第13讲 二次函数的综合应用 （2考点+11题型）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

第三章 函数 第13讲 二次函数的综合应用（8~12分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一：二次函数的应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次函数的应用 ►题型01 图形问题 ►题型02 拱桥问题 ►题型03 最大利润/销量问题 ►题型04 球类飞行轨迹 ►题型05 喷泉问题 ►题型05 增长率问题 命题点二 二次函数的综合问题 ►题型01 线段、周长问题 ►题型02 面积问题 ►题型03 角度问题 ►题型04 特殊三角形问题 ►题型05 特殊四边形问题 ►题型06 相似三角形与二次函数综合 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 二次函数的应用 · 能用二次函数解决实际问题 10年7考 二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建议二次函数模型; 而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 命题点一 二次函数的应用 ►题型01 图形问题 1．（2024·广东东莞·三模）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为． (1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？ (2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积． 【答案】(1)AB的长为 (2)AB为时，花圃面积最大，花圃的最大面积为 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题． （1）根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意得到，根据函数的性质以及自变量的取值范围求函数最值． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， ∴当的长为时，花圃的面积为； （2）解：花圃的面积， 而由题意：， 即， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时面积最大，最大面积为． 2．（2024·广东·二模）（1）求边长为的等边三角形的面积； （2）小明将一根长为的绳子剪成2段，分别围成两个等边三角形．问：如何剪才能够使得这两个等边三角形的面积和最小？最小面积和为多少？ 【答案】（1）；（2）将绳子从中间剪开时，两个等边三角形的面积和最小，最小面积和为 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，二次函数的性质，熟练的利用二次函数的性质解决问题是关键； （1）过点A作于点H，则．再利用勾股定理求解，再利用面积公式即可得到答案； （2）设第一段绳子的长为，则第二段绳子的长为，其中．再建立面积函数关系式即可得到答案． 【详解】解：（1）如图，在等边三角形中，过点A作于点H，则． 由勾股定理可得． 等边三角形的面积为． （2）设第一段绳子的长为，则第二段绳子的长为，其中． 由（1）可知，第一个等边三角形的面积为， 第二个等边三角形的面积为， 两个三角形的面积和为 ． 当时，取等号． 当，即将绳子从中间剪开时，两个等边三角形的面积和最小，最小面积和为． 3．（2024·广东佛山·二模）综合应用 如图，等边三角形的边长为a，点D，E，F分别是边，，上的动点，且满足，连接，，．    (1)证明：； (2)设的长为x，的面积为y，求出y与x的函数表达式（用含a的式子表示）； (3)在（2）的条件下，当时，y有最小值，画出y与x的函数图象． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由题意易得，，然后根据“”可进行求证； （2）过F作于H，可证，得，，从而是等边三角形，由是等边三角形，看求出，即可得，，，故，然后根据即可求解； （3）先根据当时，y有最小值，求出函数解析式，然后描点法画出图象即可． 【详解】（1）∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）过F作于H，如图：    同（1）可证， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， ∴ ； ∴y与x的函数表达式为； （3）解：， ∵当时，y有最小值， ∴， 解得， ∴， ∴的图象顶点为，过点，，，， 画出图象如下：    【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及等边三角形面积，全等三角形判定与性质，二次函数的图象及性质等知识，解题的关键是掌握等边三角形面积与边长的关系． ►题型02 拱桥问题 4．（2024·广东·模拟预测）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点C 到的距离是， 以所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系． (1)根据题意，填空： ①顶点C 的坐标为 ； ②点B 的坐标为 (2)求抛物线的解析式． (3)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离l(单位：m) 随时间t(单位：h)的变化满足函数关系，且当点C到水面的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明，在这一时段内，有多少小时禁止船只通行？ 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，构建二次函数模型解决实际问题是解题的关键． （1）求出、、的长即可解决问题． （2）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把坐标代入即可求解； （3）水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为，把代入所给二次函数关系式，求得的值，相减即可得到禁止船只通行的时间． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴，， 故答案为：和； （2）解：由（1）知，，， 设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （3）解：水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为(米) ，， ， ∴， 解得：，， (小时)， ∴需小时禁止船只通行． 5．（2024·广东·模拟预测）素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的解析式． (2)这艘货船能否安全过桥？ (3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 【答案】(1) (2)该船能安全通过 (3)此时该货船能安全过桥 【分析】本题考查了二次函数的应用，平移的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据经过，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）先求出点D的横坐标，再代入，得出，即可作答． （3）依题意，得平移后抛物线的解析式为，把代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）由题易知，，抛物线的顶点为点 设抛物线的解析式为， 将分别代入， 得 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）由题易知，点D的横坐标为， 把代入， 得 ∵， ∴该船能安全通过． （3）由题易知，水位上升米，相当于将抛物线向下平移个单位长度， ∴平移后抛物线的解析式为 把代入， 得． ∵， ∴此时该货船能安全过桥 6．（2024·广东深圳·模拟预测）拱桥造型优美，是中国最常用的一种桥梁形式．现在某地，有一座拱桥，跨度为，拱顶C离地面高，拱桥的形状是一条抛物线； (1)以的中点为坐标原点，如图建立坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施； (3)某人在拱顶C处踢一足球，足球最高点位置距人水平距离为，竖直距离为，已知足球的运动轨迹为一条抛物线，请问足球会落在桥上吗？ 【答案】(1) (2)所以需要采取紧急措施 (3)球会落在桥上 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入求得，得到此时水面宽度为，与比较即可求解； （3）设足球轨迹抛物线表达式为：，再将代入，求得足球轨迹抛物线表达式，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，，，C点为顶点； 设拱桥所在抛物线的表达式为：， 代入，得：， 解得：， ∴拱桥所在抛物线的表达式为：； （2）解：将代入得：， 解得：， 所以此时水面宽度为， 又， 所以需要采取紧急措施； （3）解：若人朝轴正方向踢足球，则由题意可知，足球最高点的坐标为， 该点也是足球轨迹抛物线的顶点，因此可设足球轨迹抛物线表达式为：， 代入得：， 解得：， ， 令，得， 所以球会落在桥上． ►题型03 最大利润/销量问题 7．（2025·广东·模拟预测）广东某镇盛产的荔枝远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克元的该荔枝，以不低于成本价且不超过每千克元的价格销售．当每千克售价为元时，每天售出荔枝；当每千克售价为元时，每天售出荔枝，通过分析销售数据发现：每天销售荔枝的数量与每千克售价(元)满足一次函数关系， (1)请直接写出与的函数关系式； (2)超市将该荔枝每千克售价定为多少元时，每天销售该荔枝的利润可达到元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)； (2)每千克售价定为元时，利润可达到元； (3)当每千克售价定为元时，每天获利最大，最大利润为元． 【分析】（1）该函数经过点，，利用待定系数法求出与的函数关系式即可； （2）设超市将该荔枝每千克售价定为元每千克时，利润最大，根据利润销量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程求出荔枝的售价，把不符合题意的解舍去； （3）设利润为，可以列出关于的函数解析式为，根据二次函数的图象与性质可知抛物线开口向下，对称轴为，可知当时，所获得的利润最大，把代入函数解析式求出最大利润． 【详解】（1）解：根据题意可知，该函数经过点，， 设与的函数关系式为， 将代入， 得到：， 解得：， 与的函数关系式为； （2）解：设超市将该荔枝每千克售价定为元每千克时，利润最大， 根据题意可得：， ， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，， 售价不低于成本价且不超过每千克元， 每千克售价定为元时，利润可达到元； （3）解：设利润为， ， 函数开口向下， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值， 此时， 当每千克售价定为元时，每天获利最大，最大利润为元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性质、一元二次方程的应用．解决本题的关键是利用二次函数的图象与性质求出最大利润． 8．（2024·广东深圳·模拟预测）食品安全是民生工程、民心工程．2024年的报道了多家预制菜制作不规范，存在使用未经严格处理的槽头肉来制作菜品，严重侵害了消费者权益．某食品网店以此为警钟，准备从正规渠道购进A、B两种类型的速食餐进行售卖．已知每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等． (1)求A、B两种速食餐的进价分别是每份多少元？ (2)该网店计划购进A类速食餐若干份．试销时发现，A类速食餐销售量y（份）与每份售价m（元）的关系为，若要求A类速食餐每份的利润率不低于，那么该公司将A类速食餐售价为多少时，获得的利润为W最大？最大值为多少？ 【答案】(1)A、B两种速食餐的进价分别是每份10元和15元 (2)W的最大值为10562.5元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，二次函数的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组与二次函数关系式是解题的关键． （1）设每份A类速食餐的进价是a元，每份B类速食餐的进价是b元，根据每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等，列出方程组，求解即可； （2）根据利润=每份利润×销售量，列出w关于m的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每份A类速食餐的进价是a元，每份B类速食餐的进价是b元，                         依题意得： ， 解得， 答：A、B两种速食餐的进价分别是每份10元和15元． （2）解：依题意：获得的利润 ， 由于A类速食餐每份的利用率不低于，那么 ， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为10562.5， 答：W的最大值为10562.5元． 9．（2024·广东广州·三模）第135届春季广交会于2024年4月15日—5月5日在琶洲广交会展馆举行．某公司用5万元研发的一批文创产品，在本届广交会中参展销售．已知生产这种产品的成本为3元/件，在销售过程中发现；销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．设公司销售这种文创产品的利润为W（万元）． (1)求出y（万件）与销售价格x（元/件）的函数解析式； (2)求出这种文创产品的利润W（万元）与x（元/件）的函数解析式，并求出当售价定多少时，利润最大？是多少？ 【答案】(1) (2)定价为7元时，利润最大，最大为11万元 【分析】（1）分，两种情形解答即可； （2）根据两种解析式，分别计算利润，比较大小后定结论即可． 本题考查了待定系数法，反比例函数的性质，构造二次函数求最值，熟练掌握待定系数法，构造法求最值是解题的关键． 【详解】（1）当时，设，代入，得， 此时解析式为； 当时，设直线的解析式为， 根据题意，得，解得， 故解析式， 综上所述，． （2）当时，根据题意，得：， 当时，W最大，此时（万元）； 当时，根据题意，得：， 当时，W最大，此时（万元）； ， 综上所述， 故定价为7元时，利润最大，最大为11万元． ►题型04 球类飞行轨迹 10．（2024·广东揭阳·模拟预测）如图是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机，是其弹射出口，能将羽毛球以固定的方向和速度大小弹出羽毛球在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状如图所示设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为（米）与地面的高度为（米），与的部分对应数据如表所示． （米） （米） (1)求关于的函数表达式，并求出羽毛球的落地点到发球机点的水平距离． (2)为了训练学员的后场应对能力，需要改变球的落地点，可以通过调整弹射出口的高度来实现此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加米，则发球机的弹射口高度应调整为多少米？ 【答案】(1)，米 (2)米 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）由表格信息可知，抛物线的顶点为，可设抛物线的解析式为：，将点代入可求出关于的函数表达式，令抛物线解析式的，即可求出羽毛球的落地点到发球机点的水平距离； （2）根据题意可设抛物线的解析式为：，根据题意可知该抛物线过点，进而求出抛物线解析式，将代入解析式计算，即可求解． 【详解】（1）解：由表格信息可知，抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为：， 其图像过点， ， 解得：， 关于的函数表达式为：， 当时，， 解得：，（舍去）， 故羽毛球的落地点到发球机点的水平距离为米； （2）抛物线的形状和对称轴位置都不变， 可设抛物线的解析式为：， 要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加米， 当时，， ， 解得：， ， 当时，， 发球机的弹射口高度应调整为米． 11．（2024·广东东莞·模拟预测）爱思考的小芳在观看女子排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，于是她和同学小华一起进行了实践探究． 经实地测量，可知排球场地长为18m，球网在场地中央且高度为2.24m．建立如图所示的平面直角坐标系，A为击球点．记排球运动过程中距地面的竖直高度为y（单位：m），距击球点的水平距离为x（单位：m）．    小华第一次发球时，测得y与x的几组数据如下表： 水平距离x/m 0 4 6 8 11 12 竖直高度y/m 2 2.71 2.8 2.71 2.24 2 (1)根据表格数据，求排球运动过程中距地面的竖直高度y与距击球点的水平距离x满足的函数表达式． (2)通过计算，判断小华这次发球能否过网，并说明理由． (3)小华第二次发球时，假设她只改变击球点高度，排球运动轨迹的形状及对称轴位置不变，在点O处上方击球，既要过球网，又不出边界（排球压线属于没出界）时，求小华的击球点高度h（单位：m）的取值范围． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 (3) 【分析】本题考查抛物线的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质是解题的关键． （1）根据题意，设与的函数关系式为，将代入计算即可； （2）将代入抛物线解析式，求得值与2.24比较即可； （3）解：设只改变击球点高度后抛物线的表达式为：．把，代入，解得．故．把代入，解得．把，代入，解得．故，再把代入，解得，则可以得到取值范围． 【详解】（1）解：由表格，可知抛物线顶点坐标为； 设y与x之间的函数关系式为． 将代入，得，解得． 经检验，表格中其他数据也满足上述关系． ∴排球运动过程中距地面的竖直高度y与距击球点的水平距离满足的函数表达式为：； （2）解：能，理由如下：当时，． ∵， ∴小华这次发球能过网； （3）解：设只改变击球点高度后抛物线的表达式为：． 把，代入，解得． ∴． 把代入，解得． 把，代入，解得． ∴． 把代入，解得． ∴小华的击球点高度h的取值范围是． 12．（2024·广东深圳·模拟预测）数学活动：如何提高篮球运动罚球命中率—以小华同学为例活动背景：某学校体育节进行班级篮球比赛，在训练过程中发现小华同学罚球命中率较低，为帮助小华同学提高罚球命中率，该班数学小组拍摄了如下图片并测量了相应的数据（图片标注的是近似值）． (1)模型建立：如图所示，直线AE是地平线，A为小华罚球时脚的位置，篮球在运动过程中B、D、F为篮球的三个不同位置，B点为球出手时候的位置．已知，篮球运动轨迹是抛物线的一部分，数学小组以A、B、C、D、E、F中的某一点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，计算出篮球的运动轨迹对应的抛物线解析式为，根据解析式，请你判断该数学小组是以点　　　（填A、B、C、D、E、F中的一个）作为坐标原点． (2)问题解决：已知篮球框与罚球线水平距离为4米，距离地面为3米，请问在（1）的情况下，小华的这次罚球能否罚进？并说明理由． (3)模型应用：如下图所示为抛物线的一部分函数图象，抛物线外一点，试通过计算说明在不改变抛物线形状的情况下，把原抛物线向上平移多少个单位，能使平移后的抛物线经过点P． 【答案】(1)B (2)不能罚进，理由见解析 (3)个单位 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）由抛物线解析式中常数项为0可得抛物线经过坐标原点，假设以点B为坐标原点，计算出点D和点F的坐标，判断点D和点F是否在抛物线上即可，若不在，再假设点D或F为坐标原点； （2）先表示出篮球框所在位置的坐标，再判断该坐标是否在抛物线上即可； （3）原抛物线向上平移m个单位后的解析式为，将代入求出m的值即可． 【详解】（1）解：抛物线解析式为， 抛物线经过坐标原点， B、D、F可能为坐标原点， ， 当以点B为坐标原点时，点D的坐标为，即， 点F的坐标为，即， 当时，， 当时，， 点D和点F在抛物线上， 该数学小组是以点B为坐标原点， 故答案为：B． （2）解：不能罚进，理由如下： 在（1）的情况下，篮球框所在位置的坐标为，即， 当时，， 点不在抛物线上， 小华的这次罚球不能罚进． （3）解：设原抛物线向上平移m个单位，能使平移后的抛物线经过点P． 则平移后的抛物线解析式为， 将代入，得：， 解得， 即原抛物线向上平移个单位，能使平移后的抛物线经过点P． ►题型05 喷泉问题 13．（2024·广东深圳·模拟预测）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【答案】(1)上边缘抛物线喷出水的最大射程为； (2)； (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解； （3）根据题意，求得点的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点即可； 【详解】（1）解：由题意可得：， 且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为： 将代入可得： 即上边缘的抛物线为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即 上边缘抛物线喷出水的最大射程为； （2）解：由（1）可得， 上边缘抛物线为：，可得对称轴为： 点关于对称轴对称的点为： 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即点； （3）解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下； ∵， ∴绿化带的左边部分可以灌溉到， 由题意可得： 将代入到可得： 因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 14．（2024·广东深圳·三模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米． （米） 0 1 2 3 4 （米） 根据上述信息，解决以下问题： (1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象； (2)若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______； (3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为米，顶棚到湖面的高度为米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求．（结果保留一位小数）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到米才能符合要求 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数图象的绘制方法，待定系数法求解析式，二次函数图象平移的特点是解题的关键． （1）根据列表，描点，连线的方法作图即可； （2）根据表格信息可得二次函数的最大值为时，的值最大，由此即可求解； （3）根据题意，设二次函数的解析式为：，根据表格可得二次函数解析式，根据游船通过的条件设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：表格信息为： （米） 0 1 2 3 4 （米） 根据表格信息，描点，连线，作图如下， （2）解：根据题意可知，该抛物线的对称轴为直线，此时水柱离湖面最高， 即， 故答案为：； （3）解：根据图象可设二次函数的解析式为：， 将代入，得， ∴抛物线的解析式为：， 设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：， 由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于， ∴， 解得，， ∴水管高度至少向上调节米， ∴（米）， ∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到米才能符合要求． 15．（2024·河南平顶山·二模）图是某广场中的一个景观喷泉，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中间立柱近似看作一条线，以其为轴建立如图所示直角坐标系，已知中间立柱顶端到水面的距离为，喷水头恰好是立柱的中点，若水柱上升到最高点时，到水面的距离为，到中间立柱的距离为． (1)求图中第一象限内抛物线的函数表达式． (2)为了使水落下后全部进入水池中，请判断圆形水池的直径不能小于多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（）求出点的坐标，利用顶点式假设出抛物线的解析式，再把点坐标代入计算即可求解； （）利用（）中所得的二次函数解析式求出点坐标，得出的长，根据即可求解； 本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∴点的坐标为， 由题意可得顶点的坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，有， 解得，（不合，舍去）， ∴点坐标为， ∴，此时有 答：圆形水池的直径不能小于． ►题型05 增长率问题 16．（2021·重庆沙坪坝·一模）中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 【答案】（1）80；（2）20． 【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可； （2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的增长率，列式计算即可得到答案． 【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知： 把①×200得 用②-③得：，解得 把代入①中，解得 故入住A房间的有80间． （2）由题意得： 下调后A房间的房价=，B房间的房价= 由题目已知条件和（1）中计算的结果知： 下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数= 故三月份的总收入= 又∵三月份比二月份总营业收入增加了 ∴ 即 解得：，（舍去） 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能够根据已知条件找到等量关系进行列式计算． 17．（2021·江苏盐城·一模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 【答案】（1）20%；（2）6125000（元） 【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可； （2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值． 【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0， 由题意得：， 解得：x=0.2或x=-2.2（舍）， 答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%； （2）设多改造a户，最高投入费用为w元， 由题意得：， ∵a=-50，抛物线开口向下， ∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元， 答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解． 18．（2019·山东东营·一模）为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元. （1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？ （2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？ 【答案】（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元 【分析】(1)设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据等量关系，列出方程，即可求解； (2)设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元，列不等式，求出a的范围，再求出的函数解析式，进而可求出答案. 【详解】（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得:，（舍去）. 答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%； （2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元. 根据题意，得:， 解得:， ， ∵， ∴随a的增大而减小. ∵a为整数， ∴当时，最小，最小值为（万元）. 此时，. 答：A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元. 【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数以及一元一次不等式的实际应用，找到数量关系，列出函数解析式和一元一次不等式，是解题的关键. 命题点二 二次函数的综合问题 ►题型01 线段、周长问题 19．（2025·广东·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值是2，此时的P点坐标是 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）运用待定系数法解答即可； （2）求出直线l的解析式，设点P的坐标为，则，得，运用二次函数的性质可得结论； （3）证明，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ． 把A，B两点坐标代入解析式，得 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， 直线l的解析式为； 轴， 设点P的坐标为，则， ． ∴当时，有最大值是2， 当时，， ， 的最大值是2，此时的P点坐标是． （3）解：，， ． ∵在中，， ． 轴，， ． 在中，，． ， ． 在中，，， ， ．此时最大， ， 的最大值是． 20．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且，直线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在抛物线上，满足，求点D的坐标； (3)如图2，设抛物线的顶点为T，直线与抛物线交于点E，F（点E在点F左侧），G为的中点，求的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】（1）把代入得，求出，用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）求出，，，分两种情况：①当D在下方时，设延长线交x轴于K，证明，有，得，，即可求得直线解析式为，联立可解得；②当在上方时，设交x轴于W，过B作轴交直线于T，证明，可得，求出，，知，故直线的解析式为，联立，解得； （3）求出抛物线顶点T坐标，联立得，设，，则，，，，由G为的中点，知，故；根据两点间距离公式可得，即可得的值为． 【详解】（1）解：∵，C在y轴负半轴， ∴， 把代入得， ∴， 令得， ∴， 把，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，令得， 解得或， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当D在下方时，设延长线交x轴于K，如下图， 此时， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， 由，得直线解析式为， 联立， 解得或， ∴； ②当在上方时，设交x轴于W，过B作轴交直线于T，如上图， 此时，， 又， ∴， ∴， 在中，令得， ∴，， ∴，， ∴， 由，得直线CW的解析式为， 联立， 解得或， ∴； 综上所述，D的坐标为或； （3）解：由知抛物线顶点T坐标为， 联立得， 设，，则，，，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，相似三角形判定与性质，根与系数的关系，两点间距离公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 21．（2024·广东清远·模拟预测）如图，直线与x轴、y 轴分别交于点B，A，抛物线经过点A，B，其顶点为C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积； (3)点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D，求线段的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)2.25， 【分析】（1）先求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得：，求出直线的解析式为，得出与轴的交点的横坐标，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）设，则，，表示出，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， 由题意得：， 解得：， ∴抛物线的函数解析式； （2）解：由（1）可得：， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴； （3）解：∵点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D， ∴设，则，， ∴， ∴当时，有最大值，为，此时，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的图象与性质、二次函数综合—线段问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． ►题型02 面积问题 22．（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限内抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由； (3)若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点A、B、D的圆与交于E点，求的面积． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）根据题意得到，，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）判断是等腰直角三角形，可求出，设交x轴于点D，则，求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，求出公共解即可求出点M坐标； （3）记过点A、B、D的圆的圆心为点G，设，根据，可得出①，由点D在抛物线上，可得出②，将②代入①得求出，根据三角形面积公式求出，然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， 把，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在第一象限内抛物线上存在点M，使，理由如下： 如图， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设交x轴于点D，则， ∴点D的坐标为； 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 联立， 解得，（舍） ∴点M的坐标为（， （3）解：把代入，得， 解得或， ∴点A的坐标为， ∴AB=6， 设过点A、B、D得圆的圆心为点G， ∵， ∴点G在线段的垂直平分线上， 设点G的坐标为， 同理可得点G在线段的垂直平分线上， ∵轴于点F， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 整理得①， ∵点D在抛物线上， ∴， 得②， 将②代入①得，， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求出函数解析式，抛物线上的点的坐标特征以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 23．（2024·广西南宁·二模）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且自变量的部分取值与对应函数值如下表： 0 1 2 3 0 3 4 3 0 (1)求二次函数的表达式； (2)如图，连接，在直线上方抛物线上是否存在一点，当点运动到什么位置时，的面积最大？求出此时点的坐标和的最大面积．    (3)将线段先向右平移1个单位，再向上平移6个单位，得到线段，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，， (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）由表格求出，设，连接，求得的面积的面积的面积的面积，再根据二次函数的性质解答； （3）由题意可得，利用配方法得到抛物线的顶点为，当时；当时，，分两种情况：当时，且，得；当时，且，得；当时，只有一个公共点，；由此得到或或． 【详解】（1）将代入，得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）由表格可知，当时，或；当时，， ∴， 设，连接，   的面积的面积的面积的面积 ∴当时，的面积的面积最大，最大值是； （3）由题意可得， ∴抛物线的顶点为，当时；当时，， 当时，只有一个公共点，∴； 当时，开口向下，则且，得； 当时，开口向上，则且，得； 综上，或或． 【点睛】此题考查二次函数的综合应用，掌握二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程的关系，图形面积的计算，分类讨论等知识思想是解题的关键． 24．（2024·广东东莞·一模）如图1，抛物线经过点，，矩形的点A，D在x轴上，B，C在抛物线上，． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点B，C的坐标； (3)如图2，垂直于的直线m从底边出发，以每秒的速度沿方向匀速平移，分别交折线，，于M，N，H，当直线m到达点E时，停止运动，连接，，设运动时间为t秒，的面积记为y，请用t表示y，写出t的相应的取值范围，并求y的最大值． 【答案】(1)抛物线的表达式为： (2)点， (3)，y的最大值为 【分析】（1）将，代入中， 利用待定系数法即可求出抛物线的解析式． （2）设点B的横坐标为m，由，得，则点． 将点B的坐标代入抛物线的表达式中求出m的值，则可得B点坐标，根据抛物线的对称性可得C的坐标． （3）当时，可得，，由，即可得出y与t的关系式，并求出y的最大值；当时，先求得的表达式为，由可得，则可得N点的坐标为，同理可得M点的坐标为，由可得y与t的关系式，根据抛物线的顶点坐标即可求出y的最大值．最终可得函数y的最大值为． 【详解】（1）将，代入中， 得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）（2）设点B的横坐标为m， ， 则， 则点， 将点B的坐标代入抛物线的表达式得：， 解得：(舍去),， ∴ ， 则点， ∵抛物线的对称轴为： ， ， ∴点； （3）（3）当时， 此时，， 则， 当时，； 当时，如下图： 此时， 设直线的表达式为： 则， 解得， 直线的表达式为：， 当时，即，则， 即点， 设直线的表达式为：， 则， 解得， 直线的表达式为：， 当时，即，则， 可得：点， 则， ，故函数y有最大值， 当时，函数y的最大值为， ∵， 故y的最大值为， 即，y的最大值为． 【点睛】本题是一道二次函数与几何的综合题，熟练掌握二次函数图像的性质及分类讨论的方法和数形结合法是解题的关键． ►题型03 角度问题 25．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D (1)求二次函数的解析式； (2)P为直线上方抛物线上一点，求面积最大值及P点坐标； (3)P为第四象限抛物线上一点，且，求出点P的坐标； 【答案】(1) (2)最大值为， (3) 【分析】（1）先求得，设二次函数解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为：，设，则，求出，最后根据二次函数的性质即可得到答案； （3）过点C作，取一点E使，过点C作轴，作，先证明，可得，从而求出，由P为以为直径的圆与抛物线的交点的中点F，可得，设可求得，再求解即可． 【详解】（1）， ， 设二次函数解析式为， 将代入得： ， 故二次函数解析式为； （2）如图，连接，过点P作， 设直线的解析式为：， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， 直线的解析式为：， 设，则， ， ， 由此可得，当，最大为， 当时，， ； （3）如图，过点C作，取一点E使，过点C作轴，作， ， ， ， ， ， ， ， ， P为以为直径的圆与抛物线的交点的中点F， ， ， 设 解得：， 将代入得：， 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、圆周角定理，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 26．（2024·广东东莞·三模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求E，F两点间距离的最大值； (3)如图2，连接，在抛物线上存在点Q，使，请直接写出符合题意的点Q坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由已知易得是等腰直角三角形，则；求出直线的表达式为，设点，则点，进而可表示出，求出的最大值即可得E，F两点间距离的最大值； （3）分两种情况：点Q在下方时，设交y轴于点H，由题意得，从而其正切值相等，即，从而求得点H的坐标，用待定系数法求出直线的表达式，与抛物线表达式联立即可求得点Q的坐标；点Q在上方时，过点A作轴，使，连接，在线段上截取，连接，易得四边形是矩形，则，；接着用证明，则有，进而得，最后求得点N的坐标；则可求得直线的表达式，联立抛物线表达式即可求得点Q的坐标；综合即可得结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由抛物线的表达式知，点， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，则， ∵轴，轴， ，， 是等腰直角三角形， ， 由点A、C的坐标得：直线的表达式为：， 设点，则点， ， ， 故有最大值，当时，的最大值为：， 则的最大值为：； （3）解：当点Q在下方时，如图，设交y轴于点H， ， ， ， ∴，即， ， 故； 设直线的表达式为，把点A坐标代入得：， 得， 故直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点； 当点Q在上方时，如图，过点A作轴，使，连接，在线段上截取，连接， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， 则，； ， ， ， ， ， ， ； ， ； 设直线解析式为，则有， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合；考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正切函数，解一元二次方程等知识，综合性强，注意分类讨论与数形结合思想的应用． 27．（2024·广东清远·模拟预测）综合探究 如图，在中，，经过点C的直线交x轴正半轴于点，一抛物线经过点A、B、C，顶点为D，对称轴交x轴于点E． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)若点G是在第一象限内抛物线上的一动点，求使面积达到最大时点G的坐标，并求出此时面积的最大值； (3)若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)最大值为4，点G坐标为 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出C点坐标，再用待定系数法求二次函数和一次函数解析式即可； （2）过点G作轴，交直线于点F，，设点G坐标为，点F坐标为，用e表示出的面积为，得出当时，面积取得最大值，最大值为4，求出点的坐标即可； （3）分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为N、M，，证，利用对应边成比例可以解题． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， ∵，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为， 又∵点B的坐标为， ∴将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得： ，解得， ∴抛物线的表达式为． 将点B、C的坐标代入直线得： ，解得， ∴直线BC的表达式为． （2）解：如图，过点G作轴，交直线于点F， 设点G坐标为，点F坐标为， 则， 故， ∴当时，面积取得最大值，最大值为4，此时点G坐标为． （3）解：存在． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点E的坐标为． 设点P的坐标为、点Q的坐标为， 则，，，， ①当点Q在点P的左侧时，如图，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为N、M， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，解得（舍去负值）， 当时，， ∴点P的坐标为． ②当点Q在点P的右侧时，如图，分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N、M， 则，，，， 同理可得：∽，∴， ∴，解得（舍去负值）， ∴当时，， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，包括解直角三角形、直角三角形存在性问题，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用二次函数知识，设出点的坐标，利用相似三角形的判定与性质表示出其他点的坐标，列出方程． ►题型04 特殊三角形问题 28．（2024·广东·模拟预测）综合探究 如图（1）所示，在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点A在y轴正半轴上，顶点B，C，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，且轴，与y轴交于点E，． (1)求的长． (2)求a的值． (3)如图（2）所示，F是射线上的一动点，点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转得点，当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)1 (2)1 (3)或 【分析】（1）由菱形可得，根据二次函数对称性可得，再根据求解即可； （2）设则代入计算即可； （3）过点C作 于点N，设直线交射线与点M，连接，根据菱形的性质及解三角形得出，再由旋转的性质分三种情况讨论：①当以为直角顶点时，②当以A为直角顶点时，③当以为直角顶点时，分别利用旋转的性质，相似三角形的判定和性质及解一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵轴， ∴， ∵二次函数对称轴为轴， B，C，D在二次函数的图象上， ， ； （2）解：由（1）可得，，， 设则 代入得， 解得， ∴； （3）解：如图2，过点C作 于点N，设直线交射线与点M，连接， 在菱形中，， ， ， ， ， ∴在中，，， ∵点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转得点，则绕点F逆时针旋转得到， ， ∵， ， ， 由是直角三角形，可知需分三种情况讨论： ①当以为直角顶点时，如图， ∵， ∴点落在的延长线上，且与点M重合， ∵， ∴， ∴点 F与点N重合， ∴， ∴； ②当以为直角顶点时，如图 ， ， ∴点落在的延长线上，且与点M重合， ，， ， 在中，， ， ； ③当以A为直角顶点时，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 化简得 ， ， 无解， 不存在此种情况，不符合题意， 综上所述，当是直角三角形时，的长为或． 【点睛】本题考查二次函数的性质，旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形相似的判定与性质，解一元二次方程，解直角三角形等知识，利用分类讨论和数形结合是解题的关键． 29．（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点 A．C(点 A 在点 C的右侧)．与y轴交于点 B．直线经过点A，B． (1)求A，B，C 三点的坐标及直线的表达式． (2)P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点 Q，设点 P 的横坐标为．的长为 L． ①求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围； ②若与交于点D， 求 m的值． (3)设抛物线的顶点为M，问在y轴上是否存在一点 N，使得为直角三角形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①② (3)存在，或或或 【分析】（1）令，求出值，令，求出的值，进而得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）①求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可； ②证明，得到，进行求解即可； （3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， ∵直线经过点A，B ∴，解得：， ∴； （2）①∵点 P 的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； ②∵轴，与交于点D， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去）或， ∴； （3）存在，设点， ∵， ∴， ∵， ∴； ①当点为直角顶点时：，解得：， ∴； ②当点为直角顶点时，，解得：， ∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 30．（2024·广东东莞·模拟预测）如图1，抛物线与x 轴交于点和点B，与 y 轴交于点C，连接，已知，点M是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P，与线段相交于点Q，点N 是抛物线的对称轴上的点，且满足，求点N 的坐标． (3)如图3，连接，点D 是线段上的一个动点，过点D 作交于点E，于 点F， 连接．当面积最大时，求此时点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意得到，结合利用待定系数法求解即可； （2）先求出，分点N在x轴上方和下方两种情况讨论，当点N在x轴上方时，根据二次函数的对称性质及等腰三角形的性质推出，则由等腰三形判定得，最后由勾股定理即可求解；当点N在x轴下方时，由对称性即可求解； （3）如图，过点M作交于点H，设，求出，进而求出，解直角三角形得到，，从而求出在中，，，，，证明，求出，证明，由，得到关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：，， ∴， ， 如图， 点N在抛物线的对称轴上， ， 当点N在x轴上方时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 抛物线的对称轴为， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴， ； 当点N在x轴下方时， 由对称性得：； 综上，点N的坐标为或； （3）解：如图，过点M作交于点H， 设， 点M是抛物线的顶点， 当时，， ， ， ， 在中，， ，， ， ， ， 在中，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，最大， 此时点D的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了用待定系数法求二次函数与二次函数的解析式，二次函数的图象及最大值，二次函数与特殊三角形问题，二次函数与相似三角形问题，涉及分类讨论思想及方程思想，有一定的难度和运算量． ►题型05 特殊四边形问题 31．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线过点，． (1)求直线的函数解析式； (2)设点在上，抛物线G：与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点． ①当时，试用含的代数式表示四边形的面积； ②当，，中有两点与点，围成的四边形是平行四边形时，求的函数解析式． 【答案】(1) (2)①或或②或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①分，，三种情况进行讨论求解即可； ②分与两点组成的四边形为平行四边形，且点在原点右侧，与两点组成的四边形为平行四边形，且点在原点左侧，以及当与两点组成的四边形为平行四边形，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）①∵点在上， ∴， ∵， ∴当时，， 令，则，解得：， 设直线与轴交于点， ∵， ∴当时，， ∴， 当，即时，， 则：四边形的面积； 当时， 则：四边形的面积； 当，即：时， 则：四边形的面积； 综上：四边形的面积为或或； ②当与两点组成的四边形为平行四边形，且点在原点右侧时，如图，则：， ∴的中点坐标为， ∴，两点中点的纵坐标为， ∴点坐标为， ∴两点的中点坐标为：， ∴， ∴， ∴， ∴，把代入，得： ∴，即：； 当与两点组成的四边形为平行四边形且点在原点左侧时，如图，则：， 同理可得：，， ∴， ∴，把，代入，得：， ∴，即：； 当与两点组成的四边形为平行四边形时，如图，则：， 同理可得：，， ∴， ∴， ∴，把，代入，得：， ∴，即：； 综上：或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求解析式，二次函数与抛物线的交点问题，平行四边形的性质，等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 32．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，其中，，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)将沿直线平移，平移后的三角形为（其中点与点不重合），点是坐标平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为、、或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，，则，当时，最大，此时最大，即可求解； （3）根据题意可设，得到，，，分三种情况讨论：①，②，③，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点， 设抛物线解析式为， 抛物线过， ， ， 此抛物线解析式为； （2）过点作轴交于点，如下图所示， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，， 则， ，， 当时，最大，此时最大， ； （3）根据题意可设， ，， ，，， ①，即， ，， ，， ②，即， ， ，， ③，即， （不合题意，舍去）， 综上所述，满足条件的点坐标有、、或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，菱形的性质，平移的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 33．（2024·广东汕头·模拟预测）综合运用． 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后，得到，且点，，刚好在抛物线的图图象上，连接并延长交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若与关于轴对称，连接，，猜想四边形是什么特殊四边形，并说明理由； (3)把抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，，分别是两抛物线的顶点，为直线上的一动点．当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形是平行四边形．理由见解析 (3)当是直角三角形时，点的坐标为或 【分析】（1）根据旋转可得，，进而得到，，，，再利用待定系数法求解即可； （2）连接，，求出直线的 解 析 式 ，结合抛物线的解析式求出，得到，推出，由与关于轴对称，，可得到，即可求解； （3）根据题意可求出，根据平移可得新抛物线的解析式为，得到，求出直线的解析式为，推出，分两种情况：①当时，连接，，；②当时，连接，；根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得， ，， ，，，， 点，，在抛物线的图象上， ， 解得：， 抛物线的解析式是； （2）四边形是平行四边形．理由如下： 如图所示，连接，， 设直线的解析式为：， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 是射线与抛物线的交点， ， 解得：，， ， ， ，， ， 又与关于轴对称，， ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）， ， ，， ， ， ， 新抛物线可由原抛物线沿轴负方向平移个单位长度，沿轴正方向平移个单位长度得到， 新抛物线的解析式为， ，又， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 又直线的解析式为， ， ①当时，如图，连接，，，则， 由，，的坐标易得， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 与重合， ； ②当时，如图，连接，， 由①可知，， 可得四边形是正方形， 得，， ， ， ， ， ， ； 综上所述，当是直角三角形时，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． ►题型06 相似三角形与二次函数综合 34．（2024·广东河源·一模）如图，已知抛物线与轴交于点，且经过点，过点作轴的平行线，交轴于点，交抛物线于点，点是抛物线在第一象限内的一动点，过点作轴，垂足为． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)点N是x轴上的一点，当与相似时，求n的值． 【答案】(1) (2)等腰三角形，见解析 (3) 【分析】（1）根据题意列方程组，即可得到结论； （2）点是抛物线在第一象限内的一动点，于是得到，求得，根据勾股定理得到，，根据等腰三角形的判定定理得到是等腰三角形； （3）根据是等腰三角形，当与相似时，得到是等腰三角形，求得或，当时，过作轴于，根据相似三角形的性质得到，延长交于，求得，解方程得到；当时，如图，同理；于是得到结论． 【详解】（1）抛物线与轴交于点，且经过点， ， ， 该抛物线的解析式为； （2）是等腰三角形， 理由：点是抛物线在第一象限内的一动点， ， ， 过点作轴的平行线，交轴于点，， ，， ， 是等腰三角形； （3）过点作轴的平行线，交抛物线于点， ， 是等腰三角形，当与相似时， 是等腰三角形， 或， 当时， 过作轴于， ， ， ∴ ， ， ， 延长交于， ， ，， ， ， 或（不合题意舍去）， ； 当时，如图， 同理； 综上所述，当与相似时，的值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，正确地求出函数解析式是解题的关键． 35．（2024·广东惠州·一模）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B．    (1)求k的值及抛物线的解析式． (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，当时，求D点的坐标； (3)如图2，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为． ①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的坐标为 (3)①当时，线段有最大值为4；②存在，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）由（1）可得，则，所以，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为，则，设，可表达点的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论； （3）①由点，坐标可得出直线的解析式，由此可表达点，的坐标，进而表达的长度，结合二次函数的性质可得出结论； ②根据题意需要分两种情况，当时，当时，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将点的坐标为，点的坐标为，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为，   轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ∴的坐标为， 将点的坐标代入解析式可得，， 解得或（舍去） ∴的坐标为； （3）解：①由（1）可知，直线的解析式为：， 点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 设线段的长度为， 则 ， 当时，线段有最大值为4； ②存在，理由如下： 由图形可知， 若与相似，则需要分两种情况， 当时，由（2）可知，，此时； 当时，过点作轴交抛物线于点，    令， 解得（舍或， 即此时 综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论． 36．（2024·广东汕头·三模）如图1，抛物线和直线交于A，两点，过点作直线轴于点． (1)求的度数． (2)如图2，点从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．以为边作矩形，使点在直线上． ①当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上． 【答案】(1) (2)①当时，矩形的面积最小： ；②、或2. 【分析】本题属于二次函数的综合应用，主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、二次函数求最值等知识点，掌握数形结合和分类讨论的数学思想是解题的关键． （1）设直线与轴交于点，然后确定点 、，进而说明是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可解答； （2）①如图，过点作轴于点，根据题意可得、、，再联立和可得，秒时点坐标为、点坐标为，即；再证明可得，即,进而得到再结合可得，然后根据二次函数的性质即可解答；②由（1）点坐标为、、；由①证得可得，进而说明 、，然后讨论M、N、Q的位置情况并分别求出t值即可． 【详解】（1）解：设直线与轴交于点， 当时，， ， 当时，， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ； （2）解：①如图，过点作轴于点，   ，点速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度， ，，， 联立和可得， ，， 秒时点坐标为，点坐标为， ， 矩形， ， ，， ， 又， ， ， 矩形的面积， ， ， 当时， 矩形的面积最小：； ②当、或2时，矩形的顶点落在抛物线上． 由（1）点坐标为，，， ， ， ， 点坐标为， 矩形对边平行且相等，，，， 点坐标为， 当在抛物线上时，则有，解得：， 当点到时，在抛物线上，此时， 当在抛物线上时，，重合： ，解得：， 综上所述，当、或2时，矩形的顶点落在抛物线上． 基础巩固 1．（2024·广东汕头·一模）某企业设计了一款工艺品，每件成本是50元，为了合理定价，投入市场进行式销，据调查，销售单价是100元时，每天销售量是50件，而销售单价每降低 1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，设销售单价元，销售利润元． (1)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (2)该企业要使每天的销售利润不低于4000元，求出销售单价的取值范围？ 【答案】(1)时，有最大值，最大值为4500元 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）根据题意可得，将其化为顶点式即可； （2）当时，求出相应的的值即可． 【详解】（1）解：依题意得 ∵ ，抛物线开口向下 ∴时，有最大值，最大值为4500元； （2）当时， 解得 ∴当时，每天的销售利润不低于4000元． 2．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论； （2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为． 将和分别代入，得： ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：； （2）解：， ∵， ∴当时，在的范围内， W取到最大值，最大值是2250． 答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式． 3．（2022·广东茂名·二模）我市某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，发现销售单价为30元/件时，每天的销售量为500件；销售单价为40元/件时，每天的销售量400件．设销售单价为x元/件，每天的销售量为y件． (1)已知x、y的值满足一次函数关系，请求出y与x的函数关系式； (2)物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件．销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)对应的函数关系式为 (2)销售单价定为45元时，每天获得利润最大，最大利润为8750元 【分析】（1）根据待定系数法求出关系式即可； （2）根据，整理为二次函数关系式，再配方并结合自变量的取值范围讨论极值即可． 【详解】（1）解：设对应的函数关系式为， 由题意得：， 解得： 对应的函数关系式为； （2）设每天获得的利润为元，由题意得： ． 当时，有最大值，且当时，随的增大而增大， 每天的单价不能超过45元， 当时，有最大值元． 答：销售单价定为45元时，每天获得利润最大，最大利润为8750元． 【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式，求二次函数的极值等，讨论二次函数最值时要结合自变量取值范围，不能落解或错解． 4．（2023·广东广州·一模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻．广州市南沙区是典型的“水乡”，万里珠江在此奔腾入海，辖域里已有的和正在建设的各式桥梁把南沙从曾经的“孤岛”连成了粵港澳大湾区的中心，助南沙货物流转、人才集聚、便民宜居．中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥．如图①所示，赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为米，拱高（拱顶点到弦的距离）约为米．        (1)某桥主桥拱是圆弧形（如图①中），已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是______； (2)某桥的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽，拱顶（抛物线顶点）距离水面，求桥拱抛物线的解析式； (3)如图③，某时桥和桥的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度． 【答案】(1) (2) (3)水面宽度分别为米；米 【分析】（1）连接，延长至点，在在中，，代入数据即可求解； （2）以水面所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，依题意，，，设抛物线解析式为，将点代入，待定系数法求解析式即可求解； （3）根据垂径定理，勾股定理，在中求得，即可得出，由（1）可得抛物线解析式为，当时，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，    连接，延长，由垂径定理知延长线经过点， 依题意， 设半径为，则 在中，， ∴ 即 解得：， 故答案为：． （2）解：如图所示，以水面所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，    依题意，， 设抛物线解析式为，将点代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 （3）解：如图所示，依题意，    则 ∴， 在中，， ∴， 则水面宽度为米； 由（1）可得抛物线解析式为 如图所示，      当水面上涨米时， 当时，， 解得：， ∴水面宽度为米 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，二次函数的应用，熟练掌握垂径定理与二次函数的性质是解题的关键． 5．（2023·广东肇庆·一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求的面积最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)的面积最大值为 【分析】（1）把点，代入抛物线，利用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线的解析式，令，可求出抛物线与轴的交点，根据待定系数法即可求解； （3）如图所示，过点作轴交于，设，则，用含的式子表示的面积，根据抛物线的顶点式即可求出最大值． 【详解】（1）解：将，代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：令，则，解得，， ∴，且， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． （3）解：如图所示，过点作轴交于， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为， ∴的面积最大值为． 【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数的综合，掌握待定系数法求解析式，函数图像的性质特点及面积的计算方法是解题的关键． 6．（2022·广东中山·一模）如图，抛物线L1经过坐标原点和点A（﹣2，0），其顶点B的纵坐标为﹣2，点M的坐标为（m，0）（m＞0），将抛物线L1绕点M旋转180°得到抛物线L2，点A对应点为点C，点B对应点为点D． (1)求抛物线L1的表达式； (2)试用含m的代数式表示出点D的坐标，并直接写出抛物线L2的表达式； (3)若直线y＝t（t为常数）与抛物线L1、L2均有交点，请直接写出t的取值范围； (4)连接OB，若四边形ABCD的面积为△AOB面积的20倍，求此时m的值． 【答案】(1)y＝2（x+1）2﹣2＝2x2+4x (2)D（2m+1，2），y＝﹣2（x﹣2m﹣1）2+2 (3)﹣2≤t≤2 (4)m=8 【分析】（1）根据题意求得顶点坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2﹣2，将原点坐标代入求得的值，即可求得抛物线的解析式， （2）过点B作BE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，证明△BEM≌△DFM（AAS），进而求得D（2m+1，2），根据旋转的性质即可求得抛物线L2的解析式， （3）根据当直线y＝t（t为常数）在点B与点D之间运动时，与抛物线L1、L2均有交点，B点的纵坐标为﹣2，D点的纵坐标为2，即可求得的范围， （4）利用已知求得△AOB的面积，根据四边形ABCD是平行四边形看求得S平行四边形ABCD＝2S△ACD；利用已知列出方程即可求得m的值． 【详解】（1）∵抛物线L1经过坐标原点和点A（﹣2，0）， ∴抛物线L1的对称轴为直线x＝﹣1． ∵顶点B的纵坐标为﹣2， ∴抛物线L1的顶点B的坐标为（﹣1，﹣2）． ∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2﹣2． ∵抛物线L1经过坐标原点， ∴a×1﹣2＝0． ∴a＝2． ∴抛物线L1的表达式为：y＝2（x+1）2﹣2＝2x2+4x． （2）∵点M为旋转中心， ∴MA＝MC，MB＝MD． ∴四边形ABCD为平行四边形． 过点B作BE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，如图， ∵∠BEM＝∠DFM＝90°，∠BME＝∠DMF， ∴△BEM≌△DFM（AAS）． ∴ME＝MF，BE＝DF． ∵B（﹣1，﹣2）， ∴OE＝1，BE＝2． ∴DF＝2． ∵点M的坐标为（m，0）（m＞0）， ∴OM＝m． ∴ME＝OM+OE＝m+1． ∴MF＝ME＝m+1． ∴OF＝OM+MF＝2m+1． ∴D（2m+1，2）． ∵将抛物线L1绕点M旋转180°得到抛物线L2， ∴抛物线L2的解析式为：y＝﹣2（x﹣2m﹣1）2+2． （3）∵直线y＝t（t为常数）是与x轴平行的直线， ∴当直线y＝t（t为常数）在点B与点D之间运动时，与抛物线L1、L2均有交点． ∵B点的纵坐标为﹣2，D点的纵坐标为2， ∴t的取值范围为﹣2≤t≤2． （4）∵点A（﹣2，0）， ∴OA＝2． ∴S△AOB＝OA•BE＝×2×2＝2． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AC＝2MA＝2（OA+OM）＝2（2+m）． ∴S平行四边形ABCD＝2S△ACD＝2××AC×BE＝4（2+m）． ∵四边形ABCD的面积为△AOB面积的20倍， ∴4（2+m）＝20×2． ∴m＝8． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，待定系数法求函数的解析式，二次函数的顶点坐标，对称轴，平行四边形的性质，三角形的面积．利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 能力提升 1．（2024·广东·模拟预测）科学研究表明：一般情况下，在一节的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，在时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间满足关系；以后，学生的注意力指数y与时间的图象呈抛物线形，到第时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束． (1)当时，注意力指数y为 ，8min以后，学生的注意力指数y与时间x(min)的函数关系式是 ； (2)若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长（精确到）？ (3)现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题(精确到；参考数据)？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意把代入，得到，即可解答．根据顶点式写出抛物线表达式，将，代入即可得到解析式； （2）根据对两个函数列出不等式，求解即可； （3）设出未知数，根据条件列出方程，解方程即可． 本题考查是二次函数的应用，解题关键是利用顶点式求出解析式，利用条件列出不等式，求出根据和当时对应的函数值相同求出t的值． 【详解】（1）解：根据题意，把代入可得：， ∵以后，学生的注意力指数y与时间的图象呈抛物线形，第时学生的注意力指数y达到最大值92， ∴可设抛物线的解析式为：， 把代入可得：， 解得：， ∴， 故答案为：84，； （2）解：由学生的注意力指数不低于80，即， 当时，由可得：； 当时，则，即， 整理得：，解得：， ∴（分钟）， 答：在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟； （3）解：设教师上课后从第t分钟开始讲解这道题， 由于， 要使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大， 则当和当时对应的函数值相同， 即， 整理得： 解得：（不合题意，舍去） ∴ 答：教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大． 2．（2024·广东·模拟预测）某网店以35元/件的进价购进一批纪念品，当售价为60元/件时，第一天销售了25件．该纪念品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． (1)求日销售量的平均增长率． (2)由于新款纪念品的推出，原来旧款纪念品的销量受到影响，为了尽快减少库存，该网店打算将旧款纪念品降价销售．经调查发现，每降价1元，每天可在第三天销售量的基础上多销售4件，那么将旧款纪念品的售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)将旧款纪念品的售价定为每件52元时，每天可获得最大利润，最大利润是1156元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设日销售量的平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）设旧款纪念品降价元，每天可获得的利润为元，建立关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设日销售量的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：日销售量的平均增长率为． （2）解：设旧款纪念品降价元，每天可获得的利润为元， 由题意得：， 这个二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， 则当时，取得最大值，最大值为1156，此时售价为（元）， 答：将旧款纪念品的售价定为每件52元时，每天可获得最大利润，最大利润是1156元． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）“昔日荔枝进长安，今朝草莓遍三秦．”行走在秦岭脚下的长安区，随处可见成片的草莓种植大棚．其中一种植户雷莹借助现有地势，将大棚的一端固定在离地面2米高的墙体的端点外，另一端固定在离地面1米高的墙体的端点处，墙体均垂直于水平面．测得两墙体之间的水平距离为4米，且大棚横截面顶部为抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足：．    请根据以上信息解决下列问题： (1)求大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系式． (2)雷芗家大棚的最高处到地面的距离为 ； (3)现要对入口处进行加固，如图所示： 方式一：雷莹在距离墙体左侧1米处垂直地面放置一根管材，管材一端固定在地面上，另一端点刚好能支撑在大棚主体钢架（抛物线段）上，用角铁固定另一根管材，使，且管材的另一端固定在墙体上； 方式二：在距离墙体等距（即中点）处以相同的方式放置管材．已知两种方式都等起到加固的作用，请通过计算说明，哪种方式所使用的管材更少？ 【答案】(1) (2)米 (3)方式二使用管材更少 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意得，，再将代入建立方程组计算可以得解； （2）依据题意，由，又，进而结合二次函数的性质可以判断得解； （3）方式一：依据题意可得，米，米，，从而(米)，再由证得四边形是矩形，故米，可，进而求出即可得解；方式二：依据题意，可得米，点是的中点，故米，再由四边形是矩形，有米，故令，可得，从而可得所使用的管材长度为：(米)，进而结合题意可以得解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 将代入得： ， 解得：， ． （2）∵， 当时，雷莹家大棚的最高处到地面的距离为米； （3）方式一：根据题意可得：米，米，， 米， ， 四边形是矩形， 米， 令，则， ， 米， 所使用的管材长度为：米； 方式二：米，点是的中点， 米， 同理可证明四边形是矩形， 米， 令，则， ， 米， 所使用的管材长度为：米； ， 方式二使用管材更少． 4．（2024·广东·模拟预测）综合探究 如图，在平面直角坐标系中．直线与抛物线交于两点，点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线，与直线交于点C．连接，设点的横坐标为． ①若点在轴上方，当为何值时，； ②若点在轴下方，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)①当时，；②周长的最大值为9 【分析】本题考查了二次函数的线段周长综合，待定系数法求解析式，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出直线的解析式为，再得出，结合，代入，进行计算即可作答． （2）①先设，则，所以因为所以，且，化简计算，得，故当时，；②当点在轴下方时，，同理得代入得，化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 当时， ， 将点分别代入， 得 解得 抛物线的解析式为； （2）①设，则， 过点作轴的平行线，与直线交于点， 令， 解得或． ②当点在轴上方时，， 或（舍去） 当时，； ②由①得 ， 当点在轴下方时，， 点 当时，的周长最大，最大值为9． 5．（2024·广东东莞·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度运动，同时点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为秒． ①求的面积S与的函数关系式，并求S的最值； ②当的面积最大时，在第二象限的抛物线上，是否存在点E，使得，若存在，请求点E的横坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①，最大值是；②点横坐标是． 【分析】（1）将点、分别代入，解方程即可； （2）①过点作于点．利用，得．用的代数式表示出的面积，再利用二次函数的性质求最值即可； ②首先求得，设，直线的解析式为，交轴于点，解得的解析式为，得到，，利用解得：，进而得到点坐标． 【详解】（1）把点，分别代入得： ， 解得， 该抛物线的解析式为：； （2）①由题意知，，， ， 由题意得，点的坐标为， 在中，， 如图1，过点作于点． ， ， ，即， ． ∵， ∴， ， 当存在时，， 当时，． ，运动1秒使的面积最大，其最大面积是； ②存在；理由如下： 由①知， ， ， 设，直线的解析式为，交轴于点， 代入得：， 解得：， 的解析式为， 令，则， 则， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴点横坐标是． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，二次函数的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（2024·广东惠州·模拟预测）综合运用 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D，E，F三点，连接．若与相似，求t的值． (3)如图2，过点C作轴，交抛物线于点G，将抛物线在点G右下方的图象沿直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线与新的图象只有2个公共点时，请求出n的值． 【答案】(1) (2)t的值为4或3 (3)n的值为1或 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数的解析式，以及与轴的交点，计算即可作答． （2）先表示，分类讨论且作图，即和，然后根据相似三角形的性质列式计算，即可作答． （3）进行分类讨论且作图，运用数形结合思想，则①发现当直线经过点G或当直线与抛物线只有一个公共点时，建立，运用判别式的意义列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C． ∴令， ∴ 结合图象，得出 （2）解：如图： ∵点F是直线与抛物线的交点， ∴ 当时， 则， ∴ ∵， ∴ 解得 (舍去)或 当时， 过点作轴于点T ∵ ∴ 又， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 解得 (舍去)或 综上所述，t的值为4或3 （3）解：由点C的坐标为， ∵ ∴对称轴 ∵过点C作轴，交抛物线于点G ∴点G的坐标为 如图： 画出直线， 通过平移直线，得到直线 ①发现当直线经过点G时， 直线与新图象只有2个公共点． 将点代入， 得 解得； ②当直线与抛物线只有一个公共点时， 直线与新图象只有2个公共点． 令 化简得 ∴ 解得 综上所述，n的值为1或 7．（2024·广东中山·模拟预测）已知抛物线，经过平面直角坐标系中的A、B、C三点，，，． (1)如图1，外接圆记作，则 度； (2)如图2，连接，点P是位于上方的抛物线的一动点，过P作x轴的垂线交于点E，交x轴于F点，当时，求P点的坐标； (3)如图，过M作于点N，是否存在P点，使得？若存在，求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)45 (2) (3)存在，点P的横坐标为和 【分析】（1）由点、的坐标知，，则，即可求解； （2）首先求出抛物线解析式为，直线解析式为，设，则，过作于点，然后表示出，，即可求解； （3）表示出，，则，即可求解． 【详解】（1）由点、的坐标知，， 则， ， 则， 故答案为：45； （2）设抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线解析式为， 由点、的坐标得，直线解析式为， 设，则， ， ，，轴， ，，， 过作于点， 则， ， 则，， ，即， 解得：， 则点； （3）点， ，， 则， 解得， 点的横坐标为和． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及到圆的基本性质、面积的计算、等腰三角形的性质等，综合性强，难度适中． 8．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的图像与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是分类讨论思想的运用． （1）分别将，代入抛物线解析式与直线的解析式，即可得解； （2）过点作轴，交直线于点，设点，则点，得到，，结合，当t＝2时，取最大值，求得； （3）分两种情况：当是平行四边形的一条边时，当是平行四边形的对角线时，分别解答即可得解． 【详解】（1）解：将，代入直线得： ， 解得：， 故直线的解析式为：； 将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）如图，过点作轴，交直线于点， 由题意设点，则点， ， ， ， 当时，取最大值， 此时； （3）在抛物线：中，令，则；在直线：中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， 综上，点的坐标为或或或． 9．（2024九年级下·江苏盐城·专题练习）定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是 ； (2)如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； (3)在（2）的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点、，使得以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，菱形的性质，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键． （1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上； （2）根据“梦之点”的定义和二次函数的解析式，求得，的坐标；根据二次函数的顶点式，求出抛物线的顶点，点的坐标，抛物线的对称轴，根据，即可求得答案； （3）设，由以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案． 【详解】（1）∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴设矩形的“梦之点”为，满足，， ∴点，，中，是矩形“梦之点”为点，． 故答案为：，． （2）∵，是抛物线上的“梦之点” ∴点，是直线上的点， ∴， ∴，， ∴，； ∵， ∴二次函数的顶点，二次函数的对称轴为， 设抛物线的对称轴交于， ∴， ∴ ∴ ． （3）存在，理由如下： 设， ∵以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形， ∴， ∴， 解得：， 当，， ∴点； 当，， ∴点； 综上所述，点的坐标为：或者． $$ 第三章 函数 第13讲 二次函数的综合应用（8~12分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一：二次函数的应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次函数的应用 ►题型01 图形问题 ►题型02 拱桥问题 ►题型03 最大利润/销量问题 ►题型04 球类飞行轨迹 ►题型05 喷泉问题 ►题型05 增长率问题 命题点二 二次函数的综合问题 ►题型01 线段、周长问题 ►题型02 面积问题 ►题型03 角度问题 ►题型04 特殊三角形问题 ►题型05 特殊四边形问题 ►题型06 相似三角形与二次函数综合 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 二次函数的应用 · 能用二次函数解决实际问题 10年7考 二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建议二次函数模型; 而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 命题点一 二次函数的应用 ►题型01 图形问题 1．（2024·广东东莞·三模）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为． (1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？ (2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积． 2．（2024·广东·二模）（1）求边长为的等边三角形的面积； （2）小明将一根长为的绳子剪成2段，分别围成两个等边三角形．问：如何剪才能够使得这两个等边三角形的面积和最小？最小面积和为多少？ 3．（2024·广东佛山·二模）综合应用 如图，等边三角形的边长为a，点D，E，F分别是边，，上的动点，且满足，连接，，．    (1)证明：； (2)设的长为x，的面积为y，求出y与x的函数表达式（用含a的式子表示）； (3)在（2）的条件下，当时，y有最小值，画出y与x的函数图象． ►题型02 拱桥问题 4．（2024·广东·模拟预测）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点C 到的距离是， 以所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系． (1)根据题意，填空： ①顶点C 的坐标为 ； ②点B 的坐标为 (2)求抛物线的解析式． (3)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离l(单位：m) 随时间t(单位：h)的变化满足函数关系，且当点C到水面的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明，在这一时段内，有多少小时禁止船只通行？ 5．（2024·广东·模拟预测）素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的解析式． (2)这艘货船能否安全过桥？ (3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 6．（2024·广东深圳·模拟预测）拱桥造型优美，是中国最常用的一种桥梁形式．现在某地，有一座拱桥，跨度为，拱顶C离地面高，拱桥的形状是一条抛物线； (1)以的中点为坐标原点，如图建立坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施； (3)某人在拱顶C处踢一足球，足球最高点位置距人水平距离为，竖直距离为，已知足球的运动轨迹为一条抛物线，请问足球会落在桥上吗？ ►题型03 最大利润/销量问题 7．（2025·广东·模拟预测）广东某镇盛产的荔枝远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克元的该荔枝，以不低于成本价且不超过每千克元的价格销售．当每千克售价为元时，每天售出荔枝；当每千克售价为元时，每天售出荔枝，通过分析销售数据发现：每天销售荔枝的数量与每千克售价(元)满足一次函数关系， (1)请直接写出与的函数关系式； (2)超市将该荔枝每千克售价定为多少元时，每天销售该荔枝的利润可达到元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 8．（2024·广东深圳·模拟预测）食品安全是民生工程、民心工程．2024年的报道了多家预制菜制作不规范，存在使用未经严格处理的槽头肉来制作菜品，严重侵害了消费者权益．某食品网店以此为警钟，准备从正规渠道购进A、B两种类型的速食餐进行售卖．已知每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等． (1)求A、B两种速食餐的进价分别是每份多少元？ (2)该网店计划购进A类速食餐若干份．试销时发现，A类速食餐销售量y（份）与每份售价m（元）的关系为，若要求A类速食餐每份的利润率不低于，那么该公司将A类速食餐售价为多少时，获得的利润为W最大？最大值为多少？ 9．（2024·广东广州·三模）第135届春季广交会于2024年4月15日—5月5日在琶洲广交会展馆举行．某公司用5万元研发的一批文创产品，在本届广交会中参展销售．已知生产这种产品的成本为3元/件，在销售过程中发现；销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．设公司销售这种文创产品的利润为W（万元）． (1)求出y（万件）与销售价格x（元/件）的函数解析式； (2)求出这种文创产品的利润W（万元）与x（元/件）的函数解析式，并求出当售价定多少时，利润最大？是多少？ ►题型04 球类飞行轨迹 10．（2024·广东揭阳·模拟预测）如图是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机，是其弹射出口，能将羽毛球以固定的方向和速度大小弹出羽毛球在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状如图所示设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为（米）与地面的高度为（米），与的部分对应数据如表所示． （米） （米） (1)求关于的函数表达式，并求出羽毛球的落地点到发球机点的水平距离． (2)为了训练学员的后场应对能力，需要改变球的落地点，可以通过调整弹射出口的高度来实现此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加米，则发球机的弹射口高度应调整为多少米？ 11．（2024·广东东莞·模拟预测）爱思考的小芳在观看女子排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，于是她和同学小华一起进行了实践探究． 经实地测量，可知排球场地长为18m，球网在场地中央且高度为2.24m．建立如图所示的平面直角坐标系，A为击球点．记排球运动过程中距地面的竖直高度为y（单位：m），距击球点的水平距离为x（单位：m）．    小华第一次发球时，测得y与x的几组数据如下表： 水平距离x/m 0 4 6 8 11 12 竖直高度y/m 2 2.71 2.8 2.71 2.24 2 (1)根据表格数据，求排球运动过程中距地面的竖直高度y与距击球点的水平距离x满足的函数表达式． (2)通过计算，判断小华这次发球能否过网，并说明理由． (3)小华第二次发球时，假设她只改变击球点高度，排球运动轨迹的形状及对称轴位置不变，在点O处上方击球，既要过球网，又不出边界（排球压线属于没出界）时，求小华的击球点高度h（单位：m）的取值范围． 12．（2024·广东深圳·模拟预测）数学活动：如何提高篮球运动罚球命中率—以小华同学为例活动背景：某学校体育节进行班级篮球比赛，在训练过程中发现小华同学罚球命中率较低，为帮助小华同学提高罚球命中率，该班数学小组拍摄了如下图片并测量了相应的数据（图片标注的是近似值）． (1)模型建立：如图所示，直线AE是地平线，A为小华罚球时脚的位置，篮球在运动过程中B、D、F为篮球的三个不同位置，B点为球出手时候的位置．已知，篮球运动轨迹是抛物线的一部分，数学小组以A、B、C、D、E、F中的某一点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，计算出篮球的运动轨迹对应的抛物线解析式为，根据解析式，请你判断该数学小组是以点　　　（填A、B、C、D、E、F中的一个）作为坐标原点． (2)问题解决：已知篮球框与罚球线水平距离为4米，距离地面为3米，请问在（1）的情况下，小华的这次罚球能否罚进？并说明理由． (3)模型应用：如下图所示为抛物线的一部分函数图象，抛物线外一点，试通过计算说明在不改变抛物线形状的情况下，把原抛物线向上平移多少个单位，能使平移后的抛物线经过点P． ►题型05 喷泉问题 13．（2024·广东深圳·模拟预测）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 14．（2024·广东深圳·三模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米． （米） 0 1 2 3 4 （米） 根据上述信息，解决以下问题： (1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象； (2)若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______； (3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为米，顶棚到湖面的高度为米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求．（结果保留一位小数）． 15．（2024·河南平顶山·二模）图是某广场中的一个景观喷泉，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中间立柱近似看作一条线，以其为轴建立如图所示直角坐标系，已知中间立柱顶端到水面的距离为，喷水头恰好是立柱的中点，若水柱上升到最高点时，到水面的距离为，到中间立柱的距离为． (1)求图中第一象限内抛物线的函数表达式． (2)为了使水落下后全部进入水池中，请判断圆形水池的直径不能小于多少米？ ►题型05 增长率问题 16．（2021·重庆沙坪坝·一模）中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 17．（2021·江苏盐城·一模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 18．（2019·山东东营·一模）为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元. （1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？ （2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？ 命题点二 二次函数的综合问题 ►题型01 线段、周长问题 19．（2025·广东·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值． 20．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且，直线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在抛物线上，满足，求点D的坐标； (3)如图2，设抛物线的顶点为T，直线与抛物线交于点E，F（点E在点F左侧），G为的中点，求的值． 21．（2024·广东清远·模拟预测）如图，直线与x轴、y 轴分别交于点B，A，抛物线经过点A，B，其顶点为C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积； (3)点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D，求线段的最大值及此时点P的坐标． ►题型02 面积问题 22．（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限内抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由； (3)若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点A、B、D的圆与交于E点，求的面积． 23．（2024·广西南宁·二模）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且自变量的部分取值与对应函数值如下表： 0 1 2 3 0 3 4 3 0 (1)求二次函数的表达式； (2)如图，连接，在直线上方抛物线上是否存在一点，当点运动到什么位置时，的面积最大？求出此时点的坐标和的最大面积．    (3)将线段先向右平移1个单位，再向上平移6个单位，得到线段，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 24．（2024·广东东莞·一模）如图1，抛物线经过点，，矩形的点A，D在x轴上，B，C在抛物线上，． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点B，C的坐标； (3)如图2，垂直于的直线m从底边出发，以每秒的速度沿方向匀速平移，分别交折线，，于M，N，H，当直线m到达点E时，停止运动，连接，，设运动时间为t秒，的面积记为y，请用t表示y，写出t的相应的取值范围，并求y的最大值． ►题型03 角度问题 25．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D (1)求二次函数的解析式； (2)P为直线上方抛物线上一点，求面积最大值及P点坐标； (3)P为第四象限抛物线上一点，且，求出点P的坐标； 26．（2024·广东东莞·三模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求E，F两点间距离的最大值； (3)如图2，连接，在抛物线上存在点Q，使，请直接写出符合题意的点Q坐标． 27．（2024·广东清远·模拟预测）综合探究 如图，在中，，经过点C的直线交x轴正半轴于点，一抛物线经过点A、B、C，顶点为D，对称轴交x轴于点E． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)若点G是在第一象限内抛物线上的一动点，求使面积达到最大时点G的坐标，并求出此时面积的最大值； (3)若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ►题型04 特殊三角形问题 28．（2024·广东·模拟预测）综合探究 如图（1）所示，在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点A在y轴正半轴上，顶点B，C，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，且轴，与y轴交于点E，． (1)求的长． (2)求a的值． (3)如图（2）所示，F是射线上的一动点，点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转得点，当是直角三角形时，求的长． 29．（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点 A．C(点 A 在点 C的右侧)．与y轴交于点 B．直线经过点A，B． (1)求A，B，C 三点的坐标及直线的表达式． (2)P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点 Q，设点 P 的横坐标为．的长为 L． ①求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围； ②若与交于点D， 求 m的值． (3)设抛物线的顶点为M，问在y轴上是否存在一点 N，使得为直角三角形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（2024·广东东莞·模拟预测）如图1，抛物线与x 轴交于点和点B，与 y 轴交于点C，连接，已知，点M是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P，与线段相交于点Q，点N 是抛物线的对称轴上的点，且满足，求点N 的坐标． (3)如图3，连接，点D 是线段上的一个动点，过点D 作交于点E，于 点F， 连接．当面积最大时，求此时点D的坐标． ►题型05 特殊四边形问题 31．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线过点，． (1)求直线的函数解析式； (2)设点在上，抛物线G：与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点． ①当时，试用含的代数式表示四边形的面积； ②当，，中有两点与点，围成的四边形是平行四边形时，求的函数解析式． 32．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，其中，，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)将沿直线平移，平移后的三角形为（其中点与点不重合），点是坐标平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 33．（2024·广东汕头·模拟预测）综合运用． 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后，得到，且点，，刚好在抛物线的图图象上，连接并延长交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若与关于轴对称，连接，，猜想四边形是什么特殊四边形，并说明理由； (3)把抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，，分别是两抛物线的顶点，为直线上的一动点．当是直角三角形时，求点的坐标． ►题型06 相似三角形与二次函数综合 34．（2024·广东河源·一模）如图，已知抛物线与轴交于点，且经过点，过点作轴的平行线，交轴于点，交抛物线于点，点是抛物线在第一象限内的一动点，过点作轴，垂足为． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)点N是x轴上的一点，当与相似时，求n的值． 35．（2024·广东惠州·一模）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B．    (1)求k的值及抛物线的解析式． (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，当时，求D点的坐标； (3)如图2，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为． ①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 36．（2024·广东汕头·三模）如图1，抛物线和直线交于A，两点，过点作直线轴于点． (1)求的度数． (2)如图2，点从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．以为边作矩形，使点在直线上． ①当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上． 基础巩固 1．（2024·广东汕头·一模）某企业设计了一款工艺品，每件成本是50元，为了合理定价，投入市场进行式销，据调查，销售单价是100元时，每天销售量是50件，而销售单价每降低 1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，设销售单价元，销售利润元． (1)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (2)该企业要使每天的销售利润不低于4000元，求出销售单价的取值范围？ 2．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 3．（2022·广东茂名·二模）我市某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，发现销售单价为30元/件时，每天的销售量为500件；销售单价为40元/件时，每天的销售量400件．设销售单价为x元/件，每天的销售量为y件． (1)已知x、y的值满足一次函数关系，请求出y与x的函数关系式； (2)物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件．销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 4．（2023·广东广州·一模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻．广州市南沙区是典型的“水乡”，万里珠江在此奔腾入海，辖域里已有的和正在建设的各式桥梁把南沙从曾经的“孤岛”连成了粵港澳大湾区的中心，助南沙货物流转、人才集聚、便民宜居．中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥．如图①所示，赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为米，拱高（拱顶点到弦的距离）约为米．        (1)某桥主桥拱是圆弧形（如图①中），已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是______； (2)某桥的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽，拱顶（抛物线顶点）距离水面，求桥拱抛物线的解析式； (3)如图③，某时桥和桥的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度． 5．（2023·广东肇庆·一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求的面积最大值． 6．（2022·广东中山·一模）如图，抛物线L1经过坐标原点和点A（﹣2，0），其顶点B的纵坐标为﹣2，点M的坐标为（m，0）（m＞0），将抛物线L1绕点M旋转180°得到抛物线L2，点A对应点为点C，点B对应点为点D． (1)求抛物线L1的表达式； (2)试用含m的代数式表示出点D的坐标，并直接写出抛物线L2的表达式； (3)若直线y＝t（t为常数）与抛物线L1、L2均有交点，请直接写出t的取值范围； (4)连接OB，若四边形ABCD的面积为△AOB面积的20倍，求此时m的值． 能力提升 1．（2024·广东·模拟预测）科学研究表明：一般情况下，在一节的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，在时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间满足关系；以后，学生的注意力指数y与时间的图象呈抛物线形，到第时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束． (1)当时，注意力指数y为 ，8min以后，学生的注意力指数y与时间x(min)的函数关系式是 ； (2)若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长（精确到）？ (3)现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题(精确到；参考数据)？ 2．（2024·广东·模拟预测）某网店以35元/件的进价购进一批纪念品，当售价为60元/件时，第一天销售了25件．该纪念品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． (1)求日销售量的平均增长率． (2)由于新款纪念品的推出，原来旧款纪念品的销量受到影响，为了尽快减少库存，该网店打算将旧款纪念品降价销售．经调查发现，每降价1元，每天可在第三天销售量的基础上多销售4件，那么将旧款纪念品的售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 3．（2024·广东深圳·模拟预测）“昔日荔枝进长安，今朝草莓遍三秦．”行走在秦岭脚下的长安区，随处可见成片的草莓种植大棚．其中一种植户雷莹借助现有地势，将大棚的一端固定在离地面2米高的墙体的端点外，另一端固定在离地面1米高的墙体的端点处，墙体均垂直于水平面．测得两墙体之间的水平距离为4米，且大棚横截面顶部为抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足：．    请根据以上信息解决下列问题： (1)求大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系式． (2)雷芗家大棚的最高处到地面的距离为 ； (3)现要对入口处进行加固，如图所示： 方式一：雷莹在距离墙体左侧1米处垂直地面放置一根管材，管材一端固定在地面上，另一端点刚好能支撑在大棚主体钢架（抛物线段）上，用角铁固定另一根管材，使，且管材的另一端固定在墙体上； 方式二：在距离墙体等距（即中点）处以相同的方式放置管材．已知两种方式都等起到加固的作用，请通过计算说明，哪种方式所使用的管材更少？ 4．（2024·广东·模拟预测）综合探究 如图，在平面直角坐标系中．直线与抛物线交于两点，点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线，与直线交于点C．连接，设点的横坐标为． ①若点在轴上方，当为何值时，； ②若点在轴下方，求周长的最大值． 5．（2024·广东东莞·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度运动，同时点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为秒． ①求的面积S与的函数关系式，并求S的最值； ②当的面积最大时，在第二象限的抛物线上，是否存在点E，使得，若存在，请求点E的横坐标，若不存在，说明理由． 6．（2024·广东惠州·模拟预测）综合运用 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D，E，F三点，连接．若与相似，求t的值． (3)如图2，过点C作轴，交抛物线于点G，将抛物线在点G右下方的图象沿直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线与新的图象只有2个公共点时，请求出n的值． 7．（2024·广东中山·模拟预测）已知抛物线，经过平面直角坐标系中的A、B、C三点，，，． (1)如图1，外接圆记作，则 度； (2)如图2，连接，点P是位于上方的抛物线的一动点，过P作x轴的垂线交于点E，交x轴于F点，当时，求P点的坐标； (3)如图，过M作于点N，是否存在P点，使得？若存在，求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 8．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2024九年级下·江苏盐城·专题练习）定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是 ； (2)如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； (3)在（2）的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点、，使得以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． $$