18.3 角平分线的性质（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（人教版五四制）

18.3 角平分线的性质 主讲： 第18章 全等三角形 1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据. 2.探究并证明角平分线的性质. 3.会用角平分线的性质解决实际问题. 学习目标 思考 如图，是一个角平分仪，其中 AB=AD，BC=DC. 将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗? 证明：在△ACD和△ACB中， AD=AB（已知）， DC=BC（已知） ， CA=CA（公共边）， ∴ △ACD≌ △ACB（SSS）. ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）. ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）. 情境引入 从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？ 如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线. A B O 新知探究 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧线，交OA于点N，交OB于点M. （2）分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线. 你能证明OC是∠AOB的角平分线吗？ 新知探究 A B O M N C 证明：∵在△MOC和△NOC中 OM=ON OC=OC MC=NC ∴△MOC ≌ △NOC(SSS). ∴∠MOC=∠NOC 即OC是∠AOB的角平分线 新知探究 思考 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试. 经过测量发现，PD=PE，在OC上再取几个点，都能得到同样的结论. 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 新知探究 猜想： 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 你能推理证明吗？ 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在△PDO 和△PEO中， ∠PDO＝∠PEO， ∠AOC＝∠BOC， OP＝OP， ∴△PDO≌△PEO(AAS). ∴PD＝PE. 已知：∠AOC = ∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. 新知探究 符号语言： 角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE. 新知探究 由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？ （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 新知探究 S 思考 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）? 新知探究 B A S C D M N 解：在Rt△ABC与Rt△ABD中： ∴ Rt△ABC ≌ Rt△ABD（HL）． AB=AB BC=BD ∴∠CAB=∠DAB 即点B在∠CAD的角平分线上 角的平分线的判定: 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 你能得出什么结论呢？ 新知探究 例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD⊥AB交于点D，PE⊥BC交于点E，PF⊥AC交于点F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 ∴PD=PE 同理：PE=PF ∴PD=PE=PF ∴点P到三边AB、BC、CA的距离相等. A B C P D E F M N 想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 典例精析 A B C P D E F M N ∵ PD⊥AB，PF⊥AC，PD=PF ∴ P在∠A的平分线上 你能得到什么结论呢？ 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 新知探究 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = . 2. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的距离是 . 3 A B C D E 60 BF E B D F A C G 随堂检测 3.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：EB=FC. 证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF. ∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD， DE=DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴EB=FC. C A B D F E ┐ ┐ 随堂检测 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90 °， ∴AC⊥CD. ∵AD平分∠CAB，DE⊥AB， ∴DE＝CD， ∵CD＝3， ∴DE＝3. 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.求DE的长； 随堂检测 证明：过点E作EF⊥AD于点F， ∵∠B=∠C=90°，∴DC⊥EC，EB⊥AB. ∵DE平分∠ADC， ∴EC=EF. ∵E是BC的中点， ∴EC=EB. 又∵EF⊥AD，EB⊥AB， ∴点E在∠BAD的平分线上，即AE是∠DAB的平分线. 5.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC. 求证：AE是∠DAB的平分线. A B C E D ┌ ┌ F ┌ 随堂检测 1.如图，在 Rt△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC＝m，AB＝14. (1) 求△APB 的面积 (用含 m 的式子表示)； (2) 求△PDB 的周长. ∴ AB · PD = 7m. 解：由角平分线的性质，可知 PD = PC = m， 解：由题意可证 △ACP≌△ADP， ∴ AC = AD. A B C P D 能力提升 2.如图1-30，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系. 解：∵AP是∠DAC的平分线， 又PE⊥DB， PF⊥AC， ∴PE=PF. 在△EBP中，BE+PE>PB， ∴ BE+PF>PB. 能力提升 角平分线性质及判定 性质定理 判定定理 三角形内角平分线 角平分线的画法 三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 课堂小结 1.如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法： ①点P在∠DBC的平分线上； ②点P在∠BCE的平分线上； ③点P在∠BAC的平分线上. 其中说法正确的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 D C A E B D F P ┐ ┐ 课后作业 2.已知：如图，OD平分∠POQ，在 OP，OQ边上取OA＝OB，点 C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN. 证明：∵OD平分∠POQ， ∴∠AOD=∠BOD. 在△AOD与△BOD中， OA=OB， ∠AOD=∠BOD， OD=OD， ∴△AOD≌△BOD(SAS). ∴∠ADO =∠BDO. ∵CM⊥AD于M，CN⊥BD于N， ∴CM=CN. 课后作业 主讲： 感谢聆听 Lavf57.83.100 Lavf57.83.100 $$