第二章 相交线与平行线（B卷·培优卷单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版2024）

第二章 相交线与平行线（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、．若与的周长分别30、24，则的长为（   ） A．8 B．15 C．12 D．6 6．如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知是平分线上一点，，交于点，垂足为点D，若，则的长（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，已知，记，则m的值为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，已知，，．当点N在线段上移动时，设，，则y与x之间的关系式是 ． 10．如图，点D，E，F分别在的各边上，，．将沿翻折， 使得点B落在 处，沿翻折，使得点C 落在处．若，则 °． 11．如图，等腰的底边，面积为，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，点在边上运动，则的最小值为 ． 12．如图，，点分别在射线上，，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，当的面积最小值为时，则的面积为 ． 13．如图，在中，，分别是，上的点，，，且，，交于点．若，则的度数是 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 15．已知，点分别是直线上的两点，点在之间，连接．    (1)如图（），若，，求证：； (2)若点是下方一点，平分，平分．请在图（）中补全图形，并探究，与之间的数量关系． 16．【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路（）两旁安置了两盏可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停旋转照射，当两条光束相交时，记交点为． 【猜想验证】（1）如图，转至某刻，，，则∠CFG为多少度？请说明理由； 【应用迁移】（2）灯、灯转动的速度分别是每秒、每秒．若两灯同时开始转动，则在灯射线第一次到达之前，灯转动几秒时，？请画图分析并计算． 17．【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 18．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当 时，与三角板的直角边平行． 20．已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则 ． 21．如图，在中，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，当最小时，的度数是 ． 22．如图，在中，，点是上一点（点不与两点重合），将沿着翻折，点的对应点为点和交于点．若，则 （用含的代数式表示）． 23．如图，，点分别在直线上，在平行线之间有一点，若与的平分线交于点，则 ；若与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线交于点则 ， ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，直线，交于点，且，， ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）． 25．如图，点，，，四点共线，点，，，四点共线．，相交于点，点是直线与之间的一个动点，． (1)求证：； (2)若平分，平分，请探索并证明和之间的数量关系； (3)若，，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请写出你认为正确的结论，并证明． 26．如图，已知直线，点A在直线上，点B、C在直线上，射线是的三等分线，即，平分，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在上有一点F，满足，且平分交于点G，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，绕点A顺时针旋转，速度为每秒，记旋转中的为，的三等分线为，即，同时绕点B逆时针旋转至，速度始终为每秒，当与射线重合时，立即以原来速度的一半逆时针旋转，当运动到与射线重合时，整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当时，请直接写出t的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 相交线与平行线（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，，然后根据可得①，根据可得②，将②代入①即可得． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴①， ∵， ∴，即②， 将②代入①得：， 故选：B． 2．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵，∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 3．如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质以及平角的定义，理解并掌握平行线的性质是解题的关键． 如下图，根据平行线的性质可得，由题意知，再根据平角的定义即可求解． 【详解】解：如图， ， ，由题意知， ， 故选：B． 4．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质等知识点的应用，找到是解题的关键．作点E关于对称的点M，连接，与交于点F，推出最小时即为，再根据等边三角形的性质可得结果． 【详解】解：作点E关于对称的点M，连接，与交于点F， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴M在上， ∴， ∴， 即此时最小，且为的长度， ∵， ∴，即点M为中点， ∴， 故选：A． 5．如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、．若与的周长分别30、24，则的长为（   ） A．8 B．15 C．12 D．6 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，因此，判定，同理：，得到的周长，而的周长，即可求出的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长， ∵的周长， ∴． 故选：D． 6．如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 故选：． 7．如图，已知是平分线上一点，，交于点，垂足为点D，若，则的长（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及三角形的外角的性质，作辅助线构造含角的直角三角形是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，根据角平分线的性质得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图，已知，记，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．过点F作，则，依据平行线的性质可证明，同理可证明，然后结合已知条件可得到问题的答案． 【详解】解：如图所示：过点F作． ∵， ∴． ∵， ∴，∴． ∴． 同理：． ∴ ∵， ∴． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，已知，，．当点N在线段上移动时，设，，则y与x之间的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质、平角的定义、四边形的内角和，根据平行线的性质可得，再根据平角的定义可得，由四边形的内角和可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 10．如图，点D，E，F分别在的各边上，，．将沿翻折， 使得点B落在 处，沿翻折，使得点C 落在处．若，则 °． 【答案】70 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示，，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案． 【详解】解：设， ∵将沿翻折， 使得点B落在 处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿翻折，使得点C 落在处． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．如图，等腰的底边，面积为，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，点在边上运动，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，连接，由线段垂直平分线的性质可得，得到，可知当点三点共线且时，的值最小，即等于的长，利用三角形的面积求出的长即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵直线是腰的垂直平分线， ∴， ∴， 当点三点共线且时，的值最小，即等于的长，如图， ∵等腰的底边，面积为， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 12．如图，，点分别在射线上，，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，当的面积最小值为时，则的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，过点作于，根据轴对称的性质可得，，，即得，得到为等腰直角三角形，即得，可知当的面积最小时，点在点位置，即，可得，最后根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 由轴对称可得，，，，， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形，∴， 当的面积最小时，点在点位置，即，解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 13．如图，在中，，分别是，上的点，，，且，，交于点．若，则的度数是 ． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查了全等三角形．添加辅助线，熟练掌握全等三角形性质，平行线性质，三角形外角性质，是解题的关键， 延长交于点，交于点．根据全等三角形性质，得，，得，得．根据平行线性质得， 得．根据三角形外角性质得 ． 【详解】提示：如图，延长交于点，交于点． ， ，， ， ． ， ， ， ， ． ， ， 故答案为． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行的判定及性质；过点向左作，过点向右作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解；掌握平行的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点向左作，过点向右作， 则， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 15．已知，点分别是直线上的两点，点在之间，连接．    (1)如图（），若，，求证：； (2)若点是下方一点，平分，平分．请在图（）中补全图形，并探究，与之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析； (2)补全图形见解析，． 【分析】（）过作，可得，即得，，进而得，即可求证； （）过作，过作，可得，设，，则，即得，，由角平分线可得，，进而得，，得到，即可得，即可求证； 本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：过作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即；    （2））如图，补图如下：    过作，过作， ∵， ∴， 设，，则， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 16．【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路（）两旁安置了两盏可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停旋转照射，当两条光束相交时，记交点为． 【猜想验证】（1）如图，转至某刻，，，则∠CFG为多少度？请说明理由； 【应用迁移】（2）灯、灯转动的速度分别是每秒、每秒．若两灯同时开始转动，则在灯射线第一次到达之前，灯转动几秒时，？请画图分析并计算． 【答案】（1），理由见解析（2）45秒和75秒，画图分析计算见解析 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，一元一次方程的应用； （1）过点作，得出则，，进而得出，代入数据，即可求解； （2）设灯转动秒时，，则灯转动的速度是每秒，，，进而分当点在右边时，当点在左边时，分别列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）． 理由如下：如图，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． （2）设灯转动秒时，， 灯转动的速度是每秒， ， ， 当灯射线第一次到达时，（秒）， ， ①如图所示，当点在右边时， 灯转动的速度是每秒， ，， 由题意得，， ， 解得，符合题意， 灯转动秒时，． （此时点在上） ②如图所示，当点在左边时， 即当灯射线旋转后返回时， 则，， 由（）中结论可得， 得：， ， ． 灯转动秒和秒时，． 17．【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键． （1）过点M作，证明，则，进而得，由此可得∠B+∠D的度数； （2）过点M作，则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系； （3）过点G作，依题意得，证明，由（1）得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 18．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)8；2 (2)9秒 (3)6秒或10秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． （1）依据非负数的性质即可得到，的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ，， ，， 故答案为：8；2； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直． 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ∴至少旋转9秒时，射线、射线互相垂直； （3）解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动15秒后，转动至的位置，则， ∴； 分两种情况： ①当时，，， ∵， ∴， ，， 当时，， ∴，解得； ②当时，，， ，， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动6秒或10秒时，射线、射线互相平行． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当 时，与三角板的直角边平行． 【答案】5或35或65或95或125 【分析】根据题意，分6种情况讨论：当时，当时，当第二次平行于时，当第二次平行于时，当第三次平行于时，当第三次平行于时，画出对应的图形，利用平行线的性质，计算得到答案． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解答本题的关键． 【详解】解：如图， 时， 延长交于D点， 则，， ， ， ， ， ， 解得； ②如图：时， ，， ， ， ， 解得； ③如图第二次平行于时， 设与的交点为E， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； ④如图第二次平行于时， ，， ∵， ∴， ∴， 解得； ⑤如图：第三次平行于时， 则，， ， ， 又， ， ∴， 解得； ⑥如图：第三次平行于时， ，， ， ， ∴， 解得（舍去）． 综上，所有满足条件的t的值为：5或35或65或95或125． 故答案为：5或35或65或95或125 20．已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则 ． 【答案】/度 【分析】过G点作，过E点作．如图设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解． 本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． 【详解】解：如图，过G点作，过E点作． ， ． 设，，则，，． ∵平分， ， ， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 21．如图，在中，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，当最小时，的度数是 ． 【答案】53 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及两点之间线段最短，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，在上取一点，使，连接，，过点C作于点H，交于点，过点作于点，推出当最小时，点P，点Q分别位于点，点处，的度数为的度数，再求出的度数即可解决问题． 【详解】解：在上取一点，使，连接，，过点C作于点H，交于点，过点作于点， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为， ∴当最小时，点P位于点处，点Q位于点处，的度数为的度数， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当最小时，的度数是， 故答案为：53． 22．如图，在中，，点是上一点（点不与两点重合），将沿着翻折，点的对应点为点和交于点．若，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形的性质得，则，再根据平行线的性质及翻折的性质，然后根据三角形内角和定理得，进而根据可得出答案． 【详解】解：在中，，， ， ， ， ， 由翻折的性质得：， ， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行运算是解决问题的关键． 23．如图，，点分别在直线上，在平行线之间有一点，若与的平分线交于点，则 ；若与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线交于点则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，平分线的定义等知识，过点作，过点作，则可证出，再根据角平分线定义可得出结论． 【详解】解：如图，过点作，过点作． ，． ， ． ，， ． 平分，平分， ， ， ． 同理可得， ，， …， 以此类推， 故答案为：；；． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，直线，交于点，且，， ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，角的计算， （1）如图1，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （2）①设，，，，由（1）知：，如图2，过作，根据平行线的性质即可得到结论； ②如图3，过作，根据平行线的性质即可得到结论； 熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图1，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴， 即； （2）解：①∵，， ∴设，，，， 由（1）可知：， ∴， 如图2，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与的数量关系为； ②如图3， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由①知：， 过作， ∴，， ∴， ∴的度数为． 25．如图，点，，，四点共线，点，，，四点共线．，相交于点，点是直线与之间的一个动点，． (1)求证：； (2)若平分，平分，请探索并证明和之间的数量关系； (3)若，，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请写出你认为正确的结论，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3)不成立；，证明见解析 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质即可得结论； （2）过点作，过点作，根据平行线的判定和性质以及角平分线的定义可得，，，，则，即可得到和之间的数量关系； （3）过点作，过点作，根据平行线的判定和性质和已知条件，得出，，，，则，从而得到和之间的数量关系． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，证明如下： 过点作，过点作， 由（1）知：， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （3）如图，（2）中的结论不成立，正确的结论是，证明如下： 过点作，过点作， 由（2）得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，角平分线的定义等知识．正确添加辅助线、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 26．如图，已知直线，点A在直线上，点B、C在直线上，射线是的三等分线，即，平分，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在上有一点F，满足，且平分交于点G，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，绕点A顺时针旋转，速度为每秒，记旋转中的为，的三等分线为，即，同时绕点B逆时针旋转至，速度始终为每秒，当与射线重合时，立即以原来速度的一半逆时针旋转，当运动到与射线重合时，整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为或 【分析】（1）利用角平分线定义求出，进而求出，结合，则可求，，然后根据平行线的性质求解即可； （2）设，则，，，，由平行线的性质求出，，，，根据角平分线的定义求出，则，即可得出结论； （3）当与射线重合时，，返回时，当与重合，，当与射线重合时，，当在的延长线时，，分；；；讨论，根据平行线的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解： 理由：如图， 设，则 ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 当与射线重合时，，返回时，当与重合，，当与射线重合时，，当在的延长线时，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当时， 则 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时， 则 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时， 则 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 综上，t的值为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，一元一次方程方程的应用，角平分线的定义，平行线的性质等知识，明确题意，能用含t的代数式表示旋转角的度数是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$