精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高三上学期期末数学试题

2025届高三1月份适应性测 试数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则及共轭复数的概念可得结果. 【详解】∵，∴， ∴，故. 故选：B. 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件可计算出和的值，即可得到. 【详解】∵，∴，即，故， ∵，∴， ∵，∴，故，即， ∴，，∴. 故选：D. 3. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列、等比数列性质计算得解. 【详解】等差数列中，，解得， 等比数列中，，， 所以. 故选：A 4. 下列四个选项中，使成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念，结合函数的单调性逐项判断可得答案. 【详解】A.当时，满足，但；当时，满足，但. 故是的既不充分也不必要条件，A错误. B.令，则定义域为， ∵，∴是奇函数， 当时，，在上为增函数，故在上为增函数， 由可得，由可得， 故是的充要条件，B错误. C.∵在上为增函数，，∴， 当时，无意义，不成立， 故是的充分不必要条件，C正确. D.∵在上为增函数， ∴由可得，由可得， 故是的充要条件，D错误. 故选：C. 5. 若，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和与差的正余弦公式展开，再进行合并，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选:B 6. 已知双曲线与椭圆有相同的左、右焦点，分别为，，以线段为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限内分别交于，两点，且线段的中点在另一条渐近线上，则的面积为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，的坐标以及以线段为直径的圆的方程，联立圆和可得点坐标，进而得出的中点坐标，代入，结合即可求出双曲线方程，再与圆的方程联立可得点坐标，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，所以，，， 以线段为直径的圆的方程为， 双曲线的渐近线方程为， 由可得，即， 因为点在第一象限，所以，， 所以，中点为， 因为点在渐近线上， 所以，即，所以， 又由解得，， 所以双曲线， 联立可得，解得， 因为在第一象限，所以， 所以的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是求出中点坐标，代入结合解出双曲线方程，求出点坐标. 7. 已知对于都有，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题意的不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性得到不等式组，再次构造函数，结合导数的应用求出函数的最小值即可. 【详解】由，得， 即，得. 设，则， 所以函数在上单调递增，又， 所以，即. 设，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 得，所以， 即实数的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将题意的不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性得到不等式组，再次构造函数，结合导数的应用求出函数的最小值即可. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 8. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 已知事件相互独立，，，则 B. 已知随机变量，若，则 C. 已知随机变量，若，则 D. 已知，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式和概率加法公式判断A；利用正态分布的对称性判断B，利用二项分布的方差公式和方差的性质判断C，利用全概率公式判断D. 【详解】选项A：因为事件相互独立，，， 所以，，A说法错误； 选项B：因为随机变量，， 又因为，所以，，B说法正确； 选项C：由解得， 又因为随机变量，所以，解得，C说法正确； 选项D：因为，所以， 所以，D说法正确； 故选：BCD 9. 已知正方体的棱长为2，为正方体的内切球的直径，为正方体表面上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若在线段上运动，则 B. 若在线段上运动，则的最小值为 C. 与所成角的范围为 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据线面垂直的判定及性质可判定；对于B，最短距离问题可把两个线段展开到一个平面考虑；对于C，利用线线角的概念及球的性质可得线线角的最大值进而可判断；对于D，可采用极化恒等式来转化数量积结合球的性质即得. 【详解】对于A，连接，由正方体的性质可知平面，平面，故， 又，平面，所以平面， 又平面，，同理可得， 又平面，所以⊥平面，又平面， 所以⊥，故A正确； 对于B，把平面绕着展开到平面，使得位于两侧，如图所示， 则，，故B正确； 对于C，易知的中点即为球心O，如下图所示： 当AM与球相切时，AM与所成的角最大，此时， 显然，结合两直线所成角的范围可知AM与所成角的范围为是错误的，故C错误； 对于D，依题意可知O为正方体的中心，如下图所示： ， 又因为MN为球O的直径，所以，，即可得. 易知当点P为正方体与球O的切点时，最小；当点P为正方体的顶点时，最大，故，因此可得的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 10. 椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为，．一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为4，且椭圆的离心率为，上顶点为，定点，点为椭圆上的动点，动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，，下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. 的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知条件可求的值，进而可得椭圆的标准方程，即可判断选项A；设，利用两点距离公式，建立关于的函数关系式，从而求得的最大值，即可判断选项B；利用椭圆的定义将转化为，再利用三点共线取得最小值，即可判断选项C；根据光学性质得到Q点的轨迹方程，再利用点到直线距离的几何意义求解，即可判断选项D. 【详解】 对于选项A，由题意可知，，即， 又，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为，故A正确； 对于选项B，因为，设，且， 则， 所以的最大值为，故B错误； 对于选项C，因为， 当且仅当三点共线时等号成立，取到最小值， 由，，， 所以， 所以的最小值为3，故C正确； 对于选项D，设切点为，由椭圆的光学性质可知，三点共线， 所以， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 则表示点到直线距离的倍， 圆心到直线距离为， 所以点到直线距离最大值为，最大值为， 所以的取值范围为,故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所有项的二项式系数之和求得，根据二项式展开式的通项公式求得常数项. 【详解】由于所有项的二项式系数之和为， 二项式展开式的通项公式为， 令，所以常数项为. 故答案为： 12. 足球世界杯小组赛中，同一小组的每支队伍都必须和组内其他队伍各进行一场比赛，比如组中有支队伍，则该组需要进行场比赛．按此规则，设一个含有支球队的小组中进行的所有比赛场次为场，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用组合数公式可求得的表达式，然后利用裂项相消法可求得所求代数式的值. 【详解】一个含有支球队的小组中进行的所有比赛场次为场，任何两支球队需进行一场比赛， 则，当时，则， 故 . 故答案为：. 13. 如图，一点从正方形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步；要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步．设移动步后回到点的概率为，到达点的概率为，则________，________． 【答案】 ①. ##0.625 ②. 【解析】 【分析】根据相互独立事件及互斥事件的概率公式求出，再由、，即可得到是以为首项、公比的等比数列，从而求出的通项公式. 【详解】依题意，， 又， ， 所以， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出、，再结合等比数列的定义求出的通项公式. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 如图，在四面体中，平面，，为的重心，点在线段上，． （1）证明：； （2）若，，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 如图，连接并延长交于，连接． ∵为的重心，∴， 又∵，∴，∴． ∵平面，平面， ∴， 又∵，，且平面， ∴平面， 又∵平面，∴， ∵，∴． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直去证明线线垂直，结合线线平行即可； （2）利用空间直角坐标系，借助空间向量运算来求两平面夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为轴，为轴，轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，，， ∴，，， 设平面的法向量 ,令，. 设平面的法向量 ，令，. ∴ ∴平面与平面的夹角的余弦值为. 15. 已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，若将其图象向右平移个单位得到函数的图象． （1）求函数在上的值域； （2）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，且 ①求； ②求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据的图象相邻对称轴间的距离得到周期求出，再根据图象平移得到，再由范围求出的范围可得答案； （2）①由（1）得出，利用正弦定理化简可得答案； ②利用两角和的正切展开式、基本不等式可得答案. 【小问1详解】 ∵， ∴，∴， ∴， ∵，∴， ∴. 【小问2详解】 ①∵， ∴， ∴，∴， 又由正弦定理得， ∴； ②因为，所以， 因为， 所以， 当且仅当时取等号．所以， 解得，即． 16. 高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． （1）若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． （3）经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 数学期望为 （3）6 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算； （2）求出分布列，然后根据定义计算期望值； （3）先利用正态分布的性质计算的概率，然后利用二项分布计算概率. 【小问1详解】 设事件“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超过40次”， 则“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”， 事件“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级” ， 由全概率公式： ， ∴从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率为 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2 ， ， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 ； 【小问3详解】 ， ， ，， ∴的数学期望约为6人. 17. 已知抛物线的焦点为.抛物线上一点满足，为直线上的动点，过作曲线的两条切线，，其中为切点． （1）求抛物线的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）求面积的最小值． 【答案】（1） （2）证明如下： 设， ， ， 由得，故切线：，即， 同理可得切线： ， 在两条切线，则，所以直线，即， 因，故，故直线恒过定点. （法二） 当直线斜率存在时，设， 联立，得 设，，， ，，， 由得故切线，即 同理切线， 联立得，故， 代入直线得， 直线，所以恒过定点 当直线斜率不存在时，由对称性知，直线，也过定点 综上：直线恒过定点. （3） 【解析】 【分析】（1）由焦半径公式可得，进而可得解； （2）先设， ， ，求得切线方程，由切线交点可得直线的方程为，进而可得； （3）先求弦长，再求到直线的距离，可得，进而可得. 【小问1详解】 由题意故，所以抛物线方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 联立，得， 由韦达定理可得，， 到直线的距离 当时，最小值为 （法二） 当直线斜率不存在时，直线，，到直线距离为8， 当直线斜率存在时 ， 所以到直线的距离， ， 当时，的最小值为3，故， 所以的面积的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问，先用弦长公式表示，再用点到直线的距离公式表示到直线的距离，进而可得. 18. 已知函数（为自然对数的底数）. （1）若，求实数的值； （2）证明：； （3）对恒成立，求取值范围. 【答案】（1）1 （2） 由（1）知，当时，，即， ， 证明：只需证明， 即证：. 令. 当时，显然单调递增，， 在上单调递减，， 当时，显然，即. 故对一切，都有，即， 故原不等式成立； （3） 【解析】 【分析】（1）令对任意恒成立，讨论两种情况，可得且，从而可得答案； （2）由（1）知，当时，，即，等价于，要证明等价于证明； （3）令，分类讨论，通过多次求导，分别得到函数的单调性与最值，可以求出取值范围. 【小问1详解】 ， 令，对任意恒成立， 对于函数，，由，可得，由，可得， 所以时，函数单调递减，时函数单调递增， 所以时，函数取得最小值0，即当且仅当时等号成立， 当时，，因为，所以； 当时，，因为，所以； 当时，不等式恒成立； 综上，实数的值为1； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令， ①若，当时，， 在单调递增， , 故存在唯一，使得，则当为减函数， ，此时，与题意不符（舍）. ②若， （i）当，则由①可知，在单调递增， 在单调递增，所以， 所以成立. （ii）当在单调递增， ，故存在唯一，使得， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， ，故存在唯一，使得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 在恒成立， 在单调递增， 恒成立， 时，恒成立， 综上所述，. 【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三1月份适应性测 试数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 4. 下列四个选项中，使成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（     ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线与椭圆有相同的左、右焦点，分别为，，以线段为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限内分别交于，两点，且线段的中点在另一条渐近线上，则的面积为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 7. 已知对于都有，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 8. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 已知事件相互独立，，，则 B. 已知随机变量，若，则 C. 已知随机变量，若，则 D. 已知，，，则 9. 已知正方体的棱长为2，为正方体的内切球的直径，为正方体表面上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若在线段上运动，则 B. 若在线段上运动，则的最小值为 C. 与所成角的范围为 D. 的取值范围为 10. 椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为，．一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为4，且椭圆的离心率为，上顶点为，定点，点为椭圆上的动点，动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，，下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. 的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 12. 足球世界杯小组赛中，同一小组的每支队伍都必须和组内其他队伍各进行一场比赛，比如组中有支队伍，则该组需要进行场比赛．按此规则，设一个含有支球队的小组中进行的所有比赛场次为场，则________． 13. 如图，一点从正方形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步；要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步．设移动步后回到点的概率为，到达点的概率为，则________，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 如图，在四面体中，平面，，为的重心，点在线段上，． （1）证明：； （2）若，，求平面与平面的夹角的余弦值． 15. 已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，若将其图象向右平移个单位得到函数的图象． （1）求函数在上的值域； （2）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，且 ①求； ②求的最小值． 16. 高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． （1）若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． （3）经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 17. 已知抛物线的焦点为.抛物线上一点满足，为直线上的动点，过作曲线的两条切线，，其中为切点． （1）求抛物线的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）求面积的最小值． 18. 已知函数（为自然对数的底数）. （1）若，求实数的值； （2）证明：； （3）对恒成立，求取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $