第六章 变量之间的关系（必备知识+4题型+分层检测）（复习讲义）数学新教材北师大版七年级下册

第六章 变量之间的关系（复习讲义） 1. 了解变量与常量的意义，体会表格、关系式、图象三种表示方法之间的整体联系，并能根据问题特点选择合适的表示方式。 2. 能用表格读取或创建变量间的关系，能从表格中寻找规律推断未知值；能根据具体情境分析数量关系，建立关系式（模型）。 3. 理解并利用图象（折线图、曲线图、离散点图）分析变量之间的关系，能通过图象预测变化趋势、比较变化快慢（如速度）、寻找最大值或最小值，解决实际问题。 知识清单01 基本概念（三变量一常量） 1.变量：在变化过程中，数值发生变化的量。 2.常量：在变化过程中，数值始终不变的量。 3.自变量：主动发生变化的量（先变）。 4.因变量：随自变量变化而变化的量（后变）。 知识清单02 三种表示方法 1.表格法：一目了然，可直接查对应值，但数据有限。 2.关系式法：能准确反映数量规律，可求任意值，但不直观。 -写法：将因变量单独写在等号左边（如y=3x）。 3.图象法：直观显示变化趋势（增减、快慢），但读数有误差。 -识图：横轴是自变量，纵轴是因变量。 -趋势：线上升→因变量增大；线下降→因变量减小；线水平→不变。 题型一 常量与变量（自变量、因变量） 【例1】（2026八年级下·全国·专题练习）在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 【答案】B 【分析】本题考查常量与变量的定义，关键是明确在变化过程中，常量是数值固定不变的量，变量是数值可以发生变化的量．在圆的周长公式中，2是固定系数，是圆周率，二者数值固定不变，属于常量；半径可取不同值，对应的周长会随之改变，故和是变量，据此可判断正确选项． 【详解】解：根据常量与变量的定义，在中，2和是固定不变的量，为常量；随的变化而变化，因此和是变量． 故选：B． 【变式1-1】（2026八年级下·全国·专题练习）刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【答案】B 【分析】本题考查常量和变量，正确理解常量与变量的定义是解题的关键．常量是固定不变的量，变量是变化的量． 【详解】解：∵常量是固定不变的量，变量是变化的量， ∴单价是不变的量，而金额随着数量的变化而变化， ∴常量是单价． 故选B． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·寒假作业）某居民小区电费标准为元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电量x（千瓦时）之间的关系式为，则下列说法正确的是（    ） A．x是自变量，是函数 B．是自变量，x是函数 C．x是自变量，y是因变量 D．y是自变量，x是函数 【答案】C 【分析】本题考查了常量和变量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．根据常量和变量的定义来解答即可． 【详解】解：在这个问题中，x是自变量，y是因变量，元/千瓦时是常数． 故选：C． 【变式1-3】（25-26七年级上·陕西宝鸡·月考）半径为的球的体积公式为，其中的变量和常量分别是（    ） A．变量是，，；常量是 B．变量是，；常量是， C．变量是，；常量是 D．变量是；常量是 【答案】B 【分析】本题主要考查了变量与常量的定义，明确在变化过程中，可变的量为变量，固定不变的量为常量，结合球的体积公式即可． 【详解】解：在球的体积公式中，和是固定不变的数值，的数值随的变化而变化，可取不同的数值， ∴变量是、，常量是、． 题型二 用表格表示的变量间关系 【例2】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）物流公司在一条东西向的轨道上有两个货仓，货仓B在A东面处．1号智能无人运输车从货仓A向东出发，先匀速行驶，然后在停下来分拣货物，后继续以原速行驶；2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶，两车均在行驶15min后到达各自的终点．设运动时间为（单位：min），记录仪记录1号车，2号车与货仓A的距离的部分数据如下： 运动时间 0 1 3 5 8 9 10 12 15 1号车与货仓A的距离（单位：） 0 10 30 80 80 100 2号车与货仓A的距离（单位：） 10 18 50 74 82 90 130 请根据以上信息和数据，解决下列问题： (1)表中___________，2号车的速度为___________； (2)求2号车与A货仓的距离为时的值． 【答案】(1)50，8； (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，用表格表示变量之间的关系． （1）根据表格数据求解即可． （2）根据题意列出关于t的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据表格数据可知，当时，1号车与货仓A的距离， 当时，1号车与货仓A的距离， 则1号智能无人运输车在之前的速度为， 则当时，1号车与货仓A的距离． 即． ∵2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶， ∴2号车的速度为：， 故答案为：50，8； （2）解：由题意，得， 解得． 2号车与A货仓的距离为时的值为． 【变式2-1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）打羽毛球时，羽毛球的运动轨迹主要受击球力度、角度和空气阻力影响．小明发了个高远球，羽毛球到达最高点后开始下落．羽毛球高度与下落时间的关系如表所示： 下落时间 羽毛球高度 根据表格所提供的信息，回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)当下落时间为______时，羽毛球高度为 (3)当下落时间为时，羽毛球下降的距离为______； (4)假设搭档小华的接球合适高度在左右，从羽毛球下落那一刻算起，小华最好在______内完成回击． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4) 【分析】此题考查了函数定义，关键是能准确理解并运用该知识和实际问题中的数量关系进行求解． （1）根据函数的定义即可求解； （2）根据表格中的数量关系即可求解； （3）根据，即可求解； （4）根据表格可得羽毛球的高度为时，，根据题意可得小华最好在内完成回击． 【详解】（1）由题意得，在这个变化过程中，自变量是，因变量是， 故答案为：，； （2）由题意得，当下落时间为时，羽毛球高度为， 故答案为：； （3）由题意得，当下落时间为时，羽毛球的高度是， 下降的距离为：， 故答案为：； （4）由题意得，羽毛球的高度为时，， 从羽毛球下落那一刻算起，小华最好在内完成回击， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）探究小组的同学利用同一块木板做“测量小车从不同高度下滑的时间”的实验时，得到如下数据： 支撑物高度 10 20 30 40 50 60 70 小车下滑时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 (1)在此题中，自变量是__________，因变量是__________． (2)随支撑物高度的变化，小车下滑时间如何变化？ (3)当支撑物高度为时，小车下滑时间为__________；估计当时，__________． 【答案】(1)支撑物高度h，小车下滑时间t (2)随支撑物高度的增加，小车下滑时间缩短 (3)1.71 ；1.50（答案不唯一，在1.48~1.58之间均可） 【分析】本题主要考查了函数的概念，用表格表示变量之间的关系，正确理解题意是解题的关键。 （1）根据题意可得，小车下滑时间随着支撑物高度的变化而变化，据此可得答案； （2）由表格可知，随支撑物高度的增加，小车下滑时间缩短； （3）由表格可得第一空答案；根据（2）所求可得，时间的变化量要小于高度从60厘米变为70厘米时时间的变化量，且时间要小于1.59，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是支撑物高度，因变量是小车下滑时间； （2）解：由表格可知，随支撑物高度的增加，小车下滑时间缩短； （3）解：由表格可知当支撑物高度为时，小车下滑时间为， 估计当时，． 【变式2-3】（24-25七年级下·山西晋中·期末）某超市叠放的购物车如图所示，小敏尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．如表是小敏测得的一些数据： 购物车数量/辆 2 3 4 5 6 车身总长 1.2 1.4 1.6 1.8 2 根据表格，回答下列问题： (1)如表中自变量是_____________，因变量是____________． (2)一辆购物车的车身长为__________． (3)请直接写出与之间的关系式，并求出叠放10辆购物车时车身的总长． 【答案】(1)购物车数量，车身总长； (2)1； (3)，． 【分析】本题主要考查了列出函数关系式，求函数值，列出函数关系式是解题的关键． （1）根据自变量和因变量的定义求解即可； （2）直接观察表格，即可求解； （3）根据（2）中的结论，可得车身总长与购物车辆数之间函数的关系式，然后将代入求解即可． 【详解】（1）根据题意得，如表中自变量是购物车数量，因变量是车身总长； （2）解：根据题意得：随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加； ∴一辆购物车的车身长为； （3）解：∵购物车数量每增加1辆，车身总长增加，1辆车身长为， ∴ 当时， ∴与之间的关系式为，叠放10辆购物车时车身的总长为． 题型三 用关系式表示变量之间的关系 【例3】（25-26六年级下·山东济南·期中）一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： (1)请将下表补充完整： 碗的数量/个 1 2 3 4 5 … 高度 5.2 6.4 ______ 8.8 ______ … (2)直接写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式______； (3)当碗的数量为10个时，求这些碗的高度． 【答案】(1)7.6；10 (2) (3) 【分析】（1）根据每增加一个碗增加的高度相同求解即可； （2）根据整齐叠放在桌面上碗的高度一个碗的高度（碗的总数，从而可得碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式； （3）把代入函数关系式即可解答． 【详解】（1）解：由表格可知，1个碗高，2个碗高， ∴每增加1个碗，高度增加． ∴3个碗的高度为，5个碗的高度为． （2）解：由题意得：， 整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间的关系式：； （3）解：当时，， 这些碗的高度为． 【变式3-1】（25-26六年级下·全国·单元测试）综合与实践 【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材1：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y与购物车数量x的关系： 购物车数量x/辆 1 2 3 4 5 车身总长y/米 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 素材2：如图，该超市的扶梯斜坡米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的关系式为___________； (2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查两个变量之间的关系，理解题意，正确求得关系式是解答的关键． （1）根据表格，结合已知列关系式即可； （2）求出当时的y值，和比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：根据表格，增加1辆购物车，车身总长增加0.2米， 则， ∴车身总长y与购物车数量x之间的关系式为． 故答案为：． （2）解：该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕．理由如下： 在直角中，（米）， 当时，， ∵， ∴该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 【变式3-2】（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）为鼓励市民节约用电，某市采用分档计费方式计算电费，电费按分档累进计算，即用电量在第一档范围内的部分按第一档单价计费，超出第一档但在第二档范围内的部分按第二档单价计费，以此类推．如表是家庭人口不超过5人的用户年用电量及分档计费标准（以年用电量为准计算电费）： 计费档 用户年用电量x（单位：度） 单价（单位：元/度） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，求出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某用户一年的电费是1430元，求该用户这一年的用电量． 【答案】(1) (2)该用户这一年的用电量为2800度． 【分析】本题考查了列关系式，一元一次方程的应用． （1）根据分档计费规则计算即可； （2）先求出该用户这一年的用电量属于第二档，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时， ， 所以当时，电费y与x之间的关系式为； （2）解：因为， ， 所以该用户用电量属于第二档， 设该用户一年的用电量为x度，则 ， 解得， 该用户这一年的用电量为2800度． 【变式3-3】（25-26八年级上·安徽·期中）砀山酥梨是宿州市民秋季喜爱的水果之一、甲、乙两家水果店销售同一种砀山酥梨，甲店每千克酥梨的价格为4元，乙店为了吸引顾客制定如下方案：当一次性购买不超过10千克时，每千克价格为5元，超过10千克时，超过部分每千克价格为3元．设小王在同一家店一次性购买砀山酥梨x千克． (1)若在甲店购买需花费元，在乙店购买需花费元，分别求，关于x的函数解析式； (2)请计算并说明购买多少千克砀山酥梨，两家店花费相同 【答案】(1)， (2)20千克，理由见详解 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据两家店所给的价格方案求解即可； （2）根据（1）所求可得当时，两家店的花费不可能相同，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，， 当时，， 综上所述，； （2）解：∵， ∴， ∴当时，两家店的花费不可能相同， 当时，则， 解得， 答：购买20千克砀山酥梨，两家店花费相同． 题型四 用图象表示变量之间的关系 【例4】（25-26八年级下·重庆·期中）小明从家骑自行车去C处的图书馆，先走上坡路到达A处，再走平路到达B处，最后走下坡路到达图书馆，小明的行程情况和时间分配情况如下图所示． (1)小明平路每分钟比上坡每分钟多行几米？ (2)小明骑自行车下坡用时多少分钟？ 【答案】(1)85米 (2)7分钟 【分析】（1）根据图象求出平路和上坡的速度，即可； （2）根据上坡所用时间占到，求出总时间，再乘以下坡所占的百分比即可． 【详解】（1）平路的速度为：（米/分）， 上坡的速度为（米/分）， （米）， 答：平路每分钟比上坡每分钟多行85米； （2）解：（分钟）， 答：小明骑自行车下坡用时7分钟． 【变式4-1】（25-26七年级下·全国·周测）研究表明，当每公顷土地中钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量（单位：t）与氮肥的施用量（单位：）有如下表所示的关系： 氮肥施用量/kg 0 34 67 110 135 土豆产量/t 14.73 21.10 26.61 32.82 35.92 氮肥施用量/kg 202 255 336 404 471 土豆产量/t 42.38 45.55 47.22 45.55 41.20 如果用表示氮肥施用量，用表示土豆产量，根据表中的数据，可以将氮肥施用量与土豆产量的关系拟合成如下图象，请根据图象回答下列问题： (1)上述问题中的两个变量中，自变量是____________，因变量是____________； (2)图中点表示的实际意义是_____________________________________________； (3)当每公顷土地氮肥的施用量为时，土豆的产量约为____________t； (4)你认为氮肥的施用量大概是多少时比较适宜？说说你的理由． 【答案】(1)氮肥施用量，土豆产量 (2)不施用氮肥时，土豆的产量为 (3)31.47 (4)当氮肥的施用量约为时是比较适宜的．因为此时土豆产量较高，又可以节约肥料（言之有理即可）． 【分析】（1）根据函数的定义解答即可； （2）根据图象解答即可； （3）将代入计算即可求解； （4）观察图象的最高点可得答案． 【详解】（1）解：上述问题中的两个变量，自变量是氮肥施用量，因变量是土豆产量； （2）解：图中点表示的实际意义是不施用氮肥时，土豆的产量为； （3）解：当时， 故土豆的产量约为； （4）解：当氮肥的施用量约为时是比较适宜的．因为此时土豆产量较高，又可以节约肥料（言之有理即可）． 【变式4-2】（25-26八年级上·陕西铜川·期末）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度与无人机飞行的时间之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)楼顶距离地面的高度是_______m； (2)在这个过程中，甲无人机的速度是_______，乙无人机的速度是_______； (3)当甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是多少米？ 【答案】(1)20 (2)8，4 (3)甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是20米 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，正确读图是解题的关键： （1）根据乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，直接从图象获取信息作答即可； （2）根据图象可知，甲无人机升高，乙无人机升高，进行求解即可； （3）用时甲的高度减去乙的高度即可． 【详解】（1）解：由图象可知：楼顶距离地面的高度是， 故答案为：20； （2）解：甲无人机的速度是， 乙无人机的速度是， 故答案为：8，4； （3）解：（米）． 答：甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是20米． 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买文具，于是又折回到刚经过的某文具店，买到文具后加快速度骑车去学校，已知小明家、文具店、学校在同一直线上，如图折线段是他本次上学所用的时间与离家的距离之间的图象，根据图中信息回答下列问题： (1)小明家到学校的距离是 米，折线中有一条平行于x轴的线段，它的实际意义是 ； (2)本次上学途中，小明一共行驶了 米； (3)如果小明不买文具，以往常的速度去学校，需要花费多长时间？ 【答案】(1)1500，小明在文具店停留了4分钟 (2)2700 (3)需要花费7.5分钟 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． （1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；根据函数图象的横坐标，可得到达文具店时间，离开文具店时间，根据有理数的减法，可得答案； （2）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案； （3）根据路程、速度，即可得到时间． 【详解】（1）由题意可知，小明家到学校的距离是1500米， 折线中有一条平行于x轴的线段，它的实际意义是小明在文具店停留了（分钟）； （2）（米）． 故本次上学途中，小明一共行驶了2700米； （3）小明往常的速度为（米分）， 去学校需要花费的时间为（分钟）． 答：小明不买文具，以往常的速度去学校，需要花费7.5分钟． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）对于圆的周长公式，下列说法正确的是（    ） A．C、、R是变量，2是常量 B．C是变量，R、是常量 C．C、R是变量，2、是常量 D．R是变量，C、是常量 【答案】C 【分析】根据常量与变量的定义进行判断，常量是变化过程中保持不变的量，变量是变化过程中可以发生变化的量． 【详解】解：∵ 在圆的周长公式中，半径可以发生变化，周长会随着的变化而变化，和是固定不变的数值， ∴ 、是变量，、是常量． 符合题意的是选项C． 2．（25-26八年级下·河北衡水·期中）小明周末从家骑车去图书馆看书，家距图书馆，骑车的平均速度为，小时后小明距图书馆，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵骑车的平均速度为， ∴行驶的路程为， ∵小明距图书馆的路程等于家到图书馆的总路程减去已经骑行的路程， ∴，即． 3．（25-26八年级下·北京·期中）某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 小车下滑的时间 下列说法错误的是（   ） A．h每增加，t减小 B．当时， C．随着h逐渐升高，t逐渐变小 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 【答案】A 【分析】根据表格获取数据，逐一分析各选项即可判断正误． 【详解】解:A. ∵从增加到时，减少 ，从增加到 时，减少 ， ∴每增加，减小的值不是固定的 ，故A错误，符合题意； B. 由表格数据可知，当 时， ，B正确，不符合题意； C. 观察表格数据，支撑物高度越大，小车下滑时间越小， 因此随着逐渐升高，逐渐变小，故C正确，不符合题意； D. 木板长度不变，即小车下滑路程不变， ∵随着升高，逐渐变小， ∴平均速度逐渐加快，故D正确，不符合题意． 4．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，均匀地向一个鱼缸内注水直至注满，鱼缸中水面的高度是注水时间的函数．下列函数图象中，能反映随变化规律的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：鱼缸的横截面面积从底面到缸口，先变大再变小，故注水时水面升高的速度先变慢，再变快， 其中A选项，速度为匀速，且有一段不升高，不合题意； B选项，速度为匀速，不合题意； C选项，速度变化为先变快，再变慢，不合题意； D选项，速度变化为先变慢再变快，符合题意 ． 二、填空题 5．（25-26八年级下·福建福州·期中）正方形的周长公式为，其中常量是________． 【答案】4 【分析】在变化过程中，数值不发生改变的量为常量， 【详解】解：在公式中，周长随正方形边长的变化而变化，因此和是变量，的数值保持不变，故常量是． 6．（22-23七年级下·贵州·期中）如图，在中，，且，，点P是线段上一个动点由B向C以2移动，运动至点C停止，则的面积S随点P的运动时间x之间的关系式为______． 【答案】 【分析】因为点速度为，运动时间为秒，所以可得出的长度表达式，再结合三角形面积公式，即可推导出关系式．因为点P从B运动到C停止，所以需要确定x的取值范围，从而完善关系式． 【详解】解：∵点速度为，运动时间为秒， ∴； ∵点从运动到停止，， ∴，即． ∵ ， ∴与的关系式为． 7．（25-26八年级上·安徽池州·期末）小明同学为锻炼自己的社会实践能力，暑假某一天，以每千克元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场销售，在销售了部分西瓜后，余下的每千克降价元，全部售完，销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图所示，那么小明赚了_______元． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 【详解】解：由函数图象可知，没有降价前千克西瓜卖了元，那么销售单价为：元， 降价元后单价变为，销售金额为元，说明降价后卖了元，那么降价后卖了千克， 总质量将变为千克，那么小明的成本为：元，赚了元， 故答案为：． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）下图是某种晶体熔化（晶体由固态到液态的过程）时，晶体的温度随时间变化的图象． (1)这一变化过程中，自变量是_______； (2)晶体从开始熔化到熔化结束的过程中保持温度不变，这一温度称为晶体的熔点，则该晶体的熔点为______℃，熔化过程持续了_______． 【答案】(1)时间 (2)80，15 【分析】（1）通过图象可得知自变量； （2）晶体有一定的熔点，表现在图象上，晶体熔化有一段图象是水平的，对应的温度就是晶体的熔点. 【详解】（1）解：由图可知，在这个变化过程中，时间是主动变化的量，温度随时间变化，所以自变量是时间； （2）解：对于晶体来说，熔化要吸热，在熔化的过程中，晶体温度不变， 由图象知，晶体在熔化过程中吸热，但温度保持不变，这个过程就是晶体的熔化过程，它对应的纵坐标的值，就是晶体的熔点， 从图中可知，该物质从第10分钟开始熔化，到第25分钟完全熔化完，所以熔化过程经历了； 三、解答题 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各问题中的常量与变量． (1)每本练习本元，晓雯购买练习本的本数为n，所需的钱数m（元）； (2)用总长度为的篱笆刚好围成一个矩形场地，其中一边的长度为，矩形的面积为． 【答案】(1)练习本的价格元是常量，购买数量n和所需钱数m是变量 (2)矩形篱笆的总长度为常量，矩形其中一边的长度x与面积S是变量 【详解】（1）解： 练习本的价格元是常量，购买数量n和所需钱数m是变量； （2）解：， 矩形篱笆的总长度为常量，矩形其中一边的长度x与面积S是变量． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据： 轿车行驶的路程s/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … (1)根据上表中的数据，写出油箱剩余油量Q与轿车行驶的路程s之间的关系式． (2)行驶150km时，油箱剩余油量为________L． (3)某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L．求A，B两地之间的距离． 【答案】(1) (2)38 (3)500km 【分析】（1）根据表中数据得出每耗油的关系，据此可得与的关系式； （2）将代入（1）中所求的关系式中即可求出油箱剩余油量； （3）将代入（1）中所求的关系式中即可求出，两地之间的距离． 【详解】（1）解：由表格可知，开始油箱中的油量为，每行驶，油量减少， 据此可得与的关系式为． （2）解：当时，， 故答案为：． （3）解：令，即， 解得， 答：，两地之间的距离为． 【点睛】本题主要考查用关系式表示变量之间的关系，熟练根据自变量和函数的关系得出表达式是解题的关键． 11．（2025八年级上·上海·专题练习）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，印刷收费y（元）与印刷数量x（张）之间的关系如下表： 印刷数量x（张） … 100 200 300 400 … 印刷收费y（元） … 15 30 45 60 … (1)上表中的变量是什么？ (2)从上表可知：印刷收费y（元）随印刷数量x（张）的增加而________； (3)若要印刷1000张宣传单，收费多少元？ 【答案】(1)变量是印刷收费与印刷数量 (2)增加 (3)150（元） 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得：上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）解：由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张宣传单，收费（元）． 12．（24-25七年级下·四川达州·阶段检测）甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________． (2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒． (3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 【答案】(1)甲出发的时间t；距起点的距离s (2)6； (3)当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米 【分析】本题考查了利用图象表示变量之间的关系，常量与变量，体现了方程思想，当甲第1次追上乙时，根据所跑路程相等列出方程求出t是解题的关键． （1）根据图象的横轴表示自变量，纵轴表示因变量即可得出答案； （2）根据甲100秒跑了600米，乙150秒跑了（米）计算速度即可； （3）设t秒时，甲第1次追上乙，根据所跑路程相等列出方程求出t，进而得到甲距起点的距离． 【详解】（1）解：在上述变化过程中，自变量是甲出发的时间t，因变量是他们距起点的距离s． 故答案为：甲出发的时间t；他们距起点的距离s． （2）解：甲的速度为：（米/秒）， 乙的跑步速度为： （米/秒）． 故答案为：6；． （3）解：设t秒时，甲追上乙， 根据题意得： 解得： ， 则（米）， 答：当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）汽车以的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量是（    ） A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间 【答案】D 【分析】本题考查了自变量与因变量的定义知识点，掌握在一个变化过程中，主动变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量的判定方法是解题的关键． 在路程随时间变化的过程中，时间是独立变化的量，路程是依赖时间变化的量． 【详解】解：∵路程与时间t的关系为，其中为常数， ∴时间是自变量，路程是因变量． 故选：D． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（    ） A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是 C．时间t是自变量，油温y是因变量 D．每隔，油温上升 【答案】D 【分析】本题考查函数的表示方法，能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键． 由表格可得，时间t每增加，油温y增加，据此逐一判断即可． 【详解】解： A：当时，即没有加热时，油的温度是，不符合题意； B：由表格可得，时间t每增加，油温y增加， ∴加热，温度升高了， ∵初始， ∴，不符合题意； C：由题意可得，时间t是自变量，油温y是因变量，不符合题意； D：每油温上升，而非，符合题意． 故选D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图，白昼时长=（12-日出时刻）2=（日落时刻-12）2．下列结论中正确的是（   ） A．立夏这天的日出时刻是5:30 B．白昼时长在12 h～15 h的有10天 C．立冬这天的日落时刻是17:00 D．小满时白昼时间最长 【答案】C 【分析】本题考查了从图象获得信息，解题的关键是能够从图象获得信息． 根据图象中的信息逐项求解判断即可. 【详解】解：A、由图象可得，立夏这天的白昼时长为14小时， 日出时刻． 解得日出时刻 立夏这天的日出时刻是故A选项中的结论错误，不符合题意； B、由图象可得，白昼时长在小时的有天，故B选项中的结论错误，不符合题意； C、由图象可得，立冬这天的白昼时长为10小时， 日落时刻 解得日落时刻 立冬这天的日落时刻是故C选项中的结论正确，符合题意； D、由图象可得，夏至时白昼时间最长，为15小时，故D选项中的结论错误，不符合题意． 故选：C． 4．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，理解题中两个变量间的关系是解题关键．由题意可得：杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢，从而可得答案. 【详解】解：由题意知，杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢， ∴符合题意的图象是B选项中的图象． 故选：B． 二、填空题 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）该公园内有一音乐喷泉，喷出水的高度y（单位：m）与音乐响起的时间t（单位：min）的变化情况如图所示．在这个变化过程中，自变量为___________，因变量为________________． 【答案】 时间 喷出水的高度 【分析】本题考查了自变量与因变量的概念，掌握自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量是解题的关键． 根据自变量和因变量的定义，判断喷出水的高度变化过程中，主动变化的量与随之变化的量． 【详解】解：在喷出水的高度y与音乐响起的时间t的变化过程中：时间t是主动变化的量， 故自变量为时间；喷出水的高度y是随着时间t的变化而变化的量，故因变量为喷出水的高度． 故答案为：时间，喷出水的高度． 6．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，诗词中体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山顶距离地面竖直高度h千米与温度的函数表达式为________． 【答案】 【分析】此题考查了列函数关系式．根据地面温度为，且每升高1千米温度下降，据此列出关系式即可． 【详解】解：∵某地面温度为，且每升高1千米温度下降， ∴山上距离地面竖直高度千米处的温度为，． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·福建三明·期中）游泳池完成换水需要经过“排水—清洗—注水”三个过程．图中折线表示的是该游泳池在换水过程中池中的水量与时间之间的关系，则清洗游泳池所用的时间为____． 【答案】 【分析】本题主要考查函数的应用，掌握数形结合的思想是解题的关键．根据函数图象中的数据，可以计算出排水的速度，从而可以求得排水用的时间，最后即可求得清洗游泳池所用的时间． 【详解】解：由图象可得， 排水的速度为：， ∴排水用的时间为：， 清洗游泳池所用的时间为：． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）小涵爸爸为了了解新买的轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … （1）该轿车油箱的容量为________L． （2）行驶________km时，油箱剩余油量为42 L；行驶150 km时，油箱剩余油量为________L． 【答案】 50 100 38 【分析】本题考查了从表格数据中提取信息及行程耗油量的计算，掌握利用初始数据确定总量，通过单位路程耗油量计算剩余油量是解题的关键． （1）从表格初始数据确定油箱容量； （2）通过表格直接匹配行驶路程与剩余油量的对应关系，再计算单位路程耗油量，进而求出指定行驶路程的剩余油量． 【详解】解：（1）当行驶路程时，油箱处于加满状态，此时剩余油量为，故该轿车油箱的容量为． 故答案为：. （2）由表格可知，行驶时，油箱剩余油量为，每行驶，油量减少， 所以行驶时，油箱剩余油量为． 故答案为：，． 三、解答题 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据： 时间（分） 0 1 2 3 4 5 6 温度（℃） 时间（分） 7 8 9 温度（℃） (1)时间是8分钟时，水的温度为________； (2)此表反映了变量________和________之间的关系，其中________是自变量，________是因变量； (3)在________时间内，温度随时间增加而增加；________时间内，水的温度不再变化． 【答案】(1) (2)温度，时间，时间，温度 (3)0至8分钟，8至分钟 【分析】本题考查了函数的概念，函数的增减性，解题关键是理解函数的概念和函数的增减性． 根据表中数据，结合函数的概念及函数的增减性求解． 【详解】（1）解：时间是8分钟时，水的温度为， 故答案为：． （2）此表反映了变量温度和时间之间的关系，其中时间是自变量，温度是因变量, 故答案为：温度，时间，时间，温度； （3）在0至8分钟时间内，温度随时间增加而增加；8至12分钟时间内，水的温度不再变化， 故答案为：0至8分钟，8至12分钟． 10．（24-25七年级下·广东深圳·期末）小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图象所表示的两个变量中，自变量是 ；因变量是 (2)小亮家到学校的距离是 米；本次上学途中，小亮一共骑行了 米； (3)点A的实际意义是什么？ (4)如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？ 【答案】(1)时间；离家距离 (2)； (3)点A的实际意义是“骑行6分钟时到A处，离家距离为米” (4)分钟 【分析】本题主要考查了函数图象、行程问题等知识点，利用函数图象获取正确信息是解题关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据图象，路程的最大值即为小亮家到学校的距离；分开始行解答； （3）根据题意可得点A的实际意义即可解答； （4）利用路程速度时间求解即可． 【详解】（1）解：图象所表示的两个变量中，自变量是时间，因变量是离家距离． 故答案为：时间，离家距离． （2）解：小亮家到学校的距离是米； 本次上学途中，小亮一共骑行了：（米）． 故答案为：，． （3）解：点A的实际意义是骑行6分钟时到达A处，离家距离为米． （4）解：（米/分）， （分钟）， 所以小亮以往常的速度去学校，需要分钟． 11．（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图所示，梯形上底的长是，下底长，高． (1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？ (2)当每增加时，如何变化？ (3)当时，等于什么？此时表示的是什么？ (4)当的值为多少时，梯形的面积为？ 【答案】(1) (2)当每增加时，增加 (3)，表示的是的面积 (4) 【分析】本题考查用关系式表示两个变量间的关系，正确得到关系式是解答的关键． （1）根据梯形的面积公式求解即可； （2）根据（1）所求关系式，求出当时，当时的因变量的值即可得到答案； （3）根据（1）所求关系式，求出当时的y值，根据可得点A和点D重合，则此时y表示的是的面积； （4）由列方程求解x值即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：当时，， 当时，， ∵， ∴当x每增加时，y增加； （3）解：当时，，此时表示的是的面积； （4）解：把代入到得： 解得： 所以时，梯形的面积为． 12．（23-24七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过，设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由； (2)求与之间的关系式； (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 【答案】(1)不符合题意，理由见详解 (2) (3)18，16，y随x的增大先增大后减小 【分析】本题主要考查用关系式和表格表示变量之间的关系，根据题意正确表示出花圃的长是解题关键． （1 ）根据，且，可得，再将代入求值后与墙长9米比较可得； （2 ）根据长方形的面积公式即可得关于的函数关系式； （3 ）将、代入求值可完善表格，由表格中随的增减性可得． 【详解】（1）解：不符合题意， 由题意得，， 当时，， 则，不符合题意； （2）解：； （3）解：当时，， 当时，， 完成表格如下： （米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 （米） 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5 由表可知，随的增大先增大后减小， 故答案为：随的增大先增大后减小． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 变量之间的关系（复习讲义） 1. 了解变量与常量的意义，体会表格、关系式、图象三种表示方法之间的整体联系，并能根据问题特点选择合适的表示方式。 2. 能用表格读取或创建变量间的关系，能从表格中寻找规律推断未知值；能根据具体情境分析数量关系，建立关系式（模型）。 3. 理解并利用图象（折线图、曲线图、离散点图）分析变量之间的关系，能通过图象预测变化趋势、比较变化快慢（如速度）、寻找最大值或最小值，解决实际问题。 知识清单01 基本概念（三变量一常量） 1.变量：在变化过程中，数值发生变化的量。 2.常量：在变化过程中，数值始终不变的量。 3.自变量：主动发生变化的量（先变）。 4.因变量：随自变量变化而变化的量（后变）。 知识清单02 三种表示方法 1.表格法：一目了然，可直接查对应值，但数据有限。 2.关系式法：能准确反映数量规律，可求任意值，但不直观。 -写法：将因变量单独写在等号左边（如y=3x）。 3.图象法：直观显示变化趋势（增减、快慢），但读数有误差。 -识图：横轴是自变量，纵轴是因变量。 -趋势：线上升→因变量增大；线下降→因变量减小；线水平→不变。 题型一 常量与变量（自变量、因变量） 【例1】（2026八年级下·全国·专题练习）在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 【变式1-1】（2026八年级下·全国·专题练习）刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·寒假作业）某居民小区电费标准为元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电量x（千瓦时）之间的关系式为，则下列说法正确的是（    ） A．x是自变量，是函数 B．是自变量，x是函数 C．x是自变量，y是因变量 D．y是自变量，x是函数 【变式1-3】（25-26七年级上·陕西宝鸡·月考）半径为的球的体积公式为，其中的变量和常量分别是（    ） A．变量是，，；常量是 B．变量是，；常量是， C．变量是，；常量是 D．变量是；常量是 题型二 用表格表示的变量间关系 【例2】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）物流公司在一条东西向的轨道上有两个货仓，货仓B在A东面处．1号智能无人运输车从货仓A向东出发，先匀速行驶，然后在停下来分拣货物，后继续以原速行驶；2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶，两车均在行驶15min后到达各自的终点．设运动时间为（单位：min），记录仪记录1号车，2号车与货仓A的距离的部分数据如下： 运动时间 0 1 3 5 8 9 10 12 15 1号车与货仓A的距离（单位：） 0 10 30 80 80 100 2号车与货仓A的距离（单位：） 10 18 50 74 82 90 130 请根据以上信息和数据，解决下列问题： (1)表中___________，2号车的速度为___________； (2)求2号车与A货仓的距离为时的值． 【变式2-1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）打羽毛球时，羽毛球的运动轨迹主要受击球力度、角度和空气阻力影响．小明发了个高远球，羽毛球到达最高点后开始下落．羽毛球高度与下落时间的关系如表所示： 下落时间 羽毛球高度 根据表格所提供的信息，回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)当下落时间为______时，羽毛球高度为 (3)当下落时间为时，羽毛球下降的距离为______； (4)假设搭档小华的接球合适高度在左右，从羽毛球下落那一刻算起，小华最好在______内完成回击． 【变式2-2】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）探究小组的同学利用同一块木板做“测量小车从不同高度下滑的时间”的实验时，得到如下数据： 支撑物高度 10 20 30 40 50 60 70 小车下滑时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 (1)在此题中，自变量是__________，因变量是__________． (2)随支撑物高度的变化，小车下滑时间如何变化？ (3)当支撑物高度为时，小车下滑时间为__________；估计当时，__________． 【变式2-3】（24-25七年级下·山西晋中·期末）某超市叠放的购物车如图所示，小敏尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．如表是小敏测得的一些数据： 购物车数量/辆 2 3 4 5 6 车身总长 1.2 1.4 1.6 1.8 2 根据表格，回答下列问题： (1)如表中自变量是_____________，因变量是____________． (2)一辆购物车的车身长为__________． (3)请直接写出与之间的关系式，并求出叠放10辆购物车时车身的总长． 题型三 用关系式表示变量之间的关系 【例3】（25-26六年级下·山东济南·期中）一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： (1)请将下表补充完整： 碗的数量/个 1 2 3 4 5 … 高度 5.2 6.4 ______ 8.8 ______ … (2)直接写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式______； (3)当碗的数量为10个时，求这些碗的高度． 【变式3-1】（25-26六年级下·全国·单元测试）综合与实践 【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材1：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y与购物车数量x的关系： 购物车数量x/辆 1 2 3 4 5 车身总长y/米 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 素材2：如图，该超市的扶梯斜坡米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的关系式为___________； (2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 【变式3-2】（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）为鼓励市民节约用电，某市采用分档计费方式计算电费，电费按分档累进计算，即用电量在第一档范围内的部分按第一档单价计费，超出第一档但在第二档范围内的部分按第二档单价计费，以此类推．如表是家庭人口不超过5人的用户年用电量及分档计费标准（以年用电量为准计算电费）： 计费档 用户年用电量x（单位：度） 单价（单位：元/度） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，求出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某用户一年的电费是1430元，求该用户这一年的用电量． 【变式3-3】（25-26八年级上·安徽·期中）砀山酥梨是宿州市民秋季喜爱的水果之一、甲、乙两家水果店销售同一种砀山酥梨，甲店每千克酥梨的价格为4元，乙店为了吸引顾客制定如下方案：当一次性购买不超过10千克时，每千克价格为5元，超过10千克时，超过部分每千克价格为3元．设小王在同一家店一次性购买砀山酥梨x千克． (1)若在甲店购买需花费元，在乙店购买需花费元，分别求，关于x的函数解析式； (2)请计算并说明购买多少千克砀山酥梨，两家店花费相同 题型四 用图象表示变量之间的关系 【例4】（25-26八年级下·重庆·期中）小明从家骑自行车去C处的图书馆，先走上坡路到达A处，再走平路到达B处，最后走下坡路到达图书馆，小明的行程情况和时间分配情况如下图所示． (1)小明平路每分钟比上坡每分钟多行几米？ (2)小明骑自行车下坡用时多少分钟？ 【变式4-1】（25-26七年级下·全国·周测）研究表明，当每公顷土地中钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量（单位：t）与氮肥的施用量（单位：）有如下表所示的关系： 氮肥施用量/kg 0 34 67 110 135 土豆产量/t 14.73 21.10 26.61 32.82 35.92 氮肥施用量/kg 202 255 336 404 471 土豆产量/t 42.38 45.55 47.22 45.55 41.20 如果用表示氮肥施用量，用表示土豆产量，根据表中的数据，可以将氮肥施用量与土豆产量的关系拟合成如下图象，请根据图象回答下列问题： (1)上述问题中的两个变量中，自变量是____________，因变量是____________； (2)图中点表示的实际意义是_____________________________________________； (3)当每公顷土地氮肥的施用量为时，土豆的产量约为____________t； (4)你认为氮肥的施用量大概是多少时比较适宜？说说你的理由． 【变式4-2】（25-26八年级上·陕西铜川·期末）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度与无人机飞行的时间之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)楼顶距离地面的高度是_______m； (2)在这个过程中，甲无人机的速度是_______，乙无人机的速度是_______； (3)当甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是多少米？ 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买文具，于是又折回到刚经过的某文具店，买到文具后加快速度骑车去学校，已知小明家、文具店、学校在同一直线上，如图折线段是他本次上学所用的时间与离家的距离之间的图象，根据图中信息回答下列问题： (1)小明家到学校的距离是 米，折线中有一条平行于x轴的线段，它的实际意义是 ； (2)本次上学途中，小明一共行驶了 米； (3)如果小明不买文具，以往常的速度去学校，需要花费多长时间？ 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）对于圆的周长公式，下列说法正确的是（    ） A．C、、R是变量，2是常量 B．C是变量，R、是常量 C．C、R是变量，2、是常量 D．R是变量，C、是常量 2．（25-26八年级下·河北衡水·期中）小明周末从家骑车去图书馆看书，家距图书馆，骑车的平均速度为，小时后小明距图书馆，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·北京·期中）某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 小车下滑的时间 下列说法错误的是（   ） A．h每增加，t减小 B．当时， C．随着h逐渐升高，t逐渐变小 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 4．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，均匀地向一个鱼缸内注水直至注满，鱼缸中水面的高度是注水时间的函数．下列函数图象中，能反映随变化规律的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26八年级下·福建福州·期中）正方形的周长公式为，其中常量是________． 6．（22-23七年级下·贵州·期中）如图，在中，，且，，点P是线段上一个动点由B向C以2移动，运动至点C停止，则的面积S随点P的运动时间x之间的关系式为______． 7．（25-26八年级上·安徽池州·期末）小明同学为锻炼自己的社会实践能力，暑假某一天，以每千克元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场销售，在销售了部分西瓜后，余下的每千克降价元，全部售完，销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图所示，那么小明赚了_______元． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）下图是某种晶体熔化（晶体由固态到液态的过程）时，晶体的温度随时间变化的图象． (1)这一变化过程中，自变量是_______； (2)晶体从开始熔化到熔化结束的过程中保持温度不变，这一温度称为晶体的熔点，则该晶体的熔点为______℃，熔化过程持续了_______． 三、解答题 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各问题中的常量与变量． (1)每本练习本元，晓雯购买练习本的本数为n，所需的钱数m（元）； (2)用总长度为的篱笆刚好围成一个矩形场地，其中一边的长度为，矩形的面积为． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据： 轿车行驶的路程s/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … (1)根据上表中的数据，写出油箱剩余油量Q与轿车行驶的路程s之间的关系式． (2)行驶150km时，油箱剩余油量为________L． (3)某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L．求A，B两地之间的距离． 11．（2025八年级上·上海·专题练习）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，印刷收费y（元）与印刷数量x（张）之间的关系如下表： 印刷数量x（张） … 100 200 300 400 … 印刷收费y（元） … 15 30 45 60 … (1)上表中的变量是什么？ (2)从上表可知：印刷收费y（元）随印刷数量x（张）的增加而________； (3)若要印刷1000张宣传单，收费多少元？ 12．（24-25七年级下·四川达州·阶段检测）甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________． (2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒． (3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）汽车以的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量是（    ） A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（    ） A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是 C．时间t是自变量，油温y是因变量 D．每隔，油温上升 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图，白昼时长=（12-日出时刻）2=（日落时刻-12）2．下列结论中正确的是（   ） A．立夏这天的日出时刻是5:30 B．白昼时长在12 h～15 h的有10天 C．立冬这天的日落时刻是17:00 D．小满时白昼时间最长 4．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）该公园内有一音乐喷泉，喷出水的高度y（单位：m）与音乐响起的时间t（单位：min）的变化情况如图所示．在这个变化过程中，自变量为___________，因变量为________________． 6．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，诗词中体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山顶距离地面竖直高度h千米与温度的函数表达式为________． 7．（25-26八年级上·福建三明·期中）游泳池完成换水需要经过“排水—清洗—注水”三个过程．图中折线表示的是该游泳池在换水过程中池中的水量与时间之间的关系，则清洗游泳池所用的时间为____． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）小涵爸爸为了了解新买的轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … （1）该轿车油箱的容量为________L． （2）行驶________km时，油箱剩余油量为42 L；行驶150 km时，油箱剩余油量为________L． 三、解答题 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据： 时间（分） 0 1 2 3 4 5 6 温度（℃） 时间（分） 7 8 9 温度（℃） (1)时间是8分钟时，水的温度为________； (2)此表反映了变量________和________之间的关系，其中________是自变量，________是因变量； (3)在________时间内，温度随时间增加而增加；________时间内，水的温度不再变化． 10．（24-25七年级下·广东深圳·期末）小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图象所表示的两个变量中，自变量是 ；因变量是 (2)小亮家到学校的距离是 米；本次上学途中，小亮一共骑行了 米； (3)点A的实际意义是什么？ (4)如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？ 11．（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图所示，梯形上底的长是，下底长，高． (1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？ (2)当每增加时，如何变化？ (3)当时，等于什么？此时表示的是什么？ (4)当的值为多少时，梯形的面积为？ 12．（23-24七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过，设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由； (2)求与之间的关系式； (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． （米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 （米） 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $