1.4 整式的除法&专题特训（三）整式乘除的有关计算与求值题-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

b)2=2×2- 23 2 =329. 6. (1) 因为x+y=6,x2+y2=30, 所以2xy=(x+y)2-(x2+y2)= 62-30=6. 所以xy=3. (2) 因为3a+b=7,ab=2, 所以(3a-b)2=(3a+b)2-12ab= 72-12×2=49-24=25. 所以3a-b=±5. 7. (1) 原式= 19x2-y2 19x2+ y2 =181x4-y4. (2) 原式=[(2x-4y)+3z][(2x- 4y)-3z]=(2x-4y)2-(3z)2= 4x2-16xy+16y2-9z2. (3) 原式 = [(a-2b)-3c]2 = (a-2b)2-2·(a-2b)·3c+9c2= a2-4ab+4b2-6ac+12bc+9c2. 8. B 9. (1) 因为(x+y)2=x2+2xy+ y2,x+y=6,x2+y2=30, 所以62=30+2xy. 所以xy=3. (2) 设4-x=a,5-x=b,则(4- x)(5-x)=ab=8,a-b=4-x- 5+x=-1. 因为a2+b2=(a-b)2+2ab, 所以(4-x)2+(5-x)2=a2+b2= (-1)2+2×8=17. (3) 因为长方形的周长为16,面积为 15.75, 所以a+b=16÷2=8,ab=15.75. 所以易得S1+S2+S3=62-2ab+ 2(a+b-6)2=36-2×15.75+2× (8-6)2=36-31.5+8=12.5. 4　整式的除法 1. D 2. D 3. -3a2b5 4. 9x- 4y+6 5. (1) 原式=3ac. (2) 原式=-90m2+60mn-10n2. (3) 原式=-2425x 2y3. (4) 原式=-5by. 6. (1) 原式=-35+9x-y 3. (2) 原式=-a-74ab 2+3b. 7. C [解析]原式=[a2+b2+2ab- 2b2-(a2-2ab+b2)]÷4b=(a2+ b2+2ab-2b2-a2+2ab-b2)÷4b= (4ab-2b2) ÷4b=a-12b. 当2a- b=5,即b=2a-5时,原式= a- 1 2 (2a-5)=a-a+52= 5 2. 8. D [解析]由题意,可得小明爬这 一小山的总用时为t+12t ,总路程为 2vt+12vt ,所以小明爬这一小山的平 均速度为 2vt+12vt ÷t+12t = 5 2vt÷ 3 2t= 5 3v. 9. -2x3yz2 10. 5y2-3y+1 [解析] 因为 (-25y3+15y2-5y)÷M=-5y,所 以M =(-25y3+15y2-5y)÷ (-5y)=5y2-3y+1. 11. 3 2 12. 2ab2 13. -45 14. (1) 原式=-384a2bc3. 当a=-1,b=-2,c=1时,原式= -384×(-1)2×(-2)×13=768. (2) 原式=(x2+4x+4)-(x2+ 3)=x2+4x+4-x2-3=4x+1. 当x=-2时,原式=4×(-2)+ 1=-8+1=-7. 15. 由题意,得长方体容器的宽为 π· 8mn2 2 ·3 2m 3n2 ÷(2mn2· 6m2n2)=24πm5n4 ÷12m3n4 = 2πm2. 16. (1) 5a2-43a+1 ;-2a+5. (2) A=2x2(3x+4)+x-1=6x3+ 8x2+x-1. (3) 设该多项式为B. 由题意,得B=(2x-6)(3x-1)+ x+3=6x2-2x-18x+6+x+3= 6x2-19x+9. 17. (1) x3-x2-5x-3能被x+1 整除. 理由: 所以(x3-x2-5x-3)÷(x+1)= x2-2x-3,即x3-x2-5x-3能被 x+1整除. (2) 若多项式2x4-3x3+ax2+7x+ b能被x2+x-2整除,则 所以a+9=-3,b=6,解得a= -12,b=6. 所以a b=-2. 专题特训（三）　整式 乘除的有关计算与求值题 1. (1) 原式 =3x2y2 +2x2y2 + 9x2y2=14x2y2. (2) 原式=-3x2+4x-3x+3x2- 2+2x=3x-2. (3) 原式=9b2-4a2-(9a2+6ab+ b2)-2ab-8b2=9b2-4a2-9a2- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 6ab-b2-2ab-8b2=-13a2-8ab. 2. (1) 原式=(9x2+6xy+y2+ xy-10y2-x2+9y2)÷2x=(8x2+ 7xy)÷2x=4x+ 7 2y. 当x=1,y=-2时,原式=4×1+ 7 2× (-2)=-3. (2) 原式=[9a2+6ab+b2-(9a2- b2)-6b2]÷(-2b)=(9a2+6ab+ b2-9a2+b2-6b2)÷(-2b)= (6ab-4b2)÷(-2b)=-3a+2b. 当a=13 ,b=-2时,原式=-3× 1 3+2× (-2)=-1-4=-5. (3) 原式=4x2+4xy+y2-(x2- 4y2)-(3x2-15xy-xy+5y2)= 4x2+4xy+y2-x2+4y2-3x2+ 15xy+xy-5y2=20xy. 当x=-3,y= 1 5 时,原式=20× (-3)×15=-12. (4) 原式=[4x2-4xy+y2-(4x2- 9y2)-xy]÷5y=(10y2-5xy)÷ 5y=2y-x. 因为x=-2-1=- 12 ,y=π0+ 1=2, 所以原式=2×2- -12 =92. 3. (x2+nx+3)(x2-3x+m)= x4+(-3+n)x3+(m-3n+3)x2+ (mn-9)x+3m. 由题意,得-3+n=0,m-3n+3=0, 解得n=3,m=6. 所以(-m)n=(-6)3=-216. 4. 小红说得对. 原式=x2-4y2-(x2+6xy+9y2)+ 6xy=x2-4y2-x2-6xy-9y2+ 6xy=-13y2. 所以这道题的结果与x的取值无关, 可以求出答案. 当y = -1 时,原 式 = -13× (-1)2=-13×1=-13. 第一章复习 ［知识体系构建］ am+n amn anbn am-n 1 1 ap a2-b2 a2±2ab+b2 ［高频考点突破］ 典例1 由题意,得4m=22m=5,8n= 23n=3,3m=4. (1) 22m+3n=22m·23n=5×3=15. (2) 24m-6n =24m ÷26n =(22m)2÷ (23n)2=52÷32=25÷9=259. (3) 122m =(3×4)2m =32m ×42m = (3m)2×(4m)2=42×52=16×25= 400. [跟踪训练] 1. 8 25 [解析] 因为 xm=2,xn=5,所以x3m-2n=(xm)3÷ (xn)2=23÷52=825. 典例2 原式=[4a2+4ab+b2- (4a2-b2)]÷2b=(4a2+4ab+b2- 4a2+b2)÷2b=(4ab+2b2)÷2b= 2a+b. 当a=2,b=-1时,原式=2×2-1=3. [跟踪训练] 2. (1) S1=(m+2)· (m+4)=m2+6m+8,S2=m(m+ 6)=m2+6m. 因为S1-S2=(m2+6m+8)- (m2+6m)=8>0, 所以S1>S2. (2) 由题意,得正方形的边长是 1 4 [2(m+4+m+2)+2(m+m+ 6)]=2m+6, 所以 S3 = (2m +6)2 =4m2 + 24m+36. 因为S3-2(S1+S2)=4m2+24m+ 36-2(m2+6m+8+m2+6m)= 4m2+24m+36-2m2-12m-16- 2m2-12m=20, 所以代数式S3-2(S1+S2)的值是 一个常数,为20. 典例3 (1) 4ab=(a+b)2-(a-b)2. (2) 由(1),得4mn=(m+n)2-(m- n)2. 因为m+n=5,mn=94 , 所以4×94=5 2-(m-n)2. 所以(m-n)2=16. 所以m-n=±4. [跟踪训练] 3. (1) 8. (2) 因为(4-x)+x=4, 所以[(4-x)+x]2=42,即(4- x)2+2(4-x)x+x2=16. 又因为(4-x)2+x2=8, 所以8+2(4-x)x=16. 所以(4-x)x=4. ［综合素能提升］ 1. D 2. A [解析] 因为(2x+b)2=4x2+ 4bx+b2,又(2x+b)2=4x2+20x+ a,所以4b=20,a=b2.所以a=25, b=5. 所以a+b=30. 3. B [解析]原式=-6x5-6ax4+ 18x3.因为展开式中不含x4 项,所 以-6a=0.所以a=0. 4. 1×10-4 [解析] 2×103×5× 10-8=1×10-4(cm).所以2×103 个 这样的细胞排成一排的长度是1× 10-4cm. 5. -1或3或1 [解析]分为三种情 况:① x-2≠0,x+1=0,解得x= -1;② x-2=1,解得x=3;③ x- 2=-1,x+1为偶数,解得x=1.综 上所述,整数x的值为-1或3或1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 20 4　整式的除法 ▶ “答案与解析”见P7 1. (2024·西安新城期中)计算-14x3y3÷ 7x2y的结果是 ( ) A. 2x B. -2x C. 2y2 D. -2xy2 2. (2023·佛山禅城期末)若长方形的面积是 6a3+9a2-3ab,其中一边长是3a,则它的邻 边长是 ( ) A. 2a3+3a2-b B. 2a2+3a+b C. 3a2+2a+b D. 2a2+3a-b 3. -34a 6b7 ÷ 12a2b 2 = . 4. 计算: 34x2y-13xy2+12xy ÷112xy= . 5. 计算: (1) -12a 2b2c ÷ -16ab2 . (2) 2(3m-n)4÷ -15(n-3m)2 . (3) 3 5x 4y3÷ - 5 2x 3y2 ·4xy2. (4) 27a2by· - 1 3by 2 3÷15a2b3y6. 6. 计算: (1) 2 5y 2-6xy2+ 2 3y 5 ÷ -23y2 . (2) (-4a3-7a3b2+12a2b)÷(-2a)2. 7. 已知2a-b=5,则[a2+b2+2b(a-b)- (a-b)2]÷4b的值为 ( ) A. 2 5 B. -52 C. 5 2 D. 15 8. (2023·深圳光明期末)小明在爬一小山时, 第一阶段的平均速度为2v,所用时间为t;第 二阶段的平均速度为v,所用时间为12t. 小明 爬这一小山的平均速度为 ( ) A. 3 2v B. 3v C. 5 2v D. 5 3v 9. 计算:4xy2z÷(-2x-2yz-1)= . 10. 若(-25y3+15y2-5y)÷M=-5y,则 M= . 11. 已知6am+5bm÷(-2abn)=-3a7b,则m= ,n= . 12. 已知长方体的体积为3a3b5,若长为ab,宽 为3 2ab 2,则高为 . 13. 若(6a3+3a2)÷6a=(a+1)(a+2),则a 的值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级下 21 14. 先化简,再求值: (1) [(-2)2a2b2c]3 ÷ -12ab 2 2 ÷ -23a 2b ,其中a=-1,b=-2,c=1. (2) (2024·南充)(x+2)2-(x3+3x)÷ x,其中x=-2. 15. 如图所示为一个圆柱体容器与一个长方体 容器,现将圆柱体容器盛满水,然后把水倒 入长方体容器中,且正好倒满,求长方体容 器的宽(结果保留π,两个容器的厚度均忽 略不计). (第15题) 16. 阅读材料: 如果一个多项式(设该多项式 为A)除以2x2 的商为3x+4,余 式为x-1,那么这个多项式为多少? 小明 通过类比小学除法的运算法则:被除数=除 数×商+余数,推理出多项式除法法则:被 除式=除式×商+余式. 请根据以上材料,解答下列问题: (1) 多项式-15a4+4a3-3a2-2a+5除 以-3a2 的商为 ,余式为 . (2) 请你帮小明求出多项式A. (3) 如果一个多项式除以2x-6的商为 3x-1,余式为x+3,请你根据以上法则求 出该多项式. 17. (核心素养·运算能力)两个多项式相除,可 以先把这两个多项式都按照同一字母降幂 排列,再仿照两个多位数相除的计算方法, 用竖式进行计算.例如(6x2+7x+2)÷ (2x+1),仿照672÷21计算如下: 21) 32 672 63 42 42 0 2x+1) 3x+2 6x2+7x+2 6x2+3x 4x+2 4x+2 0 所以(6x2+7x+2)÷(2x+1)=3x+2. (1) 试判断x3-x2-5x-3能否被x+1 整除,并说明理由. (2) 利用上述方法解决:若多项式2x4- 3x3+ax2+7x+b能被x2+x-2整除,求 a b 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　整式的乘除 22 　 专题特训（三）　整式乘除的有关计算与求值题 ▶ “答案与解析”见P7 类型一 整式的混合运算 1. 计算: (1) 3x2y2-4x3y2÷(-2x)+(-3xy)2. (2) (6x4-8x3)÷(-2x2)-(3x+2)(1-x). (3) (-2a+3b)(3b+2a)-(3a+b)2-2b· (a+4b). 类型二 整式的化简求值 2. 先化简,再求值: (1) (2024·菏泽牡丹期末)[(3x+y)2+ y(x-10y)-(x+3y)(x-3y)]÷2x,其中 x=1,y=-2. (2) (2024·济南章丘期中)[(3a+b)2- (b+3a)(3a-b)-6b2]÷(-2b),其中a= 1 3 ,b=-2. (3) (2x+y)2-(x+2y)(x-2y)-(3x- y)(x-5y),其中x=-3,y= 1 5. (4) [(2x-y)2-(2x+3y)(2x-3y)- xy]÷5y,其中x=-2-1,y=π0+1. 类型三 “不含”或“无关”型问题 3. 若多项式x2+nx+3与多项式x2-3x+m 的乘积中不含x2和x3项,求(-m)n的值. 4. 杨老师布置了一道题:已知y=-1, 求代数式(x+2y)(x-2y)-(x+ 3y)2+6xy的值.小白回答:“只知 道y的值,不知道x的值,求不出答案.”小 红回答:“这道题的结果与x的取值无关,可 以求出答案.”你认为谁说得对? 为什么? 请 求出代数式的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级下