第二章 相交线与平行线（A卷·提升卷单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版2024）

第二章 相交线与平行线（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下面的四个图形中，与是对顶角的是（    ） A．B．C．D． 2．如图，下列说法中，错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是内错角 3．如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作，，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 4．尺规作图：过直线l外一点P作直线l的平行线．下面是四位同学的作图痕迹，其中作图正确的同学的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在中，，，．如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（   ） A．4．8 B．9.6 C．10 D．10.8 6．如图，下列说法不正确的是（　　） A．∠A和∠BDC是同位角 B．∠ABD和∠BDC是内错角 C．点A到BC的距离是线段AC的长度 D．点B到AC的距离是线段BD的长度 7．如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（    ） A．30 B．35° C．40° D．50° 8．如图，在四边形中，，平分，，，P，Q分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（　　）    A．8 B．10 C．12 D．16 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．的余角是 ． 10．给出下列判断： ①锐角的补角一定是钝角； ②一个角的补角一定大于这个角； ③如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等； ④锐角和钝角一定互补． 其中正确的有 个． 11．如图，BO平分于点D，点E为射线BA上一动点，若，则OE的最小值为 ． 12．如图，在中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ． 13．折纸能锻炼人的综合协调能力，包括手、眼和大脑． 如图，纸艺社团的小凡拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现， 则的度数是 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（1）计算：． （2）一个角的余角是，求这个角的补角的度数． 15．如图，直线，相交于点O，于点O． (1)若，则___________； (2)若，分别求出与的度数． 16．如图：已知，． (1)求证：（把证明过程补充完整并在括号内填上理由）； 解：（_______） （______________） ∴___________（两直线平行，内错角相等） （____） （_________） (2)若平分，，求的度数． 17．如图，在四边形中，点在上，平分，，． (1)求证：； (2)若平分交的延长线于点，交于点，交于点，，，求的度数． 18．已知点，，在同一条直线上，． (1)如图1，若，，平分，求与的度数； (2)如图2，，平分，平分，求的度数； (3)如图3，与互余，若也与互余，请直接写出的度数．（用含的式子表示） B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．若与互余，且，则的补角为 ． 20．社会发展情境·公路建设如图，在、两地之间要修一条笔直的公路，从地测得公路走向是北偏东，公司要求、两地同时开工，并保证若干天后公路准确接通．若公路长12千米，另一条公路长6千米，且的走向是北偏西，地到公路的距离是 千米． 21．如图，在四边形中，，点到的距离为3，，点为的中点，点为上的任意一点，则的最小值为 ． 22．如图，在锐角中，分别是边上的点，，，且交于点F．若，则的大小是 ． 23．如图，在中，，，，点D是边上的动点，点E是边上的动点，且保持，则的最小值为 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，， (1)按要求作图，连接，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线，交于点M． (2)若，求的度数． 25．如图，已知． (1)感知与探究：如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移：如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展：在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 26．如图1，直线，点、分别是直线、上的两点．将射线绕点顺时针匀速旋转，射线绕点顺时针匀速旋转，旋转后的射线分别记为、，已知射线、射线旋转的速度之和为度/秒． (1)如果射线先转动度后，射线、再同时旋转秒时，射线与第一次出现平行．求射线、的旋转速度； (2)若射线、分别以（1）中速度同时转动秒，在射线与重合之前，求为何值时； (3)若，射线、分别以（1）中的速度同时转动秒，在射线与重合之前，射线与交于点，过点作，垂足为，如图2所示，设，，求、满足的数量关系，直接写出结果． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 相交线与平行线（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下面的四个图形中，与是对顶角的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据定义判断即可：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角． 【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有C选项中的与是对顶角，其它都不是， 故选：C． 【点睛】本题考查了对顶角的定义．掌握定义是解题关键． 2．如图，下列说法中，错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是内错角 【答案】B 【分析】本题考查三线八角，涉及三线八角定义及图形，根据定义及图形逐项验证即可得到答案，熟记三线八角定义、识别图形是解决问题的关键． 【详解】解：A、与是同位角，说法正确，不符合题意； B、与是同位角，说法错误，符合题意； C、与是内错角，说法正确，不符合题意； D、与是内错角，说法正确，不符合题意； 故选：B． 3．如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作，，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】C 【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行即可． 【详解】解：因为， ∴． 所以则点C、P、D三个点必在同一条直线上，理由：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 故选：C． 【点睛】本题考查过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，熟练掌握性质定理解答此题的关键． 4．尺规作图：过直线l外一点P作直线l的平行线．下面是四位同学的作图痕迹，其中作图正确的同学的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用基本作图，利用内错角相等，两直线平行可判断甲同学和丁同学作法正确；利用同位角相等，两直线平行可判断乙同学的作法正确． 【详解】解：利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断甲同学的作图正确； 利用平行线的判定方法可判断乙同学和丁同学的作图正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定． 5．如图，在中，，，．如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（   ） A．4．8 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，涉及轴对称的性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积，运用了等积变换的思想．掌握对称的性质是解题的关键．作点关于的对称点，作点，交于点，则，所以，即的最小值为． 【详解】解：作点关于的对称点，作点，交于点，连接， ∴， ∴， 即的最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 6．如图，下列说法不正确的是（　　） A．∠A和∠BDC是同位角 B．∠ABD和∠BDC是内错角 C．点A到BC的距离是线段AC的长度 D．点B到AC的距离是线段BD的长度 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离以及同位角、内错角、同旁内角的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∠A和∠BDC是直线AB、直线BD，被直线AC所截，得到的同位角，因此选项A不符合题意； B．∠ABD和∠BDC是直线、直线AC被直线BD所截，得到的内错角，因此选项B不符合题意； C．点A到BC的距离是线段AB的长度，因此选项C符合题意； D．线段BD的长是点B到直线AC的距离，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角以及点到直线的距离，理解同位角、内错角、同旁内角以及点到直线的距离的定义是正确判断的前提． 7．如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（    ） A．30 B．35° C．40° D．50° 【答案】C 【分析】旋转中心为点A，B与，C与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵C、为对应点，点A为旋转中心， ∴，即为等腰三角形， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了等边对等角，平行线的性质． 8．如图，在四边形中，，平分，，，P，Q分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（　　）    A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】作点Q关于BD的对称点H，则，．推出，则当C、H、P三点在同一直线上，且时，为最短．得出，根据含角直角三角形的特征，求出，即可求出． 【详解】解：如图，作点Q关于BD的对称点H，则，．    ∴， ∴当C、H、P三点在同一直线上，且时，为最短． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，垂线段最短，含角直角三角形的特征，解题的关键是掌握轴对称的性质；垂线段最短；含角直角三角形，角所对的边是斜边的一半；以及正确画出辅助线，确定当时，为最短． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．的余角是 ． 【答案】 【分析】本题考查互余角的数量关系，理解互余的概念是解题的关键，根据余角的定义∶若两个角的和为，则这两个角互余列式计算． 根据余角定义：若两个角的和为则这两个角互余，直接解答，然后化为用度表示即可． 【详解】解：的余角是， 故答案为：． 10．给出下列判断： ①锐角的补角一定是钝角； ②一个角的补角一定大于这个角； ③如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等； ④锐角和钝角一定互补． 其中正确的有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了余角补角的定义，同（等）角的余（补）角相等，角的分类等知识点，熟练掌握余角、补角、锐角、钝角的定义和性质是解题的关键． 要判断两角的关系，可根据：两角互余，和为，两角互补，和为，对各选项逐项分析判断即可． 【详解】解：①锐角的补角一定是钝角，正确； ②一个角的补角一定大于这个角，不正确； ③如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等，正确； ④的角与的角满足一个是锐角一个是钝角，但是不互补，故不正确； 故其中正确的有：，共个， 故答案为：2． 11．如图，BO平分于点D，点E为射线BA上一动点，若，则OE的最小值为 ． 【答案】5 【分析】根据角平分线的性质即可求出． 【详解】解：当时，最小， 平分，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 12．如图，在中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查点到直线的距离，根据垂线段最短可得结论． 【详解】解：∵，且， 根据“垂线段最短”可知，当点M与点D重合时，最短， 所以，的最小值为的长， 所以，的最小值为6， 故答案为：6． 13．折纸能锻炼人的综合协调能力，包括手、眼和大脑． 如图，纸艺社团的小凡拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现， 则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，理解并掌握折叠后对应的角相等，角的互补关系，直角三角形两锐角互余等知识是解题的关键． 根据折叠可得，，由与互补可得，从而求出的度数，在中根据直角三角形两锐角互余可得的度数，由对顶角相等可得的度数，最后再由折叠的性质得，由此即可求解． 【详解】解：将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（1）计算：． （2）一个角的余角是，求这个角的补角的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的混合运算、余角和补角的有关计算，理解余角和补角的定义是解答的关键． （1）先乘方和绝对值运算、再乘法运算，最后加减运算即可求解； （2）先根据互为余角的两个角之和是求出这个角，再根据互为补角的两个角之和是求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵一个角的余角是， ∴这个角的度数是， ∴这个角的补角的度数是． 15．如图，直线，相交于点O，于点O． (1)若，则___________； (2)若，分别求出与的度数． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查看了余角的定义，平角的定义，对顶角的性质，角的和差； （1）根据垂直定义可得，然后再利用平角定义进行计算即可求解； （2）根据已知和平角定义可得，再利用对顶角相等可得，然后再利用（1）的结论，进行计算即可求解． 理解垂直的定义，平角的定义，能熟练利用角的和差表示出所求的角是解题的关． 【详解】（1）解：， ． ， ． 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ． 16．如图：已知，． (1)求证：（把证明过程补充完整并在括号内填上理由）； 解：（_______） （______________） ∴___________（两直线平行，内错角相等） （____） （_________） (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)已知；同位角相等，两直线平行；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 (2) 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据平行线的判定和性质，则，根据，等量代换，平行线的判定，可； （2）根据平分线，可得，根据平行线的性质，求出，再根据，可得，即可求出． 【详解】（1）解：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：已知；同位角相等，两直线平行；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．如图，在四边形中，点在上，平分，，． (1)求证：； (2)若平分交的延长线于点，交于点，交于点，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，由平分，可得，则，，进而可证； （2）由（1）知，则，由平分，可得，由，，可得，，如图，过作，则，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，， 如图，过作， ∴，， ∴， ∴的度数为． 18．已知点，，在同一条直线上，． (1)如图1，若，，平分，求与的度数； (2)如图2，，平分，平分，求的度数； (3)如图3，与互余，若也与互余，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据角的和差关系可求与； （2）先根据余角的定义可求，再根据角平分线的定义求出，先根据补角的定义可求，再根据角平分线的定义求出，根据角的和差关系可求的度数； （3）分2种情况进行讨论即可求解． 本题考查的是余角和补角的概念，角平分线的定义，几何图形中的角运算，掌握余角和补角的概念及角平分线的定义是解题的关键． 【详解】（1）解： ，平分， ， ， ， ； （2）解：，，， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ； （3）解：与互余，也与互余， ，， 如图①，； 如图②，； 故的度数为或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．若与互余，且，则的补角为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了补角和余角的有关计算，先根据，与互余，求出，再求出其补角即可． 【详解】解：∵与互余，且， ∴， ∴的补角为． 故答案为：． 20．社会发展情境·公路建设如图，在、两地之间要修一条笔直的公路，从地测得公路走向是北偏东，公司要求、两地同时开工，并保证若干天后公路准确接通．若公路长12千米，另一条公路长6千米，且的走向是北偏西，地到公路的距离是 千米． 【答案】12 【分析】本题主要考查了平行线的性质、点到直线的距离，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据平角的定义可得，即，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ∴， ∴，即， 地到公路的距离是线段的长度，即为12千米． 故答案为：12． 21．如图，在四边形中，，点到的距离为3，，点为的中点，点为上的任意一点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，由题意可得四边形为菱形，由菱形的性质可得垂直平分，从而得到，则，当、、在同一直线上时，的值最小，为，证明为等边三角形，由等边三角形的性质得出，即可得解，熟练掌握菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、、， ，在四边形中，， 四边形为菱形， 垂直平分， ， ， 当、、在同一直线上时，的值最小，为， ，， 是等边三角形， 为的中点， ， 点到的距离为3， ， 的最小值为3， 故答案为：3． 22．如图，在锐角中，分别是边上的点，，，且交于点F．若，则的大小是 ． AI 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的． 由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 则． ∵， ∴． 故答案为：． 23．如图，在中，，，，点D是边上的动点，点E是边上的动点，且保持，则的最小值为 ． 【答案】43 【分析】本题考查了等逆线问题，勾股定理及全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是构造全等三角形，过点B作，且使，连接，，先证明，可得，得出，所以当三点共线时，的值最小，即的值最小，再求解即可． 【详解】解：过点B作，且使，连接，， ， ， 又， ， ， ， 当三点共线时，的值最小，即的值最小， 在中，，，， ， ， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：43． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，， (1)按要求作图，连接，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线，交于点M． (2)若，求的度数． 【答案】(1)作图见解析；(2) 【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）按照要求尺规作角平分线，即可； （2）根据两直线平行，内错角相等和角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：作图，如图所示： （2）解：由作图知平分， ∴， ∵， ∴． 25．如图，已知． (1)感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，熟记有关平行线的各种模型是解题关键 （1）过点C作，根据平行线的性质易得，以此即可求解． （2）过点F作，过点C作，由平行线的性质得，由角平分线的性质得，，于是，再由角平分线的性质得，以此可得，结合①②即可得． （3）利用（2）中的结论求解即可． 【详解】（1）如图，过点C作， 则， ∴， ∴， ∴． （2）．理由如下： 如图，过点F作，过点C作， 则， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①②可得，即． （3）由（2）知，， ∵， ∴． 故答案为：． 26．如图1，直线，点、分别是直线、上的两点．将射线绕点顺时针匀速旋转，射线绕点顺时针匀速旋转，旋转后的射线分别记为、，已知射线、射线旋转的速度之和为度/秒． (1)如果射线先转动度后，射线、再同时旋转秒时，射线与第一次出现平行．求射线、的旋转速度； (2)若射线、分别以（1）中速度同时转动秒，在射线与重合之前，求为何值时； (3)若，射线、分别以（1）中的速度同时转动秒，在射线与重合之前，射线与交于点，过点作，垂足为，如图2所示，设，，求、满足的数量关系，直接写出结果． 【答案】(1)射线、的旋转速度分别为度/秒、度/秒 (2)秒 (3)当时， 【分析】（1）设射线、的旋转速度分别为度/秒、度/秒，根据速度之和等于，以及射线、的旋转角度相等列方程组求解即可； （2）根据，结合图形可得，求解即可； （3）由平行线的性质得出，若射线与相交于点时，，若射线与重合时，，延长当时，，，得出，求出，得出即可． 【详解】（1）解：设射线、的旋转速度分别为度/秒、度/秒，根据题意得： ，解得， 答：射线、的旋转速度分别为度/秒、度/秒； （2）解：如图，由，则， 解得：，   答：秒时； （3）解： 如图， ，， ， 若射线与相交于点时， ， 若射线与重合时， ， 当时， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当时，． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是熟练掌握平行线的性质以及数形结合思想的运用． / 学科网（北京）股份有限公司 $$