精品解析：山东省聊城市莘县四校联考2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024－2025学年八年级上学期 期中水平调研数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可． 【详解】解：由题意可知 在中 ∴(SSS) ∴ ∴就是的平分线 故选：D 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键． 3. 如图，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，小明说最简单的办法是只需要带④去，小明作出这判断的依据是（ ） A. AAS B. SSS C. SAS D. ASA 【答案】D 【解析】 【分析】本题为关于全等三角形判定定理的开放性试题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，是否满足三角形的判定定理是解答本题的关键．根据可判断带④去． 【详解】解：①②③只保留了原三角形一个角的一部分或和一条边的一部分，根据这三块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的三角形玻璃；④不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据“”来配一块一样的玻璃．应带④去． 故选：D． 4. 如图，在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，小李进行了以下五个步骤，将这5个步骤按正确的顺序排列为（ ） A. ①②③④⑤ B. ①③②⑤④ C. ①④③⑤② D. ②①③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了基本作图，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的作法是解题的关键． 【详解】解：根据用尺规作一个角等于已知角的作图步骤可知正确的是：①③②⑤④． 故选：B． 5. 小明从镜子中看到身后电子钟的示数如图所示，则此时的时间应是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了镜面对称．掌握镜面对称是解题的关键． 利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为， 故选：B． 6. 如果点与关于y轴对称，则b的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点关于y轴对称，所以它们的横坐标互为相反数，纵坐标相等，列式求值． 【详解】解：∵与关于y轴对称， ∴，解得． 故选：C． 【点睛】本题考查点坐标关于坐标轴对称的性质，解题的关键在于掌握点坐标关于坐标轴对称时横纵坐标的关系． 7. 如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接，已知，的周长为，则的周长是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等即可得到结论． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴周长． 故选：C． 8. 如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键．由得到，，由等角对等边判定，继而可求． 【详解】解：平分，， 则，， 又∵， ∴， ，， ∴ 又， ， ∴， 故选：C． 9. 将分式中的x，y的值都变为原来的2倍，则该分式的值（ ） A. 变为原来的2倍 B. 变为原来的4倍 C. 不变 D. 变为原来的一半 【答案】A 【解析】 【分析】把原分式中的x、y分别替换成 2x，2y ，然后利用分式的基本性质化简即可得到答案． 【详解】解：∵分式中x、y的值都变为原来的2倍， ∴分式变为： 则该分式的值变为原来的2倍． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是掌握分式的基本性质． 10. 若分式的值为零，则（ ） A. B. 5 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件列式计算即可． 【详解】解：由题意得：|m|−5＝0且m−5≠0， 解得：m＝−5， 故选：A． 【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键． 11. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，由已知条件 可得，进而得到．将所求表达式中的分子化为，并代入已知关系，简化后即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ，即， ∴． 又∵， 代入和， 得， 故选A． 12. 如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由证明得出，，①正确； 由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确； 作于，于，如图所示：则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确； 由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，①正确； ， 由三角形的外角性质得：， ，②正确； 作于，于，如图2所示： 则， 在和中， ， ， ， 平分，④正确； ， 当时，才平分， 假设 ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 与矛盾， ③错误； 综上所述，正确的是①②④； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，熟悉相关性质是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 如图，，，若，，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，由，，得，，过作轴于点，根据同角的余角相等得，证明，由全等三角形的性质得，，最后线段和差得，从而求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 如图，过作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14. 如图，锐角的高，相交于，若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质可得，可证，由此可求出，，根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴都是直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，线段的和差运算的知识，掌握以上知识是解题的关键． 15. 在中，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，若，，且的周长为，求______． 【答案】4 【解析】 【分析】由是的垂直平分线，是的垂直平分线，得到，，由的周长为，得到，得到，由，，得到． 【详解】是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， 的周长为， ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 16. 已知，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，设，，，代入原式后以达到约分的目的即可． 【详解】设，，，且， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，此类题目的常用解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，达到约分的目的． 17. 如图，，，则______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；利用等腰三角形的两个底角相等结合三角形的外角的性质逐一求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 同理可求：， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标，点坐标，，的平分线交轴于点，点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用角平分线构造全等，将转化为，则最小值为的长度，利用等面积求出即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接，过点作与， ∵，， ∴， ， ∴， ∵点到直线上垂线段最短， ∴最小值为的长度， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题，全等三角形的判定与性质、等面积法，解决此题的关键是构造，将转化为． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 分式乘除运算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，熟练掌握运算规则是解题关键； （1）直接利用分式的乘法运算法则计算即可； （2）先将除法变成乘法，再利用分式的乘法运算法则计算即可； （3）先对各分式的分子分母进行因式分解，再利用分式的乘法运算法则计算即可； （4）先将除法变成乘法，同时对各分式的分子分母进行因式分解，再利用分式的乘法运算法则计算即可； 【小问1详解】 解：原式    ； 【小问2详解】 解：原式        ； 【小问3详解】 解：原式         ； 【小问4详解】 解：原式    ． 20. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运算，掌握乘法公式，分式的性质，分式的加减混合运算是解题的关键． （1）把前两个分式按照同分母分数的加法运算，第三个分式约分，然后合并解题； （2）先把括号内的分式通分，然后把除法转化为乘法约分即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 21. 如图，计划在某小区建一个智能垃圾分类投放点P，需要满足以下条件：附近的两栋住宅楼A，B到智能垃圾分类投放点P的距离相等，P点到两条道路，的距离相等．请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点P的位置． 【答案】如图所示， 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可知作的垂直平分线即可找到到A、B点距离相等的点，根据角平分线性质作即可得到到两条道路，的距离相等的 点，综合；两个的交点即是要求作的P点． 【详解】解：连接并作的垂直平分线，同时作的角平分线交点即为P点． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质和角平分线性质及作图，解题关键是知道两线交点即为要作的点． 22. 如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离，点到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，求到的距离． 【答案】到的距离为 【解析】 【分析】作，交于点．设．先证明，则有，即有；则根据可求出到的距离，即可求解． 【详解】如图，作，交于点．设． ∵， ∴， 在Rt中，， 又∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴； ∴， ∵且， ∴； ∴， ∴， 即到的距离为． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题． 23. 如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F （1）求证∶ （2）若，求证：点P在的垂直平分线上． 【答案】（1） 证明：∵点P为的平分线上一点 ∴ ∵， ∴ 在和中 ∴ ∴ （2） 证明：连接、，如下图： 由（1）可得： 又∵， ∴ ∴ ∴点P在的垂直平分线上 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）连接、，通过证明，得到，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． 24. 如图，在中，，的垂直平分线交于 N，交于M，连接． （1）尺规作图：作的平分线与交于点D，与交于点E； （2）在（1）的条件下，若，求的度数； （3）若，，在直线上是否存在点P，使由P，B，C构成的的周长值最小？ 若存在，标出点P的位置并求的周长最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 即为所求作的角平分线，如图所示： （2） （3）存在；的周长的最小值为14cm 【解析】 【分析】（1）根据作角平分线的基本作图步骤进行解答即可； （2）根据得出，根据三角形内角和定理得出，根据垂直平分线的性质，得出，根据等腰三角形性质得出，最后根据平分，得出，即可得出答案； （3）垂直平分，，得出当点P与点M重合时，的周长最小，求出最小值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：存在；的周长的最小值为14cm． ∵垂直平分， ， ∴当点P与点M重合时，的周长最小， ∵，， 的周长的最小值为： ． 【点睛】本题主要考查了尺规做一个角的平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 25. 数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）①在上截取．连接DE， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴． ∴； ②点到的距离是； （3），理由如下： ， ， ，是的两条角平分线，且，交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ，， ∵， ， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）直接利用证明即可得出； （2）①根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答； ②如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得,即为的中点，进而求得的长即可； （3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1）证明： 根据作图可得， 又， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （2）①略 ②如图：过点作，垂足为点， 和的平分线，交于点， ，即， ，即点到的距离是； （3）略 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年八年级上学期 期中水平调研数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，小明说最简单的办法是只需要带④去，小明作出这判断的依据是（ ） A. AAS B. SSS C. SAS D. ASA 4. 如图，在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，小李进行了以下五个步骤，将这5个步骤按正确的顺序排列为（ ） A. ①②③④⑤ B. ①③②⑤④ C. ①④③⑤② D. ②①③④⑤ 5. 小明从镜子中看到身后电子钟的示数如图所示，则此时的时间应是（    ） A. B. C. D. 6. 如果点与关于y轴对称，则b的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接，已知，的周长为，则的周长是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 9. 将分式中的x，y的值都变为原来的2倍，则该分式的值（ ） A. 变为原来的2倍 B. 变为原来的4倍 C. 不变 D. 变为原来的一半 10. 若分式的值为零，则（ ） A. B. 5 C. D. 0 11. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 12. 如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 如图，，，若，，则点的坐标为______． 14. 如图，锐角的高，相交于，若，，，则的长为______． 15. 在中，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，若，，且的周长为，求______． 16. 已知，且，则的值为______． 17. 如图，，，则______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标，点坐标，，的平分线交轴于点，点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为______． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 分式乘除运算： （1） （2） （3） （4） 20. 计算： （1）． （2）． 21. 如图，计划在某小区建一个智能垃圾分类投放点P，需要满足以下条件：附近的两栋住宅楼A，B到智能垃圾分类投放点P的距离相等，P点到两条道路，的距离相等．请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点P的位置． 22. 如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离，点到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，求到的距离． 23. 如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F （1）求证∶ （2）若，求证：点P在的垂直平分线上． 24. 如图，在中，，的垂直平分线交于 N，交于M，连接． （1）尺规作图：作的平分线与交于点D，与交于点E； （2）在（1）的条件下，若，求的度数； （3）若，，在直线上是否存在点P，使由P，B，C构成的的周长值最小？ 若存在，标出点P的位置并求的周长最小值；若不存在，说明理由． 25. 数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $