2025年图伊迈达（Tuymaada）数学竞赛试题

初级组第一天 题1，三角形数是指形如1+2+…+n的数，其中n为正整数，即1.3.6,10，.，。求最大 的非三角形正整数，满足该数不能表示为不同的三角形数之和。 题2.我们称一个刺猬图为一个图中有一个顶，点与其他所有顶点相连，且没有其他边：这个 图的顶点数称为刺猬的大小。给定一个n个顶点的图G(其中n>1)。对于每条边C,我们 用s()表示图G中包含该边的最大刺猬的大小。证明以下不等式（对所有边求和）： ∑而≤号 题3.三名运动员以不同的恒定速度沿着长度为1的跑道跑步。他们同时从跑道的一端开始 跑。当运动员到达跑道的某一端时，立即转身并继续朝相反方向跑。一段时间后，三名运动 员在起点相遇并结束训练。求最大的S,使得我们可以确定在某个时刻，三名运动员之间的 两两距离之和至少为S。 题4.给定三角形ABC。N和M分别是AB和BC的中，点。角B的平分线与线段IN 相交于点E。H是从B点到边AC的垂足。点T在三角形ABC的外接圆上，且满足三角 形TN的外接圆与三角形ABC的外接圆相切。证明，点T,H,E.B四点共图。 B 初级组 第二天 题5.给定一个25×25的棋盘。一些1×1的小方格被标记，使得对于每一个13×13和 4×4的子棋盘，被标记的部分至少占子棋盘的一半。求整个棋盘中被标记的小方格的个数的 最小值。 题6.三角形ABC的角平分线BL(其中AB<BC)的延长线与其外接圆相交于点N, 设M为BL的中点。在三角形ABC外部构造以BC为底边且顶角等于角ABC的等腰三 角形BDC。证明CM⊥DN。 题7.给定两个具有整数系数的二次三项式∫和9。对于每个正整数n,存在一个整数k, 使得 f)n+1 g(k)n 证明f和g有一个共同的根。 题8.一家玩具工厂生产几种粘土玩具。玩具被涂成k种颜色。一种颜色的多样性是指该颜 色的不同玩具种类的数量。（例如，如果有5只蓝色的猫和7只蓝色的老鼠，且没有其他蓝 色玩具，则蓝色的多样性为2。)涂色协议要求每种颜色都被使用，并且任意两种颜色的多样 性不同。商店中的玩具可以按照协议涂色。然而，在涂色之前，一批粘土切布拉什卡玩具到 达了商店（之前没有切布拉什卡玩具）。切布拉什卡的数量不少于任何其他种类玩具的数量。 所有玩具（包括切布拉什卡）的总数至少为++2。证明现在可以将玩具涂成k+1种颜 色，并符合协议要求。 高级组 第一天 题1.证明：存在形如n4+1的正整数，使得它有超过1000个形如a1+1的因数，其中a为 整数。 题2.奇普和戴尔在一个100×100的棋盘上玩游戏。开始时，棋盘左上角放置一个国际象 棋的“王”。每一步玩家可以将“王”向右、向下或向右下对角线移动一格。玩家不能使用 对手上一步移动的方向。奇普先手，无法移动的玩家输掉游戏。哪位玩家有必胜策略？ 题3.将所有完全平方数以及所有完全平方数乘以2所得的数按递增顺序排列成一个数列。 设f(n)为该数列中的第n个数。（例如，f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4,f4)=8。)是否存 在一个整数n,使得以下所有数f(n),f(2,f(3m)..,f(10n2)都是完全平方数？ 题4.给定三角形ABC。连接AB和AC上的旁切圆切点的线段与角C的平分线相交于点 X。连接BC和AC上的旁切圆切，点的线段与角A的平分线相交于点Y。证明XY的中，点 与A和C的距离相等。 高级组 第二天 题5.给定一个25×25的棋盘。一些1×1的小方格被标记，使得对于每一个13×13和 4×4的子棋盘，被标记的部分至少占子棋盘的一半。求整个棋盘中被标记的小方格的个数的 最小值。 注：本题目与初级组第题相同。 题6.给定三角形ABC。在其外接圆的孤BC上（不包含，点A),选择动点X,并在射线 XB和XC上分别选择动点Y和Z,使得XA=XY=XZ。证明直线YZ通过一个固定 点。 题7.给定两个具有实数系数的100次多项式∫和g。对于每个正整数，存在一个整数k, 使得 f)n+1 g(k)n 证明∫和g有一个非常数的公因式。 题8.一个图G有n个顶点(n>1)。对于每条边e,设c(e)为包含e的最大完全子图的 顶，点数。证明以下不等式（对所有边求和）： ∑9s