精品解析：山东省济南市长清区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

九年级阶段检测数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分． 本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥与圆柱的组合体的主视图是长方形与三角形，即可求解． 【详解】解：依题意，圆锥与圆柱的组合体的主视图是长方形与三角形 故选：A． 【点睛】本题考查了判断组合体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 2. 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将点代入即可求出k的值，再根据k=xy解答即可． 【详解】∵点在反比例函数的图象上， ∴k=-3×4=-12，四个选项中只有B符合． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上． 3. 如图，，若，则的长度是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：D． 4. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先求出从这四部数学名著中选择2部的所有等可能的结果，再找出恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的结果，利用概率公式计算即可得． 【详解】解：将《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》和《四元玉鉴》四部数学名著分别记为，画出树状图如下： 由图可知，从这四部数学名著中选择2部共有12种等可能的结果，其中，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》共有2种结果， 所以恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是， 故选：D． 5. 如图，与位似，点O为位似中心，若，的周长为6，则的周长为（ ）． A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，位似三角形的性质，解题关键是“相似三角形周长之比等相似比”． 由与位似可得出与相似，根据相似比就等于位似比，求出结果即可． 【详解】解：与位似， ， ， ， 的周长为6， 的周长为3． 故选：C． 6. 某小区内的一家快递驿站第一天共收到225件快递，第三天共收到324件快递，设该快递驿站收件量的日平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用第三天的快递数第一天收到的快递数（该快递站收件平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：设该快递驿站收件量的日平均增长率为x， 根据题意有， 故选：B． 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性，根据解析式可得反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再由，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 8. 一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质，根据四个选项中的图象，先由反比例函数图象得到的正负，进而得到直线图象即可得到答案，熟记一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、如图所示： 反比例函数中的，则直线中，即直线过第一三四象限，该选项不符合题意； B、如图所示： 反比例函数中的，则直线中，即直线过第一三四象限，该选项符合题意； C、如图所示： 反比例函数中的，则直线中，即直线过第一二四象限，该选项不符合题意； D、如图所示： 反比例函数中的，则直线中，即直线过第一二四象限，该选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图，在中，，，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线分别交、于点D、E，连接．以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，黄金分割比，相似三角形的判定和性质等知识，掌握黄金三角形的概念是解题关键．利用等腰三角形的判定和性质以及垂直平分线的性质，即可判断A 、B选项；利用黄金分割比，即可判断C选项；利用相似三角形的判定和性质，即可判断D选项． 【详解】解：， ， 由作法可知，平分， ，， ， ，A选项结论正确； ， ， ， ，B选项结论正确； 是顶角为的等腰三角形， 是黄金三角形， ， ，C选项结论错误； ，， ， ， ，D选项结论正确， 故选：C． 10. 如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论： ①； ②四边形为平行四边形； ③若，则； ④若，，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设，，则点，，，从而求出直线的解析式，点的坐标，可判断四边形是平行四边形，求出，结合平行四边形面积即可判断①；根据平行四边形的判定可判定②正确；再根据和点坐标特征求出、的长，可判断③；根据，得出，再结合，得出，即可判断④． 【详解】解：四边形是矩形，反比例函数， 设，，则点，，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 则， ， ， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ，故①正确； 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形，故②正确； ， ， ， ，且，则， ， ， 直线的解析式为， ，且， ， ，故③错误； ， ， 解得， ， 即， ， ， （舍去）或，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共3个 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，一次函数的图象与性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 二．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质，设，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，设， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 12. 在一个不透明箱子里装有10个除颜色外都相同的红球和黑球，小红想知道箱子里红球的个数，于是她从箱子里随机摸出一个球，经过大量重复的试验后发现摸出红球的频率稳定在，则箱子中黑球的数量约为_____个． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用球的数量乘以红球的频率即可． 【详解】解：， ， 答：箱子中黑球的数量约为7， 故答案为：7． 13. 如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是____________厘米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，先过点作于点，延长交于点，依题意得，，证明，再根据相似三角形的性质求解即可 【详解】解：过点作于点，延长交于点，如图， 依题意得：，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴厘米， 故答案为：4 14. 双曲线和如图所示，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比函数比例系数k的几何意义．根据反比函数比例系数k的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵轴，轴， ∴，， ∴四边形的面积． 故答案为：2． 15. 如图，已知矩形，，，将延翻折的，将延翻折的，点F正好落在所在直线上，问当时，_______. 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的折叠、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，根据矩形的折叠得到，，，，进一步证明，则，设，则，，得到，解方程并确定，则，利用勾股定理即可求出. 【详解】解：将延翻折的，将延翻折的，点F正好落在所在直线上，四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∵ ∴， ， ∴， 设，则，， ， 解得或是分式方程的解， ∴， ， 故答案为： 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解； 【小问1详解】 解：原式化简为：， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：原式化简得：， 则或， ∴，． 17. 如图，小树在路灯的照射下形成投影． （1）此光源下形成的投影属于______；（填“平行投影”或“中心投影”） （2）已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为．求路灯的高度． 【答案】（1）中心投影； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由中心投影的定义确定答案即可； （2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 此光源属于点光源， 此光源下形成的投影属于中心投影， 故答案为：中心投影； 【小问2详解】 ，， ， ， ， 即：， 解得：， 路灯的高度为5米． 18. 如图，中，，，，．求长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，先证，则可得，则可得，即可求出的长．熟练掌握考查了相似三角形的判定和性质时解题的关键． 【详解】解：中，，， ， ，， ， ， ， ， ． 19. 已知是坐标原点，A、的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形； （2）的面积为_________． （3）若点在线段上，点对应点的坐标为_________． 【答案】（1）见解析 （2）10 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换、坐标与图形等知识点，掌握位似比与坐标的关系是解题的关键． （1）根据位似图形的性质得出，然后再顺次连接即可； （2）根据坐标系，用长方形的面积减去三个三角形的面积即可解答； （3）利用（1）中位似比得出对应点坐标关系即可解答． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：的面积为：． 【小问3详解】 解：点在线段上，点D对应点的坐标为． 故答案为：． 20. 制作一种产品，需先将材料加热达到（加热期间可以进行加工），然后停止加热．如图，加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热后，温度与时间成反比例函数关系，已知该材料的初始温度是． （1）求材料加热时和停止加热后y与x的函数关系式； （2）根据工艺要求，当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 【答案】（1）加热时与的函数关系式为，停止加热后与的函数关系式为 （2）当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的性质，读懂函数图象是解此题的关键． （1）加热时，设，将，代入得，求出的值即可；停止加热后，设，将代入，求出的值，即可反比例函数解析式； （2）在材料加热时，当时，，解得；在材料停止加热时，当时，，解得：，由此即可求解． 【小问1详解】 解：加热时，设， 将，代入得，， 解得：， 加热时与的函数关系式为； 停止加热后，设， 将代入得：， ， 停止加热后与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：在材料加热时，函数解析式为， 当时，， 解得：， 材料停止加热时，函数解析式为， 当时，， 解得：， ， 当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间为． 21. 根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子中刚好可以看见旗杆的顶端，测得． 说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛离地面的距离． 素材2 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点，，在同一直线上，标杆，测得，． 问题解决 任务1 完善测量数据 在素材1中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为，请你用含的式子表示出旗杆的高度． 任务2 推理计算高度 利用素材2求出旗杆的高度． 【答案】任务1：旗杆的高度为；任务二：旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定及性质，相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 任务：根据两角相等的两个三角形相似可证明，然后根据相似三角形的性质即可求解； 任务：过点作，垂足为，交于点，证明，则，然后代入求出，最后用线段和差即可求解； 【详解】解：任务：在素材1中，小陈同学还要测量图中线段的长度，才能求出旗杆的高度， 把该线段的长度记为， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴旗杆的高度为； 任务：过点作，垂足为，交于点， ∴四边形，四边形，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴旗杆的高度为． 22. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角 度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）①400； ②补全条形统计图如下： ③54° （2）980人 （3） 【解析】 【分析】本题考查的概率及其应用，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）①由B组的人数除以所占百分比即可； ②求出A、C组的人数，可补全统计图； ③由乘以C组所占的比例即可； （2）由该校共有学生人数乘以参加D组（阅读）的学生人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：①调查人数：（名）， 故答案为：400； ②A组的人数：（名）， C组的人数：（名）， ③扇形统计图中圆心角， 故答案为：， 【小问2详解】 解：（人）， 答：参加D组（阅读）的学生人数为980人； 【小问3详解】 解：树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有两种， ∴P（恰好抽中甲、乙两人）． 23. 小袁作为大学生返乡的新农人，致力于科技种菜．如图是小袁要修建的一个长方形蔬菜大棚，蔬菜大棚的一边靠墙，墙长，其余三边用竹篱笆围，竹篱笆的总长度为，围成的长方形蔬菜大棚四周没有空隙． （1）若围成的蔬菜大棚的面积为，则蔬菜大棚的长和宽各应为多少米？ （2）围成的蔬菜大棚的面积能达到吗？如果能，写出计算过程；如果不能，说明理由． 【答案】（1）蔬菜大棚的长为，宽为 （2）围成的蔬菜大棚面积不能达到，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式等知识点， 审清题意、正确列出方程是解题的关键． （1）设蔬菜大棚的宽为，则长为，再根据面积公式列出方程，求出x的值并检验即可； （2）设蔬菜大棚的宽为，则长为，再根据面积公式列出一元二次方程，再根据根的判别式判断即可． 【小问1详解】 解：设蔬菜大棚的宽为，则长为， 根据题意得， 解得，． 当时，，符合题意； 当时，（舍去）． 答：蔬菜大棚的长为，宽为． 【小问2详解】 解：不能．理由如下： 设蔬菜大棚的宽为，则长为， 根据题意得，整理得． ∵． ∴方程没有实数根． ∴围成的蔬菜大棚面积不能达到． 24. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接，求的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】（1）； （2）4 （3）点E的坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）设点，，又，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解. 【小问1详解】 解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴的面积 ； ； 【小问3详解】 解：设点，又， 由旋转知：为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；要能够借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积是解题的关键． 25. 已知：正方形与正方形共顶点C． 连，． （1）探究：如图1，点E在正方形的边上，点F在正方形的边上，连接．则与间的数量关系是： ． （2）拓展：将如图2中正方形绕点C顺时针方向旋转α角（），图2所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （3）运用：正方形在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图3所示，延长交于点H．若，则 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）如图1中，由，推出，即可解决问题． （2）如图2中，证明，即可解决问题． （3）如图3中，证明，可得，设，则，构建方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图1中， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴A，G，C三点在一条直线上， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图2中， ∵， ∴， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴线段与之间的数量关系为； 【小问3详解】 解：如图3中， ∵，点B、E、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得， ∵， ∴， 设，则， ∵ ∴由可得， ∴， ∴， ∴， ∴由可得， 解得：，即． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段检测数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分． 本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，若，则的长度是（ ） A. 6 B. C. D. 4. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与位似，点O为位似中心，若，的周长为6，则的周长为（ ）． A. B. 2 C. 3 D. 4 6. 某小区内的一家快递驿站第一天共收到225件快递，第三天共收到324件快递，设该快递驿站收件量的日平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线分别交、于点D、E，连接．以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论： ①； ②四边形为平行四边形； ③若，则； ④若，，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．） 11. 若，则______． 12. 在一个不透明箱子里装有10个除颜色外都相同的红球和黑球，小红想知道箱子里红球的个数，于是她从箱子里随机摸出一个球，经过大量重复的试验后发现摸出红球的频率稳定在，则箱子中黑球的数量约为_____个． 13. 如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是____________厘米． 14. 双曲线和如图所示，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为_________． 15. 如图，已知矩形，，，将延翻折的，将延翻折的，点F正好落在所在直线上，问当时，_______. 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，小树在路灯的照射下形成投影． （1）此光源下形成的投影属于______；（填“平行投影”或“中心投影”） （2）已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为．求路灯的高度． 18. 如图，中，，，，．求长． 19. 已知是坐标原点，A、的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形； （2）的面积为_________． （3）若点在线段上，点对应点的坐标为_________． 20. 制作一种产品，需先将材料加热达到（加热期间可以进行加工），然后停止加热．如图，加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热后，温度与时间成反比例函数关系，已知该材料的初始温度是． （1）求材料加热时和停止加热后y与x的函数关系式； （2）根据工艺要求，当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 21. 根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子中刚好可以看见旗杆的顶端，测得． 说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛离地面的距离． 素材2 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点，，在同一直线上，标杆，测得，． 问题解决 任务1 完善测量数据 在素材1中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为，请你用含的式子表示出旗杆的高度． 任务2 推理计算高度 利用素材2求出旗杆的高度． 22. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角 度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 23. 小袁作为大学生返乡的新农人，致力于科技种菜．如图是小袁要修建的一个长方形蔬菜大棚，蔬菜大棚的一边靠墙，墙长，其余三边用竹篱笆围，竹篱笆的总长度为，围成的长方形蔬菜大棚四周没有空隙． （1）若围成的蔬菜大棚的面积为，则蔬菜大棚的长和宽各应为多少米？ （2）围成的蔬菜大棚的面积能达到吗？如果能，写出计算过程；如果不能，说明理由． 24. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接，求的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 25. 已知：正方形与正方形共顶点C． 连，． （1）探究：如图1，点E在正方形的边上，点F在正方形的边上，连接．则与间的数量关系是： ． （2）拓展：将如图2中正方形绕点C顺时针方向旋转α角（），图2所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （3）运用：正方形在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图3所示，延长交于点H．若，则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $