2025年中考数学第一轮专题复习讲义《第3讲 分式》

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第一单元　数与式 《第3讲 分式》 【知识梳理】 1.分式的概念 (1)分式的概念:形如(A,B是整式,　B　中含有字母,且　B　≠0)的代数式叫做分式.  (2)分式有意义的条件:分母不为　0　.  (3)分式的值为零的条件:　分子　为零,但　分母　不为零.  2.分式的基本性质 (1)分式的基本性质:,(其中M是　不等于零　的整式).  (2)约分:把一个分式的分子和分母的　公因式　约去,叫做分式的约分.  (3)最简分式:分子、分母没有　公因式　的分式叫做最简分式.  (4)通分:把　分母　不相同的几个分式化成　分母　相同的分式,叫做通分.  3.分式的加减 (1)同分母的分式相加减:分式的分母　不变　,把分子相加减,即±＝ 　.  (2)异分母的分式相加减:先　通分　,转化为同分母的分式,然后相加减,即±＝ 　.  4.分式的乘除 (1)分式乘分式:用分子的积做积的　分子　,分母的积做积的　分母　,即·＝ 　.  (2)分式除以分式:把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式　相乘　,即÷· 　＝ 　.  (3)分式的乘方:把分子、分母各自乘方,分别做结果的分子、分母,即＝ 　(n为整数).  5.分式的混合运算 (1)法则:在分式的混合运算中,应先算乘方,再将除法化为　乘法　,进行　约分　化简,最后进行加减运算,如有括号,要先算括号里的.  (2)实数的各种运算律也适用于分式的运算,且运算结果要化成最简分式或整式. 【考题探究】 类型一　分式有意义的条件 【例1】[2024·安徽]若分式有意义,则实数x的取值范围是　x≠4　.  变式1 [2024·湖州模拟]若分式的值为0,则x的值是(　A　) A.－2 B.0 C.2 D.4 类型二　分式的基本性质的运用 【例2】下列式子从左边至右边的变形,错误的是(　A　) A. B. C. D.＝－ 变式2－1 [经典题]已知＝3,则代数式的值为(　D　) A.－ B.－ C. D. 【解析】 ∵＝3, ∴＝3,∴x－y＝－3xy, ∴原式＝. 变式2－2 [一题多解]若,则＝ 　.  【解析】 解法1:利用比例的基本性质“两内项积等于两外项积”求解. ∵,∴3a＝2b,∴a＝b, ∴. 解法2:设参数求解. 设a＝2k,则b＝3k, ∴. 解法3:逆用同分母分式加减法法则求解. ＋1＝＋1＝. 类型三　分式的运算 【例3】[2024·河南]化简:÷. 解:原式＝÷ ＝· ＝a＋2. 变式3－1 [2023·温州]计算:. 解:原式＝＝a－1. 变式3－2 [2023·江西]化简·.下面是甲、乙两同学的部分运算过程: (1)甲同学解法的依据是　②　,乙同学解法的依据是　③　.(填序号)  ①等式的基本性质;②分式的基本性质;③分配律;④乘法交换律. (2)请选择一种解法,写出完整的解答过程. 解:(2)选择乙同学的解法. 原式＝·· ＝·· ＝x－1＋x＋1 ＝2x. 类型四　分式的化简求值 【例4】 [2023·枣庄]先化简,再求值:÷,其中a的值从不等式组－1＜a＜的解中选取一个合适的整数. 解:原式＝· ＝a·· ＝－1＝. ∵a2－1≠0,a≠0, ∴a≠±1,a≠0, ∴a＝2, ∴原式＝. 变式4－1 [2024·苏州]先化简,再求值:÷,其中x＝－3. 解:原式＝· ＝· ＝. 当x＝－3时,原式＝. 变式4－2 [2024·烟台]利用课本上的计算器进行计算,按键顺序如下: ,若m是其显示结果的平方根,先化简:÷,再求值. 解:原式＝· ＝· ＝. 根据计算器可得m＝±＝±＝±2. ∵4－2m≠0,∴m≠2. 当m＝－2时,原式＝＝－. 【课后作业】 1.代数式①x,②,③,④x2－,⑤,⑥中,属于分式的是(　C　) A.②⑤ B.①⑤⑥ C.③⑤⑥ D.①②④⑥ 2.下列分式中,属于最简分式的是(　A　) A. B. C. D. 3.[2023·邵阳]下列计算正确的是(　D　) A.＝a2 B.(a2)3＝a5 C.＝a＋b D.＝1 4.[2024·甘肃]计算:＝(　A　) A.2 B.2a－b C. D. 5.若x是自然数,则表示的值的对应点落在如图所示的数轴上的范围是(　B　) 第5题图 A.① B.② C.③ D.①或② 【解析】 原式＝ ＝＝1, ∴的值在0.1~1.3之间. 6.[2024·河北]已知A为整式,若计算的结果为,则A＝(　A　) A.x B.y C.x＋y D.x－y 【解析】 ∵, ∴, ∴, ∴Ax＝(x－y)(x＋y)＋y2, ∴Ax＝x2. 又∵x≠0,∴A＝x. 7.已知a＞b＞0,且a2＋b2＝3ab,则2÷的值是(　B　) A. B.－ C. D.－ 【解析】 ÷ ＝÷ ＝· ＝－. ∵a2＋b2＝3ab, ∴(a＋b)2＝5ab,(a－b)2＝ab. 又∵a＞b＞0,∴a＋b＝,a－b＝, ∴原式＝－＝－＝－. 8.由值的正负可以比较A＝与的大小,下列说法中,正确的是(　C　) A.当c＝－2时,A＝ B.当c＝0时,A≠ C.当c＜－2时,A＞ D.当c＜0时,A＜ 【解析】 . c不能等于－2,A错误. 当c＝0时,A＝,B错误. 当c＜－2时,＞0,故A＞,C正确. 当c＜0时,可能大于0也可能小于0,故A可能大于,也可能小于,D错误. 9.[2024·吉林]当分式的值为正数时,写出一个满足条件的x的值:　0(答案不唯一)　.  10.[2024·绥化]化简:÷＝ 　.  【解析】 原式＝÷·. 11.[2023·衡阳]已知x＝5,则代数式的值为 　.  【解析】 原式＝. 当x＝5时,原式＝. 12.如图所示的解题过程中,步骤①出现错误,但最后所求的值是正确的,则图中被污染的x的值是　5　.  第14题图 【解析】 ＋1＝. 令＝－1,解得x＝5. 经检验,当x＝5时,＋1有意义, ∴图中被污染的x的值是5. 13.(1)[2024·重庆B卷]计算: ÷. 解:原式＝· ＝· ＝. (2)[2024·湖南]先化简,再求值:·,其中x＝3. 解:原式＝·. 当x＝3时,原式＝. 14.[2023·临沂]下面是某同学计算－a－1的解题过程: 解:－a－1 ＝…① ＝…② ＝…③ ＝＝1.…④ 上述解题过程从第几步开始出现错误?请写出正确的解题过程. 解:解题过程从第1步开始出现错误. 正确的解题过程如下: －a－1＝－(a＋1) ＝ ＝ ＝. 15.(1)[2024·枣庄]先化简,再求值:÷,其中a＝1. 解:原式＝÷ ＝× ＝a－3. 当a＝1时,原式＝1－3＝－2. (2)[2024·遂宁]先化简:÷,再从1,2,3中选择一个合适的数作为x的值代入求值. 解:原式＝÷ ＝× ＝x－1. ∵x－1≠0,x－2≠0,∴x≠1,x≠2, ∴x只能取3. 当x＝3时,原式＝2. 16.[2024·滨州]欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一,他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献,也在初等数学中留下了不凡的足迹.设a,b,c为两两不同的数,称Pn＝(n＝0,1,2,3)为欧拉分式. (1)写出P0对应的表达式. (2)化简P1对应的表达式. 解:(1)由题意,得 P0＝ ＝. (2)由题意,得 P1＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝0. 17.观察下面的等式: , , , …… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示,n为正整数). (2)请运用分式的有关知识,推理说明这个结论是正确的. 解:(1)观察规律可得. (2)∵, ∴原结论是正确的. 学科网（北京）股份有限公司 $$