精品解析：河南省三门峡市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

★2025年1月16日 2024-2025学年度上学期期末调研考试 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过两点的直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率计算公式即可求解； 【详解】由， 可得， 故选：C 2. 已知数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可求得结果. 【详解】因为数列的前项和为， 则. 故选：C. 3. 已知，，且．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，，且， 则，解得. 故选：B. 4. 已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点､若的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和性质列式求，进而可得离心率. 【详解】由题意可知：，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：A. 5. 在平行六面体中，，，则的长为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行六面体的几何性质，利用空间向量的线性运算以及数量积的定义，结合向量模长公式，可得答案. 【详解】由题意可得，由，则， 由， 则，， 所以 . 故选：B. 6. 在等差数列中，公差，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将等式两边利用和的代数式加以表示，即可求得实数的值. 【详解】因为， ， 因为，则， 因为，解得. 故选：D. 7. 若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的标准方程可得圆心与半径，分直线与圆的位置为相离、相切与相交三种情况，建立不等式，可得答案. 【详解】由圆可得圆心，半径， 圆心到直线的距离， 当直线与圆相离或相切时，即，圆上的点到直线的距离最小值为， 由题意可得，解得或； 当直线与圆相交时，即，圆上的点到直线的距离最小值为 ，最大值为， 由题意可得，由，不等式显然成立，由不等式，解得. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 8. 已知两点，，若直线上存在点P，使，同时存在点Q，使，则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两全其美线”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出点 的轨迹方程，再结合双曲线的性质逐项判断即可得解. 【详解】由点，，得， 由，得点的轨迹是以点为焦点，实轴长为6的双曲线右支，方程为， 由，得点的轨迹是以点为焦点，实轴长为6的双曲线左支，方程为， 直线为“两全其美线”，当且仅当直线与双曲线的两支相交， 对于A，双曲线的渐近线为，直线与双曲线无公共点，A不是； 对于B，直线与双曲线左支无公共点，B不是； 对于C，由，知直线 过双曲线的中心， 且在两条渐近线所夹含焦点的区域，直线 与双曲线两支相交，C是； 对于D，由，知直线过双曲线的中心，且在两条渐近线所夹含虚轴的区域， 直线与双曲线无公共点，D不是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义，求出点 的轨迹是解决问题的关键. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意求出公比，求出和代入选项验证即可. 【详解】由可知显然不合题意，故有，解得 ，故A错B对； ，， 代入C，D选项验证，C正确； D选项右边，D错误. 故选：BC 10. 设拋物线 的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. 的最大值为5 D. 以线段MF为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出 中点坐标，根据其横坐标与关系即可判断D. 【详解】由抛物线 ，则其焦点为，准线为，A错，如下图示， 其中 准线于，则，故， 当且仅当共线时最小，为到准线距离4，B对； 由， 当且仅当共线时取等号，其最大值为，C错； 由，则 中点坐标为， 而，故， 所以，以线段MF为直径的圆与轴相切，D对. 故选：BD 11. 如图，正方体的边长为为的中点，动点在正方形 内（包含边界）运动，且.下列结论正确的是（ ） A. 动点的轨迹长度为； B. 异面直线与所成角的正切值为2； C. 的最大值为2； D. 三棱锥的外接球表面积为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】取 的中点，分析可知 平面 .对于A：分析可知动点的轨迹是以点为圆心，半径为1的半圆，即可得结果；对于B：分析可知异面直线与所成角即为 ，即可得结果；对于C：根据数量积的几何意义分析判断；对于D：分析可知，进而求球的半径和表面积. 【详解】取 的中点，连接， 因为分别为的中点，则∥，且， 又因为平面 ，则 平面 ， 由平面 ，可得. 对于选项A：在中，， 可知动点的轨迹是以点为圆心，半径为1的半圆， 所以动点的轨迹长度为，故A正确 对于选项B：因为∥，∥，则∥， 可知异面直线与所成角即为 ，其正切值为，故B错误； 对于选项C：因为线段在平面 内的投影为， 结合选项A可知：在方向上的投影数量的最大值为1， 所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：设三棱锥的外接球的球心为，半径为 ， 因为 平面 ，且为 的外接圆圆心，可知， 则，解得， 所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确； 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用分类讨论思想，分截距为 与不为 两种情况，设出直线方程，代入点求得参数，可得答案. 【详解】当直线在两坐标轴上的截距为 时，可设为， 由点，则，解得，所以直线方程为； 当直线在两坐标轴上的截距不为 时，可设为， 由点，则，解得，所以直线方程为. 故答案为：或. 13. 已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，采用“点差法”，得，再根据直线过点，和AB的中点坐标，得，结合椭圆中a，b，c的关系，可求得，，即可得E的方程. 【详解】已知 ，设，，则①，②， 已知AB的中点坐标为，， ①－②得， ∴， ∵，∴，即， 又， ∴，，即E的方程为. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了弦的中点有关问题；在中点弦或弦的中点问题中，常采用“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式求解. 14. 已知公比为的等比数列满足，且，，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断的符号和公比的关系，求得关于的表达式，求出的取值范围，结合二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由，得 时， ； 时， ， 由，得，所以， 若，可得，可得，则， 此时，； 若 ，则 ，此时，，矛盾. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：在求解关于等比数列有关的取值范围时，通过构造函数并结合函数的基本性质求出函数的取值范围，这种方法可以有效地处理涉及不等式与单调性的范围问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线和的交点为，求： （1）过点且与直线垂直的直线的方程； （2）以点为圆心，且与直线相交所得弦长为12的圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立两直线方程求得交点，根据直线垂直设出方程，代入交点坐标，可得答案； （2）求得圆心到直线的距离，利用弦长公式建立方程，可得答案. 【小问1详解】 联立方程可得，解得，则， 与直线的直线可设为， 将代入上式可得，解得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 点到直线的距离， 设圆的半径为 ，由圆与直线相交所得弦长为， 则，即，解得， 所以圆的方程为. 16. 如图所示，四棱锥 的底面 是矩形， 底面 ， ， ，，． （1）证明：平面 ； （2）求直线 与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 由题意知，， ，两两互相垂直，以为原点，， ，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 底面 ， 底面 ， 又，， 且平面 , 平面 ， 所以是平面 的一个法向量． 因为， 所以． 又 平面 ，所以平面 ． （2） 【解析】 【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明与平面 的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 由，解得，令 ， 得平面的一个法向量为． 设直线 与平面所成的角为， 则． 故：直线 与平面所成角的正弦值为． 17. 已知焦点为F的抛物线 上一点到F的距离是4． （1）求抛物线C的方程． （2）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A，B两点（A，B位于x轴两侧），C的准线与x轴交于点E，直线与分别交于点M，N，若，证明：直线l过定点． 【答案】（1） ； （2）证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可； （2）设出直线l的方程，与抛物线方程联立，根据一元二次方程的根与系数关系进行求解证明即可. 【小问1详解】 该抛物线的准线方程为，因为点到F的距离是4， 所以有，所以抛物线C的方程为： ； 【小问2详解】 该抛物线的准线方程为， 设直线l的方程为：， 与抛物线方程联立，得， 不妨设，因此， 直线的斜率为：，所以方程为：， 当时，，即，同理， 因为，所以有，而， 所以有 ，所以直线l的方程为： ，因此直线l恒过. 【点睛】关键点睛：把直线l的方程为：，利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键. 18. 在个数码1，2，…，（， ）构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，， （1）计算； （2）设数列满足， ，求的通项公式； （3）设排列（， ）满足（），（），，求， 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用逆序数的定义，依次分析排列中的逆序个数， 从而得解； （2）利用逆序数的定义得到，从而利用构造法推得是等比数列，从而得解； （3）利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到，再利用裂项相消法即可得解. 【小问1详解】 在排列51243中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个， 与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个， 所以. 【小问2详解】 由（1）中的方法，同理可得， 又，所以， 设，得， 所以，解得 ，则， 因为， 所以数列是首项为1，公比为5的等比数列， 所以，则. 【小问3详解】 因为（）， 所以， 所以， 所以. 【点睛】知识点点睛：新定义题型，弄清题意是关键.第二问考查了构造等比数列求数列的通项公式，第三问考查了裂项相消法. 19. 已知数列的前n项和为，，． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为； （3）若 对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】（1）证明如下： 由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列，则， 所以. （2） ； （3） . 【解析】 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求； （3）将问题化为 恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，则， 所以 ， 所以 . 【小问3详解】 由（1）（2），则 ，整理得 恒成立， 令 ，则 ， 当时，当 时，当时， 所以 ，即的最小值为 ， 综上， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ ★2025年1月16日 2024-2025学年度上学期期末调研考试 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过两点的直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且．则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点､若的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 在平行六面体中，，，则的长为（ ） A. 12 B. C. D. 6. 在等差数列中，公差，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知两点，，若直线上存在点P，使，同时存在点Q，使，则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两全其美线”的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设拋物线 的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. 的最大值为5 D. 以线段MF为直径的圆与轴相切 11. 如图，正方体的边长为为的中点，动点在正方形内（包含边界）运动，且.下列结论正确的是（ ） A. 动点的轨迹长度为； B. 异面直线与所成角的正切值为2； C. 的最大值为2； D. 三棱锥的外接球表面积为. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_______． 13. 已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________. 14. 已知公比为的等比数列满足，且，，则的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线和的交点为，求： （1）过点且与直线垂直的直线的方程； （2）以点为圆心，且与直线相交所得弦长为12的圆的方程． 16. 如图所示，四棱锥 的底面是矩形， 底面， ， ，，． （1）证明：平面 ； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知焦点为F的抛物线 上一点到F的距离是4． （1）求抛物线C的方程． （2）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A，B两点（A，B位于x轴两侧），C的准线与x轴交于点E，直线与分别交于点M，N，若，证明：直线l过定点． 18. 在个数码1，2，…，（，）构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，， （1）计算； （2）设数列满足， ，求的通项公式； （3）设排列（，）满足（），（），，求， 19. 已知数列的前n项和为，，． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为； （3）若 对任意恒成立．求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $