培优01 平面向量中的最值问题及三角形四心问题-2024-2025学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 培优01 平面向量中的最值问题及三角形四心问题 类型一、平面向量求最值范围的常用方法： 1.定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题 2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 4.数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。 类型二、三角形四心的向量式 1.重心向量式 设是的重心,为平面内任意一点,则有 ①;② ③若,则动点的轨迹经过三角形的重心 ④若,则动点的轨迹经过三角形的重心 2.垂心向量式 若是的垂心,为平面内任意一点,则有: ①;② ③,则动点的轨迹通过的垂心 3.内心向量式 若是的垂心,则有：① ②,则动点的轨迹经过三角形的内心 4.外心向量式 若是的外心,为平面内任意一点,则 ① ② ③,则动点的轨迹通过外心. ④若 题型01 数量积的最值问题 1．已知为的外接圆圆心，，，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】因为为的外接圆圆心，， 所以， 因为，所以为等边三角形， 故， ， 当三点共线，即时，取得最大值， 最大值为.    故选：B 2．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从该窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形内角和为，若，则 ；若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 2 【详解】，以点A为坐标原点，分别以AB，AF所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系， 正八边形内角和为，则， 所以，，，，，，， ，，， 因为，则， 所以，解得，，所以； 设，则，，， 则， 所以，当点P在线段CD上时，取最大值． 故答案为：2；． 3．已知是边长为的正方形边上的三点，则的最大值为 ，最小值为 . 【答案】 2 / 【详解】建立如图所示的平面直解坐标系，易知， 不妨设，其中， 则， 当且仅当或时，等号成立， 又， 当且仅当，即或时，等号成立. 故答案为：，. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算，将几何问题代数化，再利用基本不等式，考虑极限情况即可求解. 4．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取中点为，连接，显然， 则 . 故选：A. 5．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，P是以A为圆心2为半径的圆弧BD上的点，则的范围为 【答案】 【详解】如图所示：以点为原点建立平面直角坐标系，设，，，所以， ， 而，所以，即． 故答案为：． 6．已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨令，，又，则， 所以 ， 当时，的最小值为. 故选：C 7．铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【详解】 取的中点，连接（图略），则 ． 因为正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合， 所以，所以． 故选：B. 题型02 夹角的最值问题 8．已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为 ． 【答案】-1 【详解】，故， 因为，所以，又， 所以，解得：， 不妨设，，夹角为，则， 两边平方得：， 即，解得：， 因为，所以， 故，夹角的余弦的最小值为-1. 故答案为：-1 9．已知是平面向量，满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，由题意，知B在以O为圆心，半径为3的圆上及圆的内部， 由，知B在以A为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示 则B只能在阴影部分区域，要最小，则应最大， 此时. 故选：B. 【点睛】本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题. 10．设向量，，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，令，则， 所以， 当时，， 则， 所以的取值范围是. 故选：A. 11．已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又因为O为的外心，所以为直角三角形且，O为斜边BC的中点， 过作的垂线，垂足为， 因为在上的投影向量为， 所以在上的投影向量为， 又因为，所以， 因为，所以，即的取值范围为． 故选：D.    12．已知向量. (1)若，求； (2)若 为单位向量，对任意实数恒成立，求向量的夹角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 所以 ，，； （2）是单位向量，设的夹角为 ， 由 得：， 所以 ，即， 即 对任意的实数 恒成立， 则 ，解得：， 又因为 ，函数 在 上单调递减， 因此 ． 所以向量 的夹角的取值范围是 . 13．已知平面向量满足，，，，则与夹角的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，又，， 所以， 解得，则向量的夹角为. 建立如图所示的直角坐标系，设，，， 因为，所以，即. 当与圆相切时，，解得； 所以与夹角最小值为. 故选：D. 14．如图在直角梯形中，，，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.    (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若向量，求实数x，y的值； (3)若向量与的夹角为，求的最小值. 【答案】(1) (2)， (3)0 【详解】（1）易得，且为正三角形， 所以，. 以点为原点，、分别为、轴正方向建立平面直角坐标系， ， 得，， 所以.    （2）， 又因为，，三点共线，所以，解得. ， ，解得， （3）法一：点为中点，因为， 所以以为直径的圆与圆外切. 因为圆周角大于圆外角， 所以的最大值为，即的最小值为0. 法二：设， 且如（1）所建平面直角坐标系，则， ，. 当时，取到最小值0， 所以的最小值为0. 题型03 模长的最值问题 15．已知向量满足，则的最小值是（    ） A．0 B．2 C． D．5 【答案】D 【详解】不妨设，则， 则，且， 则， 当时，. 故选：D. 16．（1）已知，，求满足，的点D的坐标； （2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值. 【答案】（1）或；（2） 【详解】（1）设D点坐标为，则，， 所以，解得或， 即点D的坐标为或. （2）由向量与共线， 令，，则， 而向量，为单位向量，且， 于是得 ，（当且仅当时取“=”）， 所以的最小值为. 17．已知平面向量，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】由题设，分别在以为原点，半径为的圆上运动，且， 所以，若是的中点，则，而，如下图示， 由图知，，而，即. 所以的最小值是. 故选：D. 18．（多选）已知是边长为2的正六边形内一点（不含边界），且，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为定值 B．使得 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】AC 【详解】由可得，即， 所以在正六边形的对角线上运动， 对于A，因为，即点到的距离为定值， 所以的面积为定值，A正确； 对于B，因为正六边形关于直线对称，所以不论在何处，总有， 即不存在，使得，B错误； 对于C，根据图形的对称性，当为中点时，达到最大值， 当与或重合时，达到最小值， 故的取值范围是，C正确； 对于D，因为正六边形边长为2，所以平行线，的距离， 当与点在上的射影重合时，有最小值， 可见的取值范围不是，D错误； 故选：AC 19．已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】取的中点，则， 又，又因为， 故三点共线，即点在中线上运动， 在正三角形中，， 又，，则， 故. 故答案为： 20．已知是单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．1 【答案】B 【详解】 设，因为， 即，即， 所以点在以为圆心，3为半径的圆上， 又是单位向量，则， 故最大值为，即的最大值为4. 故选：B. 题型04 系数关系的最值问题 21．（多选）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 【答案】ACD 【详解】以中点为原点，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，,， 所以，，， 由，得，且，,， 对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD． 22．已知正六边形ABCDEF的边长为1，若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的最小值为 ；若点N为线段AE（含端点）上的动点，且满足，则的最大值为 . 【答案】 /-0.5 4 【详解】   如图，由向量数量积的几何意义可知可理解为在上的投影数量与的乘积， 要使最小，需使在上的投影数量最小，由图知，当且仅当点与重合时，投影的数量最小，即， 故；    如上图，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，则,不妨设，则， 则，由代入坐标，即得，， 解得：于是，因，故当且仅当时，的最大值为4. 故答案为： 23．在中，，，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为；    ②的最小值为； ③的最大值为；    ④的最大值为10. 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】 如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，因为，所以设， 则 所以， 则，即 所以，其中， 所以， 所以①③错误； ， 其中， 所以②正确，④错误； 故选：A 24．边长为4的正方形，点在正方形内（含边界），满足，当点在线段上时，则的最小值为 . 【答案】 【详解】建立平面直角坐标系如图所示，根据题意可得： ，，，， 设为，则，，， 因为， 所以，，，，所以， 易知线段方程为：，，， 因为点在上，所以，，， 所以，，， 所以，，，，， 则， 当时取得最小值为. 故答案为： 25．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点是的重心，且，， 所以， 因为，，三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：． 题型05 三角形四心问题 26．已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 【答案】A 【详解】因为，即O到各顶点距离相等，所以O为的外心； 取的中点分别为，连接， 则有， 所以三点共线，三点共线，三点共线， 即N为的重心； 由，即，同理， 所以为垂线的交点，故为的垂心. 故选：A 27．（多选）点在所在的平面内，以下说法正确的有（    ） A．若，则点为的重心 B．若，则点为的外心 C．若，则点为的内心 D．若，则点为的垂心 【答案】ABD 【详解】对于A：设边，，的中点分别为，，， 所以，则， 所以， 所以，，三点共线，即点在中线上， 同理可得点在中线，上， 所以点是的重心，故A正确；    对于B：若，所以点为的外心，故B正确； 对于C：设边，,中点分别为点，，， 则，所以，所以为线段的垂直平分线， 同理可得，分别为线段，的垂直平分线， 所以为三角形三条边垂直平分线的交点，所以点为的外心，故C错误； 对于D：由已知可得， 即， 所以点在边边上的高上， 同理可得点在边边上的高上，点在边边上的高上， 所以点是的垂心，故D正确， 故选：ABD 28．已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】依题意， 则是重心，即充分性成立； 若是重心时，， 可得 所以，必要性成立， 故选：C. 29．（多选）点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点O是的重心 B．若，则点O是的内心 C．若，则点O是的外心 D．若，则点O是的垂心 【答案】BCD 【详解】对于A，在AB，AC上分别取点D，E，使得， 则，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图， 则四边形ADFE是菱形，且， 平分，， ，即， ， 三点共线，即在的平分线上， 同理可得O在其它两角的平分线上，所以O为的内心，故A错误； 对B，在AB，AC上分别取点D，E，使得，如图， 则，且， 因为，即，又知，平分， 同理，可得平分，故O为的内心，故B正确； 对C，取的中点分别为，如图， ，， 即，所以O是的外心，故C正确； 对D，由，可得，即， 所以，即点O是的垂心，故D正确. 故选：BCD 30．已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 【答案】C 【详解】由动点满足，且， 所以三点共线， 又因为为的中点，所以为的边的中线， 所以点的轨迹一定过的重心. 故选：C. 31．（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（　　） A．若，则点O为的重心 B．若，则点为的垂心 C．若，则点为的外心 D．若，则点为的内心 【答案】AC 【详解】对于A，设边、、的中点分别为、、 ,则，所以 所以、、三点共线，即点在中线上，同理点在中线上， 则是的重心.故A正确 对于B，若，则，所以 所以为的外心，故B错误 对于C，设边、、的中点分别为点、、， 则,所以为线段的中垂线， 同理、分别为线段、的中垂线，所以是的外心，故C正确 对于D，由已知，， 即垂直，也即点在边的高上；同理，点也在边的高上， 所以则是的垂心，故D错误. 故选：AC 1．已知是边长为的正三角形，点满足， ，则的最大值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题意得点，，在以为圆心、为半径的圆上，取的中点， 以为坐标原点，过点平行于的直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，设，| 由，故 ， 则，， 则，当且仅当时等号成立. 故选 ：A. 2．在直角梯形中，，，，，点在线段CD上，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，过点作，垂足为． 在中，， ，．，． 由四边形是平行四边形，可得， ，， ，，． 故选：C 3．泸州高中的校徽轮廓由两个同心圆构成，设圆心为O点，大圆半径为3，小圆半径为2，动点M，N分别在大小圆上运动，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 根据题知道，，则.故. 故选：C. 4．已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为向量与的夹角， 关于的方程有实根，则有， 又，则有，得， 又，所以． 故选：B. 5．（多选）在等腰中，已知，若分别为的垂心､外心､重心和内心，则下列四种说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A选项：为垂心，为高线的交点，则，选项A正确． B选项：，选项B正确； C选项：，选项C正确； D选项：，选项D错误； 故选：ABC 6．（多选）在等腰梯形中，，且，点在梯形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（    ） A．当点与重合时， B．当点与梯形对角线的交点重合时， C．的取值范围为 D．的取值范围是 【答案】BCD 【详解】为等腰梯形，则，，由余弦定理可知，即， 在中，，，，解得：，且. A选项：取中点，则四边形为平行四边形，当与重合时，，故A错误； B选项：因且，所以，故B正确； C选项：由平面向量基本定理知：当与重合时，当与重合时，，所以，C正确； D选项：因，由等于在上的投影向量与的数量积可知，当与重合时，取最大值2，当与重合时，取最小值.故D正确. 故选：BCD 7．已知边长为2的正方形ABCD，点P在正方形内（含边界），满足，现有下列结论： ①当点P在线段BD上时，； ②的取值范围为； ③当点P在线段BD上时，的最小值为； 则正确结论的是 .（填序号） 【答案】①③ 【详解】对于①，当点P在线段BD上时，P，B，D三点共线， 设，故，即， 则，所以，故①正确； 对于②，如图，建立平面直角坐标系， ，，，， 设，，因为， 所以，所以 所以，所以， 又因为a，，所以，所以，故②错误； 对于③，由①知，，， 则， 当时，取得最小值，故③正确. 故答案为：①③. 8．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，为单位正交基底，则最小值是 . 【答案】/ 【详解】由图可知， 则， 化简得，，即. 故答案为：. 9．已知在中，点P满足，动点M在的三边及内部运动，设，则的取值范围为 .（用区间表示） 【答案】 【详解】 因为，所以， 整理得，所以P为的重心， 取AC的中点D，则. 因为，所以， 所以当点M在线段BP上时，取得最小值1， 当点M与C重合时，取得最大值2， 所以的取值范围为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 10．已知正六边形ABCDEF的边长为1， (1)当点M满足__________时，． （注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） (2)若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，求的取值范围． 【答案】(1)，M为直线AD上的任意一点（答案不唯一） (2) 【详解】（1）建系如图，则， 因为，设， 所以， 又因为， 所以，可得， 又因为，， 所以直线为， 所以M为直线AD上的任意一点即可(答案不唯一)，故答案为：，M为直线AD上的任意一点（答案不唯一）． （2）设，因为点H是正六边形内或其边界上的一点，则， 则==， 11．如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点. (1)求的值； (2)若为线段上一点，且，求实数的值； (3)若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 【答案】(1)6 (2) (3)时，取最小值 【详解】（1）由于为边的中点， 所以， 故. 由于， 故. 因此. （2）由于， 故. 由于为线段上一点，设， 有. 由向量基本定理得，解得，因此. （3）记，， 由得. 设，其中， 则，. 进而有 ，. 当且仅当即时， 取最小值. 12．在边长为2的等边△ABC中，D为BC边上一点，且． (1)若P为△ABC内一点（不包含边界），且PB＝1，求的取值范围； (2)若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，△AMN的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）取的中点，所以， 因为为的中点，所以， 所以， 又因为PB＝1，所以，故， 故的取值范围. （2）因为，所以， 因为，，， 所以，也即， 因为点三点共线，所以① 因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以②， 由①得：，将其代入②式可得：， 所以当时，取最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 培优01 平面向量中的最值问题及三角形四心问题 类型一、平面向量求最值范围的常用方法： 1.定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题 2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 4.数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。 类型二、三角形四心的向量式 1.重心向量式 设是的重心,为平面内任意一点,则有 ①;② ③若,则动点的轨迹经过三角形的重心 ④若,则动点的轨迹经过三角形的重心 2.垂心向量式 若是的垂心,为平面内任意一点,则有: ①;② ③,则动点的轨迹通过的垂心 3.内心向量式 若是的垂心,则有：① ②,则动点的轨迹经过三角形的内心 4.外心向量式 若是的外心,为平面内任意一点,则 ① ② ③,则动点的轨迹通过外心. ④若 题型01 数量积的最值问题 1．已知为的外接圆圆心，，，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 2．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从该窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形内角和为，若，则 ；若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为 ． 3．已知是边长为的正方形边上的三点，则的最大值为 ，最小值为 . 4．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 5．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，P是以A为圆心2为半径的圆弧BD上的点，则的范围为 6．已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 7．铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 题型02 夹角的最值问题 8．已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为 ． 9．已知是平面向量，满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 10．设向量，，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．已知向量. (1)若，求； (2)若 为单位向量，对任意实数恒成立，求向量的夹角的取值范围. 13．已知平面向量满足，，，，则与夹角的最小值为（ ） A． B． C． D． 14．如图在直角梯形中，，，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.    (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若向量，求实数x，y的值； (3)若向量与的夹角为，求的最小值. 题型03 模长的最值问题 15．已知向量满足，则的最小值是（    ） A．0 B．2 C． D．5 16．（1）已知，，求满足，的点D的坐标； （2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值. 17．已知平面向量，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 18．（多选）已知是边长为2的正六边形内一点（不含边界），且，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为定值 B．使得 C．的取值范围是 D．的取值范围是 19．已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是 . 20．已知是单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．1 题型04 系数关系的最值问题 21．（多选）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 22．已知正六边形ABCDEF的边长为1，若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的最小值为 ；若点N为线段AE（含端点）上的动点，且满足，则的最大值为 . 23．在中，，，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为；    ②的最小值为； ③的最大值为；    ④的最大值为10. 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．边长为4的正方形，点在正方形内（含边界），满足，当点在线段上时，则的最小值为 . 25．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型05 三角形四心问题 26．已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 27．（多选）点在所在的平面内，以下说法正确的有（    ） A．若，则点为的重心 B．若，则点为的外心 C．若，则点为的内心 D．若，则点为的垂心 28．已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 29．（多选）点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点O是的重心 B．若，则点O是的内心 C．若，则点O是的外心 D．若，则点O是的垂心 30．已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 31．（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（　　） A．若，则点O为的重心 B．若，则点为的垂心 C．若，则点为的外心 D．若，则点为的内心 1．已知是边长为的正三角形，点满足， ，则的最大值为（   ） A．4 B． C．2 D． 2．在直角梯形中，，，，，点在线段CD上，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．泸州高中的校徽轮廓由两个同心圆构成，设圆心为O点，大圆半径为3，小圆半径为2，动点M，N分别在大小圆上运动，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）在等腰中，已知，若分别为的垂心､外心､重心和内心，则下列四种说法正确的有（    ） A． B． C． D． 6．（多选）在等腰梯形中，，且，点在梯形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（    ） A．当点与重合时， B．当点与梯形对角线的交点重合时， C．的取值范围为 D．的取值范围是 7．已知边长为2的正方形ABCD，点P在正方形内（含边界），满足，现有下列结论： ①当点P在线段BD上时，； ②的取值范围为； ③当点P在线段BD上时，的最小值为； 则正确结论的是 .（填序号） 8．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，为单位正交基底，则最小值是 . 9．已知在中，点P满足，动点M在的三边及内部运动，设，则的取值范围为 .（用区间表示） 10．已知正六边形ABCDEF的边长为1， (1)当点M满足__________时，． （注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） (2)若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，求的取值范围． 11．如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点. (1)求的值； (2)若为线段上一点，且，求实数的值； (3)若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 12．在边长为2的等边△ABC中，D为BC边上一点，且． (1)若P为△ABC内一点（不包含边界），且PB＝1，求的取值范围； (2)若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，△AMN的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$