精品解析：江苏省镇江市丹阳市华南实验教育集团2024—2025学年九年级上学期期中考试数学试题

华南实验教育集团九年级期中学情调研 数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求．） 1. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 2. 如图，点A，B，C都在上，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 故选：D． 3. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 利用配方法进行求解即可． 【详解】解： 故选：D． 4. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，依次判断，即可求解， 本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：A、∵，， ∴，不符合题意， B、∵，， ∴，不符合题意， C、根据无法得到，符合题意， D、∵， ∴， 又∵， ∴，不符合题意， 故选：C． 5. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的有关计算，根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，点A，B，C，D在上，，A是的中点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧，圆心角，弦之间的关系，弧长公式．连接，先求得，再利用弧长公式解答即可． 【详解】解：连接， ∵A是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的长是， 故选：A． 7. 如图，在直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第一象限内作的位似图形，位似比为，则点A坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查位似与坐标．根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把点的横纵坐标乘以，即可得到答案． 【详解】解：∵的顶点为，，，以点O为位似中心，在第一象限内作的位似图形，位似比为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； 故选：B． 8. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用图形得比例线段，再与已知式作对比，可以得出结论． 【详解】解：A、由图可得，即且是所求线段，所以图形不能画出，故此选项不符合题意； B、由图可得，即且是所求线段，所以图形不能画出，故此选项不符合题意； C、由图可得，即，所以图形不能画出，故此选项不符合题意； D、由图可得，即，所以图形能画出，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 10. 我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形的边固定，向右推动该正五边形，使得为的中点，且点在以点为圆心的圆上，过点作的切线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形，切线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 连接，先求出，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点作的切线， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 如果，那么____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，先根据得到，再代入中求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 设是方程的一个根，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，代数式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将代入方程中，可得，再将上式代入中，即可求解． 【详解】解：将代入， 可得：， ∴上式可化为：， 将代入中，可得： ， 故答案为：． 13. 已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积为___. 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【详解】底面圆的半径为2，则底面周长=4π，侧面面积=×4π×4=8πcm2． 故答案是：. 【点睛】考查圆锥的计算，关键是利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 14. 如图，四边形内接于，为延长线上一点．若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据邻补角的定义求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 15. 整式的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式对多项式进行变形，根据平方的非负性解答． 【详解】， ， ， ，， 当，时，整式有最小值， 最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查配方法的应用和平方的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 16. 如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作交DC延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证，再证，可得，再利用平行线分线段成比例得，结合线段的等量关系及比例的性质即可得到结论． 【详解】如图：过点P作交DC延长线于点E， 在和中 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解题关键是正确作出辅助线，列出比例式． 三、解答题（本大题共有10小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先将一元二次根式变为一般形式，然后用公式法解方程即可； （2）先移项，再用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 原方程化为，，，， 所以， 所以方程有两个不相等的实数根， 即， 【小问2详解】 原方程可化为， 所以， 所以，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根 （2）已知方程的一个根为，求m值及方程的另一根． 【答案】（1） 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解的定义： （1）根据题意只需要证明即可； （2）一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出m的值，进而根据根与系数的关系求出另一个根即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入得：， 解得， ∴原方程为， 设另一个根为， ∴， ，即另一个根为． 19. 如图，在中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且． （1）求证：． （2）若，，，求BD的长． 【答案】（1） 证明：∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A， ∴ （2）BD的长是 【解析】 【分析】（1）根据两角对应相等两个三角形相似即可得证； （2）根据相似三角形的性质可知，设BD=，则AD=2，AB=3，从而列出方程解出x的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴． 设BD=，则AD=2，AB=3， ∵AE=4，AC=9， ∴， 解得（负值舍去）， ∴BD的长是． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题． 20. 如图，在坐标系中，、、． （1）在网格中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M，并写出M的坐标为______； （2）这个圆的半径长为______； （3）直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） 【答案】（1） （2） （3）外 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，也考查了垂径定理和点与圆的位置关系． （1）根据题意，的垂直平分线所在直线为，可知圆心M在直线为上，设，根据，可求出圆心M的坐标； （2）由（1）求出，即可求圆的半径长； （3）根据，即可判断D点的位置． 【小问1详解】 解：、， 的垂直平分线所在直线为， 圆心M在直线为， 设， ， ， 解得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，， ， 圆的半径长为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：，， ， ， 点在外， 故答案为：外． 21. 智慧养老，让老年人享受数字经济红利．近年来，智慧养老成为老龄事业与产业发展的方向之一，广东省正致力于打造智慧养老的新标杆，为老年人提供更加贴心、高效的养老服务，同时为数字经济的发展注入新活力．某养老服务机构8月份为800名老人提供服务，10月份为1352名老人提供服务，求该机构9、10月份服务老人人数的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该机构9、10月份服务老人人数的月平均增长率为x．根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设该机构9、10月份服务老人人数的月平均增长率为x． 根据题意，得， 解得 (不合题意，舍去)． 答：该机构9、10月份服务老人人数的月平均增长率为． 22. 学完图形变换后，小宛以“正五边形的变换”为主题开展探究活动： （1）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，求的大小． （2）如图，用一些全等的正五边形按图示方式拼接，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前个正五边形拼接的情况，若拼接一圈后，中间能形成一个正多边形，请直接写出这个正多边形的边数． 【答案】（1）． （2）6． 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解． （2）由完全拼成一个圆环需要的正多边形为个，则围成的多边形为正边形，利用正五边形的内角与夹角计算出正边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵正五边形的每个内角为， ∴组成的正多边形的每个内角为， ∵个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形， ∴形成的正多边形为正边形，则， 解得：． 23. 在中，，点B、C分别在、上，以为直径的半圆O，过点C，连结，将 沿翻折得，且点E恰好落在直径上． （1）判断：直线与半圆O的位置关系是_______________；并证明你的结论． （2）若，求的长． 【答案】（1）相切 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系、折叠的性质以及解直角三角形等知识，切线的判定定理是解题的关键． （1）根据圆的基本性质得，由翻折得和，则，利用平行线的性质得，结合切线的判定定理证明，即可得出与相切； （2）利用余弦求得，进一步利用正弦得出进而求出． 【小问1详解】 证明：直线与的位置关系是相切； 连接，如图， ∵， ∴， 由翻折得，，， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； 【小问2详解】 解：在中， ， ∴， 在中， ． 24. 解决问题 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 准备素材 小明收集到闲置纸板箱如图①所示．将其拆解出的如图②和图③两种矩形纸板，两种纸板的长和宽如图所示． 设计方案 小明分别将图②和图③两种矩形纸板以不同的方式制作储物盒． 图②矩形纸板的制作方式 图③矩形纸板的制作方式 如图④，裁去纸板角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 如图⑤，将纸板四个角裁去4个相同的小矩形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标达成 小明利用两种不同的制作方式进一步探究． 初步应用 小明按照矩形纸板②的制作方式，制作了如图④所示的储物盒的底面积是，求这个储物盒的容积． 储物收纳 小明按照矩形纸板③的制作方式，制作了如图⑤所示储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．小明家里一个玩具攀爬小火车的实物图和尺寸大小如图⑥所示，通过计算判断这个玩具能否完全放入该储物盒． 【答案】初步应用：储物盒的容积为 储物收纳：这个玩具不能完全放入该储物盒 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程． 初步应用：设裁去小正方形边长为，根据底面积，列出方程求解即可； 储物收纳：设裁去小长方形长为，宽为，推出，根据底面积得出，将n的代数式代入，求出m的值，再得出制作储物盒长为cm，高为，宽为，即可解答． 【详解】初步应用： 解：设裁去的正方形的边长为， ， 解得：（舍去），， ∴这个储物盒的容积为． 储物收纳： 解：设减去的长方形的长为，宽为， 则， 解得， ∵， ∴， 解得：（舍去），， 即高为， ∴储物盒的底面的两边长为cm，， ∵，，， ∴这个玩具不能完全放入该储物盒． 25. 如图，已知及边上一点C． （1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①作，使得圆心O在射线上，且经过A、C两点，交射线于点B； ②在射线上求作点M， 使点M到点C的距离与点M到射线的距离相等； （2）在（1）的条件下，若，， 直接写出的长= ． 【答案】（1）①如图所示，和点B即为所求作； ②如图所示，点M即为所求作． （2） 【解析】 【分析】（1）①作的垂直平分线交于点．以点O为圆心为半径作，交于点B，即可； ②作的角平分线交于点，点即为所求； （2）先由勾股定理求得，从而得到，再由，得到，求得，然后证明，得到，则，即可由勾股定理求解． 【小问1详解】 解：①∵点O在线段垂直平分线上， ∴， ∴经过A、C两点； ②连接，过点M作于H， 由作图可知：是的直径， ∴， ∴ ∵，是的平分线， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， 由作图可知：是的直径， ∴ 由勾股定理，得， ∴， ∵由作图可知： ，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ 由勾股定理，得． 【点睛】本题考查基本作图：作线段垂直平分线，作角平分线，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质．正确作出图形是解题的关键． 26. “关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多… 【问题提出】 （1）如图①，是的角平分线，求证：． 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作，交的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作交于点D，作交于点E，利用“等面积法”． 请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明； 【尝试应用】 （2）如图②，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，使点A恰好落在边的中点E处．若，求的长； 【拓展提高】 （3）如图③，中，，，为的角平分线．的垂直平分线交延长线于点F，连接，当时，的长为________． 【答案】 （1）小明的思路： 过点作，如下图所示， 平分， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ； 选择小红的思路： 过点作，过点作，过点作，如图所示， 平分， ， ， ，， ， 又，， ， ； （2）； （3）6 【解析】 【分析】（1）小明的思路：过点作，根据平行线的性质可证，根据对顶角相等可得，所以可证，根据相似三角形对应边成比例可证结论成立； 小红的思路：过点作，过点作，过点作，根据高相等的两个三角形的面积比等于它们的底边之比可得：，，从而可证结论成立； （2）根据（1）中的结论可得，根据折叠的性质可知：，，从而得到，设，则有，在中利用勾股定理可以求出的长度； （3）根据垂直平分线的性质可证，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，从图中可以看出，所以可证，再根据，可证，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）如下图所示， 由（1）可知， 根据折叠的性质可知：，， 点为的中点， ， ， 又， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 的长为； （3）解：如下图所示， 为的角平分线， 由（1）可知， ，，， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ，， ， 又， ， ， ，， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线、中垂线、等腰三角形的性质及勾股定理，解决本题的关键是根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质找出图中相等的角，从而得到相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华南实验教育集团九年级期中学情调研 数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求．） 1. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 2. 如图，点A，B，C都在上，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 5. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A，B，C，D在上，，A是的中点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第一象限内作的位似图形，位似比为，则点A坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形的边固定，向右推动该正五边形，使得为的中点，且点在以点为圆心的圆上，过点作的切线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 如果，那么____________． 12. 设是方程的一个根，则的值为____________． 13. 已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积为___. 14. 如图，四边形内接于，为延长线上一点．若，则的度数为_________． 15. 整式的最小值为___________． 16. 如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是_____． 三、解答题（本大题共有10小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根 （2）已知方程的一个根为，求m值及方程的另一根． 19. 如图，在中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且． （1）求证：． （2）若，，，求BD的长． 20. 如图，在坐标系中，、、． （1）在网格中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M，并写出M的坐标为______； （2）这个圆的半径长为______； （3）直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） 21. 智慧养老，让老年人享受数字经济红利．近年来，智慧养老成为老龄事业与产业发展的方向之一，广东省正致力于打造智慧养老的新标杆，为老年人提供更加贴心、高效的养老服务，同时为数字经济的发展注入新活力．某养老服务机构8月份为800名老人提供服务，10月份为1352名老人提供服务，求该机构9、10月份服务老人人数的月平均增长率． 22. 学完图形变换后，小宛以“正五边形的变换”为主题开展探究活动： （1）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，求的大小． （2）如图，用一些全等的正五边形按图示方式拼接，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前个正五边形拼接的情况，若拼接一圈后，中间能形成一个正多边形，请直接写出这个正多边形的边数． 23. 在中，，点B、C分别在、上，以为直径的半圆O，过点C，连结，将 沿翻折得，且点E恰好落在直径上． （1）判断：直线与半圆O的位置关系是_______________；并证明你的结论． （2）若，求的长． 24. 解决问题 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 准备素材 小明收集到闲置纸板箱如图①所示．将其拆解出的如图②和图③两种矩形纸板，两种纸板的长和宽如图所示． 设计方案 小明分别将图②和图③两种矩形纸板以不同的方式制作储物盒． 图②矩形纸板的制作方式 图③矩形纸板的制作方式 如图④，裁去纸板角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 如图⑤，将纸板四个角裁去4个相同的小矩形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标达成 小明利用两种不同的制作方式进一步探究． 初步应用 小明按照矩形纸板②的制作方式，制作了如图④所示的储物盒的底面积是，求这个储物盒的容积． 储物收纳 小明按照矩形纸板③的制作方式，制作了如图⑤所示储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．小明家里一个玩具攀爬小火车的实物图和尺寸大小如图⑥所示，通过计算判断这个玩具能否完全放入该储物盒． 25. 如图，已知及边上一点C． （1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①作，使得圆心O在射线上，且经过A、C两点，交射线于点B； ②在射线上求作点M， 使点M到点C的距离与点M到射线的距离相等； （2）在（1）的条件下，若，， 直接写出的长= ． 26. “关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多… 【问题提出】 （1）如图①，是的角平分线，求证：． 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作，交的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作交于点D，作交于点E，利用“等面积法”． 请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明； 【尝试应用】 （2）如图②，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，使点A恰好落在边的中点E处．若，求的长； 【拓展提高】 （3）如图③，中，，，为的角平分线．的垂直平分线交延长线于点F，连接，当时，的长为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $