精品解析：江苏省连云港市东海县2024-2025学年八年级上学期期中学业质量检测数学试题

2024—2025学年度第一学期期中考试 八年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷共6页，27题，全卷满分150分，考试时间为100分钟． 2．请在答题纸规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效． 3．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题纸及试题指定的位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列是通过翻折得到的全等图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，解题的关键是正确掌握轴对称的定义．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线翻折，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形不是通过翻折得到的全等图形； B选项中的图形是通过翻折得到的全等图形． 故选：B． 2. 如图是小明制作的风筝，他根据，，不用度量，就知道，小 明是通过全等三角形的判定方法得到的结论，则小明用的判定方法是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据即可证明，可得． 【详解】解：在和中， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 3. 如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是（　　） A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 直角三角形的两个锐角互为余角 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是三角形具有稳定性． 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形的稳定性，正确理解概念是解题的关键． 4. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 9，12，15 D. 1，2，5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股数，解答此题要用勾股数的定义，如果是正整数，且，那么叫做一组勾股数．根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解；A.，不是勾股数，不符合题意； B.，不是勾股数，不符合题意； C.，是勾股数，符合题意； D. ，不是勾股数，不符合题意； 故选择：C． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个全等三角形一定关于某直线对称 B. 等边三角形的高、中线、角平分线都是它的对称轴 C. 两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧 D. 关于某直线对称的两个图形是全等形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质以及全等性质．根据轴对称的性质，等边三角形的轴对称性对各选项分析判断利用排除法求解． 详解】解：A、两个全等三角形一定关于某直线对称错误，故本选项错误； B、应为等边三角形的高、中线、角平分线所在的直线都是它的对称轴，故本选项错误； C、应为两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧或直线与两图形相交，故本选项错误； D、关于某直线对称的两个图形是全等形正确，故本选项正确． 故选D． 6. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵PB+PC=BC，PA+PC=BC， ∴PA=PB， 根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上， 故可判断B选项正确． 故选B． 7. 如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点M为梯子的中点，当梯子底端向右水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ） A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 先变小再变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线的特征是解决问题的关键．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵，点M为梯子的中点， ∴， 当梯子底端向左水平滑动到位置时， ∵，， ∴， ∴滑动过程中不变， 故选：A． 8. 如图，在中，，角平分线与相交于点，平分，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据可对①进行判断；根据“”证明，可对②③④进行判断． 【详解】解：∵，为三角形的角平分线， ∴，， ∴，故①正确； ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴，，故③④正确，符合题意； ∵点G不一定是的中点， ∴不能得出， ∴不能得出，故②错误，不合题意； 综上，正确的结论是①③④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理，邻补角的性质，角平分线的定义等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 如图，与关于直线l对称，若，，则______°． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理得到，根据对称性质得到，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 根据对称性质得到， ∴． 故答案为：． 10. 等腰三角形的顶角为，底角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴底角为， 故答案为：． 11. 如图，已知，，要使，则需要添加的条件是__________．（写一个即可） 【答案】或或（写一个即可） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．由，可得，再根据题干中的条件，可添加角相等或边相等即可． 【详解】解：添加， ， ， 又，， ， 添加， ， ， 又，， ， 添加， ， ， 又，， ， 故答案为：或或（写一个即可）． 12. 已知中，，，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，由等边三角形的判定和性质，可求解，关键是掌握等边三角形的判定方法及性质． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：． 13. 如图，，点在上，且，则图中的等腰三角形有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理．利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有个． 故答案为： 14. 如图，是的角平分线，，垂足为E，，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于，根据角平分线的性质得到 ，然后根据三角形的面积公式计算． 【详解】解：过点作于， 如图， ∵是的角平分线， ∴ ， ∵ ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则的度数是_______． 【答案】14°##14度 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠B，在△BDE中，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝52°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣52°＝38°， ∵△CDE是△CDA翻折得到， ∴∠CED＝∠A＝52°， 在△BDE中，∠CED＝∠B+∠EDB， 即52°＝38°+∠EDB， ∴∠EDB＝14°． 故答案为：14°． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，翻折的性质及三角形内角和与外角的性质，熟练掌握相关概念是解题关键． 16. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别足4、6、2、4，则正方形的边长是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，标记正方形F、G，分别设正方形F、G、E的边长为x、y、z，由勾股定理得出，，则，即最大正方形的面积为．熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 【详解】解：如图，标记正方形F、G，分别设正方形F、G、E的边长为x、y、z， 由勾股定理得：，， 则正方形的面积为：， 故正方形的边长为：， 故答案为：4． 17. 如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，，且，垂足为C，连接，若，则的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作于H，过E作于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：过A作于H，过E作于F， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 18. 如图，四边形中，，，点是上一点，且，，，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接，由折叠的性质可得，，，，，，可求，当，，三条线段共线时，有最大值． 【详解】解：如图，将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接， ∴，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短可得，， ∴当，，三条线段共线时，有最大值． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，邻补角的性质，两点之间线段最短等知识，利用折叠的性质添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 如图，，B、C、D在同一直线上，且，．求长． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质内容，全等三角形对应边相等，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，得，，即可得的长． 【详解】解：因为，，． 所以，， 则． 20. 如图，在中，，是中线，是角平分线，． （1）______．（直接填空） （2）求的度数． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形性质，三角形的外角性质，角平分析定义，关键是根据等腰三角形的三线合一解答． （1）根据等腰三角形的性质求出，进而解答即可． （2）由角平分线定义得，再根据三角形的外角性质即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ，是中线， ，即． ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，是的平分线， ． ∵， ∴， 是的外角， ． 21. 某中学计划为新生军训时配备如图所示的折叠凳，图是折叠凳撑开后的侧面示意图（钢管等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，是、的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为．由以上信息求出的长度，并说明理由． 【答案】的长度为，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意，得，结合，证得，得，从而完成求解． 【详解】解：的长度为，理由如下： ∵凳腿和的长度相等，是它们的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长度为． 22. 某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． （1）求的长； （2）若已知楼梯宽，需要购买多少的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】（1）； （2）需要购买的地毯才能铺满所有台阶． 【解析】 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，； 【小问2详解】 解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 答：需要购买的地毯才能铺满所有台阶． 23. 如图，在四边形中，，，， （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． （1）由“”即可证； （2）结合（1）可得，可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴． 24. 如图，在中，，，点是边上一点，．用直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹），并回答问题： （1）在边上作点，使得点到边、的距离相等； （2）在射线上作点，使得点到点、点的距离相等； （3）若点是射线上一个动点，当取最小值时，在图中作出符合要求的点，的最小值为，则______． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）作图见解析，10． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，即作的平分线交于一点，即为点，即可作答． （2）根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，即作线段的垂直平分线与相交于一点，即为点，即可作答． （3）作点关于射线的对称点，连接，交射线于一点，此时，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：点如图所示： 【小问2详解】 解：点如图所示： 【小问3详解】 解：点如图所示： ∵， ∴， 即在中，， 即， ∵的最小值为， 即． 【点睛】本题考查了作角平分线，作垂直平分线，轴对称性质，勾股定理等知识内容：难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25. 如图，，，垂足分别为，，点在上，连接，交于点，，． （1）判断：与的位置关系，并说明理由； （2）连接，，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理． 【答案】（1），理由见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理证明，全等三角形的判定与性质，正确表示出四边形面积的两种方法是解题的关键． （1）根据证明得出，即可推出结论； （2）连接、，由，得出，，，．再根据四边形的面积的两种表示方法得出等式整理即可得出结论． 【小问1详解】 证明：，理由如下： ∵，， ， 在和中， ． ， ， ． ． ， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接、， ∵， ，，，． ． ， ． ． 即． 26. 如图，，垂足为，且，．点从点沿射线向右以个单位/秒的速度匀速运动，同时点从点沿线段向点以个单位/秒的速度匀速运动，当点到达终点时，点也立即停止运动，连接、，设点运动的时间为秒． （1）当为何值时，是的中线？ （2）当时，判断的形状，并说明理由； （3）是否存在的值，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）当时，是直角三角形，理由见解析； （3）当或时，是以为腰的等腰三角形 【解析】 【分析】（1）由题意得，，根据中线的定义即可求解； （2）由勾股定理求出的值，根据勾股定理逆定理即可证得结论； （3）分类讨论：①当，②，根据题意和勾股定理列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵是的中线 ∴ 解得 即时，是的中线； 【小问2详解】 解：当时，直角三角形， 理由如下： 当时，， ∴ 在中，， 在中，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； 【小问3详解】 解：存在， ①当时 ∵， ∴， 由知； ②时， 在中，， ∵ ∴ 解得：， 综上所述：或． 当或时，是以为腰的等腰三角形 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，中线定义，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 27. 【课本再现】（）苏科版数学八年级上册课本第页思考：如图，中，，，那么与有怎样的数量关系？试证明你的结论． 【尝试探究】（2）点是边上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接． ①判断的形状，并说明理由； ②求证：； 【探究应用】（3）若点是直线上一动点，“尝试探究”中其他条件不变，若，直接写出点到点的最小距离． 【答案】（1），理由见解析；（2）①等腰三角形，理由见解析；②见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）设的中点，连接，根据，得是等边三角形，则，由此可得出与的数量关系； （2）①设的中点，连接，证明和全等得，进而得是线段的垂直平分线，则，由此可判定的形状∶②设，则，根据，得，进而根据是等腰三角形，，由此即可得出结论； （3）作的垂直平分线，垂足为，过点作于，由知点在直线上运动时，点在上运动，根据“垂线段最短"得点到上所有点的距离中，为最短，因此点和点重合时，为最小，最小距离是线段比的长，然后求出的长即可得出答案． 【详解】解：（1）与的数量关系是∶，证明如下∶ 设的中点，连接，如图所示， 在中，∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴； （2）①是等腰三角形，理由如下： 设的中点，连接，，如图2所示， 由(1)知∶是等边三角形 ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴ 在和中 ∴， ∴， ∴， 又∵点是的中点， ∴是线段的垂直平分线 ∴ ∴ ∴是等腰三角形 ②证明∶设， ∵ ∴， ∵． ∴， ∵， ∴， 由①知∶是等腰三角形， ∴， ∴， 即； （3）作的垂直平分线，垂足为，连接，过 点作于，如图所示， 由①知∶点在直线上运动时，点在上运动， 根据“垂线段最短”∶点到上所有点的距离中为最短， ∴点和点重合时，为最小，最小距离是线段的长， 由知∶是等边三角形 ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴点到点的最小距离． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识点，理解直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等角形，并得出点在线段的垂直平分线上运动是解决问题的难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期中考试 八年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷共6页，27题，全卷满分150分，考试时间为100分钟． 2．请在答题纸规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效． 3．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题纸及试题指定的位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列是通过翻折得到的全等图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是小明制作的风筝，他根据，，不用度量，就知道，小 明是通过全等三角形的判定方法得到的结论，则小明用的判定方法是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是（　　） A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 直角三角形的两个锐角互为余角 D. 垂线段最短 4. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 9，12，15 D. 1，2，5 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个全等三角形一定关于某直线对称 B. 等边三角形的高、中线、角平分线都是它的对称轴 C. 两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧 D. 关于某直线对称的两个图形是全等形 6. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ 　 ） A. B. C. D. 7. 如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点M为梯子中点，当梯子底端向右水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ） A 不变 B. 变小 C. 变大 D. 先变小再变大 8. 如图，在中，，角平分线与相交于点，平分，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 如图，与关于直线l对称，若，，则______°． 10. 等腰三角形的顶角为，底角的度数为______． 11. 如图，已知，，要使，则需要添加的条件是__________．（写一个即可） 12. 已知中，，，则 __________． 13. 如图，，点在上，且，则图中的等腰三角形有______个． 14. 如图，是的角平分线，，垂足为E，，，则的面积为______． 15. 如图，在中，，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则的度数是_______． 16. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别足4、6、2、4，则正方形的边长是______． 17. 如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，，且，垂足为C，连接，若，则的面积为______． 18. 如图，四边形中，，，点是上一点，且，，，则的最大值是______． 三、解答题（本大题共9小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 如图，，B、C、D在同一直线上，且，．求长． 20. 如图，在中，，是中线，是角平分线，． （1）______．（直接填空） （2）求的度数． 21. 某中学计划为新生军训时配备如图所示的折叠凳，图是折叠凳撑开后的侧面示意图（钢管等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，是、的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为．由以上信息求出的长度，并说明理由． 22. 某宾馆装修，需一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． （1）求的长； （2）若已知楼梯宽，需要购买多少的地毯才能铺满所有台阶． 23. 如图，在四边形中，，，， （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 如图，在中，，，点是边上一点，．用直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹），并回答问题： （1）在边上作点，使得点到边、距离相等； （2）在射线上作点，使得点到点、点的距离相等； （3）若点是射线上一个动点，当取最小值时，在图中作出符合要求的点，的最小值为，则______． 25. 如图，，，垂足分别，，点在上，连接，交于点，，． （1）判断：与的位置关系，并说明理由； （2）连接，，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理． 26. 如图，，垂足为，且，．点从点沿射线向右以个单位/秒的速度匀速运动，同时点从点沿线段向点以个单位/秒的速度匀速运动，当点到达终点时，点也立即停止运动，连接、，设点运动的时间为秒． （1）当为何值时，是的中线？ （2）当时，判断的形状，并说明理由； （3）是否存在的值，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 27. 【课本再现】（）苏科版数学八年级上册课本第页思考：如图，中，，，那么与有怎样的数量关系？试证明你的结论． 【尝试探究】（2）点是边上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接． ①判断的形状，并说明理由； ②求证：； 【探究应用】（3）若点是直线上一动点，“尝试探究”中其他条件不变，若，直接写出点到点的最小距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$