湖南省长沙市2024-2025学年九年级下学期开学模拟考数学练习卷

湖南省长沙市2024-2025学年九年级下学期开学模拟考数学练习卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度至△AB′C′处，使得点C恰好在线B′C′上，若∠ACB＝75°，则∠BCB′的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝3x B．y＝x2+x（3﹣x） C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x2﹣3x 4．（3分）如图在⊙O中，若点C是的中点，∠AOC＝45°，则∠AOB＝（　　） A．45° B．80° C．85° D．90° 5．（3分）圆的半径是6cm，若圆心与直线的距离为6.5cm，则直线与圆的位置关系是（　　） A．相交或相切 B．相交 C．相切 D．相离 6．（3分）下列事件中是必然事件的是（　　） A．明天太阳从东边升起 B．明天下雨 C．明天的气温比今天高 D．明天买彩票中奖 7．（3分）下列关于反比例函数y的结论中正确的是（　　） A．图象过点（2，3） B．图象在二、四象限内 C．在每个象限内，y随x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y＞6 8．（3分）如图△BCD中，BD＝CD＝5，延长CD至点A，使AD＝3，连结AB，此时△ABC∽△ADB．则BC的长为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）在抛物线y＝x2上任取一点A（非坐标原点O），连接OA，在OA上取点B，使OBOA，则顶点在原点且过点B的抛物线的表达式为（　　） A．yx2 B．y＝9x2 C．yx2 D．y＝3x2 10．（3分）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　） A． B．当I＞10时，R＞22 C．当I＝5时，R＝40 D．当I＞2时，0＜R＜110 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：） 下面有四个推断： ①当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以“钉尖向上”的概率是0.667； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的情况一定高于500次． 其中合理的是 　 　． 12．（3分）双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB＝3，则y2的解析式是　 　． 13．（3分）抛物线y＝x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移1个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，则c＝　 　． 14．（3分）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，则　 　． 15．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD，CE为边作正方形，则两个阴影部分的面积差a﹣b的值为 　 　． 16．（3分）若抛物线y＝x2+x﹣m与坐标轴有1个交点，则m的取值范围是 　 　． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）在直角坐标系中，图案△ABO经过变化后，得到的相应图案如图①～⑥所示（虚线为原图案）．图①～图⑥中的图案变化前后，其中一点P（x，y）与之对应点的坐标之间各有什么关系？（填写表格） 图号 图形的变化 对应点坐标的变化 ① 　 　 ② 　 　 ③ 　 　 　 ④ 　 　 　 　 ⑤ 　 　 　 　 ⑥ 　 　 　 　 18．（6分）一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同． （1）小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ （2）任意摸出一个球，摸到白球和摸到红球的概率各是多少？ （3）任意摸出一个球，摸到黄球的概率呢？ 19．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，F为AD上一点，且BF＝BD．BF的延长线交AC于点E． （1）求证：AB•AD＝AF•AC； （2）若∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，求DF的长． 20．（8分）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点A（2，m ），点P是反比例函数y（k≠0，x＞0）图象上的一动点．过点P作PH上x轴，垂足为H，交直线y＝x于点G． （1）求k与m的值； （2）若△OPG的面积是2，求此时点P的坐标． 21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，． （1）求证：OD//BC； （2）若AC＝8，DE＝2，求BC的长． 22．（9分）某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？ 23．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E． （1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）过点D作DF⊥AB于点F，若∠ABC＝60°，BE＝3，求图中阴影部分的面积． 24．（10分）【问题情境】 如图①，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝10，矩形DEFG的顶点分别在△ABC的边上，设DG的长为x，矩形DEFG的面积为y． 【分析及解决问题】 （1）①填空：FG＝ 　 　（用含x的代数式表示）； ②当x的值为多少时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？ 【拓展应用】 （2）如图②，某酒店后面有一块梯形空地ABCD，其中AB＝40m，CD＝200m，∠C＝∠D＝45°，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场EFGH，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边GH和空地的最长边CD重合，E、F分别在边AD、BC上，求修建的矩形停车场的面积的最大值． 25．（10分）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“完美四边形”． （1）在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“完美四边形”的有 　 　； （2）如图1，“完美四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC为直径，AP＝1，PC＝5，求另一条对角线BD的长； （3）如图2，平面直角坐标系中，已知“完美四边形”ABCD的四个顶点A（﹣3，0）、C（2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，直线BD的解析式为yx，且四边形ABCD的面积为15，若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度至△AB′C′处，使得点C恰好在线B′C′上，若∠ACB＝75°，则∠BCB′的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【考点】旋转的性质． 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】C 【分析】如图，BC与AB′相交于O点，先利用旋转的性质得到AC＝AC′，∠ACB＝∠C′＝75°，∠B＝∠B′，∠BAB′＝∠CAC′，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠CAC′＝30°，所以∠BAB′＝30°，然后利用三角形的内角和可求出∠B′CO＝30°． 【解答】解：如图，BC与AB′相交于O点， ∵△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度至△AB′C′处，使得点C恰好在线B′C′上， ∴AC＝AC′，∠ACB＝∠C′＝75°，∠B＝∠B′，∠BAB′＝∠CAC′， ∵AC＝AC′， ∴∠ACC′＝∠C′＝75°， ∴∠CAC′＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∴∠BAB′＝30°， ∵∠COB′＝∠AOB，∠B′＝∠B， ∴∠B′CO＝∠BAB′＝30°， 即∠BCB′的度数为30°． 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 【点评】此题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键． 3．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝3x B．y＝x2+x（3﹣x） C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x2﹣3x 【考点】二次函数的定义． 【专题】二次函数的应用；推理能力． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义进行判断作答即可． 【解答】解：y＝3x，是一次函数，故A不符合题意； y＝x2+x（3﹣x）＝3x，是一次函数，故B不符合题意； 当a＝0时，y＝ax2+bx+c，不是二次函数，故C不符合题意； y＝2x2﹣3x，是二次函数，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 4．（3分）如图在⊙O中，若点C是的中点，∠AOC＝45°，则∠AOB＝（　　） A．45° B．80° C．85° D．90° 【考点】圆心角、弧、弦的关系． 【专题】与圆有关的计算；应用意识． 【答案】D 【分析】根据垂径定理推出，推出∠AOC＝∠BOC＝45°即可解决问题． 【解答】解：∵， ∴∠AOC＝∠BOC＝45°， ∴∠AOB＝45°+45°＝90°， 故选：D． 【点评】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（3分）圆的半径是6cm，若圆心与直线的距离为6.5cm，则直线与圆的位置关系是（　　） A．相交或相切 B．相交 C．相切 D．相离 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】与圆有关的位置关系；推理能力． 【答案】D 【分析】若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【解答】解：根据题意，可知圆的半径为6cm． 因为圆心到直线l的距离为6.5cm， d＞r， 直线和圆相离， 故选：D． 【点评】主要考查了直线与圆的位置关系，利用d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离是解题关键． 6．（3分）下列事件中是必然事件的是（　　） A．明天太阳从东边升起 B．明天下雨 C．明天的气温比今天高 D．明天买彩票中奖 【考点】随机事件． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】A 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件． 【解答】解：A、明天太阳从东边升起，是必然事件，故此选项正确； B、明天下雨，事件可能发生，也可能不发生，为不确定事件，即随机事件，故不符合题意； C、明天的气温比今天高，事件可能发生，也可能不发生，为不确定事件，即随机事件，故不符合题意； D、明天买彩票中奖事件可能发生，也可能不发生，为不确定事件，即随机事件，故不符合题意． 故选：A． 【点评】此题主要考查了随机事件，关键是理解必然事件就是一定发生的事件；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养． 7．（3分）下列关于反比例函数y的结论中正确的是（　　） A．图象过点（2，3） B．图象在二、四象限内 C．在每个象限内，y随x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y＞6 【考点】反比例函数的性质． 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【答案】B 【分析】直接利用反比例函数的性质进行判断即可． 【解答】解：A、当x＝2时，y＝﹣3，图象不经过点（2，3），故此选项错误； B、∵k＝﹣6＜0，∴图象在二，四象限内，故此选项正确； C、∵k＝﹣6＜0，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故此选项错误； D、当x＞﹣1时，则y＞6或y＜0，故此选项错误； 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数增减性是解题的关键． 8．（3分）如图△BCD中，BD＝CD＝5，延长CD至点A，使AD＝3，连结AB，此时△ABC∽△ADB．则BC的长为（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的性质． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的对应边成比例解答． 【解答】解：∵CD＝5，AD＝3， ∴AC＝AD+CD＝8 ∵△ABC∽△ADB， ∴． ∴AB2＝AC•AD＝24． ∴AB＝2． ∴． ∴BC． 故选：A． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，解题过程中，利用了“相似三角形的对应边成比例”的性质，属于基础题． 9．（3分）在抛物线y＝x2上任取一点A（非坐标原点O），连接OA，在OA上取点B，使OBOA，则顶点在原点且过点B的抛物线的表达式为（　　） A．yx2 B．y＝9x2 C．yx2 D．y＝3x2 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识． 【答案】D 【分析】过A作AD⊥x轴于D，过B作BC⊥x轴于C，设A（m，m2），证明△OBC∽△OAD，由OBOA，可得B（m，m2），令xm，ym2，即可得y＝3x2． 【解答】解：过A作AD⊥x轴于D，过B作BC⊥x轴于C，如图： 设A（m，m2）， ∵AD⊥x轴，BC⊥x轴， ∴BC∥AD， ∴∠OCB＝∠ODA，∠OBC＝∠OAD， ∴△OBC∽△OAD， ∴， ∵OBOA， ∴OCOD，BCAD， ∴B（m，m2）， 令xm，ym2， ∴m＝3x， ∴y（3x）2＝3x2， 即顶点在原点且过点B的抛物线的表达式为y＝3x2， 故选：D． 【点评】本题考查求二次函数解析式，解题的关键是证明△OBC∽△OAD，用含m的代数式表示B的坐标． 10．（3分）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　） A． B．当I＞10时，R＞22 C．当I＝5时，R＝40 D．当I＞2时，0＜R＜110 【考点】反比例函数的应用． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】D 【分析】设电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为，根据待定系数法求得，以此判断A选项；分别将I＝10、2代入函数关系中，在根据反比例函数的性质即可判断B、D选项；将I＝5代入函数关系式中，求出R即可判断C选项． 【解答】解：由图象可知，电流I（A）与电阻R（Ω）之间满足反比例函数关系， 设电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为， ∵点（50，4.4）在函数的图象上， ∴， 解得：k＝220， ∴电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为，故A选项错误，不符合题意； 当I＝10时，则， ∴R＝22， 由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当I＞10时，0＜R＜22，故B选项错误，不符合题意； 当I＝5时，则， ∴R＝44，故C选项错误，不符合题意； 当I＝2时，则， ∴R＝110时， 由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当I＞2时，0＜R＜110，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查反比例函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：） 下面有四个推断： ①当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以“钉尖向上”的概率是0.667； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的情况一定高于500次． 其中合理的是 　②　． 【考点】利用频率估计概率；概率的意义． 【专题】概率及其应用；推理能力． 【答案】②． 【分析】根据图象和各个推断的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以此时“钉尖向上”的频率是：400÷600≈0.667，但“钉尖向上”的概率不一定是0.667，故①错误； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误； 由图可知，用计算机模拟实验，当投掷次数为1000时，则“钉尖向上”的频率是0.620，由此可得当投掷次数为1000时，则“钉尖向上”的频率在0.620左右，但不代表一定是0.620，则“钉尖向上”的情况不一定高于500次，故④错误，不符合题意． 故答案为：②． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．（3分）双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB＝3，则y2的解析式是　y2　． 【考点】反比例函数系数k的几何意义． 【专题】数形结合． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据k的几何意义得出△CAO的面积为2，进而得出△CBO面积为5，即可得出y2的解析式． 【解答】解：∵， ∴S△CAO＝2， 又∵S△AOB＝3， ∴S△CBO＝5， 故可得反比例函数y2的k值为10， 即y2的解析式为：y2． 故答案为：y2． 【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，根据已知得出△CAO的面积为2，进而得出△CBO面积为5是解决问题的关键． 13．（3分）抛物线y＝x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移1个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，则c＝　﹣2　． 【考点】二次函数图象与几何变换． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】﹣2． 【分析】只需要将函数y＝x2﹣2x﹣3向左平移2个单位长度再向上平移1个单位长度得到的抛物线解析式即为抛物线y＝x2+bx+c的解析式，由此即可得到答案． 【解答】解：把抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4向左平移2个单位长度再向上平移1个单位长度得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1+2）2﹣4+1＝（x+1）2﹣3＝x2+2x﹣2， ∴y＝x2+bx+c＝x2+2x﹣2， ∴c＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 14．（3分）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，则　　． 【考点】位似变换． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】． 【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案． 【解答】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5， ∴△BOA∽△DOC， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键． 15．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD，CE为边作正方形，则两个阴影部分的面积差a﹣b的值为 　1　． 【考点】正多边形和圆；正方形的性质． 【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力． 【答案】1． 【分析】根据正六边形、正三角形的性质求出AD，CE，再根据正方形的面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为1， ∴OA＝OB＝OD＝OE＝1，∠AOB＝∠DOE＝60°， ∴AD＝2OA＝2，EGOE，DGOE， ∴CE＝2EG， ∴a﹣b＝AD2﹣CE2 ＝4﹣3 ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正三角形、正方形、正六边形的性质是正确解答的关键． 16．（3分）若抛物线y＝x2+x﹣m与坐标轴有1个交点，则m的取值范围是 　m　． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】m． 【分析】已知抛物线与y轴交于点（0，﹣m），由抛物线y＝x2+x﹣m与坐标轴有1个交点，可得出抛物线与x轴没有交点，x2+x﹣m＝0没有实数根，即Δ＜0，即可判断m的范围． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+x﹣m与y轴交于点（0，﹣m），与坐标轴有1个交点， ∴y＝x2+x﹣m与x轴没有交点， ∴x2+x﹣m＝0没有实数根， ∴Δ＜0， ∴12﹣4×1×（﹣m）＜0， 解得m， 故答案为m． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记抛物线与x轴交点个数的判定方法． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）在直角坐标系中，图案△ABO经过变化后，得到的相应图案如图①～⑥所示（虚线为原图案）．图①～图⑥中的图案变化前后，其中一点P（x，y）与之对应点的坐标之间各有什么关系？（填写表格） 图号 图形的变化 对应点坐标的变化 ① 　向右平移3个单位长度　 　P（x，y）→P1（x+3，y）　 ② 　向上平移2个单位长度　 　P（x，y）→P1（x，y+2）　 ③ 　向右平移4个单位、向上平移2个单位　 　P（x，y）→P1（x+4，y+2）　 ④ 　缩小四分之三　 　P（x，y）→P1（x，y）　 ⑤ 　沿x轴翻折　 　P（x，y）→P1（x，﹣y）　 ⑥ 　放大为原图形的2倍　 　P（x，y）→P1（2x，2y）　 【考点】几何变换的类型；坐标与图形性质． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据平移规律写出图（1）～图（6）中的图案变化前后，其对应点的坐标的关系即可． 【解答】解：填写如下： 【点评】本题考查了利用平移设计图案、几何变换的类型，解决本题的关键是掌握平移的性质． 18．（6分）一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同． （1）小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ （2）任意摸出一个球，摸到白球和摸到红球的概率各是多少？ （3）任意摸出一个球，摸到黄球的概率呢？ 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】（1）不同意，理由见解答； （2），； （3）0． 【分析】（1）根据白球和红球的个数即可判断； （2）分别用白球和红球的个数除以球的总个数即可得出答案； （3）摸到黄球是不可能事件，据此可得答案． 【解答】解：（1）不同意， 因为白球的个数比红球的个数多， 所以摸到白球的可能性大； （2）摸到白球的概率为，红球的概率为； （3）任意摸出一个球，摸到黄球的概率为0． 【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 19．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，F为AD上一点，且BF＝BD．BF的延长线交AC于点E． （1）求证：AB•AD＝AF•AC； （2）若∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，求DF的长． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）证△AFB∽△ADC即可 （2）作BH⊥AD于H，作CN⊥AD于N，则BHAB＝2，CNAC＝3，再证△BHD∽△CND即可． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠DAC， 又∵BF＝BD， ∴∠BFD＝∠FDB， ∴∠AFB＝∠ADC， ∴△AFB∽△ADC， ∴． ∴AB•AD＝AF•AC； （2）解：作BH⊥AD于H，作CN⊥AD于N，则BHAB＝2，CNAC＝3， ∴AHBH＝2，ANCN＝3， ∴HN， ∵∠BDH＝∠CDN， ∴△BHD∽△CND， ∴， ∴HD， 又∵BF＝BD，BH⊥DF， ∴DF＝2HD． 【点评】此题主要考查相似三角形的性质，灵活运用相似三角形的边的比例关系是解题的关键． 20．（8分）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点A（2，m ），点P是反比例函数y（k≠0，x＞0）图象上的一动点．过点P作PH上x轴，垂足为H，交直线y＝x于点G． （1）求k与m的值； （2）若△OPG的面积是2，求此时点P的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】（1）k＝8，m＝2； （2）（2，4）或（2，）． 【分析】（1）利用正比例函数的解析式求得m＝2，然后利用待定系数法即可求得k＝8； （2）设H点的横坐标为x，则G（x，x），即可求得S△GOHx2，由S△POHk＝4，得出S△OPG＝S△POH﹣S△GOH＝4x2＝2或S△OPG＝S△GOH﹣S△POHx2﹣4＝2，进而求得P点的坐标． 【解答】解：（1）∵正比例函数y＝x与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点A（2，m ）， ∴m＝2，k＝2m， ∴k＝8， （2）设H点的横坐标为x，则G（x，x）， ∴S△GOHx2， ∵S△POHk＝4， 当P在A的上方时，S△OPG＝S△POH﹣S△GOH＝4x2＝2， ∴x＝2（负数舍去）， ∴P点的横坐标为2， ∴y4， ∴P点的坐标为（2，4）； 当P在A的下方时，S△OPG＝S△GOH﹣S△POHx2﹣4＝2， ∴x＝2（负数舍去）， ∴P点的横坐标为2， ∴P点的坐标为（2，）； 故P点的坐标为（2，4）或（2，）． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，表示出点的坐标是解题的关键． 21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，． （1）求证：OD//BC； （2）若AC＝8，DE＝2，求BC的长． 【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系． 【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；推理能力． 【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【分析】（1）根据垂径定理得OD⊥AC，根据圆周角定理得BC⊥AC，然后由平行线的判定可得结论； （2）根据垂径定理和等腰三角形的性质得DE＝4，设⊙O半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣4，然后根据勾股定理和中位线性质可得答案． 【解答】解：（1）∵， ∴OD⊥AC， 又∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC， ∴：OD∥BC． （2）∵AD＝CD， ∴OD⊥AC于点E且AE＝CE， 又∵AC＝8， ∴AE＝CEAC＝4， ∵DE＝2， 设⊙O半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2， 在Rt△AOE中， OA2＝OE2+AE2，即R2＝（R﹣2）2+42， ∴R＝5， 又∵O，E为AB，AC的中点， ∴OE，OE∥BC， ∴BC＝2OE＝2×（5﹣2）＝6． 【点评】此题考查的是圆的性质，掌握圆周角定理、垂径定理是解决此题关键． 22．（9分）某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？ 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用． 【专题】销售问题；一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；二次函数的应用；运算能力；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据总利润等于每件的利润乘以销售量，可列出y关于x的函数关系式；根据每件售价不能高于240元，可得关于x的不等式，求解即可； （2）将（1）中的二次函数关系式写成顶点式，根据二次函数的性质，可得答案； （3）令y＝40000，可得关于x的一元二次方程，解得x值，并根据问题的实际意义作出取舍，再结合二次函数的性质，可得x的取值范围． 【解答】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元，由题意得： y＝（130﹣80+x）（500﹣2x） ＝﹣2x2+400x+25000 ∵每件售价不能高于240元 ∴130+x≤240 ∴x≤110 ∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+400x+25000，自变量x的取值范围为0＜x≤110，且x为正整数． （2）∵y＝﹣2x2+400x+25000 ＝﹣2（x﹣100）2+45000 ∴当x＝100时，y有最大值45000元． ∴每件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元． （3）令y＝40000，得： ﹣2x2+400x+25000＝40000 解得：x1＝50，x2＝150 ∵0＜x≤110 ∴x＝50，即每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元； 由二次函数的性质及问题的实际意义，可知当50≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元． ∴每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；当50≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元． 【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程在成本利润问题中的应用，明确成本利润问题的基本关系式，并明确二次函数和一元二次方程的性质及解法，是解题的关键． 23．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E． （1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）过点D作DF⊥AB于点F，若∠ABC＝60°，BE＝3，求图中阴影部分的面积． 【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆周角定理． 【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力． 【答案】（1）详见证明过程； （2）． 【分析】（1）连接OD，只要证明出OD⊥DE即可，根据角平分线的意义，等腰三角形的性质以及直角三角形两锐角互余可得结论； （2）求出圆的半径及相应的圆心角度数，根据扇形面积与三角形面积之间的关系进行计算即可． 【解答】证明：（1）连接OD， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 又∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵DE⊥BC， ∴∠E＝90°， ∴∠CBD+∠BDE＝90°， ∴∠ODB+∠BDE＝90°， 即OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）∵DF⊥AB， ∴∠DFB＝90°＝∠E， 又∵∠ABD＝∠CBD∠ABC＝30°，BD＝BD， ∴△BDF≌△BDE （AAS） ∴BF＝BE＝3， 在Rt△BDF中，∠FBD＝30°，BF＝3， ∴DF＝tan30°×BF33， 在Rt△ODF中，∠DOF＝2∠OBD＝30°×2＝60°，DF＝3， ∴OF＝tan30°×DF3，OD＝2•OF＝2， ∴S阴影＝S扇形OAD﹣S△ODF π×（2）23 ＝2π ． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直角三角形的边角关系，圆周角定理以及与圆有关的计算，掌握切线的判断方法和直角三角形的边角关系是证明和解答的关键． 24．（10分）【问题情境】 如图①，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝10，矩形DEFG的顶点分别在△ABC的边上，设DG的长为x，矩形DEFG的面积为y． 【分析及解决问题】 （1）①填空：FG＝ 　102x　（用含x的代数式表示）； ②当x的值为多少时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？ 【拓展应用】 （2）如图②，某酒店后面有一块梯形空地ABCD，其中AB＝40m，CD＝200m，∠C＝∠D＝45°，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场EFGH，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边GH和空地的最长边CD重合，E、F分别在边AD、BC上，求修建的矩形停车场的面积的最大值． 【考点】相似形综合题． 【专题】几何综合题；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力；应用意识． 【答案】（1）①102x；②当x时，矩形DEFG的面积最大，最大面积是25； （2）该矩形停车场的最大面积为5000m2． 【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性质和矩形的性质即可求得答案； ②根据矩形的面积公式和二次函数的性质即可求得答案； （2）延长DA，CB交于点M，利用等腰直角三角形性质可求得DM，设EH＝x m，由等腰直角三角形性质得出DE，进而求得EM，EF，再运用矩形面积公式及二次函数的性质即可求得答案． 【解答】解：（1）①∵等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝10， ∴∠B＝∠C＝45°，AC＝AB＝10，BCAB＝10， ∵矩形DEFG的顶点分别在△ABC的边上，DG＝x， ∴EF＝DG＝x，FG＝DE，∠BDG＝∠CEF＝90°， ∴△BDG和△CEF均为等腰直角三角形， ∴BD＝DG＝x，CE＝EF＝x， ∴DE＝BC﹣BD﹣CE＝102x， ∴FG＝102x； 故答案为：102x； ②S矩形DEFG＝DE•DG＝（102x）x＝﹣2x2+10x， 当x时，S矩形DEFG取得最大值，最大面积为25； （2）如图，延长DA，CB交于点M， 根据题意可知，△CDM，△EFM，△DEH均为等腰直角三角形， ∵AB＝40m，CD＝200m， ∴DM＝100m， 设EH＝x m，则DEEHx（m）， ∴EM＝DM﹣DE＝100x（100﹣x）m， ∴EFEM＝（200﹣2x）m， ∴S矩形EFGH＝EH•EF＝x（200﹣2x）＝﹣2x2+200x＝﹣2（x﹣50）2+5000， ∵﹣2＜0，0＜x≤80， ∴当x＝50时，四边形EFGH的面积最大，最大面积为5000m2， 答：该矩形停车场的最大面积为5000m2． 【点评】此题是相似三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，能够根据相似三角形求出矩形的宽是解答此题的关键． 25．（10分）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“完美四边形”． （1）在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“完美四边形”的有 　菱形、正方形　； （2）如图1，“完美四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC为直径，AP＝1，PC＝5，求另一条对角线BD的长； （3）如图2，平面直角坐标系中，已知“完美四边形”ABCD的四个顶点A（﹣3，0）、C（2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，直线BD的解析式为yx，且四边形ABCD的面积为15，若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值． 【考点】二次函数综合题． 【专题】综合题；新定义；数形结合；方程思想；待定系数法；一元二次方程及应用；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力；创新意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由菱形、正方形的对角线互相垂直即可作出判断； （2）过点O作OH⊥BD于点H，连接OD，由AP＝1，PC＝5可得直径的长，由“完美四边形”的定义可得∠OPH＝60°，在Rt△OPH中，由三角函数求得OH；在Rt△ODH中，由勾股定理求得DH的长，由垂径定理可得BD＝2DH，计算即可； （3）过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，求得直线BD的解析式，设二次函数解析式为y＝a（x+3）（x﹣2），联立得方程组，整理得一元二次方程，根据韦达定理得出xB+xD，xB•xD＝﹣6，从而可用a表示出（xB﹣xD）2，然后由四边形的面积可得xD﹣xB＝6，则可得关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵菱形、正方形的对角线互相垂直， ∴菱形、正方形不是“完美四边形”． 故答案为：菱形、正方形； （2）过点O作OH⊥BD于点H，连接OD，如图1： ∴∠OHP＝∠OHD＝90°，BH＝DHBD， ∵AP＝1，PC＝5， ∴⊙O直径AC＝AP+PC＝6， ∴OA＝OC＝OD＝3， ∴OP＝OA﹣AP＝3﹣1＝2， ∵四边形ABCD是“完美四边形”， ∴∠OPH＝60°， 在Rt△OPH中，sin∠OPH， ∴OHOP， 在Rt△ODH中，由勾股定理得：DH， ∴BD＝2DH＝2． （3）过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，如图2： ∴∠BMO＝∠DNO＝90°， ∵四边形ABCD是“完美四边形”， ∴∠COD＝60°， ∴直线BD解析式为yx， ∵二次函数的图象过点A（﹣3，0）、C（2，0），即与x轴交点为A、C， ∴设二次函数解析式为y＝a（x+3）（x﹣2）， 联立，整理得：ax2+（a）x﹣6a＝0， ∴xB+xD，xB•xD＝﹣6， ∴（xB﹣xD）2＝（xB+xD）2﹣4xB•xD＝（）2+24， ∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD AC•BMAC•DN AC（BM+DN） AC（yD﹣yB） AC（xDxB） （xD﹣xB）， ∵四边形ABCD的面积为15， ∴（xD﹣xB）＝15， ∴xD﹣xB＝6， ∴（）2+24＝36， 解得：a1，a2， ∴a的值为或． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、新定义在几何图形中的应用、平行四边形的性质、圆的性质及相关计算、勾股定理、解直角三角形及一元二次方程的应用等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$