专题03 整式的乘除三种考法全攻略-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都七年级数学下册题型全攻略（北师大版2024）

专题03 整式的乘除三种考法全攻略 【知识点梳理】 知识点1整式乘法 1、单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 注：①单项式乘单项式，结果仍为单项式；②单项式相乘时，注意不要漏掉无相同之母的项。 2、单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。 即：p(a+b+c)=pa+pb+pc 注：单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，仍应先算乘方，在算乘法。 3、多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。 注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。 知识点2 整式除法 1) 单项式除单项式 通常分为三个步骤：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。 2) 多项式除单项式 多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。 注：计算时，多项式各项要包含它前面的符号，结果所得商的项数与原多项式的项数相同；当被除式的某一项与除式相同时，商为1，注意不能漏除某一项。 【考法一、整式的乘除基本运算】 例1．计算： (1)； (2)． 例2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 例3．计算： (1)； (2)； (3)． 变式1．计算 (1)计算：； (2)计算：． 变式2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式3．化简下列各式 (1)； (2)． 【考法二、代数式化简求值】 例1．已知，那么的值为（ ） A． B． C． D． 例2．若，，则 ． 变式1．设，则 ． 变式2．若实数x满足，则的值为 ． 【考法三、整式的乘法与几何图形综合】 例．小亮学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为______； (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)小亮继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若多项式是“系多项式”，则______，______，______． 变式1．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释． 学习材料：如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，请模仿学习材料中的拼图方式，画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为______．（直接写出结果） 变式2．已知正方形和正方形的边长分别为a、． (1)如图1，将正方形的边、分别与正方形的边、重合，点C在边上，延长交边于点M，连结，请用含a、b的代数式表示梯形的面积． (2)如图2，将正方形的边与正方形的边重合，点D在的延长线上，延长交边于点M． ①用含a、b的代数式表示三角形的面积． ②连结交于H，记三角形的面积为，三角形的面积为，用含a、b的代数式表示． 【课后练习】 1．设，，则M与N的关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．计算： ． 3．计算： ． 4．已知等式（为正整数），则的值不可能是（   ） A． B． C． D． 5．已知，那么 ． 6．已知一个多项式除以多项式所得的商式为，余式为，这个多项式是 ． 7．在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：． 请你解答下面的问题：利用图1中的三种卡片若干张拼成图，可以解释等式： ； 8．如图1，在长方形中放入边长分别为和的两张正方形纸片，，阴影部分面积分别记为． (1)如图2，当长方形为正方形时，， ①___________，___________，___________（用含，，的式子分别表示）；②若，试证明：； (2)如图3，若，且，试探究长方形的周长和正方形的周长之间的数量关系，并说明理由． 9．先化简，再求值：，且单项式与是同类项． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 整式的乘除三种考法全攻略 【知识点梳理】 知识点1整式乘法 1、单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 注：①单项式乘单项式，结果仍为单项式；②单项式相乘时，注意不要漏掉无相同之母的项。 2、单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。 即：p(a+b+c)=pa+pb+pc 注：单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，仍应先算乘方，在算乘法。 3、多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。 注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。 知识点2 整式除法 1) 单项式除单项式 通常分为三个步骤：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。 2) 多项式除单项式 多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。 注：计算时，多项式各项要包含它前面的符号，结果所得商的项数与原多项式的项数相同；当被除式的某一项与除式相同时，商为1，注意不能漏除某一项。 【考法一、整式的乘除基本运算】 例1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)﹣2m8n7；(2) 【分析】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是掌握相应的运算法则． （1）利用积的乘方，幂的乘方和单项式乘单项式乘法则进行计算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方和单项式乘单项式乘法则，先算乘方，再算乘法． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式＝ ＝ ＝． 例2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，积的乘方，熟练掌握和运用单项式乘以单项式法则是解决本题的关键． （1）根据单项式乘以多项式法则进行运算，即可求解； （2）根据单项式乘以多项式法则进行运算，即可求解； （3）先根据积的乘方去括号，然后单项式乘以多项式法则进行运算，即可求解； （4）根据单项式乘以多项式法则进行运算，即可求解 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 例3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的运算． （1）本题考查了整式的乘除运算，根据整式乘除法的运算法则进行计算即可； （2）本题考查了整式的混合运算，根据整式乘除法的运算法则进行计算即可； （3）本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ； （3）解：原式， ． 变式1．计算 (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，同底数幂乘法计算，幂的乘方和积的乘方计算： （1）先计算同底数幂乘法，再计算积的乘方和幂的乘方，最后合并同类项即可得到答案； （2）先计算单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握单项式和多项式的运算法则是解决本题的关键． （1）先利用多项式乘多项式计算，再合并同类项； （2）先利用多项式乘多项式计算，再合并同类项； （3）先利用多项式乘多项式计算，再合并同类项； （4）先利用单项式乘多项式、多项式乘多项式法则算乘法，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 变式3．化简下列各式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合计算： （1）先计算积的乘方，接着计算单项乘以单项式，最后合并同类项即可得到答案； （2）先根据完全平方公式、单项式乘以多项式的计算法则展开，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考法二、代数式化简求值】 例1．已知，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握将未知数进行降幂是解题的关键．先将降次，然后代入代数式即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选D． 例2．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，根据可得，将变形为，再将整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 变式1．设，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法，利用赋值思想与方程思想是解题的关键；分别令与，得到两式，两式相减即可求解． 【详解】解：令，则①； 令，则②； 得：， ∴， 故答案为：． 变式2．若实数x满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式化简求值，掌握整体代入的思想，根据已知代数式的值将所求代数式进行恒等变形是解决问题的关键． 将恒等变形为，然后将根据变形为，代值求解后进一步变形为，代值求解即可． 【详解】解：实数x满足， ， ， 故答案为：． 【考法三、整式的乘法与几何图形综合】 例．小亮学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为______； (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)小亮继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若多项式是“系多项式”，则______，______，______． 【答案】(1)或 (2)多项式B的另一个零点是 (3)2，，1 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算； （1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； （2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； （3）根据题意，由“系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或； （2）解：根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， 多项式的另一个零点是； （3）解：， 解得：或； 的两个零点分别是或， 根据“系多项式”的定义，有， ∴ 把代入， 得 ， ， ． 变式1．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释． 学习材料：如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，请模仿学习材料中的拼图方式，画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)①③④⑤； (2)见解析，； (3)9或21或12 【分析】本题考查整式乘法，因式分解与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． （1）根据图形表示出两个正方形边长与a、b的关系、，结合面积加减计算逐个判断即可； （2）根据整式得到三个大正方形、两个小正方形、五个长方形，然后画出图形即可解答； （3）根据因式分解的结果再展开求解即可解答． 【详解】（1）解：由图形可得，、，故①正确， ∴，即②错误； 由图形可得，，即，即③正确； ∵、， ∴，即，即④正确； ∵，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． （2）解：由题意可得，图形如图所示， ∴． （3）解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． 综上：的值为：9或21或12． 变式2．已知正方形和正方形的边长分别为a、． (1)如图1，将正方形的边、分别与正方形的边、重合，点C在边上，延长交边于点M，连结，请用含a、b的代数式表示梯形的面积． (2)如图2，将正方形的边与正方形的边重合，点D在的延长线上，延长交边于点M． ①用含a、b的代数式表示三角形的面积． ②连结交于H，记三角形的面积为，三角形的面积为，用含a、b的代数式表示． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查多项式乘法的几何应用，整式加减法的应用，列代数式． （1）利用梯形的面积公式列出代数式即可； （2）①根据题意得到，由三角形面积公式列出代数式即可；②如图，连接，分别求出梯形的面积，三角形的面积，三角形的面积，结合①知三角形的面积，由即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 梯形的面积为：； （2）解：①根据题意得：， ， 三角形的面积为：； ②如图，连接， 则梯形的面积为： ； 由①知三角形的面积为：； 三角形的面积为： ； 三角形的面积为：， ， ． 【课后练习】 1．设，，则M与N的关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式、整式的加减．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．由于，，可以通过比较M与N的差得出结果． 【详解】解：∵，， ， ∴． 故选：A． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式的乘除运算，先计算积的乘方运算，再计算乘法运算，最后计算除法运算即可． 【详解】解： ； 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．已知等式（为正整数），则的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后根据对应项的系数相等求出的值即可求解，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵为正整数， ∴ ∴或或或， ∴的值不可能是， 故选：． 5．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则．先计算出，再根据，可得，，求出、，即可求解． 【详解】解：， ， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 6．已知一个多项式除以多项式所得的商式为，余式为，这个多项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 由题意可知，这个多项式是，然后展开，再合并同类项即可． 【详解】解：由题意可知，这个多项式是： ． 7．在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：． 请你解答下面的问题：利用图1中的三种卡片若干张拼成图，可以解释等式： ； 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，利用两种方法，表示出大长方形的面积，即可得出结论． 【详解】解：大长方形的面积可表示为：，也可以表示为：， ∴； 故答案为：． 8．如图1，在长方形中放入边长分别为和的两张正方形纸片，，阴影部分面积分别记为． (1)如图2，当长方形为正方形时，， ①___________，___________，___________（用含，，的式子分别表示）；②若，试证明：； (2)如图3，若，且，试探究长方形的周长和正方形的周长之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①      ②见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查代数式和等式的基本性质： （1）①根据，，，即可求得答案；②根据题意可得，化简即可求得答案； （2）设，，可得，化简可得，进而可求得答案． 【详解】（1）①． ． ． 故答案为：     ②． ． 根据题意，得 （2），理由如下： 设，，则，． 根据题意，得 化简，得 因为，可得 根据题意，得 ，，， 则 ， 则 9．先化简，再求值：，且单项式与是同类项． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法，求代数式的值，同类项的定义；先按照整式乘法法则展开，再合并同类项，得，结合单项式与是同类项，得出，即，代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ； ∵与是同类项， ∴， 即， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $$