第2讲 圆柱和圆锥的体积（八大考点）-2024-2025学年六年级下册数学考点剖析及分层精练（北师大版）

考点剖析及分层精练 第2讲 圆柱和圆锥的体积 学习目标： 1、经历“类比猜想一验证说明”来探索圆柱体积计算方法的过程，渗透转化的思想方法。 2、掌握圆柱体积的计算方法，能正确计算圆柱的体积，并会解决一些简单的实际问题。 3、经历“类比猜想一验证说明”来探索圆锥体积计算方法的过程，渗透类比的思想方法。 4、掌握圆锥体积的计算方法，能正确计算圆锥的体积，并会解决一些简单的实际问题。 重点难点： 重点：（1）通过圆柱与长方体的“类比”，经历“猜想与验证”探索圆柱体积计算方法的过程，体会“类比”的数学思想方法。 （2）结合具体情境了解圆锥的体积的意义，经历探索圆锥的体积的计算方法的过程。 难点：（1）通过具体情境观察，实物感知等活动，感受物体体积的大小，发展空间观念； （2）掌握圆柱体积的计算方法，能正确计算圆柱的体积，能运用圆柱的体积计算方法解决简单的实际问题。（3）采用“类比猜想--验证说明”的方式来探索圆锥的体积计算公式，能准确地掌握圆锥的体积计算方法，会正确计算圆锥的体积，并能解决一些简单的实际问题。 知识点一圆柱的体积计算公式 1、圆柱体积计算公式的推导。 圆柱的体积和拼成的长方体的体积相等，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。 长方体的体积=底面积×高 圆柱的体积=底面积×高 如果V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱的高，那么圆柱的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 知识点二圆柱型容器的容积 1、圆柱形容器的容积=圆柱形容器内部的底面积×内部的高，当容器壁的厚度忽略不计时，容器的体积等于容积。 知识点三圆柱的体积计算公式的应用 1、圆柱体积的求法：①已知底面积和高，圆柱的体积V=Sh；②已知底面半径和高，圆柱的体积 V=πr2h；③已知底面直径和高，圆柱的体积 V=π()2h；④已知底面周长和高，圆柱的体积 V=π()2h。 知识点四圆锥的体积计算公式 1、圆锥的体积计算公式。 圆锥的体积=底面积×高×，圆锥的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 知识点五圆锥体积公式的应用 1、圆锥体积的求法：①已知底面积和高，圆锥的体积V=Sh；②已知底面半径和高圆锥的体积 v=πr2h；③已知底面直径和髙，圆锥的体积 V=π()2h；④已知底面周长和高，圆锥的体积 V=π()2h。 考点01 圆柱的体积 1．如图，将一个底面半径为1厘米的圆柱的侧面展开后正好是一个正方形，则圆柱的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 2．尊老爱幼自古以来都是我们中华民族的传统美德。为了弘扬这一美德，阳光小学开展了“我为家人做件事”活动，活动中佳佳自己动手给奶奶做了一个圆柱形护颈枕。护颈枕的底面半径为8cm，长50cm。佳佳做的护颈枕的体积是( )cm3。 3．一根圆柱形钢管如图所示（中空），它所用钢材的体积是 cm3。（单位：cm） 考点02 圆柱的容积 4．修一个底面周长是25.12米，深是3米的圆柱形蓄水池，这个蓄水池的占地面积是( )平方米，它最多能蓄水( )立方米。 5．一个圆柱形容器，从里面量，底面直径是10cm，高是5cm，它的容积是( )mL。 6．一个圆柱形的玻璃鱼缸，从里面量底面直径是20cm，高是30cm，这个鱼缸的容积是( )cm3。如果把4.71L水倒入这个鱼缸内，那么鱼缸内水深( )cm。 考点03 圆柱与圆锥体积的关系 7．等底等高的圆柱比圆锥的体积多，这个圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 8．一个圆柱和一个圆锥等底等高，如果圆柱的体积是48m3，那么圆锥的体积是( )m3；如果圆锥的体积是2.4dm3，那么圆柱的体积是( )dm3。 9．把一段高3.3m，底面半径2m的圆柱形钢材切削成一个与它等底等高的圆锥，这个圆锥的体积是( )m3，切削掉的部分熔化后还可以组成( )个同样的圆锥。 考点04 圆锥的体积或容积 10．如图，先将甲容器注满水，再将水倒入乙容器，这时乙容器中的水高( )厘米。 11．一堆煤呈圆锥形，底面直径是2米，高是1.5米。已知每立方米的煤约重1.2吨，这堆煤约重( )吨。 12．如图是一瓶已经喝了一些的果汁和一个圆锥形玻璃环，如果把瓶中的果汁倒入这个圆锥形玻璃杯中，那么可以倒满( )杯。（单位：cm） 考点05 体积的等积变形 13．一个高为8厘米的圆柱形容器装满了水，把水倒入与它等底的圆锥形容器中，刚好装满，圆锥形容器的高是( )厘米。 14．把一块体积是78.5立方厘米的长方体钢块，熔铸成一个底面周长是6.28厘米的圆锥。这个圆锥的高是( )厘米。（π取3.14） 15．把一个棱长是8分米的正方体钢胚锻造成一个高是16分米的圆柱形钢体，则这个圆柱形钢体的底面积是( )平方分米。 考点06 立体图形的切拼 16．把一根长3m的圆柱形钢材截成两段，表面积增加18.84m2，原来这根钢材的体积是( )m3。 17．把一个长8m的圆柱截成4个小圆柱，表面积比原来增加了，这个圆柱原来的体积是( )。 18．把一个圆锥从顶点沿高将它切开分成两半后，表面积增加了24cm2，已知圆锥的底面半径为4cm，那么这个圆锥的体积是( )。 考点07 组合图形的体积 19．计算下面图形的体积。（图中单位：cm） 20．求下面物体的体积。 21．求下面立体图形的体积。（单位：m） 考点08 不规则物体的体积 22．琳琳不小心将石头扔进了一个底面半径为6厘米的圆柱形容器里。如图，浸入石头后水深为4厘米，拿出石头后水深为3厘米，这块石头的体积是多少？ 23．一个底面内直径是8分米的圆柱形无盖铁桶，高6分米。 （1）做这个铁桶需要多少铁皮？ （2）铁桶装有高为3分米的水，放入一个底面半径是2分米的圆锥后，水面上升6厘米，这个圆锥的高是多少分米？ 24．小丁为了测量一个鸡蛋的体积，按以下步骤进行实验： 步骤一：拿一个圆柱形状的玻璃杯，从里面量得底面直径是长8厘米，高15厘米； 步骤二：把鸡蛋放入玻璃杯，然后倒入一定量的水后，使鸡蛋完全浸入水中，这时水面高8厘米； 步骤三：将这个鸡蛋取出，量得水面的高度是7厘米。 根据以上信息，请你计算这个鸡蛋的体积。 基础试炼 一、填空题 1．一个圆锥形的沙堆，占地面积是10.5，高是0.9m，这堆沙的体积是( )，如果每立方米的沙重1.7t，这堆沙的质量为( )t。 2．一个圆柱的底面直径和高都是6，这个圆柱的侧面积是( )，体积是( )，和它等底等高的圆锥体积是( )。 3．等底等高的圆柱和圆锥，已知圆锥的体积比圆柱少96立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 4．将一个容积为15升的圆柱形塑料桶盛满水，再把一个与它等底等高的实心圆锥倒放入桶中，此时桶中还剩( )升水。 5．如图，把一个棱长是6分米的正方体木料削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是( )立方分米；再将圆柱削成一个最大的圆锥，还要再削去( )立方分米。 6．把一个底面直径是20厘米的圆柱沿直径竖直切成两半，表面积比原来增加了400平方厘米，原来这个圆柱的底面积是( )，体积是( )。 7．把一个底面半径为3dm、高20cm的圆柱平均分成若干份，拼成近似的长方体，长方体的表面积增加了( )dm2，体积是( )dm3。 8．一个圆柱的底面积不变，高增加5cm，体积就增加62.8cm3，这个圆柱的底面积是( )cm2。 9．有大小两种玻璃球，放入装有同样多水的圆柱形容器中（如图）。 (1)大球的体积是( ) cm3。 (2)大球与小球的体积之比是( ) (3)图4水的高度是( ) cm。 10．亮亮家为了节省空间，设计了一个如下图所示的门，这个门旋转一周形成的立体图形的体积是( )m3。 二、选择题 11．大小两个圆柱的底面周长比是5∶4，高的比是4∶5，那么大圆柱与小圆柱的体积比为（    ）。 A．25∶16 B．16∶25 C．5∶4 D．4∶5 12．一瓶葡萄酒，瓶子的容积是1050mL，瓶子中酒高15cm。淘淘把瓶口拧紧倒置放平，这时瓶中空出的高度为6cm。瓶中有（    ）毫升葡萄酒。 A．950 B．750 C．800 D．850 13．笑笑拿来一个直径是10cm，高是12cm的圆柱形水杯，她往里面放了5cm高的水，求杯子中水的体积的正确列式是（    ）。 A． B． C． 14．在长0.6米的圆柱形钢柱上，用一根长314厘米的铁丝正好沿钢柱绕一圈，这根钢柱的体积是（    ）立方分米。 A．47.1 B．471 C．4710 D．1884 15．一根长15分米的圆柱体圆钢，平均截成三段成为3个小圆柱体，则表面积增加了16π平方分米。这根圆钢原来的体积是（    ）立方分米。 A．120π B．240π C．60π 16．建筑工地上有一个圆锥形沙堆，底面半径是2米，高是1.5米。这堆沙的体积是多少立方米。（    ） A．18.84立方米 B．12.56立方米 C．6.28立方米 D．3.14立方米 17．一个圆柱与一个圆锥体积的比是4∶3，底面半径的比是2∶1，则圆柱与圆锥高的比是（    ）。 A．1∶3 B．2∶3 C．1∶9 D．8∶3 18．一堆圆锥形沙土，底面直径是6米，高是2米，用这堆沙土在4米宽的路上铺3厘米厚的路面，能铺（    ）米。 A．100.48 B．125.6 C．157 D．188.4 19．下图中3个图形的体积比是（    ）。 A．3∶9∶1 B．1∶9∶1 C．1∶3∶1 D．3∶1∶1 20．下列容器中（    ）的容积最大，（    ）的容积最小。 A．AD B．BD C．CA D．AB 三、计算题 21．求如图（单位：厘米）圆柱的体积。 22．计算下图的体积。 高阶突破 四、解答题 23．把一瓶2升的可乐倒入底面周长是18.84厘米，高10厘米的圆柱形玻璃杯中（杯壁厚度忽略不计），最多能倒满多少杯？ 24．在地面挖一个圆柱形水池，底面周长为62.8m，要使池内存水量为2512，水池至少要挖多深？ 25．一瓶白酒瓶上写着含量500mL，若将这瓶酒倒入一个底面直径为6cm，高为20cm的圆柱形容器中，能不能倒满？请计算说明。 26．万老师有一个圆柱形茶杯，杯身上有一圈12cm高的防烫带（如图）。 （1）这圈防烫带的面积是多少平方厘米？ （2）这个茶杯的容积是多少毫升？（茶杯的厚度忽略不计） 27．如图，一根长6米的圆木，如果把它截成三段，表面积就增加942平方厘米。原来这根圆木的体积是多少立方米？ 28．一种玩具——陀螺，上面是圆柱，下面是圆锥。经过测试，当圆柱直径为3厘米，高为4厘米，圆锥的高是圆柱高的时，旋转时稳又快。陀螺的体积是多少立方厘米？ 29．沙漏又称沙钟，是一种计量时间的装置。如图是一个沙漏记录时间时的示意图。 （1）沙漏上部分的沙子近似于一个圆锥，根据示意图，求出沙漏上部分沙子的体积。 （2）沙漏下部分沙子的体积是185.26立方厘米，如果再过1分钟，沙漏上部分的沙子就可以全部漏到下部，那么现在已经计量了多少分钟？ 30．芒种是二十四节气中的第九个节气，这时候，小麦成熟收割。某镇农科所的一块小麦实验田收获的小麦堆成了圆锥形（如图所示）。 （1）这个麦堆的体积是多少立方米？ （2）如果每立方米小麦重650千克，这堆小麦重多少千克？ （3）这块试验田共有1.3公顷麦地，平均每公顷产小麦多少千克？ （4）如果每千克小麦售价为7.8元，这些小麦能卖多少钱？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点剖析及分层精练 第2讲 圆柱和圆锥的体积 学习目标： 1、经历“类比猜想一验证说明”来探索圆柱体积计算方法的过程，渗透转化的思想方法。 2、掌握圆柱体积的计算方法，能正确计算圆柱的体积，并会解决一些简单的实际问题。 3、经历“类比猜想一验证说明”来探索圆锥体积计算方法的过程，渗透类比的思想方法。 4、掌握圆锥体积的计算方法，能正确计算圆锥的体积，并会解决一些简单的实际问题。 重点难点： 重点：（1）通过圆柱与长方体的“类比”，经历“猜想与验证”探索圆柱体积计算方法的过程，体会“类比”的数学思想方法。 （2）结合具体情境了解圆锥的体积的意义，经历探索圆锥的体积的计算方法的过程。 难点：（1）通过具体情境观察，实物感知等活动，感受物体体积的大小，发展空间观念； （2）掌握圆柱体积的计算方法，能正确计算圆柱的体积，能运用圆柱的体积计算方法解决简单的实际问题。（3）采用“类比猜想--验证说明”的方式来探索圆锥的体积计算公式，能准确地掌握圆锥的体积计算方法，会正确计算圆锥的体积，并能解决一些简单的实际问题。 知识点一圆柱的体积计算公式 1、圆柱体积计算公式的推导。 圆柱的体积和拼成的长方体的体积相等，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。 长方体的体积=底面积×高 圆柱的体积=底面积×高 如果V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱的高，那么圆柱的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 知识点二圆柱型容器的容积 1、圆柱形容器的容积=圆柱形容器内部的底面积×内部的高，当容器壁的厚度忽略不计时，容器的体积等于容积。 知识点三圆柱的体积计算公式的应用 1、圆柱体积的求法：①已知底面积和高，圆柱的体积V=Sh；②已知底面半径和高，圆柱的体积 V=πr2h；③已知底面直径和高，圆柱的体积 V=π()2h；④已知底面周长和高，圆柱的体积 V=π()2h。 知识点四圆锥的体积计算公式 1、圆锥的体积计算公式。 圆锥的体积=底面积×高×，圆锥的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 知识点五圆锥体积公式的应用 1、圆锥体积的求法：①已知底面积和高，圆锥的体积V=Sh；②已知底面半径和高圆锥的体积 v=πr2h；③已知底面直径和髙，圆锥的体积 V=π()2h；④已知底面周长和高，圆锥的体积 V=π()2h。 考点01 圆柱的体积 1．如图，将一个底面半径为1厘米的圆柱的侧面展开后正好是一个正方形，则圆柱的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】45.7184 19.7192 【分析】底面直径为1厘米的圆柱侧面展开图是正方形，则圆柱的高也是底面圆周长，则圆柱侧面积＝，圆柱表面积＝圆柱侧面积＋底面圆面积×2；圆柱体积＝，据此可得出答案。 【解答】根据题意得：圆柱底面圆周长（厘米），则这个圆柱的高为6.28厘米； 圆柱表面积为： （平方厘米） 圆柱体积为： ＝3.14×6.28 ＝19.7192（立方厘米） 2．尊老爱幼自古以来都是我们中华民族的传统美德。为了弘扬这一美德，阳光小学开展了“我为家人做件事”活动，活动中佳佳自己动手给奶奶做了一个圆柱形护颈枕。护颈枕的底面半径为8cm，长50cm。佳佳做的护颈枕的体积是( )cm3。 【答案】10048 【分析】已知护颈枕是一个底面半径为8cm、长50cm的圆柱体，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求出护颈枕的体积。 【解答】3.14×82×50 ＝3.14×64×50 ＝200.96×50 ＝10048（cm3） 佳佳做的护颈枕的体积是10048cm3。 3．一根圆柱形钢管如图所示（中空），它所用钢材的体积是 cm3。（单位：cm） 【答案】20096 【分析】通过图可知，这根钢管的中间是空的，相当于一个大圆柱里面挖掉了一个小圆柱。根据圆柱的体积公式：，用直径为20cm的大圆柱体积减去直径为12cm的小圆柱体积即可解答。 【解答】3.14×[（20÷2）2－（12÷2）2]×100 ＝3.14×[102﹣62] ＝3.14×[100﹣36]×100 ＝3.14×64×100 ＝200.96×100 ＝20096（cm³） 所以它所用钢材的体积是20096cm³。 【点评】本题主要考查圆柱的体积公式，熟练掌握圆柱的体积并灵活运用。 考点02 圆柱的容积 4．修一个底面周长是25.12米，深是3米的圆柱形蓄水池，这个蓄水池的占地面积是( )平方米，它最多能蓄水( )立方米。 【答案】50.24 150.72 【分析】已知圆柱形蓄水池的底面周长是25.12米，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径； 然后根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱的底面积，也就是这个蓄水池的占地面积； 再根据圆柱的体积（容积）公式V＝Sh，求出这个蓄水池的蓄水量。 【解答】圆柱的底面半径： 25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 占地面积： 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 蓄水量：50.24×3＝150.72（立方米） 这个蓄水池的占地面积是50.24平方米，它最多能蓄水150.72立方米。 5．一个圆柱形容器，从里面量，底面直径是10cm，高是5cm，它的容积是( )mL。 【答案】392.5 【分析】根据圆柱的体积公式：底面积×高，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×（10÷2）2×5 ＝3.14×25×5 ＝78.5×5 ＝392.5（cm3） 392.5cm3＝392.5mL 【点评】利用圆柱的体积公式进行解答，注意单位名数互换。 6．一个圆柱形的玻璃鱼缸，从里面量底面直径是20cm，高是30cm，这个鱼缸的容积是( )cm3。如果把4.71L水倒入这个鱼缸内，那么鱼缸内水深( )cm。 【答案】9420 15 【分析】鱼缸的容积＝底面积×高；鱼缸内水深＝水的体积÷鱼缸的底面积，据此填空。 【解答】3.14×（20÷2）2 ＝3.14×100 ＝314（cm2） 314×30＝9420（cm3） 则这个鱼缸的容积是9420cm3； 4.71L＝4710cm3 4710÷314＝15（cm） 则鱼缸内水深15cm。 【点评】此题主要考查了圆柱容积（体积）的计算，注意公式的灵活运用。 考点03 圆柱与圆锥体积的关系 7．等底等高的圆柱比圆锥的体积多，这个圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 【答案】18 6 【分析】根据圆柱的体积公式：底面积×高；圆锥的体积公式：底面积×高÷3，由此即可知道等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，知道等底等高的圆柱的体积与圆锥的体积相差（3－1）倍，由此用12除以（3－1）就是圆锥的体积，进而求出圆柱的体积。 【解答】12÷（3－1） ＝12÷2 ＝6（dm3） 6×3＝18（dm3） 这个圆柱的体积是18dm3，圆锥的体积是6dm3。 【点评】本题主要利用等底等高的圆柱的体积与圆锥的体积的关系解决问题。 8．一个圆柱和一个圆锥等底等高，如果圆柱的体积是48m3，那么圆锥的体积是( )m3；如果圆锥的体积是2.4dm3，那么圆柱的体积是( )dm3。 【答案】16 7.2 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，用圆柱的体积÷3，求出圆锥的体积；用圆锥的体积×3，即可求出圆柱的体积，据此解答。 【解答】48÷3＝16（m3） 2.4×3＝7.2（dm3） 一个圆柱和一个圆锥等底等高，如果圆柱的体积是48m3，那么圆锥的体积是16m3；如果圆锥的体积是2.4dm3，那么圆柱的体积是7.2dm3。 【点评】解答本题的关键明确等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的。 9．把一段高3.3m，底面半径2m的圆柱形钢材切削成一个与它等底等高的圆锥，这个圆锥的体积是( )m3，切削掉的部分熔化后还可以组成( )个同样的圆锥。 【答案】13.816 2 【分析】根据等底等高的圆锥的体积是圆柱的，根据圆柱的体积公式：底面积×高，代入数据，求出圆柱的体积，进而求出圆锥的体积；再用圆柱的体积减去圆锥的体积，求出消掉部分的体积；再除以圆锥的体积，即可求出还可以组成几个同样的圆锥。 【解答】3.14×22×3.3× ＝3.14×4×3.3× ＝12.56×3.3× ＝41.448× ＝13.816（m3） （3.14×22×3.3－13.816）÷13.816 ＝（3.14×4×3.3－13.816）÷13.816 ＝（12.56×3.3－13.816）÷13.816 ＝（41.448－13.816）÷13.816 ＝27.632÷13.816 ＝2（个） 【点评】利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式进行解答。 考点04 圆锥的体积或容积 10．如图，先将甲容器注满水，再将水倒入乙容器，这时乙容器中的水高( )厘米。 【答案】4 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出甲容器的体积，甲容器的水倒入乙容器，体积不变，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×（10÷2）2×12×÷[3.14×（10÷2）2] ＝3.14×25×12×÷[3.14×25] ＝12× ＝4（厘米） 【点评】利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式进行解答，关键是熟记公式，灵活运用。 11．一堆煤呈圆锥形，底面直径是2米，高是1.5米。已知每立方米的煤约重1.2吨，这堆煤约重( )吨。 【答案】1.884 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出这个圆锥形煤堆的体积，再乘1.2，即可求出这堆煤的重量。 【解答】3.14×（2÷2）2×1.5××1.2 ＝3.14×1×1.5××1.2 ＝3.14×1.5××1.2 ＝4.71××1.2 ＝1.57×1.2 ＝1.884（吨） 【点评】熟练掌握圆锥的体积公式是解答本题的关键。 12．如图是一瓶已经喝了一些的果汁和一个圆锥形玻璃环，如果把瓶中的果汁倒入这个圆锥形玻璃杯中，那么可以倒满( )杯。（单位：cm） 【答案】6 【分析】根据圆柱的体积公式：圆柱体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆柱里果汁的体积和圆锥形玻璃杯的体积，再用果汁的体积除以圆锥形玻璃杯的体积，即可解答。 【解答】3.14×（10÷2）2×（8＋8）÷[3.14×（10÷2）2×8×] ＝3.14×25×16÷[3.14×25×8×] ＝78.5×16÷[78.5×8×] ＝1256÷[628×] ＝1256÷ ＝1256× ＝6（杯） 【点评】熟练掌握和灵活运用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。 考点05 体积的等积变形 13．一个高为8厘米的圆柱形容器装满了水，把水倒入与它等底的圆锥形容器中，刚好装满，圆锥形容器的高是( )厘米。 【答案】24 【分析】根据题意可知，水的体积不变，圆柱的底面积与圆锥的底面积相等，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，由此可知，圆柱的高＝圆锥的高×，进而求出圆锥的高。 【解答】8÷ ＝8×3 ＝24（厘米） 一个高为8厘米的圆柱形容器装满了水，把水倒入与它等底的圆锥形容器中，刚好装满，圆锥形容器的高是24厘米。 14．把一块体积是78.5立方厘米的长方体钢块，熔铸成一个底面周长是6.28厘米的圆锥。这个圆锥的高是( )厘米。（π取3.14） 【答案】75 【分析】把长方体钢块熔铸成一个圆锥，体积不变，即这个圆锥的体积是78.5立方厘米。圆锥的底面周长是6.28，根据圆的周长＝2πr，用6.28除以2π即可求出圆锥的底面半径，再根据圆的面积＝πr2即可求出圆锥的底面积。最后根据圆锥的体积＝底面积×高×，用78.5除以和底面积，即可求出圆锥的高。 【解答】6.28÷3.14÷2＝1（厘米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方厘米） 78.5÷÷3.14 ＝78.5×3÷3.14 ＝235.5÷3.14 ＝75（厘米） 则这个圆锥的高是75厘米。 15．把一个棱长是8分米的正方体钢胚锻造成一个高是16分米的圆柱形钢体，则这个圆柱形钢体的底面积是( )平方分米。 【答案】32 【分析】由题意可知，锻造前后，形状改变，但体积不变，即正方体体积与圆柱体积相等。因此，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，可先计算出正方体的体积。根据圆柱体积＝底面积×高，可知圆柱底面积＝体积÷高，代入计算即可。 【解答】8×8×8÷16 ＝64×8÷16 ＝512÷16 ＝32（平方分米） 因此，这个圆柱形钢体的底面积是32平方分米。 考点06 立体图形的切拼 16．把一根长3m的圆柱形钢材截成两段，表面积增加18.84m2，原来这根钢材的体积是( )m3。 【答案】28.26 【分析】将圆柱形钢材截成两段，表面积增加了两个截面，求出一个截面面积×圆柱形钢材长即可。 【解答】18.84÷2×3 ＝9.42×3 ＝28.26（m3） 原来这根钢材的体积是28.26m3。 17．把一个长8m的圆柱截成4个小圆柱，表面积比原来增加了，这个圆柱原来的体积是( )。 【答案】56 【分析】把圆柱截成4个小圆柱，增加的表面积相当于6个底面积相加之和，用42除以6求出一个底面积，再利用圆柱的体积＝底面积×高，代入数值计算即可解答。 【解答】42÷6×8 ＝7×8 ＝56（m3） 因此这个圆柱原来的体积是56m3。 18．把一个圆锥从顶点沿高将它切开分成两半后，表面积增加了24cm2，已知圆锥的底面半径为4cm，那么这个圆锥的体积是( )。 【答案】50.24cm3 【分析】因为把一个圆锥从顶点沿高将它切开分成两半后，切面为两个三角形，所以可以算出一个切面的面积，然后根据三角形面积＝底×高÷2，即可逆推出圆锥的高，再根据圆锥的体积＝πr2h，代入数据，进行解答即可。 【解答】24÷2＝12（cm2） 12×2÷（4×2） ＝24÷8 ＝3（cm） ×3.14×42×3 ＝×3.14×16×3 ＝×50.24×3 ＝×150.72 ＝50.24（cm3） 圆锥的体积是50.24cm3。 【点评】熟练掌握圆锥的体积公式是解题的关键。 考点07 组合图形的体积 19．计算下面图形的体积。（图中单位：cm） 【答案】141.3cm3 【分析】组合体的体积＝圆柱体积＋圆锥体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此列式计算。 【解答】6÷2＝3（cm） 3.14×32×4＋3.14×32×3÷3 ＝3.14×9×4＋3.14×9×3÷3 ＝113.04＋28.26 ＝141.3（cm3） 这个组合体的体积是141.3cm3。 20．求下面物体的体积。 【答案】706.5cm3 【分析】根据题意可知，底面半径是（10÷2）cm，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h和圆锥的体积公式：V＝πr2h，分别代入数据求出圆柱和圆锥的体积，再相加即可。 【解答】 （cm3） 这个立体图形的体积是706.5cm3。 21．求下面立体图形的体积。（单位：m） 【答案】244.26m3 【分析】看图可知，这个立体图形的体积＝正方体体积＋圆柱体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆柱体积＝底面积×高，据此列式计算。 【解答】6×6×6＋3.14×（3÷2）2×4 ＝216＋3.14×1.52×4 ＝216＋3.14×2.25×4 ＝216＋28.26 ＝244.26（m3） 这个立体图形的体积是244.26m3。 考点08 不规则物体的体积 22．琳琳不小心将石头扔进了一个底面半径为6厘米的圆柱形容器里。如图，浸入石头后水深为4厘米，拿出石头后水深为3厘米，这块石头的体积是多少？ 【答案】113.04立方厘米 【分析】根据题意，把一块石头完全浸入有水的圆柱形容器中，水深为4厘米，拿出石头后水深为3厘米，水面下降（4－3）厘米，那么水下降部分的体积等于这块石头的体积；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【解答】3.14×62×（4－3） ＝3.14×36×1 ＝113.04（立方厘米） 答：这块石头的体积是113.04立方厘米。 23．一个底面内直径是8分米的圆柱形无盖铁桶，高6分米。 （1）做这个铁桶需要多少铁皮？ （2）铁桶装有高为3分米的水，放入一个底面半径是2分米的圆锥后，水面上升6厘米，这个圆锥的高是多少分米？ 【答案】（1）200.96平方分米 （2）7.2分米 【分析】（1）做这个铁桶需要多少铁皮，就是求这个圆柱的底面积加上侧面积，圆柱的底面积：，圆柱的侧面积底面周长高。 （2）水面上升0.2分米部分的圆柱的体积与圆锥的体积相等，根据圆柱的体积公式：，计算出水面上升6厘米部分的圆柱的体积。水面上升6厘米部分的圆柱的体积。根据圆锥的体积公式：，可以推算求圆锥高的计算公式：，计算出这个圆锥的高是多少。 【解答】（1） （平方分米） 答：做这个铁桶需要200.96平方分米。 （2）6厘米分米 （分米） 答：这个圆锥的高是7.2分米。 24．小丁为了测量一个鸡蛋的体积，按以下步骤进行实验： 步骤一：拿一个圆柱形状的玻璃杯，从里面量得底面直径是长8厘米，高15厘米； 步骤二：把鸡蛋放入玻璃杯，然后倒入一定量的水后，使鸡蛋完全浸入水中，这时水面高8厘米； 步骤三：将这个鸡蛋取出，量得水面的高度是7厘米。 根据以上信息，请你计算这个鸡蛋的体积。 【答案】50.24立方厘米 【分析】鸡蛋的体积等于下降部分水的体积，下降水的高度利用放入鸡蛋后水的高度减去拿出鸡蛋后水的高度，再根据圆柱的体积：V＝πr2h，代入数据计算即可。 【解答】8÷2＝4（厘米） 4×4×3.14×（8－7） ＝16×3.14×1 ＝50.24（立方厘米） 答：这个鸡蛋的体积是50.24立方厘米。 基础试炼 一、填空题 1．一个圆锥形的沙堆，占地面积是10.5，高是0.9m，这堆沙的体积是( )，如果每立方米的沙重1.7t，这堆沙的质量为( )t。 【答案】3.15 5.355 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出这堆沙的体积，再用这堆沙的体积×1.7，即可求出这堆沙的质量。 【解答】10.5×0.9× ＝9.45× ＝3.15（m3） 3.14×1.7＝5.355（t） 一个圆锥形的沙堆，占地面积是10.5m2，高是0.9m，这堆沙的体积是3.15m3，如果每立方米的沙重1.7t，这堆沙的质量为5.355t。 【点评】熟练掌握圆锥的体积公式是解答本题的关键。 2．一个圆柱的底面直径和高都是6，这个圆柱的侧面积是( )，体积是( )，和它等底等高的圆锥体积是( )。 【答案】113.04 169.56 56.52 【分析】圆柱的侧面积：＝，圆柱的体积：V＝（d÷2）2h，等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的。 【解答】侧面积： ＝3.14×6×6 ＝113.04cm2 圆柱体积：（d÷2）2h ＝3.14×（6÷2）2×6 ＝3.14×9×6 ＝169.56cm3 圆锥体积：169.56×＝56.52cm3 这个圆柱的侧面积是113.04，体积是169.56，和它等底等高的圆锥体积是56.52。 【点评】本题考查圆柱的侧面积以及圆柱和圆锥的体积公式的应用，要求学生掌握这些公式并会熟练运用。 3．等底等高的圆柱和圆锥，已知圆锥的体积比圆柱少96立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】48 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，所以等底等高的圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，由此即可求出圆锥的体积。 【解答】96÷（3－1） ＝96÷2 ＝48（立方厘米） 圆锥的体积是48立方厘米。 【点评】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用。 4．将一个容积为15升的圆柱形塑料桶盛满水，再把一个与它等底等高的实心圆锥倒放入桶中，此时桶中还剩( )升水。 【答案】10 【分析】根据圆柱的体积公式：底面积×高；圆锥的体积公式：底面积×高÷3，由此即可知道等底等高的圆柱是圆锥体积的3倍，由于桶中放入一个与它等底等高的圆锥，那么剩下部分水的量相当于2个圆锥的容积，用圆柱的容积除以3即可求出圆锥的容积，再乘2即可求出剩下多少升水。 【解答】15÷3×2 ＝5×2 ＝10（升） 此时桶中还剩10升水。 【点评】本题主要考查圆柱和圆锥的体积公式，熟练掌握它们体积之间的关系是解题的关键。 5．如图，把一个棱长是6分米的正方体木料削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是( )立方分米；再将圆柱削成一个最大的圆锥，还要再削去( )立方分米。 【答案】169.56 113.04 【分析】根据题意，正方体削成一个最大的圆柱体，圆柱体的底面直径和高等于正方体的棱长；最大的圆锥体的底面直径等圆柱的底面直径；高等于圆柱的高；根据圆柱的体积公式：底面积×高；圆锥的体积公式：底面积×高×，代入数据，求出圆柱的体积和圆锥的体积，再用圆柱的体积减去圆锥的体积，即可解答。 【解答】圆柱的体积：3.14×（6÷2）2×6 ＝3.14×9×6 ＝28.26×6 ＝169.56（立方分米） 圆锥的体积：3.14×（6÷2）2×6× ＝3.14×9×6× ＝28.26×6× ＝169.56× ＝56.52（立方分米） 169.56－56.52＝113.04（立方分米） 【点评】利用圆柱的体积公式以及圆锥的体积公式进行解答，关键明确正方体内削最大的圆柱，圆柱的底面直径与高等于这个正方体的棱长。 6．把一个底面直径是20厘米的圆柱沿直径竖直切成两半，表面积比原来增加了400平方厘米，原来这个圆柱的底面积是( )，体积是( )。 【答案】314平方厘米 3140立方厘米 【分析】求圆柱的底面积，就为其底面圆的面积；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。沿着底面直径将它切成相等的两半，表面积比原来增加了2个以底面直径为宽和高为长的长方形的面积，据此可以求出圆柱的高，再利用圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【解答】圆柱的底面积： 3.14×（20÷2）2 ＝3.14×10² ＝314（平方厘米） 圆柱的高： 400÷2÷20 ＝200÷20 ＝10（厘米） 圆柱的体积：314×10＝3140（立方厘米） 【点评】本题主要考查圆的面积公式、圆柱体积公式的计算应用，关键是明确底面半径和高的值。 7．把一个底面半径为3dm、高20cm的圆柱平均分成若干份，拼成近似的长方体，长方体的表面积增加了( )dm2，体积是( )dm3。 【答案】12 56.52 【分析】长方体的表面积增加了两个长方形的面，其中长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径，求出一个长方形的面积，乘2即可；长方体的体积等于圆柱的体积，根据圆柱的体积V＝πr2h，代入数据计算即可。 【解答】20cm＝2dm 3×2×2 ＝6×2 ＝12（dm2） 长方体的表面积增加了12dm2。 3.14×32×2 ＝28.26×2 ＝56.52（dm3） 体积是56.52dm3。 【点评】此题主要考查了圆柱的体积计算，明确圆柱与长方体之间的关系是解题关键。 8．一个圆柱的底面积不变，高增加5cm，体积就增加62.8cm3，这个圆柱的底面积是( )cm2。 【答案】12.56 【分析】根据题意可知，底面积不变，增加的体积就是增加高的部分体积，用增加的体积除以增加的高，就是圆柱的底面积，据此解答。 【解答】62.8÷5＝12.56（cm2） 【点评】本题考查圆柱体积公式的应用，熟记公式。灵活运用。 9．有大小两种玻璃球，放入装有同样多水的圆柱形容器中（如图）。 (1)大球的体积是( ) cm3。 (2)大球与小球的体积之比是( ) (3)图4水的高度是( ) cm。 【答案】(1)100.48 (2)4∶1 (3)8.5 【分析】（1）观察图形可知，把大玻璃球放进容器中，容器里的水面上升的部分即（8－6）cm就是大玻璃求的体积，根据圆柱的体积公式：底面积×高，代入数据，即可解答； （2）把4个小玻璃球放入容器中，水面上升的部分即（8－6）cm就是4个小玻璃球的体积，根据圆柱的体积公式：底面积×高，代入数据，求出4个小玻璃球的体积，再除以4，求出一个小玻璃球的体积，再根据比的意义，用大玻璃球的体积∶小玻璃球的体积，即可解答； （3）根据图形3，求出容器中一个小玻璃球水面上升的高度，再加上大玻璃球上面升水的高度，即可求出一个大玻璃球和一个小玻璃球放入容器中，求出水面上升的高度再加上原来水面的高度，即可解答。 【解答】（1）3.14×（8÷2）2×（8－6） ＝3.14×16×2 ＝50.24×2 ＝100.48（cm3） （2）3.14×（8÷2）2×（8－6）÷4 ＝3.14×16×2÷4 ＝50.24×2÷4 ＝100.48×4 ＝25.12（cm3） 大球∶小球： 100.48∶25.12 ＝（100.48×100）∶（25.12×100） ＝10048∶2512 ＝（10048÷2512）∶（2512÷2512） ＝4∶1 （3）（8－6）÷4＋（8－6）＋6 ＝2÷4＋2＋6 ＝0.5＋2＋6 ＝2.5＋6 ＝8.5（cm） 【点评】认真分析题意，找出题中给出的信息，运用圆柱的体积公式进行解答。 10．亮亮家为了节省空间，设计了一个如下图所示的门，这个门旋转一周形成的立体图形的体积是( )m3。 【答案】1.0048 【分析】根据圆柱的定义可知，这个门旋转一周形成的立体图形是圆柱，0.8m是圆柱的底面直径，2m是圆柱的高。圆柱的体积＝底面积×高＝πr2h，据此解答。 【解答】3.14×（0.8÷2）2×2 ＝3.14×0.16×2 ＝1.0048（m3） 【点评】本题考查圆柱的体积。明确门旋转一周形成的图形是圆柱以及0.8m是圆柱的底面直径是解题的关键。 二、选择题 11．大小两个圆柱的底面周长比是5∶4，高的比是4∶5，那么大圆柱与小圆柱的体积比为（    ）。 A．25∶16 B．16∶25 C．5∶4 D．4∶5 【答案】C 【分析】根据题意，圆柱的底面周长比是5∶4，周长比等于半径比，即底面半径比＝5∶4，把圆柱的底面半径分别看作5份和4份；高看作4份和5份；根据圆柱的体积公式：底面积×高，求出两个圆柱的体积，再根据比的意义，进行解答。 【解答】（π×52×4）∶（π×42×5） ＝（25×4×π）∶（16×5×π） ＝100π∶80π ＝（100π÷20π）∶（80π÷20π） ＝5∶4 故答案为：C 【点评】解答本题的关键明确圆的周长比等于圆的半径比；以及圆柱的体积公式的应用。 12．一瓶葡萄酒，瓶子的容积是1050mL，瓶子中酒高15cm。淘淘把瓶口拧紧倒置放平，这时瓶中空出的高度为6cm。瓶中有（    ）毫升葡萄酒。 A．950 B．750 C．800 D．850 【答案】B 【分析】根据题意可知，无论是正放还是倒放瓶子里的体积不变，由此可知，瓶子的容积相当于以瓶子的底面为底面，高是（15＋6）厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：V＝Sh，那么S＝V÷h，据此求出瓶子的底面积，进而求出瓶子中酒的体积。 【解答】1050毫升＝1050立方厘米 1050÷（15＋6）×15 ＝1050÷21×15 ＝50×15 ＝750（立方厘米） 750立方厘米＝750毫升 故答案为：B 【点评】此题主要考查圆柱的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意容积单位与积单位之间的换算。 13．笑笑拿来一个直径是10cm，高是12cm的圆柱形水杯，她往里面放了5cm高的水，求杯子中水的体积的正确列式是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】杯中水的形状是圆柱，圆柱的体积＝底面积×高，据此解答。 【解答】杯中水的形状是圆柱，已知圆柱的底面直径是10cm，高是5cm，根据圆柱的体积公式，水的体积是：。 故答案为：A 【点评】本题考查圆柱体积的应用。掌握圆柱的体积公式并明确5cm是水的高度是解题的关键。 14．在长0.6米的圆柱形钢柱上，用一根长314厘米的铁丝正好沿钢柱绕一圈，这根钢柱的体积是（    ）立方分米。 A．47.1 B．471 C．4710 D．1884 【答案】B 【分析】先根据周长算出圆柱形钢柱的底面半径，然后根据公式：圆柱体积＝底面积×高。 【解答】0.6×10＝6（分米） 314÷10＝31.4（分米） 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（分米） 3.14×52×6 ＝3.14×25×6 ＝78.5×6 ＝471（立方分米） 【点评】本题主要考查圆柱体积公式的应用，解题的关键是求出圆柱的底面半径。 15．一根长15分米的圆柱体圆钢，平均截成三段成为3个小圆柱体，则表面积增加了16π平方分米。这根圆钢原来的体积是（    ）立方分米。 A．120π B．240π C．60π 【答案】C 【解析】根据题意，一根长15分米的圆柱体圆钢，平均截成三段成为3个小圆柱体，那么它的表面积增加的是4个底面积，即4个底面积是16π平方分米，再根据圆柱的体积公式解答即可 【解答】16π÷4×15 ＝4π×15 ＝60π（立方分米） 故答案为：C 【点评】本题主要考查圆柱的体积公式及立体图形的切拼，解题的关键是理解：增加的表面积是4个底面积。 16．建筑工地上有一个圆锥形沙堆，底面半径是2米，高是1.5米。这堆沙的体积是多少立方米。（    ） A．18.84立方米 B．12.56立方米 C．6.28立方米 D．3.14立方米 【答案】C 【分析】根据圆锥体积公式：，列式计算即可。 【解答】3.14×22×1.5× ＝3.14×4×1.5× ＝6.28（立方米） 这堆沙的体积是6.28立方米。 故答案为：C 17．一个圆柱与一个圆锥体积的比是4∶3，底面半径的比是2∶1，则圆柱与圆锥高的比是（    ）。 A．1∶3 B．2∶3 C．1∶9 D．8∶3 【答案】C 【分析】根据题意，一个圆柱与一个圆锥体积的比是4∶3，底面半径的比是2∶1，设圆柱的体积是4，圆锥的体积是3；圆柱的底面半径是2，圆锥的底面半径是1；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；高＝体积÷底面积；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，高＝体积÷底面积÷；分别求出圆柱的高和圆锥的高，再根据比的意义，用圆柱的高∶圆锥的高，化简，即可解答。 【解答】设圆柱的体积是4，圆锥的体积是3；圆柱的底面半径是2，圆锥的底面半径是1。 圆柱的高：4÷（22π） ＝4÷4π ＝ 圆锥的高：3÷π×12÷ ＝×3 ＝ ∶＝1∶9 一个圆柱与一个圆锥体积的比是4∶3，底面半径的比是2∶1，则圆柱与圆锥高的比是1∶9。 故答案为：C 【点评】熟练掌握和灵活运用圆柱的体积公式、圆锥的体积公式以及比的意义是解答本题的关键。 18．一堆圆锥形沙土，底面直径是6米，高是2米，用这堆沙土在4米宽的路上铺3厘米厚的路面，能铺（    ）米。 A．100.48 B．125.6 C．157 D．188.4 【答案】C 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出这堆沙土的体积，铺路是长方体形，由于体积不变，圆锥的体积等于长方体的体积；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；长＝体积÷（宽×高），代入数据，即可解答。 【解答】3厘米＝0.03米 3.14×（6÷2）2×2×÷（4×0.03） ＝3.14×9×2×÷0.12 ＝28.26×2×÷0.12 ＝56.52×÷0.12 ＝18.84÷0.12 ＝157（米） 一堆圆锥形沙土，底面直径是6米，高是2米，用这堆沙土在4米宽的路上铺3厘米厚的路面，能铺157米。 故答案为：C 【点评】熟练掌握和灵活运用圆锥的体积公式和长方体的体积公式是解答本题的关键，注意单位名数的换算。 19．下图中3个图形的体积比是（    ）。 A．3∶9∶1 B．1∶9∶1 C．1∶3∶1 D．3∶1∶1 【答案】C 【分析】等积等底的圆锥的高是圆柱高的3倍，由此将圆锥转化为与它等底等高的圆柱，再比较即可。 【解答】观察发现：圆柱、圆锥的底面积相等，圆锥的体积相当于高是12÷3＝4，底面直径是9的圆柱的体积；由于底面积相等，体积比等于高的比，由此可得体积比为：4∶12∶4＝1∶3∶1。 故答案为：C 【点评】本题主要考查圆锥、圆柱的体积关系，也可分别计算出体积，再求出比。 20．下列容器中（    ）的容积最大，（    ）的容积最小。 A．AD B．BD C．CA D．AB 【答案】A 【分析】根据圆柱的容积公式：底面积×高；圆锥的容积公式：底面积×高×；分别计算出选项的圆柱和圆锥的容积，再进行比较，即可解答。 【解答】A的圆柱的容积： π×（2r）2×h ＝4πr2h B的圆柱的容积： π×r2×2h ＝2πr2h C的圆锥的容积： ×π×（3r）2h ＝π9r2h ＝3πr2h D的圆锥的容积： π×r2×3h ＝πr2h 4πr2h＞3πr2h＞2πr2h＞πr2h A的容积最多，D的容积最小。 故答案为：A 【点评】利用圆柱的容积公式和圆锥的容积公式进行解答。 三、计算题 21．求如图（单位：厘米）圆柱的体积。 【答案】502.4立方厘米 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【解答】3.14×（8÷2）2×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（cm3） 22．计算下图的体积。 【答案】75.36cm3 【分析】体积＝底面半径是（4÷2）cm，高是8cm的圆柱的体积－底面积半径是（4÷2）cm，高是6cm的圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×（4÷2）2×8－3.14×（4÷2）2×6× ＝3.14×22×8－3.14×22×6× ＝3.14×4×8－3.14×4×6× ＝12.56×8－12.56×6× ＝100.48－75.36× ＝100.48－25.12 ＝75.36（cm3） 高阶突破 四、解答题 23．把一瓶2升的可乐倒入底面周长是18.84厘米，高10厘米的圆柱形玻璃杯中（杯壁厚度忽略不计），最多能倒满多少杯？ 【答案】7杯 【分析】已知圆柱形玻璃杯的底面周长，则底面半径，据此算出底面半径，再根据圆柱的体积公式，计算出一个玻璃杯的容积，可乐的总体积除以每个杯子的容积，商的小数部分表示不满一杯的量，故结果采用去尾法，保留整数即可。 【解答】（厘米） （立方厘米） 2升＝2000立方厘米 （杯） 答：最多能倒满7杯。 24．在地面挖一个圆柱形水池，底面周长为62.8m，要使池内存水量为2512，水池至少要挖多深？ 【答案】8m 【分析】由圆柱的体积：V＝Sh，可推出圆柱的高：h＝V÷S，据此解答。 【解答】由分析可知： 62.8÷3.14÷2＝10（m） 2512÷（3.14×102） ＝2512÷314 ＝8（m） 答：水池至少要挖8m。 【点评】本题考查圆柱体积公式的灵活运用，学生需熟练掌握圆柱体积相关公式。 25．一瓶白酒瓶上写着含量500mL，若将这瓶酒倒入一个底面直径为6cm，高为20cm的圆柱形容器中，能不能倒满？请计算说明。 【答案】不能 【分析】根据圆柱的容积公式：底面积×高，把数代入公式即可求出容器的容积，再与500比较即可。 【解答】3.14×（6÷2）2×20 ＝3.14×9×20 ＝565.2（mL） 565.2＞500 答：将这瓶酒倒入一个底面直径为6cm，高为20cm的圆柱形容器中，不能倒满。 【点评】本题主要考查圆柱的容积公式，熟练掌握它的公式并灵活运用。 26．万老师有一个圆柱形茶杯，杯身上有一圈12cm高的防烫带（如图）。 （1）这圈防烫带的面积是多少平方厘米？ （2）这个茶杯的容积是多少毫升？（茶杯的厚度忽略不计） 【答案】（1）301.44平方厘米；（2）1004.8毫升 【分析】（1）根据圆柱的侧面积公式：，把数据代入公式解答。 （2）根据圆柱的容积（体积）公式：，把数据代入公式解答。 【解答】（1） （平方厘米） 答：这圈防烫带的面积是301.44平方厘米。 （2） （立方厘米） 1004.8立方厘米毫升 答：这个杯子的容积是1004.8毫升。 【点评】此题主要考查圆柱的侧面积公式、圆柱的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式注意：体积单位与容积单位之间的换算。 27．如图，一根长6米的圆木，如果把它截成三段，表面积就增加942平方厘米。原来这根圆木的体积是多少立方米？ 【答案】0.1413立方米 【分析】圆木截成三段，要截两次，表面积总共增加942平方厘米（四个底面圆面积），可以先求出一个底面圆的面积，再结合圆柱的体积公式V＝Sh计算出圆木的体积。 【解答】942平方厘米平方米 （立方米） 答：原来这根圆木的体积是0.1413立方米。 【点评】本题主要考查了圆柱体积的计算，注意不要漏掉平方厘米与平方米之间的单位换算。 28．一种玩具——陀螺，上面是圆柱，下面是圆锥。经过测试，当圆柱直径为3厘米，高为4厘米，圆锥的高是圆柱高的时，旋转时稳又快。陀螺的体积是多少立方厘米？ 【答案】35.325立方厘米 【分析】根据题意，先求出圆锥的高，结合圆柱的体积公式：以及圆锥的体积公式：，代入数据，分别求出圆柱的体积以及圆锥的体积，再把二者加起来即可。 【解答】圆锥的高：4×＝3（厘米） 圆柱的体积： ＝ ＝ ＝9×3.14 ＝28.26（立方厘米） 圆锥的体积： ＝ ＝ ＝ ＝7.065（立方厘米） 28.26＋7.065＝35.325（立方厘米） 答：陀螺的体积是35.325立方厘米。 29．沙漏又称沙钟，是一种计量时间的装置。如图是一个沙漏记录时间时的示意图。 （1）沙漏上部分的沙子近似于一个圆锥，根据示意图，求出沙漏上部分沙子的体积。 （2）沙漏下部分沙子的体积是185.26立方厘米，如果再过1分钟，沙漏上部分的沙子就可以全部漏到下部，那么现在已经计量了多少分钟？ 【答案】（1）3.14立方厘米 （2）59分钟 【分析】（1）根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式解答即可； （2）再过1分钟，沙漏上部分的沙子就可以全部漏到下部，说明1分钟漏下的体积是上部分的沙子体积，下部分沙子的体积÷1分钟漏下的体积＝下部分沙子的计时长度，即现在已经计量的时间。 【解答】（1） （立方厘米） 答：沙漏上部分沙子的体积是3.14立方厘米。 （2）（分钟） 答：现在已经计量了59分钟。 30．芒种是二十四节气中的第九个节气，这时候，小麦成熟收割。某镇农科所的一块小麦实验田收获的小麦堆成了圆锥形（如图所示）。 （1）这个麦堆的体积是多少立方米？ （2）如果每立方米小麦重650千克，这堆小麦重多少千克？ （3）这块试验田共有1.3公顷麦地，平均每公顷产小麦多少千克？ （4）如果每千克小麦售价为7.8元，这些小麦能卖多少钱？ 【答案】（1）38.151立方米； （2）24798.15千克； （3）19075.5千克； （4）193425.57元 【分析】（1）麦堆的形状是圆锥形的，先求出麦堆的底面半径，利用半径＝底面周长÷圆周率÷2；再利用圆锥的体积＝πr2h求得体积； （2）根据乘法的意义，用麦堆的体积乘650即可求出这堆小麦的重量； （3）用小麦的总质量除以试验田的面积即可求出平均每公顷产小麦多少千克； （4）根据总价＝单价×数量，用小麦的总质量乘每千克小麦的售价，即可求出这些小麦能卖多少钱。 【解答】（1）28.26÷3.14÷2 ＝9÷2 ＝4.5（米） 4.52×3.14×1.8× ＝20.25×3.14×1.8× ＝63.585×1.8× ＝114.453× ＝38.151（立方米） 答：这个麦堆的体积是38.151立方米。 （2）38.151×650＝24798.15（千克） 答：这堆小麦重24798.15千克。 （3）24798.15÷1.3＝19075.5（千克） 答：平均每公顷产小麦19075.5千克。 （4）24798.15×7.8＝193425.57（元） 答：这些小麦能卖193425.57元。 学科网（北京）股份有限公司 $$