2025年中考数学第一轮专题复习讲义《第2讲 整式与因式分解》

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第一单元　数与式 《第2讲 整式与因式分解》 【知识梳理】 1.整式的有关概念 (1)单项式:由　数　与　字母　或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式,单独的一个数或一个字母也叫单项式.  (2)多项式:由几个单项式　相加　组成的代数式叫做多项式.  (3)整式:　单项式和多项式　统称为整式.  (4)单项式的次数:一个单项式中,所有字母的　指数　的和叫做这个单项式的次数.  (5)单项式的系数:单项式中的　数字因数　叫做这个单项式的系数.  (6)多项式的次数:一个多项式中,次数　最高　的项的次数就是这个多项式的次数.  2.同类项、合并同类项 (1)同类项:多项式中,所含字母　相同　,并且相同字母的　指数　也相同的项叫做同类项,所有的常数项也看做同类项.  (2)合并同类项:把同类项的　系数　相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数　不变　.  3.整式的运算 (1)整式的加减:整式的加减可以归结为　去括号　和　合并同类项　.  (2)正整数指数幂的运算: ①同底数幂相乘:am·an＝　am＋n　(m,n都是正整数).  ②幂的乘方:(am)n＝　amn　(m,n都是正整数).  ③积的乘方:(ab)n＝　anbn　(n是正整数).  ④同底数幂相除:am÷an＝　am－n　(a≠0,m,n都是正整数,且m＞n).  (3)整式的乘法: ①单项式与多项式相乘: m(a＋b＋c)＝　ma＋mb＋mc　.  ②多项式与多项式相乘: (m＋n)(a＋b)＝　ma＋mb＋na＋nb　.  (4)整式的除法: ①单项式除以单项式:把系数、同底数幂分别　相除　,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.  ②多项式除以单项式:先把这个多项式的　每一项　除以这个单项式,再把所得的商　相加　.  4.常用公式 (1)平方差公式:两数和与这两数差的积等于这两数的平方差,即(a＋b)(a－b)＝　a2－b2　.  (2)完全平方公式:两数和(或差)的平方,等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的2倍,即(a±b)2＝　a2±2ab＋b2　.  (3)常用恒等变形: ①a2＋b2＝(a＋b)2－　2ab　＝(a－b)2＋　2ab　.  ②(a－b)2＝(a＋b)2－　4ab　.  5.因式分解的概念及方法 (1)因式分解:一般地,把一个多项式化成几个　整式的积　的形式,叫做因式分解.因式分解和　整式的乘法　有互逆关系,因此,可以用　整式的乘法　运算来检验因式分解的正确性.  (2)公因式:一般地,一个多项式中每一项都含有的　相同　的因式,叫做这个多项式各项的公因式.  (3)提取公因式法:如果一个多项式的各项含有公因式,那么可把该公因式提取出来进行因式分解.这种分解因式的方法,叫做提取公因式法.用字母表示为: ma＋mb＋mc＝　m(a＋b＋c)　.  (4)公式法: ①平方差公式:a2－b2＝　(a＋b)(a－b)　.  ②完全平方公式:a2＋2ab＋b2＝　(a＋b)2　,a2－2ab＋b2＝　(a－b)2　.  (5)二次多项式x2＋(p＋q)x＋pq可以因式分解为　(x＋p)(x＋q)　.  (6)当n是奇数时,(a－b)n＝　－(b－a)n　;当n是偶数时,(a－b)n＝(b－a)n.  【考题探究】 类型一　代数式 【例1】 某地居民生活用水收费标准:每月用水量不超过17立方米,每立方米a元;超过部分每立方米(a＋1.2)元.该地区某用户上月用水量为20立方米,则应缴水费为(　D　) A.20a元 B.(20a＋24)元 C.(17a＋3.6)元 D.(20a＋3.6)元 【解析】 由题意得,应缴水费为17a＋(20－17)(a＋1.2)＝(20a＋3.6)元. 变式1－1 [2024·广安]下列对代数式－3x的意义表述正确的是(　C　) A.－3与x的和 B.－3与x的差 C.－3与x的积 D.－3与x的商 变式1－2 [2024·雅安]如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图(单位:cm),在探究纸杯叠放在一起后的总高度y与杯子数量n的变化规律的活动中,我们可以获得以下数据(字母),请选用适当的字母表示y＝　h＋an　.  　变式1－2图 ①杯子底部到杯沿底边的高h; ②杯口直径d1; ③杯底直径d2; ④杯沿高a. 类型二　整式的有关概念 【例2】 [2024·长春]单项式－2a2b的次数是　3　.  变式2 若单项式3xm＋2y与－2x6y是同类项,则m＝　4　.  类型三　幂的运算 【例3】 [2024·浙江]下列式子运算正确的是(　D　) A.x3＋x2＝x5 B.x3·x2＝x6 C.(x3)2＝x9 D.x6÷x2＝x4 变式3 [2023·宁波]下列计算正确的是(　D　) A.x2＋x＝x3 B.x6÷x3＝x2 C.(x3)4＝x7 D.x3·x4＝x7 类型四　整式的化简与求值 【例4】[2023·金华]已知x＝,求(2x＋1)·(2x－1)＋x(3－4x)的值. 解:原式＝4x2－1＋3x－4x2＝3x－1. 当x＝时,原式＝3×－1＝0. 变式4－1 [2024·长沙]先化简,再求值:2m－m(m－2)＋(m＋3)(m－3),其中m＝. 解:原式＝2m－m2＋2m＋m2－9＝4m－9. 当m＝时,原式＝4×－9＝10－9＝1. 变式4－2 [2024·赤峰]已知a2－a－3＝0,求代数式(a－2)2＋(a－1)(a＋3)的值. 解:原式＝a2－4a＋4＋a2＋3a－a－3 ＝2a2－2a＋1. ∵a2－a－3＝0, ∴a2－a＝3. 当a2－a＝3时,原式＝2(a2－a)＋1＝2×3＋1＝6＋1＝7. 类型五　整式的规律型问题 【例5】 [2023·嘉兴、舟山]观察下面的等式: 32－12＝8×1, 52－32＝8×2, 72－52＝8×3, 92－72＝8×4, … (1)写出192－172的结果. (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示,n为正整数). (3)请运用有关知识,推理说明这个结论是正确的. 解:(1)∵17＝2×9－1, ∴192－172＝8×9＝72. (2)(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n. (3)∵(2n＋1)2－(2n－1)2 ＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n×2＝8n, ∴结论正确. 变式5－1 [2024·云南]在按一定规律排列的代数式:2x,3x2,4x3,5x4,6x5,…中,第n个代数式是(　D　) A.2xn B.(n－1)xn C.nxn＋1 D.(n＋1)xn 变式5－2 [2024·河北]“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法,可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发,设计了如图1所示的“表格算法”,图1表示132×23,运算结果为3 036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘,表格中部分数据被墨迹覆盖,根据图2中现有数据进行推断,正确的是(　D　) 变式5－2图 A.“20”左边的数是16 B.“20”右边的“□”表示5 C.运算结果小于6 000 D.运算结果可以表示为4 100a＋1 025 【解析】 设这个三位数与这个两位数分别为100x＋10y＋z和10m＋n,如答图1, 变式5－2答图1 则由题意,得mz＝20,nz＝5,ny＝2,nx＝a, ∴＝4,即m＝4n, ∴当n＝2,y＝1时,z＝2.5不是正整数,不合题意,舍去. 当n＝1,y＝2时,m＝4,z＝5,x＝a,如答图2, 变式5－2答图2 ∴“20”左边的数是2×4＝8,故A不符合题意, “20”右边的“□”表示4,故B不符合题意, ∴a上面的数应为4a,如答图3, 变式5－2答图3 ∴运算结果可以表示为1 000(4a＋1)＋100a＋25＝4 100a＋1 025, ∴D符合题意. 当a＝2时,计算的结果大于6 000, 故C不符合题意. 类型六　因式分解 【例6】 [2024·浙江]因式分解:a2－7a＝　a(a－7)　.  变式6－1 因式分解: (1)[2023·杭州]4a2－1＝(　A　) A.(2a－1)(2a＋1) B.(a－2)(a＋2) C.(a－4)(a＋1) D.(4a－1)(a＋1) (2)x2－2x＋1＝　(x－1)2　.  (3)[2024·北京]x3－25x＝　x(x＋5)(x－5)　.  (4)[2024·达州]3x2－18x＋27＝　3(x－3)2　.  变式6－2 [2024·广西]如果a＋b＝3,ab＝1,那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为(　D　) A.0 B.1 C.4 D.9 【解析】 ∵a＋b＝3,ab＝1, ∴a3b＋2a2b2＋ab3. ＝ab(a＋b)2 ＝1×32＝9. 类型七　整式的应用 【例7】 [2023·金华]如图是一块矩形菜地ABCD,AB＝a(m),AD＝b(m),面积为s(m2).现将边AB增加1 m. (1)如图1,若a＝5,边AD减少1 m,得到的矩形面积不变,则b的值是　6　.  (2)如图2,若边AD增加2 m,有且只有一个a的值,使得到的矩形面积为2s(m2),则s的值是　6＋4　.  典例7图 【解析】 (1)由题意,得s＝(a＋1)(b－1)＝6(b－1)＝5b,解得b＝6. (2)由题意,得(a＋1)(b＋2)＝2s,即ab＋2a＋b＋2＝2s. 由s＝ab,得b＝, 代入上式并整理,得2a2＋(2－s)a＋s＝0. 当Δ＝0时,a有两个相等的实数解, 得(2－s)2－4×2×s＝0, 解得s1＝6＋4,s2＝6－4(不合题意,舍去). 变式7 [2023·丽水]如图,分别以a,b,m,n为边长作正方形,已知m＞n且满足am－bn＝2,an＋bm＝4. (1)若a＝3,b＝4,则图1阴影部分的面积为　25　.  (2)若图1阴影部分的面积为3,图2四边形ABCD的面积为5,则图2阴影部分的面积为 　.  变式7图 【解析】 (2)由题意,得a2＋b2＝3,图2中四边形ABCD的面积＝(m＋n)(m＋n)＝(m＋n)2＝5,阴影部分的面积＝(m＋n)2－m2－n2＝mn. 解关于m,n的二元一次方程组 得 则m＋n＝,mn＝, ∴＝5, ∴2b2＋12ab＋18a2＝45, ∴16a2＋12ab＝39, ∴8a2＋12ab＝39－8a2, ∴mn＝. 【课后作业】 1.[2023·河北]代数式－7x的意义可以是(　C　) A.－7与x的和 B.－7与x的差 C.－7与x的积 D.－7与x的商 2.[2024·河南]计算()3的结果是(　D　) A.a5 B.a6 C.aa＋3 D.a3a 3.[2024·安徽]下列计算正确的是(　C　) A.a3＋a3＝a6 B.a6÷a3＝a2 C.(－a)2＝a2 D.＝a 4.[2024·云南]分解因式:a3－9a＝(　A　) A.a(a－3)(a＋3) B.a(a2＋9) C.(a－3)(a＋3) D.a2(a－9) 5.[2024·河北]若a,b是正整数,且满足,则a与b的关系正确的是(　A　) A.a＋3＝8b B.3a＝8b C.a＋3＝b8 D.3a＝8＋b 6.[2023·随州]如图1,有边长分别为a和b(a＞b)的A类和B类正方形纸片、长为a、宽为b的C类矩形纸片若干张,要拼一个边长为a＋b的正方形(如图2所示),则需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为3a＋b、宽为2a＋2b的矩形,则需要C类纸片的张数为(　C　) 第6题图 A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】 ∵(3a＋b)(2a＋2b)＝6a2＋6ab＋2ab＋2b2＝6a2＋8ab＋2b2, ∴若要拼一个长为3a＋b、宽为2a＋2b的矩形,则需要C类纸片的张数为8. 7.已知(a＋b)2＝49,a2＋b2＝25,则ab＝(　C　) A.24 B.48 C.12 D.2 【解析】 ∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝49,a2＋b2＝25, ∴2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)＝24,∴ab＝12. 8.[2024·德阳]若一个多项式加上y2＋3xy－4,结果是3xy＋2y2－5,则这个多项式为　y2－1　.  9.[2024·苏州]若a＝b＋2,则(b－a)2＝　4　.  【解析】 ∵a＝b＋2,∴b－a＝－2, ∴(b－a)2＝(－2)2＝4. 10.因式分解:(1)[2024·吉林改编]a2－4a＝　a(a－4)　.  (2)[2024·宜宾]2a2－2＝　2(a＋1)(a－1)　.  (3)[2024·扬州改编]x2y－2xy＋y＝　y(x－1)2　.  (4)[2024·威海](x＋2)(x＋4)＋1＝　(x＋3)2　.  11.[2024·湖州模拟]古希腊一位庄园主把一边长为a米(a＞4)的正方形土地租给老农,第二年他对老农说:“我把这块地的一边增加4米,相邻的一边减少4米,变成长方形土地继续租给你,租金不变.”后来老农发现收益减少,感觉吃亏了.聪明的你帮老农算出土地面积其实减少了　16　平方米.  【解析】 ∵a2－(a＋4)(a－4) ＝a2－(a2－16) ＝16(平方米), ∴土地面积其实减少了16平方米. 12.[2024·广安]若x2－2x－3＝0,则2x2－4x＋1＝　7　.  13.若3x2mym与x4－nyn－1是同类项,则m＋n＝　3　.  【解析】 ∵3x2mym与x4－nyn－1是同类项, ∴解得 ∴m＋n＝1＋2＝3. 14.[2023·凉山州]已知y2－my＋1是完全平方式,则m的值是　±2　.  【解析】 ∵y2－my＋1是完全平方式,y2－2y＋1＝(y－1)2,y2－(－2)y＋1＝(y＋1)2, ∴－m＝－2或－m＝2,∴m＝±2. 15.化简: (1)[2024·重庆A卷]x(x－2y)＋(x＋y)2. 解:原式＝x2－2xy＋x2＋2xy＋y2 ＝2x2＋y2. (2)[2023·山西]x(x＋2)＋(x＋1)2－4x. 解:原式＝x2＋2x＋x2＋2x＋1－4x ＝2x2＋1. 16.先化简,再求值: (1)[2024·南充](x＋2)2－(x3＋3x)÷x,其中x＝－2. 解:原式＝(x2＋4x＋4)－(x2＋3) ＝x2＋4x＋4－x2－3 ＝4x＋1. 当x＝－2时,原式＝4×(－2)＋1＝－7. (2)[2024·包头](x＋1)2－2(x＋1),其中x＝2. 解:原式＝x2＋2x＋1－2x－2＝x2－1. 当x＝2时,原式＝8－1＝7. 17.[2024·浙江模拟]若a＝2－b,ab＝t－1,求(a2－1)(b2－1)的最小值. 解:∵a＝2－b, ∴a＋b＝2, ∴(a2－1)(b2－1) ＝a2b2－a2－b2＋1 ＝a2b2－(a2＋b2)＋1 ＝(ab)2－(a＋b)2＋2ab＋1 ＝(t－1)2－22＋2(t－1)＋1 ＝t2－2t＋1－4＋2t－2＋1 ＝t2－4. ∵t2≥0, ∴t2－4≥－4, ∴(a2－1)(b2－1)的最小值为－4. 18.[2023·河北]现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张,卡片的边长如图1所示(a＞1).某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠、无缝隙),如图2和图3,其面积分别为S1,S2. 第18题图 (1)请用含a的代数式分别表示S1,S2,当a＝2时,求S1＋S2的值. (2)比较S1与S2的大小,并说明理由. 解:(1)由图可知S1＝(a＋2)(a＋1)＝a2＋3a＋2,S2＝(5a＋1)×1＝5a＋1. 当a＝2时,S1＋S2＝4＋3×2＋2＋5×2＋1＝23. (2)S1＞S2.理由如下: ∵S1－S2＝a2＋3a＋2－5a－1＝a2－2a＋1＝(a－1)2,a＞1, ∴(a－1)2＞0, ∴S1＞S2. 19.观察以下等式: 第1个等式:(2×1＋1)2＝(2×2＋1)2－(2×2)2, 第2个等式:(2×2＋1)2＝(3×4＋1)2－(3×4)2, 第3个等式:(2×3＋1)2＝(4×6＋1)2－(4×6)2, 第4个等式:(2×4＋1)2＝(5×8＋1)2－(5×8)2, …… 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第5个等式:　(2×5＋1)2＝(6×10＋1)2－(6×10)2　.  (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并证明. 解:(2)第n个等式为(2n＋1)2＝[(n＋1)×2n＋1]2－[(n＋1)×2n]2.证明如下: 左边＝4n2＋4n＋1, 右边＝[(n＋1)×2n]2＋2×(n＋1)×2n＋12－[(n＋1)×2n]2 ＝4n2＋4n＋1, ∴左边＝右边. 学科网（北京）股份有限公司 $$