吉林省吉林市第一中学2025届高三上学期适应性考试（一）数学试题

绝密★启封前 吉林一中 2025届高三年级适应性考试（一） 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题纸 上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回。 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求. 1．复数 2 3i 2i 3iz    在复平面内对应点所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合    1 3 ,A x x B x x a      ，则“ 2a  ”是“ A B   ”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．在 ABCV 中，点 D为 AB的中点，点 O为 ABCV 的重心，则OA OB    （ ） A．CO  B．OD  C．2CO  D． 2DO  4．已知随机事件 A和 B，下列表述中错误的是（ ） A．若B A ，则 ( ) ( )P AB P B B．若B A ，则 ( ) ( )P A B P A C．若 ,A B互斥，则 ( ) 1P AB  D．若 ,A B互斥，则 ( ) ( ) ( )  P A B P A P B 5．已知椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     的左、右顶点分别为 1A， 2A ，左、右焦点分别为 1F ， 2F ，以线段 1 2F F 为直径的圆与椭圆 C在第二象限交于点M，且 21 2 1 4 MA MA a     ，则 C的离心率为（ ）． A． 3 2 B． 2 2 C． 12 D． 2 5 6．已知角 的终边经过点  2, y ，将 的终边逆时针旋转45得到角 ，若 1tan 5    ，则 y （ ） A． 2 B． 4 3  C． 4 3 D．3 7．已知椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     的左，右焦点分别为 1 2,F F ，点 P在该椭圆上，若满足 1 2PFF 为直角 三角形的点 P共有 8个，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A． 2 ,1 2        B． 2 ,1 2       C． 20, 2        D． 20, 2       8．已知  f x 是定义域为 R的偶函数，且    2 6f x f x    ，则   2025 1i f i   （ ）． A．2025 B．5050 C．6024 D．6075 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．已知函数    πsin cos 0 6 f x x a x          的最小值为 3 ，且过点 π 3, 4 2         ，其部分图象如图 所示，将  f x 的图象向左平移 π 6 个单位长度得函数  g x 的图象，则（ ）． A．  f x 的最小正周期为 2π 3 B． π 0 6 f       C．  g x 为偶函数 D．  g x 为奇函数 10．已知数列 na 满足 2 4a  ， 1 2 2nn na a   ，则（ ） A． 1 2a  B． 12 n n a        是等差数列 C． n a n       一定是等比数列 D．数列   2 1 n nn a        的前 99项和为 99 100 11．已知 ( )f x 是定义在R 上的函数，对于任意实数 ,a b满足 ( ) ( ) ( )f ab af b bf a  ，当 1x  时， ( ) 0f x  ， 则（ ） A． (1) 0f  B． ( ) ( )f x f x C． ( )f x 有 3个零点 D．若 ( ) 0f x  ，则 1 0x   或 1x  三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12．已知函数   2lg , 0 10 , 0x x x f x x     ， 则 ( (1)) f f . 13．已知抛物线 2 4x y 的焦点为F ，点 P为抛物线上的一个动点，点M 的坐标是  2, 4 ，则 PM PF 的最小值为 . 14．已知 , ,a b c分别为锐角 ABCV 三个内角 , ,A B C 的对边， ABCV 的面积 2 2( ) 2 a b cS   ，则 2b c a  的 取值范围是 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 小明和小王进行乒乓球比赛，其中小明每局赢的概率为 3 5 ，小王每局赢的概率为 2 5 ，且每局比赛之间 互不影响． (1)若采用 3局 2胜制，求小王最终赢得比赛的概率； (2)若采用 5局 3胜制，在小明赢得比赛的条件下，求比赛需要的局数的期望． 16．（15分） 已知函数   e 1 x f x x   （ e为自然对数的底数）. (1)求函数  f x 的单调递减区间； (2)若不等式    1f x m x  在  1,x   上恒成立，求实数m的取值范围. 17．（15分） 如图，一个直三棱柱 1 1 1ABC ABC 和一个正四棱锥 1 1P ABB A 组合而成的几何体中， 1 1 1 1 1 1 1 1, 2AB AC AB AC   . (1)证明：平面 1 1PA B 平面 1 1ACC A ； (2)若平面 1 1BBC C与平面 1PBB 夹角的余弦值为 10 10 ，求正四棱锥 1 1P ABB A 的高. 18．（17分） 已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的左，右顶点分别为 , , 4,A B AB C 的右焦点F 到渐近线的距离为 2 3，过点 F 的直线 l与C的右支交于 ,P Q两点（点 P在第一象限），直线 AP与 BQ交于点T . (1)求双曲线C的方程； (2)证明：点T 在定直线上； (3)记 ,TPQ TAB△ △ 的面积分别为 1 2,S S ，若 1 2 5S S  ，求直线 l的方程. 19．（17分） 若无穷数列 na 满足：对于 n  N ， 1n na a A   ，其中 A为常数，则称数列 na 为“A数列”． (1)若等比数列 nb 为“A数列”，求 nb 的公比 q； (2)若数列 na 为“A数列”，且 1 1a  ， 1A  ． ①求证： 1 1 7 4 n i ia  ； ②若 2 n nc a ，且 nc 是正项数列， 1 1n n i i S c  ，求满足不等式  2 2 2 1 , , ,nan b S cn a b c n      N 的 abc的最小值 数学参考答案 1.D 【详解】由题意可得，：=i-2+3=1+2-3i=2-2i,故复数z在复平面内对应点为(2，-2)，因为(2，-2)是第四象限的点， 2.C 【详解】依题意，由A∩B=-☑，得a≥3，此时a≥2成立；反之当a≥2时，a23不一定成立，所以“a≥2”是“A∩B-0” 的必要不充分条件 3.A 【详解】 如图，连接CD,因为点O为VABC的重心，则O为CD的三等分点，且CO=2OD,所以OA+OB-2OD=CO, 4.C 【详解】若BSA,，则P(AB)=P(B),P(AUB)=P(A),故AB选项的内容都是正确的：若A,B互斥，则P(AB)=0, P(AB)=P(A)+P(B),所以C选项的内容是错误的，D选项的内容是正确的. 5.A 【详解】因为M4=M0+OA,M4,=M0+OA,=M0-OA,则M4MA,=(M0+OA}M0-OA上M0-OA,即 :,可号子所c的离心*：台层号 6.D -+1 【详解】因为角u的终边经过点2，所以ma子，所以mp=加2+） tama+tam4.21 1 4 1-tan a.tan 1+号 5,解得： 4 y=3 7.A 【详解】如图： 因为使△PFE为直角三角形的点P有8个，所以在△OBE中，必有∠OBF>45°，即Or>OB,所以c>b→c2>b2 即心-心一合>行可得：9又稀圆的离心率1，所 > 2 8.D 【详解】因为f(x)是定义域为R的偶函数，且∫(-x)+f(2+x)=6,则f(x)+∫(2+)=6，即f(2+x)+f(4+x)=6, 可得f(x)=f(4+x),可知f(x)的一个周期为4，对于f(-x)+f(2+x)=6,令x=-1,可得f(1)+f(1)=6,即fI)=3, 对于f(x)+f(2+x)=6,分别令x=2,3,可得f(2)+f(4)=6f(3)+f(5)=6,即f(2)+∫(3)+f(4)+f(5)=12,所以 f0)=f0+f0-=3+506x12=6075 9.BD d+a+l=3,所以d+a-2=a+2a-)=0,可得a=-2或a=1,由图知f(0)=a<0=a<-7故a=-2,所以 π3 在 递减区间，所以+=征+2机ke乙，可得0=2+8跳，k∈Z,又 π、 43 6 。>4则0<4，且0>0，故w=2,所以 2 f)=5m2r-孕，则T=,f(得)5n2x名孕=0，A错、B对：8)-=寸x+君)5sm2为奇函数，c错、 D对 10.BC 【详解】对A选项：令n=1可得：a=2a+2→4=2a+2=a=1,故A错误：对B选项：递推公式两边同除以2， 可得2是1，即会是=山，又受=1，所以停 是以1为首项，以1为公差的等差数列，故B正确；对C选 项：由B可知：是=1+-1=，所以a=:2,所以号=2，所以{ 是以1为首项，2为公比的等比数列， 故c正确：对D选：为+2=2)】 2" 2 所以数列 的前99项和为： (n+1)a 11.ACD 【详解】对于A,已知f(ab)=可(b)+bf(ad,令a=b=0,则f(0)=0xf(0)+0×f(0)=0,故f(0)=0;令a=b=1,则 fQ)=f0)+f0),解得f)=0,故A正确：对于B,令a=b=-1,则f(-1)=(-1)×f(-1)+(-1)×f(-1),解得f(-1)=0: 令a=-1b=,则八)=-，得到)是奇函数，不满足0=)，放B错误：对于C,令a=b=子则 10=日)=0，而)=-)，得到是奇函数，且在R上有定义，则f0=0,(=-0=0,得 到()有3个零点，故C正确，对于D,结合 日+/=0，解得=-/日 显然x≠0，而y=-x<0,若 o)>0,则/)0即可，当x>1时，此时)>0，则日)0，符合题意，而在0<x1时，1，则/日)>0， fw<0,不符合思意，排除，当1<<0时，0<-<1，一1，放0，由奇函数性质得)-0， 符合题意，当x<-1时，-x>1,此时f(仁x)>0,由奇函数性质得f(x)=-∫(-x)<0,不符合题意，排除，综上，若fx)>0, 则-1<x<0或x>1,故D正确 12.1 21gx,x>0 【详解】因为函数f(x)= 00”,所以f0=2g=0,所以rU0f0=10-1 13.5 【详解】抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,过M作MN垂直于准线，垂足为N,交抛物线于点P,过 点P作PO垂直于准线，垂足为O,因此IPM+|PFPM|+|POMNHP'M|+|PN=4-(-1)=5,当且仅当M,P,Q共 线时取等号，所以PM+PF的最小值为5. 4圆 【详解】在vABC中，由S=。-仍-c少及三角形面积公式，得d-6-c2+2c=2S=bcsm4,由余弦定理得 2 2kc0-cos0=cm4,则40-cos4=snA=1-co3A,而-1<o0sA<1.解得cosA=号s血A-子由正弦定理得 4 b+B2siC=sin(+C)+2sinc coCsinC+2sin c 3 a sinA sinA 4 干13snC+4 cosC85sin(C,锐角9由 4 5 4 0<C<π sin 185.cosp=13 85确定，而VABC为锐角三角形，则， 即导A<C<经于A+p<C+p<0 5A+C<π' 显然n(C+到s1,面血（宁+列=cop- 13 v185 sin( 4约号点骨两点点因欧 2 <血C+51,共2s,所以+2的取值范国是两 11 4 a 44 15. 【详解】(1)小王最终赢得比赛的情况有：小王连续赢2局，小王前2局赢1局输1局且第3局赢， 所以小王最终赢得比赛的概率P=令：+C(冷×号艺 2_44 所以B06=3×27+4×162+5x 648_1701 125 625 3125625 16. 【样1D商数号的定义城与-.且/四，令f到<0.得<-1成1长<0。 所以，函数f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)、(-1,0) 2)对任意的G(1+四，号>mx+由于10，则< c+刀2，令8)=、e +,其中xe(-l+),则 8(x)=e(x-) (G+,令8(9=0，则x=1. 当-1<x<1时，g(x)<0,g(x)在(-1,1)上单调递减： 当x>1时，g'(x)>0,g(x)在(L,+∞)上单调递增 所以，(9。=8)-聋则m<骨因此，实数m的取值范围是 17. 【详解】(1)在直三棱柱ABC-AB,C中，AA⊥平面AB,C,又AB,C平面AB,C,,AA⊥AB: 又AB⊥AC,AA∩AC,=A,AA,ACC平面ACCA,.AB⊥平面ACCA又：ABC平面PAB, .平面PAB⊥平面ACC,A. (2)以A为原点，AA,CA,AB所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0,0,2,B(2,0,2),C(0,-2,0). ZA B B 设正四棱锥P-ABBA的高为h,则P(,h1),故BB=(2,0,0),BC=(0,-2-2),BP=1h-1),设平面BB,CC的一个法向量 BB·n=2x,=0 为=(，，3).则 C元-2刘-20即货”，取山，则%=山公0，D.设平面P8的一个法向量为 %=(）,则 BB.=2x3=0 0·即50 BPh=x2+m2-22=0 即飞+=，'取男1，则5=h,故=@10，设平面BCC与平面 万乃 PBB,夹角为0，则cos0= 调清皮0·解得=2或号所以正因夜锥P-484的商为2政好一 18. 【详解】1)双曲线c:-护 荐存1的渐近线为±w=0,设飞c.0,则后625，而a=2,所以双曲线C的 方程为上 =1 412 (3)由(1)知，A(-2,0),B(2,0),F(4,0),直线1不垂直于y轴，设方程为x=y+4, 3r-=12消去x得 x=y+4 32-1≠0 36 (3t-10y2+24y+36=0,设P(x,)Q(x2,y), △=1442+1D>0·4+2=-3-1,%:=32-) <0,则=0+ F<兮直线：了=产2红+2，直线0：产-， X+2 联立得+2。+02+计6叹3y+9y-3,解得x=1,所以直线4P与B0交于点7在定直线x=1B x-2:+2)- 29+)+2y4-39 (3)由(2)知， p川0mP0.m2四-1号⊥5，则0+30，+到=15，即yy+30+W）-6=0, 且=2 in2A TA TB 3 1 于是360-7212 ,-6=0,解得-。，即1=±，所以直线1的方程为x=土y+4,即3x±y-12 19. 【详解】(1)因为等比数列{物}为A数列，则Vb-√瓜=A,即Vg-g可=A,可得Vg(G-)=A,若上述 方程对任意neN恒成立，则q=1,且A=√q(Vg-1)=0为定值，所以，}的公比q=1. (2)由题意可知：√a-√瓦，=1，且4=1，则数列{√a}是以首项为√瓜=1，公差为1的等差数列，可得√a,=1+n-1=n, 即a,=2 11 ①因为 a. 若n=1,则公 =14 7 a 若m=2,则2上-1+ 157 a444 1111 若n23,则元nn-可-n' 可得2<1+5+11？17 a 42334 n-l n 4 n 4 综上所述： 17 a4: 调为心-反a,且软是正要数别财影=，到时六可得8-空站计方+六 c 若2m+6-2<S,对任意meN恒成立.即2m+b-2<1+方+历令1，可得2a6-2<1,可得a+b<号 12 2 且a6eN,则a=b,若a=bl,可得2m+b-2=2h-2,又因为方n十>i+2mT 可得S>2(V2-1)+2(5-2++2(1+1-h上2+1-2，所以a=b=1符合题意： 若8≤2@-1对任意aeN恒成立，即1+方+方2面-1，令m=1,可得1s2-1,可得c≥1 12 2 若c≥1，可得2a-122-1又因为而h+i+2标加可e2, 可得S<1+2(V2-)+23-√2+…+√n√n-)=3n-，n≥2，可得S.<2m-1≤2m-1,所以c21符合腮意： 综上所述：abc=c的最小值l.