精品解析：广东省惠州市惠阳区城乡教育共同体、城乡教师成长共同体(第三小组) 2024-2025学年上学期 九年级联考数学试题

2024年秋季学期城乡教育共同体、城乡教师成长共同体（第三小组）九年级联考 数学试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 绝对值是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 2或-2 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案． 【详解】解∶的绝对值是：2， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键． 2. 下列图片分别是东莞、深圳、广州、佛山四个城市的地铁标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键． 利用整式的运算法则计算每一个，根据计算结果得结论． 【详解】解：不能合并，故选项A计算错误； ，故选项B计算正确； ，故选项C计算错误； ，故选项D计算错误； 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标分别互为相反数计算即可． 【详解】∵点关于原点对称的点的坐标是, 故选A． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时坐标变化特点：横纵坐标均互为相反数． 5. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图形的平移．根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的抛物线的解析式为：； 故选A． 6. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列式求解即可． 详解】解：∵二次根式中被开方数须大于等于0， ∴， 解得， 故选：A． 7. 如图，直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等得到，再由，即可得到． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 故选C． 8. 如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点B和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线． 直线与相交于点，若以点为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（ ） A. 点在上 B. 是上的外接圆 C. 是的弦 D. 是的内心 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，掌握外接圆的性质是解题的关键．先根据作图得出、、在以为圆心，为半径的圆上，内心是三角形的角平分线的交点，从而判断求解． 【详解】解：连接，，，如图， 由题意得：垂直平分，垂直平分， ， 、、在以为圆心，为半径的圆上， 点在上，，，为的弦，是的外接圆； 故选：D． 9. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， 在选项中，只有0符合题意， 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的半径为，点在经过点，的直线上，与相切于点，则切线长的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．连接．根据勾股定理知，因为是定值，所以当时，线段最短，即线段最短． 【详解】连接、． 是的切线， ； 根据勾股定理知， 当时，线段最短； 又，， ， ， 的最小值． 故选B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法，先提公因式，再用公式法分解． 先提取公因式3，再利用平方差公式对括号内的式子进行分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 一组数据2，3，4，5，3的众数为__________. 【答案】3. 【解析】 【分析】众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，本题根据众数的定义就可以求解． 【详解】本题中数据3出现了2次，出现的次数最多，所以本题的众数是3． 故答案为3． 【点睛】众数是指一组数据中出现次数最多的数据． 13. 分式方程解是______． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故答案为： 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验． 14. 一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】三##3 【解析】 【分析】根据一次函数的解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【详解】∵一次函数，， ， ∴该函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 【点睛】本题考查一次函数的性质，明确题意，利用一次函数的性质是解答本题的关键． 15. 如图，在中，E为边中点．以C为圆心，为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，为半径画弧，与相切于点F．若，则阴影部分的面积为 _____．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质得到，得到，根据平行四边形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，根据扇形、正方形、三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：与切于， ， 由题意可知：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 为边中点， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， 阴影部分的面积扇形的面积的面积正方形的面积扇形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，再去绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： 当时，原式． 18. 如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE． （1）求证： （2）若的面积为5，求的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）10． 【解析】 【分析】（1）根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用SAS即可证明； （2）先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到、，再结合以及解答即可． 【详解】证明：（1）∵D是BC的中点， ∴BD=CD 在△ABD和△CED中， 所以； (2)∵在△ABC中，D 是BC的中点 ∴ ∵ ． 答：三角形ACE的面积为10． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识，其中掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 四、解答题（每小矮9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点． （1）求的值； （2）求该双曲线与直线另一个交点的坐标． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先将点代入直线的解析式可求出的值，从而可得点的坐标，再将其代入反比例函数的解析式即可得的值； （2）联立两个函数的解析式，解方程组即可得． 【详解】解：（1）将点代入得：， 则点的坐标为， 将点代入得：； （2）由（1）可知，反比例函数的解析式为， 联立， 解得或（即为点的坐标）， 则另一个交点的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 20. 某电器超市销售每台进价分别为160元，120元的两种型号的电风扇，超市第一周卖出3台种型号和4台种型号电风扇销售额为1200元．第二周卖出5台种型号和6台种型号电风扇销售额为1900元： （1）求两种型号电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7480元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求种型号的电风扇最多能采则多少台？ 【答案】（1）两种型号电风扇的销售单价分别为200元，150元 （2）22台 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设两种型号电风扇的销售单价分别为元，元，根据卖出3台种型号和4台种型号电风扇销售额为1200元，卖出5台种型号和6台种型号电风扇销售额为1900元建立方程组求解即可； （2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据总金额不超过7480元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设两种型号电风扇的销售单价分别为元，元， 根据题意得， 解方程组得． 答：两种型号电风扇的销售单价分别为200元，150元； 【小问2详解】 解：设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台， 由题意得， 解得， 答：种型号的电风扇最多能采购22台． 21. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点E，延长交于点F，连接． （1）求证：是的切线 （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，延长交于点H，可证明四边形是矩形，由， ，，，得，，则，求得，则，所以． 【小问1详解】 证明：连接， 则， ， ， ， ， ， 于点E， ， 是的半径，且， 是的切线； 小问2详解】 解：连接，延长交于点H， 是的直径， ， 由（1）知：， ∴四边形是矩形， ，， ∴， ， ，，， ， ， ， ， 解得， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 五、解答题（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 某班开展课外锻炼，有7位同学组队参加跳长绳运动，他们的身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；所有队员站成一排，跳绳队员按照中间高、两端低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全；如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 如图2，当绳子甩动到最高点时的形状近似看成一条抛物线，若以所在直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）最高的队员位于中点，其余跳绳队员对称安排在其两侧． ①当跳绳队员之间正好保持的距离时，长绳能否高过所有跳绳队员的头顶? ②在保证安全的情况下，求最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围． 【答案】（1） （2）①能；② 【解析】 【分析】本题是二次函数综合，考查的是二次函数的实际应用，读懂题意，把二次函数同实际生活结合起来，建立坐标系求出函数解析式是解本题的关键． （1）由已知可得，在抛物线上，抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出当时，当时的函数值，再和队员身高比较即可；②求出时，或，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由已知可得，在抛物线上，抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴拋物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①∵， ∴5名同学，以直线为对称轴，分布在对称轴两侧，对称轴左侧的2名队员所在位置横坐标分布是，，对称轴右侧的2名队员所在位置横坐标分布是，， 当时，， 当时，， 长绳能高过所有跳绳队员的头顶； ②当时，， 解得或， 最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的最小值为， 两人的水平距离，名队员每两人间的距离至少为才能保证安全， 最左边的跳绳队员与离他最近的用绳队员之间距离的最大值为， 最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围为． 23. 如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系： （）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____ 类比探究： （）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断； 拓展应用： （）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案 【答案】（），；（）（）中得到的结论仍然成立，证明见解析；（）或． 【解析】 【分析】（）由四边形和四边形是正方形，可得，， ，进而得，即可由证明，得到，延长交于点，由全等三角形的性质得到，进而得到，得到，即得； （）（）中得到的结论仍然成立，同理（）证明即可求证； （）根据题意，画出图形，分两种情况解答即可求解； 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（）∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 延长交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：，； （）（）中得到的结论仍然成立，在图中证明如下： ∵四边形、四边形都是正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （）当正方形绕点旋转到如图位置时， 连接与相交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 连接， 由（）（）可知，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期城乡教育共同体、城乡教师成长共同体（第三小组）九年级联考 数学试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 2或-2 2. 下列图片分别是东莞、深圳、广州、佛山四个城市的地铁标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 8. 如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点B和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线． 直线与相交于点，若以点为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（ ） A. 点在上 B. 是上的外接圆 C. 是的弦 D. 是的内心 9. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，的半径为，点在经过点，的直线上，与相切于点，则切线长的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11 分解因式_____． 12. 一组数据2，3，4，5，3的众数为__________. 13. 分式方程的解是______． 14. 一次函数图象不经过第______象限． 15. 如图，在中，E为边中点．以C为圆心，为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，为半径画弧，与相切于点F．若，则阴影部分的面积为 _____．（结果保留π） 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE． （1）求证： （2）若的面积为5，求的面积． 四、解答题（每小矮9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点． （1）求的值； （2）求该双曲线与直线另一个交点的坐标． 20. 某电器超市销售每台进价分别为160元，120元的两种型号的电风扇，超市第一周卖出3台种型号和4台种型号电风扇销售额为1200元．第二周卖出5台种型号和6台种型号电风扇销售额为1900元： （1）求两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7480元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求种型号的电风扇最多能采则多少台？ 21. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点E，延长交于点F，连接． （1）求证：是的切线 （2）连接，若，，求的长． 五、解答题（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 某班开展课外锻炼，有7位同学组队参加跳长绳运动，他们的身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 168 1.80 1.60 为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；所有队员站成一排，跳绳队员按照中间高、两端低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全；如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 如图2，当绳子甩动到最高点时的形状近似看成一条抛物线，若以所在直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）最高的队员位于中点，其余跳绳队员对称安排在其两侧． ①当跳绳队员之间正好保持的距离时，长绳能否高过所有跳绳队员的头顶? ②在保证安全的情况下，求最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围． 23. 如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系： （）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____ 类比探究： （）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断； 拓展应用： （）已知，，在正方形绕点旋转过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $