别交于点， ∴， ∵以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．（2025·湖南娄底·一模）已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用证明与全等解答． （1）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用证明三角形全等得出，从而可证明四边形是平行四边形． 【解析】（1）证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，， ∴ ， 即， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：∵， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 4．（2024·青海西宁·一模）如图，在四边形中，点，为对角线上的两点，，，．连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，猜测四边形的形状，并说明理由． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，菱形的判定： （1）由可得，证明，则，，进而结论得证； （2）由全等三角形的性质得到，，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是菱形． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． ►题型03 用SAS（或AAS）证明全等 例题3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，分别是边上的点，且． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的判定，关键是掌握平行四边形性质与判定、菱形的判定方法． （1）由平行四边形的性质推出，，而，即可由得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，即可由菱形的判定方法，得到答案． 【解析】（1）证明：∵， ∴，， ∵ ∴． （2）解：当时，四边形是菱形． 理由：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 1．（2024·贵州遵义·三模）如图，是等腰直角三角形，，O是的中点，连接并延长至D，使得，连接和．①以点D为圆心，的长为半径画弧交于点E；②分别以点C、E为圆心，大的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线交于点F，接．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，求得，得到，求得， 根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【解析】解：∵O是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，延长至E点，使． (1)求证：； (2)若，试判断四边形是什么特殊平行四边形，并说明理由． 【分析】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，矩形的判定，关键是掌握行四边形的性质得，全等三角形的判定，矩形的判定定理。． （1）根据平行四边形的性质得出，，进而利用全等三角形的判定解答即可； （2）根据平行四边形的性质得出，，进而利用矩形的判定解答即可． 【解析】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在与中， ， ． （2）解：四边形是矩形， 理由如下： 且， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形． 3．（2024·江苏无锡·二模）如图，在矩形中，，点E、F分别在上，将四边形沿着直线翻折，使得点B落在边上（不与端点重合），落点记作，点A的落点记作．O是的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，，，． (1)求证：； (2)若，设四边形的面积为S，请求出S关于x的函数表达式． 【分析】（1）根据矩形和折叠，得到，继而得到，结合，证明，得证； （2）连接，根据折叠的性质，得到，结合得到，得到，根据矩形的性质，得到，结合，则，得到，设，利用勾股定理，平行四边形的面积公式计算即可． 【解析】（1）根据折叠性质和矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；    （2）连接， 根据折叠的性质，得到，， ∵， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴， 在矩形中，， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴平行四边形的高为4， ∴四边形的面积为．    4．（2025·上海杨浦·一模）已知中，，点在边上，． (1)如图1，当，时，求的长； (2)点是边上一点，满足． ①如图2，当时，求的值； ②当是等腰三角形时，求的余弦值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）由可求得，由勾股定理可求得，由可求得，在中，由勾股定理可得，由此即可求出的长； （2）①设，则，，过点作，交延长线于点，由可得，结合，可证得，于是可得，则，进而可得，由等角对等边可得，过点作于点，由三线合一可得，由角平分线的性质可得，由勾股定理可得，则，由平行线分线段成比例定理可得，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，设，则，，整理得，则，由勾股定理可得，则，由此即可求出的值； ②过点作交延长线于点，然后分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别求解即可求出的余弦值． 【解析】（1）解：在中，，， ， ， 又， ， 在中，，， ∴； （2）解：①， 设，则，， 如图，过点作，交延长线于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 如图，过点作于点，则可得， 又， ， 由勾股定理可得：， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 整理，得：， ， 在中，，， ， ， ； ②，，， ， 如图，过点作交延长线于点， 分三种情况讨论： ）当时， ， ∴， 但不平行，故此种情况不存在； ）当时， 如图，过点作，垂足为， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ， 由①可知：此时， ， ； ）当时， 同理可得：， 设， 如图，延长至点，使得，连接， 又，， ， ， 过P作于H，则，， ， ， ， ，， 又， ， ， ， ， ， 整理，得：， 解得：， ， ； 综上，或， 即：的余弦值为或． ►题型04 用HL证明三角形全等 例题4．（2024·安徽淮北·三模）如图，在中，，以为直径的交于点D，于点E，过点D作的切线交于点F，连接，，交于点G． (1)若，，求的长； (2)求证：． 【分析】（1）先证明，再证明，结合，得到，从而知道是的中位线，然后由勾股定理可得的长度，从而计算出的长度； （2）通过，可知，，结合相似三角形对应边成比例，得到，又因为，得到，得证． 【解析】（1）连接，如图所示 为的切线 ， 是的中位线 ， （2）证明：， ， ， 由（1）可知 1.在利用HL来证明两个直角三角形全等时，注意一定要先说明两个直角三角形为直角三角形； 2.三角形的书写符号用； 1．（2024·湖南·模拟预测）如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据利用“”判定，必须添加斜边相等即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【解析】解：∵于P，， ∴利用“”判定，必须添加斜边相等，即， 故选：D． 2．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，M为边的中点，线段的垂直平分线分别与，，交于点P，N，Q，分别连接，，若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，正确地找出辅助线是解题的关键．根据线段中点的定义得到，求得，得到，故A正确；连接，延长交于，根据线段垂直平分线的性质得到，又，，根据全等三角形的性质得到，得到，，求得，故B正确；作交直线于，延长交直线于，根据全等三角形的性质得到，由为的中点，得到，求得，根据相似三角形的性质得到，故D正确；根据全等三角形的性质得到，又，求得，根据相似三角形的性质得到，故C错误． 【解析】解：为的中点，为的中点，， ， ， ，为的中点， ， ， ，故A正确； 如图，连接，延长交于， 垂直平分， ，又，， 在与中， ， ≌， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 同理可得：， ，故B正确； 如图，作交直线于，延长交直线于， ， 为的中点， ， ≌， ， 为的中点， ， ， ， ，， ①， ②， ， ①②得， 即， ， 即，故D正确； ， ， ，，， ≌， ，又， ， ， ， ， ， ， ，故C错误． 故选C． 3．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】35 【解析】解：，， ， 于点E， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：35． 4．（2024·青海·一模）如图，在中，，平分，交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理， （1）由角平分线的性质得到，证明，由全等三角形的性质即可得证； （2）由勾股定理求出，由（1）知，由，即可得解； 掌握角平分线的性质和勾股定理是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴的长为． ►题型05 添加条件使三角形全等 例题5．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，锐角三角形中，，点，分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．由，可得，再分别利用全等三角形的判定和性质即可得出结论． 【解析】解：∵， ∴， 若，又，， ∴， ∴，则原命题是真命题，故选项A不符合题意； 若，∴，又，， ∴， ∴，则原命题是真命题，故选项B不符合题意； 若，又，， 不能证明与全等，则与不一定相等， 则原命题是假命题，故选项C符合题意； 若，又，， ∴， ∴， ∵， ∴，则原命题是真命题，故选项D不符合题意； 故选：C． 1．（2024·黑龙江鸡西·二模）如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）： ，使． 【答案】(合理即可） 【分析】本题是开放性题目，考查了全等三角形的判定，由已知条件：，，再添加一组角相等或即可证明全等． 【解析】添加条件：； 证明：∵，， ∴， 故答案为：(合理即可）． 2．（2024·北京·模拟预测）如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，添加，通过“”即可证明．熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键． 【解析】解：添加， 是的两条高线， ， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2024·贵州黔东南·一模）如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，______． 求证：． 在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在上面的横线上，并加以解答． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，选择①利用证明，即可；选择②，利用，证明，即可． 【解析】证明：选条件①， ， 在和中， ． 选条件②， ， 在和中 ， ． 4．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形为正方形，． (1)证明： (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，垂直的概念，三角形全等的判定； （1）证明有两对角相等即可判断； （2）假设，可以推出即可． 【解析】（1）证明：， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：添加， 如果， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 故添加：，能证明． ►题型06 灵活选用判定方法证明全等 例题5．（2023·山东东营·中考真题）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（        ） A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明，通过等量转化即可求证，利用角平分线的性质和公共边即可证明，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明推出，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出和长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出的最小值，从而证明②不对. 【解析】解： 为正方形， ，， ， ， . , , ， ， . 平分， . ， . ， ， 垂直平分， 故①正确. 由①可知，，， ， ， ， 由①可知， . 故③正确. 为正方形，且边长为4， ， 在中，. 由①可知，， ， . 由图可知，和等高，设高为， ， ， ， . 故④不正确. 由①可知，， ， 关于线段的对称点为，过点作，交于，交于， 最小即为，如图所示，    由④可知的高即为图中的， . 故②不正确. 综上所述，正确的是①③. 故选：D. 综合运用各种方法来证明两个三角形全等时，首先应明确已知条件： （1）若两个三角形中，已知一组对应边和一组对应角相等： ①如果已知的边为角的邻边，可以再找该角的另一条邻边对应相等（SAS）； ②或找以该边为邻边的另一个角对应相等（ASA） ③如果已知的边是已知的角的对边，则只能再找一组对应角相等；（AAS） （2）若两个三角形中，已知两组对应边分别相等： ①再找两边的夹角（SAS）； ②再找第三组边对应相等（SSS） （3）若两个三角形中，已知两组对应角相等，则再任意找一组对应边相等即可。 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）下面三个判断：①顶角及一个底角的角平分线长对应相等的两个等腰三角形全等；②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；③三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍．其中正确的判断有 （填序号即可） 【答案】①③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形重心的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理和三角形重心的性质求解即可． 【解析】解：①顶角及一个底角的角平分线长对应相等的两个等腰三角形可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等，正确，符合题意； ②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形不一定全等，因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．不符合题意； ③三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍，正确，符合题意． 故答案为：①③． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，P是菱形对角线上的一点，连接并延长交边于点E，连接并延长交边于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，请直接写出图中所有的等腰三角形（不包括以菱形的边和为腰的等腰三角形）． 【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的判定，利用全等三角形的性质证明边相等是解答的关键． （1）利用菱形的性质和全等三角形的判定（）可得结论； （2）利用菱形的性质和全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形的判定可得出结论． 【解析】（1）解：如图1，∵四边形是菱形， ∴，，， 在和中， ， ∴； （2）解：如图2， ∵， ∴是等腰三角形， 由（1）知， ∴，，则是等腰三角形， 在和中， ， ∴， ∴，，则是等腰三角形； ∴，即，则是等腰三角形， 综上，所有的等腰三角形为，，，． 3．（2024·江苏无锡·一模）矩形中，，，点是中点，点从点出发，沿边运动至点停止，四边形与四边形关于直线对称，设，四边形与矩形重叠部分的面积记为． (1)当点、、三点共线时，求； (2)求关于的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，结合对称性质证得，再根据等腰直角三角形的判定与性质求得，，进而根据解方程求解即可； （2）分当时，当时，当时，当时，分别画出相应的图形，利用对称性质、全等三角形的判定与性质，结合三角形的面积公式求解即可． 【解析】（1）解：如图1，在矩形中，，，点是中点， ∴，，，， ∴为等腰直角三角形，则，， 由对称性质得，，， ∴， ∵， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 解得； （2）解：当时，如图2，设与相交于点E，连接，过M作于H，则，，又， ∴，则，设， ∵， ∴，又， ∴在中，由勾股定理得， ∴，解得， ∴ ； 当时，四边形与四边形重合， ∴，上式仍然成立； 当时，如图3，设与相交于点F，连接、，过M作于E，则 ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，又， ∴， ∴，设，则，， 在中，， 由得， 解得， ∴ ， 当时，重叠部分为，则，符合上式， 综上，． 4．（2024·重庆·二模）在中，，，点、分别是线段，上一动点，连接，交于点． (1)如图1，若平分，，求线段的长； (2)如图2，若平分，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，连接交于点，点是线段上一动点，连接，若，，求证：； (3)如图3，若，当取得最小值时，点是直线上一动点，连接，将沿着直线翻折至同一平面内得到，点是内一点，连接，，使，连接，直线交直线于点，连接，当最短时，直接写出的面积． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，由正切函数得 ，即可求解； （2）延长至，使，连接，由可判定，由全等三角形的性质得，，从而可求 ，由旋转的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，，，从而可得，由等腰三角形的性质得，由可判定，全等三角形的性质得，用等量代换即可求证； （3）沿翻折得，连接、，过点作，使，连接，的运动轨迹为为圆心，为半径的，由可判定，由全等三角形的性质得，当、、三点共线时取得最小值，此时取得最小值，、、三点共线，时，最小，由翻折及等腰三角形的性质得，、、三点共线，过作交于，，，由即可求解． 【解析】（1）解：，， ， 平分， ， ， 在中： ， ， ； （2）解：如图，延长至，使，连接， ，，平分， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由旋转得：， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ， ， ， 故； （3）解：如图，沿翻折得，连接、，过点作，使，连接， ，， ， 的运动轨迹为为圆心，为半径的， 在和中 ， ()， ， ， 、、三点共线时，取得最小值， 此时取得最小值， ， 如上图，、、三点共线，时，最小， ， ， 由翻折得： ， ， ， ， ， ， ， ， 、、三点共线， 如图，过作交于， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ， ． ►题型07 倍长中线模型 例题7．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解； （3）由（2）可知，，由三角形的三边关系可求解． 【解析】（1）解：如图②，为的中线， ， 又，， ， ， 在中，，，， ， ， 故答案为：，； （2）证明：如图④，延长至点，使，连接， 点是的中点， ． ，， ， ，， ， ， ， ∴ ， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图⑤，连接，， 由（2）可知：，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 1．（2024·山东临沂·一模）如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 延长至，使，连接．由证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【解析】解：延长至，使，连接． 则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ， 故选：A． 2．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 延长到，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系定理求出即可． 【解析】解：延长到，使，连接，   点D是的边上的中线， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．（2024·广西·一模）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中与的数量关系是___________，位置关系是___________； (2)【初步应用】如图2，在中，是边上的中线，若，，，判断的形状； (3)【探究提升】如图3，在中，若，，D为边上的点，且，求的取值范围． 【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此计算即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，证明，推出，再利用三角形的三边关系，即可得出结论． 【解析】（1）解：延长到，使，连接． 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2）解：如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ，，， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：延长到，使得，连接，则， ∵，， ∴，且， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 4．（2024·辽宁沈阳·一模）【知识回顾】 （1）如图1，在中，是边上的中线，，求的取值范围． 小明和小刚两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小明同学的思考过程：在中，已知两边和的长度，根据条件只能直接求出BC边的取值范围．而要想求中线的取值范围，只有将中线转化到一个三角形的两边长度是已知量的第三条边上．如图2，可以延长到点E，使，连接，这样就构造了，将求的取值范围，转化为求的边的取值范围； ②小刚同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点C作交延长线于点F，于是得到．进而将求的取值范围，转化为求的取值范围． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 如图4，在中，D是边的中点，点E在边上，，求的取值范围． 【能力提升】 （3）如图5，在正方形中，O为对角线的中点，，点G在边上，E为平面内一点且，以为斜边，在的右侧作等腰直角三角形，连接，求的取值范围． 【分析】（1）①按小明的法，证明，再利用三角形三边之间的关系求出的取值范围，进而可求的取值范围；②按小刚的思路，过点C作交延长线于点F，构造三角形中位线，利用三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求出的取值范围； （2）过点B作交延长线于点F，则，构造三角形中位线，利用三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求出的取值范围； （3）过点O作于点H，连接，证明，得出对应成比例的线段，利用勾股定理求出的长，再利用三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求出的取值范围． 【解析】解：（1）①小明的解法：延长到点E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴． ∴； 小刚同学的解法：过点C作交延长线于点F， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 在中，， ∴， 即． ∴． ∴； （2）如图，过点B作交延长线于点F，则， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴； （3）如图，过点O作于点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∴，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， 在中，， 而当点O，F，G共线时，仍存在， 此时或， ∴． 命题点二 角平分线的性质与判定 ►题型01 角平分线的性质定理 例题1．（2024·湖北武汉·一模）如图，矩形中，，，点在矩形的内部，且，在的内部，存在一个点，使得值最小，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过P作，绕C逆时针旋转得到，连接，作交于点M，交于N，根据性质得，，，，即可判定是等边三角形，有，则当P，Q，，四点共线时最小．结合题意得，进一步到，求得，则，当P和点M重合时所求值最小． 【解析】解：过P作，绕C逆时针旋转得到，连接，作交于点M，交于N，如图，    则，，，， ∴是等边三角形， ∴． 则 当P，Q，，四点共线时最小． ∵点在矩形的内部，且， ∴P在平行于的直线上，并且到与到的距离之比为， ∵ ∴， 在中，， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ 则， 当P和点M重合时，的最小值为． 故答案为：． 熟练记住角平分线的性质与判定，再遇到角平分线时，通常需要过角平分线上的一点向角的两边做垂线，构造角平分线的模型进行解答。 1．（2022·广东深圳·三模）如图，在中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查基本作图——作角平分线，角平分线的性质定理，垂线段最短．当时，根据垂线段最短可知，此时的值最小．再根据角平分线的性质定理可得，即得． 【解析】解：当时，根据垂线段最短可知，此时的值最小． 由作图知：平分， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴的最小值为5， 故选：D． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四边形中，连接，已知，，，，则（   ） A． B．5 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角等等，过点C作交的延长线于点E，先由等边对等角和平行线的性质证明，即平分．再由角平分线的性质得到，则可证明得到，则，再利用勾股定理求解即可． 【解析】解：如图，过点C作交的延长线于点E． ∵， ． ∵， ， ，即平分． ∵，即，且， ． ∴ ， ． 在中，由勾股定理得， ． 故选A． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）在矩形中，，，如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设交于点，交于点，过点作于点，先证明，得到，进而得出，由作图可知，平分，得到，根据可求出，然后根据勾股定理求出，根据，求出，即可求解． 【解析】解：如图，设交于点，交于点，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， 由作图可知，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，内接于，平分交边于点，交于点，过点作于点，已知的直径为6． (1)过点作直线，求证：是的切线 (2)若，，求． 【分析】（1）连接，由角平分线的性质可得，可得，由等腰三角形的性质可得，可证，可得结论； （2）连接并延长交于，通过证明，可得，可得结论． 【解析】（1）证明：如图1，连接，，， 平分， ， ， ， 又， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：如图2，连接并延长交于，连接， 是直径， ， 又， ， ， ， ，，， ． ►题型02 角平分线的判定定理 例题2．（2024·四川乐山·一模）如图，在中，，是的一条角平分线，点、、分别在、、上，且四边形是正方形． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【分析】本题考查角平分线的判定及性质，直角三角形的两锐角互余以及正方形的性质，掌握角平分线的判定及性质是本题的解题关键． （1）过点作于点，根据角平分线定理的性质及正方形的性质得，利用角平分线的判定即可得证； （2）利用全等得到线段，，利用正方形，得到四边都相等，从而利用与、及的关系求出的长． 【解析】（1）证明：过点作于点 ∵正方形， ∴，于，于 ∵平分，于，于 ∴ ∵于， ∴点在的平分线上即平分； （2）解：∵中，，， ∴ ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理得 由（）得 ∵，， ∴， ∵ ∴即 解得 1．（2024·安徽安庆·一模）如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定与性质．根据题意得到是的角平分线，由角平分线定义求解即可得到的度数． 【解析】解：过点作、，如图所示： 两把一样的直尺， ， 由角平分线的判定定理可得是的角平分线， ， ， 故选：D． 2．（2024·云南玉溪·三模）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径，画弧，分别交、于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图—基本作图、三角形内角和定理、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．由作图可知，平分，由此可证明，即可解决问题． 【解析】解：在中，，， ， 由作图可知，平分， ， ， ， 故选：B． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定，根据点到三边的距离相等，得出点在的角平分线上，即可得解．解题的关键是掌握：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【解析】解：∵点到三边的距离相等， ∴点在的角平分线上，即与都是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 4．（2023·广东惠州·二模）如图，，，于． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形． （1）过点作，交的延长线于点．由证明，可得，结论得证； （2）证明，可得，可求出． 【解析】（1）证明：过点作，交的延长线于点． ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 又∵ 平分； （2）解：由（1）可得， 在和中， ， ∴， ， ． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【解析】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 2．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解． 【解析】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到． ， ， 在菱形中，点O是对角线的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：A． 3．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是（   ） A．为矩形两条对角线的交点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 由矩形的性质得出 ，再由平行线的性质得出，，然后由全等三角形的判定逐一判定即可． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴ ， ∴，， A、∵O为矩形两条对角线的交点， ∴， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； B、在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； D、∵， ∴， 两三角形中缺少对应边相等，所以不能判定， 故此选项符合题意； 故选：D． 4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 【解析】解：过点作，交于，过点作垂足为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为， ∵，， ∴， 故选：B． 5．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【解析】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定①；再说明可得垂直平分线段可判定②；根据直角三角形的性质可得可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④． 【解析】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 7．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】先证明四边形是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出，，证明得出，则可得出，同理，得出平行四边形是矩形，证明，得出，进而得出，得出矩形是正方形，在中，利用勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵E，F，G，H分别为各边中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，同理， ∴平行四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴矩形是正方形， 在中，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为5， 故选：C． 8．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 9．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 【解析】解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 在中根据勾股定理得：． 故答案为：． 10．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】60 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 故答案为：60． 11．（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【解析】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故答案为． 12．（2024·四川德阳·中考真题）如图，四边形是矩形，是正三角形，点是的中点，点是矩形内一点，且是以为底的等腰三角形，则的面积与的面积的比值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查矩形的性质，正三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，正确设出边长表示出两个三角形的面积是解题的关键． 作辅助线如图，设，，根据相关图形的性表示出三角形的面积即可得到答案． 【解析】解：如图，找，中点为，，连接，，连接，， 过作交的延长线于点，延长，与交于点． 设，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴在上， ∴到的距离即为， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 12．（2023·四川乐山·中考真题）如图，与相交于点O，．求证：． 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，根据平行线的性质推出，由证明，即可证得． 【解析】∵， ∴， 在与中， ，，， ∴． ∴． 13．（2024·西藏·中考真题）如图，点C是线段的中点，，．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由点C是线段的中点得出，再利用证明即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【解析】证明：∵点C是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 14．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，的对角线，相交于点，点，在上，且． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，交于点，若的周长为，求四边形的周长． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知，，，求得，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论． 【解析】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的周长为12， ， . 四边形的周长为24. 13．（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状． 【分析】（1）由角平分线的定义可得出，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，利用证明 ，由全等三角形的性质得出，结合已知条件可得出四边形是平行四边形． （2）由已知条件可得出，由平行四边形的性质可得出，，根据平行线的性质可得出，，由全等三角形的性质可得出，等量代换可得出， 即可得出四边形为正方形． 【解析】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由∵， ∴四边形是平行四边形． （2）四边形是正方形． 过点B作于点G， ∴， ∵四边形是平行四边形． ∴，， ∴，， ∴，， 由（1）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 14．（2024·湖北·中考真题）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【分析】（）连接，可得，得到，即得，即可求证； （）设的半径为，则，在中由勾股定理得，可得，即得，得到，进而得到，最后利用弧长公式即可求解． 【解析】（1）证明：连接，则， ，， ， ， ． 是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， 的长为． 15．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接． 求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 【分析】（）由矩形的性质可得，，，即得，由折叠的性质可得，，，，即得，，进而得，即可由证明； （）由（）得，，即可得到，，进而即可求证； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠可得，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（）知，， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 能力提升 16．（2024·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，根据等腰三角形的性质可证，证明，可得，从而可得当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，根据平行线的性质和平角的定义可得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【解析】（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 17．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质等： （1）利用证明，即可； （2）选择②为条件，①为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可；选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可； （3）连接，取的中点F，连接，根据圆周角定理可得，从而得到，再由为的直径，可得，从而得到，然后根据，可得，可证明，从而得到，即可． 【解析】解：（1）在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：选择②为条件，①为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择①为条件，②为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，连接，取的中点F，连接， ∵的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【解析】解：（1）如图，过点作延长线于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）补全图形如图： ，理由如下： 过点作交于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴． 当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上：或 19．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F． （1）当点D在线段上时，如图①，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图①的证明过程： 探究问题：　　 （2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，若，，则______． 【分析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）图②：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； 图③：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可； （3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可． 【解析】（1）证明：在边上截取，连接． 在中，． ， ． 又， ． 又，， ． 又， ． ． ． ． ， ． 是等边三角形． ， ， ； （2）图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下： 如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶ 如图所示，在上取点H使， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）如图所示， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，与矛盾， ∴不符合题意； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴， 由（2）可知，， ∵， ∴． 综上所述，或18． $$