专题04 乘法公式八种考法全攻略-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都七年级数学下册题型全攻略（北师大版2024）

专题04 乘法公式的八种考法全攻略 【知识点梳理】 知识点1 平方差公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。 注：①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。 ②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。 知识点2 完全平方公式 完全平方和（差）公式： 完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积 注：①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式 拓展：利用可推导除一些变式 ① ② 注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。 【考法一、平方差公式基本运算】 例1．的计算结果是(   ) A． B． C． D． 例2．运用平方差公式计算： (1)； (2)． 变式1．下列算式能用平方差公式计算的是（　　） A．B． C． D． 变式2．已知，求的值． 变式3．利用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考法二、平方差公式与几何综合】 例．如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． (1)在图2中的阴影部分的面积可表示为__________；（写成多项式乘法的形式）在图3中的阴影部分的面积可表示为____________；（写成两数平方差的形式） (2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是____________； A．    B．    C． (3)请利用所得等式解决下面的问题：计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少． 变式1．实战与探究，如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）． A．            B．        C． (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①已知，，则______； ②计算：； ③计算： 变式2．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：___________； (2)请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，则_________； ②计算：． 【考法三、利用完全平方公式运算】 例1．计算： (1)； (2)； (3)． 变式1．运用完全平方公式计算： (1)； (2)． 变式2．计算：． 【考法四、完全平方式知二求二】 例1．已知实数a，b满足，，则的值为 ． 例2．已知，，则 变式1．已知，．则 ， 变式2．已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 变式3．已知，求的值． 【考法五、配凑完全平方式】 例1．若，则（　　） A． B．3 C．1 D．4 例2．用配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例如，①用配方法因式分解：，原式；②若，利用配方法求M的最小值：， ∵，∴当时，M有最小值6．请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)若，求M的最小值及a的值； (3)已知，求的值． 变式1．已知，则的值为 ． 变式2．阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 【考法六、完全平方式中的整体思想】 例．已知，则等于（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 变式1．若，则的值为 ． 变式2．已知，求的值． 【考法七、完全平方式的参数问题】 例1．若是完全平方式，则的值为（　　） A． B．或 C． D．或 例2．如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 例3．如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 变式1．若是完全平方式，则的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 变式2．若是一个完全平方式，则m的值为（   ） A． B． C． D． 变式3．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 【考法八、完全平方式与几何综合】 例．数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片．甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为、宽为的长方形． 【观察发现】 用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形．观察图（2）的面积关系，写出正确的等式：______． 【操作探究】 若要拼出一个面积为的长方形，则需要甲种纸片______张，乙种纸片______张，丙种纸片______张．（所拼图形不重叠无缝隙） 【拓展延伸】 两个正方形、如图（3）摆放，边长分别为，，连接，．若，，求图中阴影部分的面积． 变式1．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：__________； (2)解决问题：如果，，求的值； (3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 变式2．若x满足，求的值． 解：设，，则，， ∴． 请仿照上面的方法解答下列各题． (1)已知，求的值； (2)若y满足，求的值； (3)如图所示，正方形的边长为m，E，F分别是，上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【课后练习】 1．若，是正整数，那么整式是（   ） A．正数B．非负数C．负数D．可能是正数，也可能是负数 2．若，则m的值为（   ） A．4 B．1 C． D． 3．已知整式是一个完全平方式，则符合M的整式有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．明明写了两个算式：，请你帮他判断a和b的大小：a b．（填“”“”或“”） 5．设，，．若，则的值是 ． 6．在多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ． 7．已知，则的值为 ． 8．如果是一个完全平方式，那么的值是 ． 9．计算： (1)； (2)； (3)． 10．用乘法公式计算：． 11．计算： 12．计算：． 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 14．已知，，求与的值． 15．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．如图，图1、图2是由若干个正方形和长方形组成的规则图形正方形． (1)请根据图1写出一个乘法公式； (2)根据图2写出一个乘法公式，并解决问题：已知，试求出阴影部分的面积； (3)如图3，点C在线段上，分别以为边作正方形和正方形，连接．若．试求出阴影部分的面积． 16．如图①，六个小图形拼成一个大长方形，大长方形面积长宽，六个小图形面积之和：，可得等式：． (1)仿照上面的方法，由图②可得等式_______________； (2)通过以上探究，我们发现可以利用长方形的面积求因式分解，那么因式分解：_____________； (3)利用（1）所得的等式，解决以下问题：已知，，求的值． 17．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 18．如图1是一个宽为、长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图2． (1)观察图2，请你用等式表示，，之间的数量关系：________． (2)根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值； (3)如果，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 乘法公式的八种考法全攻略 【知识点梳理】 知识点1 平方差公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。 注：①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。 ②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。 知识点2 完全平方公式 完全平方和（差）公式： 完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积 注：①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式 拓展：利用可推导除一些变式 ① ② 注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。 【考法一、平方差公式基本运算】 例1．的计算结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，平方差公式，熟练掌握平方差公式的运算法则是解题的关键； 通过变形将其转化为平方差公式直接解答即可． 【详解】解： ； 故选；D． 例2．运用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)99.99；(2)999991 【分析】本题考查平方差公式的应用，熟记平方差公式并灵活运用是解答的关键． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．下列算式能用平方差公式计算的是（　　） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式：，可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，由此判断即可． 【详解】解：A、两个因式中，没有两项完全相同，也没有两项互为相反数，故不能用平方差公式计算； B、两个因式中，和是相反数，和是相同项，故可以用平方差公式计算； C、两个因式中，各项符号完全相反，故不能用平方差公式计算； D、两个因式中，各项符号完全相反，故不能用平方差公式计算； 故选：B 变式2．已知，求的值． 【答案】 【分析】题目主要考查利用平方差公式进行计算，求代数式的值，根据题意，利用平方差公式化简，然后整体代入求值计算即可． 【详解】解： ． 因为， 所以原式． 变式3．利用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）利用平方差公式进行计算即可得解； （2）利用平方差公式进行计算即可得解； （3）二次利用平方差公式进行计算即可得解； （4）先把第一项和第三项利用平方差公式计算，然后再次利用平方差公式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 ． 变式4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，掌握平方差公式的变形计算是解题的关键． （1）将原式变形为，运用平方差公式计算即可； （2）将原式变形为，运用平方差公式计算即可； （3）将原式变形为，运用平方差公式计算即可； （4）将原式变形为，运用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【考法二、平方差公式与几何综合】 例．如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． (1)在图2中的阴影部分的面积可表示为__________；（写成多项式乘法的形式）在图3中的阴影部分的面积可表示为____________；（写成两数平方差的形式） (2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是____________； A．    B．    C． (3)请利用所得等式解决下面的问题：计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少． 【答案】(1)； (2)B (3)； 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，数字的变化类，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，发现数字作呈现的规律是得出正确答案的关键． （1）根据图2的长为，宽为，可表示出面积；图3阴影部分的面积是两个正方形的面积差，用代数式表示即可； （2）由图2、图3面积相等可得答案； （3）将原式配上因式，连续利用平方差公式得出结果为，再根据底数为的整数幂的个位数字所呈现的规律得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，图2中的阴影部分的面积可表示为：， 图3中阴影部分的面积可表示为：； （2）解：由图2、图3面积相等得，， 故选： B； （3）解：原式， ， ， ， ∵， ， ∴的个位数字为． 变式1．实战与探究，如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）． A．            B．        C． (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①已知，，则______； ②计算：； ③计算： 【答案】(1)B；(2)①4；②5050；③ 【分析】本题考查平方差公式的证明与使用，考查求和公式，掌握这些是本题关键． （1）根据阴影部分写出两个图形中阴影部分面积的代数式，再得出二者相等的结论； （2）使用（1）得出的公式对本题中的平方差进行因式分解即可求得结果． 【详解】（1）解：图一中的阴影部分面积为：， 图二中阴影部分面积为：， 而这两者面积相等，所以有：． 故选：B． （2）解：① ， 又， ． ② ， ， ， 原式． ③ ． 变式2．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：___________； (2)请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，则_________； ②计算：． 【答案】(1) (2)①4；② 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟练掌握平方差公式的结构特点是解答此题的关键． （1）分别计算两个阴影部分的面积即可得到答案； （2）①根据平方差公式得到，然后再将已知整体代入即可求解； ②先利用平方差公式将每一项化成两个分数积的形式，然后再利用互为倒数的两个分数的积为1即可计算结果． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为， ∵图1和图2中两阴影部分的面积相等， ∴上述操作能验证的等式是， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4； ② ． 【考法三、利用完全平方公式运算】 例1．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键． （1）运用的方法计算即可； （2）运用的方法计算即可； （3）运用的方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 变式1．运用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9409 (2)104.04 【分析】本题考查了完全平方公式，． （1）把转化成，再根据完全平方公式简便计算即可； （2）把转化成，再根据完全平方公式简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2．计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了完全平方公式，先把原式整理为，再运用完全平方公式进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 【考法四、完全平方式知二求二】 例1．已知实数a，b满足，，则的值为 ． 【答案】54 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，将变形就，再整体代入计算即可得去答案． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 故答案为：54． 例2．已知，，则 【答案】2 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 故答案为：2． 变式1．已知，．则 ， 【答案】 4 /0.5 【分析】本题考查了完全平方公式的变形与求值，熟练掌握完全平方公式和整体代入的思想是解题关键． 利用完全平方公式化简，计算即可求值． 【详解】解：， ． 得：，即， 得：，即， 故答案为：4，． 变式2．已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)11 (2)626 【分析】题目主要考查利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据完全平方公式变形求值即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． （2）因为， 所以， 所以． 变式3．已知，求的值． 【答案】49 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的变形计算方法是解题的关键． 根据题意，则，再根据完全平方公式展开，代入计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【考法五、配凑完全平方式】 例1．若，则（　　） A． B．3 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，代数式求值等知识，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键．将式子配方成，根据平方的非负性可得可得x、y的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 例2．用配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例如，①用配方法因式分解：，原式；②若，利用配方法求M的最小值：， ∵，∴当时，M有最小值6．请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)若，求M的最小值及a的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)当时，M有最小值． (3) 【分析】此题考查了配方法的应用． （1）利用配方法得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法得到，再由，即可得到答案； （3）由配方法得到，根据非负数的性质得到字母的值，代入代数式求值即可． 【详解】（1）解： （2） ∵， ∴当时，M有最小值． （3）∵ ∴ 则， 则， ∴ 变式1．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和非负数的性质．先把等式的左边利用完全平方公式进行运算，再根据非负数的性质求出x、y的值，再代入计算． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 变式2．阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 【答案】(1)当时，代数式的最小值为 (2) (3)5米，25 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据阅读材料即可求出答案； （2），根据阅读材料和已知条件即可求出答案； （3）由题意得到长方形的面积，根据阅读材料和已知条件即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴． ∴当时，代数式的最小值为4； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为， ∵多项式的最小值是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵米， ∴（米）， ∴长方形的面积， ∵， ∴长方形的面积， ∴当时，长方形的面积的最大值为25， 即米时，该花坛的面积最大，最大面积是25平方米． 故答案为：5米，25． 【考法六、完全平方式中的整体思想】 例．已知，则等于（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值计算．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 设，得， 得，得，得，得，得或，代入计算可得． 【详解】解：设， 则， ∴， 即， ∴， ∴， 即， ∴， ∴或， ∴． 故选：D． 变式1．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，换元思想；设，则，，由完全平方公式变形应用可求得的值，从而求得结果． 【详解】解：设， 则， ∴； ∵， ∴ ， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 变式2．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键． 根据完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考法七、完全平方式的参数问题】 例1．若是完全平方式，则的值为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式，解题的关键是掌握：形如和这样的式子叫做完全平方式．据此列式解答即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得：或． 故选：D． 例2．如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征即可得出答案． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：A． 例3．如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征即可得出答案． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：A． 变式1．若是完全平方式，则的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 故选：B． 变式2．若是一个完全平方式，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 利用完全平方式的特征判断即可确定出的值． 【详解】解：由完全平方公式的形式：， 可知，， 即，， 故， 故选：C． 变式3．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 【答案】或或 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握公式的应用． 根据完全平方公式的特点即可求解， 【详解】解：∵完全平方式的形式为 当为，看作，看作时 ； 当为，看作，看作时 ， ∴， 当为，看作，看作时； ， ∴， ∴， 故答案为：或或． 【考法八、完全平方式与几何综合】 例．数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片．甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为、宽为的长方形． 【观察发现】 用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形．观察图（2）的面积关系，写出正确的等式：______． 【操作探究】 若要拼出一个面积为的长方形，则需要甲种纸片______张，乙种纸片______张，丙种纸片______张．（所拼图形不重叠无缝隙） 【拓展延伸】 两个正方形、如图（3）摆放，边长分别为，，连接，．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】观察发现：；操作探究：1，2，3；拓展延伸：10 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 观察发现：根据图（2）的面积边长为的正方形的面积一个边长为的正方形的面积一个边长为的正方形面积个长为，宽为的长方形面积，列出算式即可； 操作探究：利用多项式乘多项式法则进行计算，然后根据计算结果进行判断即可； 拓展延伸：先根据已知条件可知，然后根据已知条件为完全平方公式，求出，最后根据阴影部分的面积边长是的正方形面积边长是的正方形的面积的面积的面积，列出算式进行计算即可． 【详解】观察发现： 解：观察图形可知：图（2）的面积为：，还可以表示为：， 正确的等式为：， 故答案为：； 操作探究： 解： ， 需要甲种纸片1张，乙种纸片2张，丙种纸片3张， 故答案为：1，2，3； 拓展延伸： 解：，，， ， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意，舍去）， 阴影部分的面积 ． 变式1．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：__________； (2)解决问题：如果，，求的值； (3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据图形得到完全平方公式即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ， ； （3）解： 这个长方形的面积为17． 变式2．若x满足，求的值． 解：设，，则，， ∴． 请仿照上面的方法解答下列各题． (1)已知，求的值； (2)若y满足，求的值； (3)如图所示，正方形的边长为m，E，F分别是，上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式和平方差公式得变形应用，以及与几何图形的结合． (1) 设，则，求得，那么代入求解即可； (2) 设，则，求得，那么，代入求解即可； （3）根据题意得．设则，可求得，那么，，结合， ，有，结合即可求得答案． 【详解】（1）解∶设， 则， ， ∴ ． （2）解：设， 则， ， ∴ ． （3）解：根据题意，得． 设 则， ， ∴ ． ∵， ， ∴． ∴ ． ∴阴影部分的面积是20． 【课后练习】 1．若，是正整数，那么整式是（   ） A．正数B．非负数C．负数D．可能是正数，也可能是负数 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和完全平方公式，解题的关键是掌握同底数幂的乘法运算法则和完全平方公式的应用． 利用幂的运算法则和完全平方公式计算． 【详解】解：∵是正整数， ， ∴整式是非负数． 故选：B． 2．若，则m的值为（   ） A．4 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式应用，理解并掌握完全平方公式是解答本题的关键； 根据题意将展开整理后，然后一一对应相等即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：B； 3．已知整式是一个完全平方式，则符合M的整式有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式．根据完全平方公式得到或，然后把等式右边展开，从而得到M的值． 【详解】解：∵整式是一个完全平方式， ∴或， 即或， ∴或． 则符合M的整式有3个， 故选：C． 4．明明写了两个算式：，请你帮他判断a和b的大小：a b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式的知识；根据完全平方公式的性质计算得，即可完成求解． 【详解】 ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 5．设，，．若，则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了完全平方公式，由题意可得，，再根据完全平方公式计算即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ， ， ． 故答案为：7． 6．在多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ． 【答案】或 【分析】由，，作答即可． 【详解】解：∵， ∴单项式为； ∵， ∴单项式为； ∵，不是单项式； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 7．已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意可得，，，结合已知可得，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 所以原式 ． 8．如果是一个完全平方式，那么的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查完全平方式，解题关键在于掌握计算公式．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴ ， 故答案是：． 9．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用完全平方公式去括号，再根据整式的加减运算法则计算即可； （2）运用完全平方公式，平方差公式去括号，再根据整式的加减运算法则计算即可； （3）运用完全平方公式去括号，再根据整式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 10．用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘法公式，先把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式去括号即可得到答案． 【详解】解： ． 11．计算： 【答案】 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则；根据相关运算法则进行计算，即可解题． 【详解】解： ． 12．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】题目主要考查利用完全平方公式及平方差公式计算，熟练掌握两个公式是解题关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）根据平方差公式求解即可； （3）根据平方差公式求解即可； （4）根据平方差公式求解即可； （5）根据平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． （5）原式 ． 14．已知，，求与的值． 【答案】25，57 【分析】本题考查了整式乘法的完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．根据完全平方公式的变形整体求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．如图，图1、图2是由若干个正方形和长方形组成的规则图形正方形． (1)请根据图1写出一个乘法公式； (2)根据图2写出一个乘法公式，并解决问题：已知，试求出阴影部分的面积； (3)如图3，点C在线段上，分别以为边作正方形和正方形，连接．若．试求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)，45 (3)17 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积： （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出结论； （2）同法（1）写出乘法公式，整体代入法进行求解即可； （3）设，得到，分割法表示出阴影部分的面积，整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积可表示为：或， ∴； （2）同法（1）可得：， ， ， ； 答：阴影部分的面积为45； （3）设， ， ， ， ，即， ； 答：阴影部分的面积为17． 16．如图①，六个小图形拼成一个大长方形，大长方形面积长宽，六个小图形面积之和：，可得等式：． (1)仿照上面的方法，由图②可得等式_______________； (2)通过以上探究，我们发现可以利用长方形的面积求因式分解，那么因式分解：_____________； (3)利用（1）所得的等式，解决以下问题：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是多项式的乘法与几何图形面积的关系，完全平方公式的几何意义以及灵活应用，熟练的利用面积法得到代数恒等式是解本题的关键． （1）由图2的面积可表示为：或，再利用面积的不变性可得等式； （2）由等于成几个小图形的面积之和，进而得出答案； （3）把，代入，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图2，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为． 故答案为：． （2） ， 故答案为：． （3）， ，， ， ， ． 17．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)2；13 (2) (3)18 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3），由面积公式，将其转化为，设，则，代入化简计算，转化为上述求解方法计算即可． 【详解】（1）解：， ； ； 代数式有最小值2； ， ； ； 代数式有最大值13； 故答案为：2；13． （2）解： ， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：根据题意得 ， ∵， ∴， ， ， ∵，设，则， ， ∵， ， ∴四边形面积的最大值为18． 18．如图1是一个宽为、长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图2． (1)观察图2，请你用等式表示，，之间的数量关系：________． (2)根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值； (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键． （1）由题意大正方形的边长为，大正方形的由4个长为，宽为的长方形，中间正方形边长为组成，正方形和正方形的面积计算方法进行计算即可； （2）由（1）中结论代入计算即可； （3）根据题意可得，则由完全平方和公式恒等变形得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：依据题意，由图②可得： ． 故答案为：； （2）解：由（1）中结论可得， ， ， ； （3）解： ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$