精品解析：吉林省长春市希望高中2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

2024—2025学年上学期期末考试试题 高一数学 命题人：徐亚玲 审题人：刘羿兵 贺亚军 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写清楚，并将准考证号准确的填涂在答题卡上． 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、弄破，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知是锐角，那么是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于的正角 D. 第一或第二象限角 3. 已知扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知角的终边过点，且，则的值为(　 　) A. B. C. D. 7. 已知表示，中的最大数，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 8. 已知是锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分，部分选对给部分分，选错不得分，请将正确选项填涂在答题卡上） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. “”是“”的充要条件 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 下面关于叙述中正确的是（ ） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 在区间上单调 D. 函数的零点为（） 11. 下列命题是真命题的有（ ） A. 函数的值域为 B. 的定义域为 C. 若，则 D. 对于命题，使得，则，均有 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题包括3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，是第三象限角，则_______． 13. 定义域为的函数满足条件： ①，，恒有； ②； ③， 则不等式的解集是___________. 14. 若正数，满足，则的最大值为________． 四、解答题（本大题包括5小题，其中15题13分，16、17每题15分，18、19每题17分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 已知函数，记集合A为的定义域. （1）求集合A； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）当时，求函数的值域. 17. 已知函数． （1）求在上的最大值； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 18. 已知函数． （1）求的最小正周期及的值； （2）求的最值及取得最值时对应x的值； （3）直线与函数的图象分别交于M，N两点，求的最大值． 19. 已知函数． （1）解关于的不等式； （2）若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围； （3）若将区间划分成2022个小区间，且满足，试判断和式是否为定值，若是，请求出这个值，若不是请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年上学期期末考试试题 高一数学 命题人：徐亚玲 审题人：刘羿兵 贺亚军 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写清楚，并将准考证号准确的填涂在答题卡上． 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、弄破，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先化简集合的元素再求. 【详解】由，所以 故选：C 【点睛】易错点点晴：要注意集合中的条件. 2. 已知是锐角，那么是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于的正角 D. 第一或第二象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据是锐角求出的取值范围，进而得出答案． 【详解】因为是锐角，所以，所以，满足小于的正角. 其中D选项不包括，故错误. 故选：C. 3. 已知扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将角度化为弧度，再由弧长公式求出扇形的半径，最后由扇形面积公式计算可得. 【详解】因为，设扇形的半径为，所以，解得， 所以该扇形的面积． 故选：B． 4. 已知是第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用同角三角函数基本关系及二倍角公式求得，再根据角的范围得到，从而得解. 【详解】，， 是第四象限角，， ，. 故选：B. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，判断大致范围即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以. 故选：C 6. 已知角的终边过点，且，则的值为(　 　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为角的终边过点，所以 ， ，解得，故选B. 7. 已知表示，中的最大数，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】令，根据所给定义求出的解析式，画出函数图象，数形结合即可得解. 【详解】令，由，解得或， 由，解得， 所以， 则的图象如下所示： 由图可知当时取得最小值，即， 所以的最小值为. 故选：C 8. 已知是锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系，二倍角公式化简得，再利用商数关系弦化切得，结合两角和的正切公式得，根据角的范围即可求解. 【详解】由题得， ， 即，，即， 即，因为为锐角， 所以有，故． 故选：C. 二、多选题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分，部分选对给部分分，选错不得分，请将正确选项填涂在答题卡上） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. “”是“”的充要条件 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【解析】 【分析】由不等式的性质判断选项A；由正弦函数的单调性判断选项B；由不等式的性质和充要条件的定义判断选项C；由函数定义域的求法判断选项D. 【详解】对于A：，当，有，所以A错误； 对于B：正弦函数在上单调递增，，可得，所以B正确； 对于C：时满足，时不能得到，“”是“”的充分不必要条件，所以C错误； 对于D：函数的定义域为，由，得，则函数的定义域为，所以D正确． 故选：BD． 10. 下面关于叙述中正确的是（ ） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 在区间上单调 D. 函数的零点为（） 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意利用正弦函数的对称性，单调性及零点逐项判断，得出结论 【详解】对于函数， 令，求得，可得它的图象关于点对称，故正确、不正确． 区间上，,单调递增，故正确． 令，得函数的零点为，故不正确， 故选：AC． 11. 下列命题是真命题的有（ ） A. 函数的值域为 B. 的定义域为 C. 若，则 D. 对于命题，使得，则，均有 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数值域的求解，具体函数定义域的求解，三角不等式的求解以及命题的否定的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：， 又当时，，故，故A正确； 对B：要使得函数有意义，则且， 解得：且，故的定义域为，故错误； 对C：， 则，故正确； 对D：命题的否定，均有，故错误. 故选：. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题包括3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，是第三象限角，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方关系先求得，，再根据两角差的余弦公式求解即可. 【详解】由，，则， 由，是第三象限角，则， 所以. 故答案为；. 13. 定义域为的函数满足条件： ①，，恒有； ②； ③， 则不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合函数的单调性、奇偶性求得正确答案. 【详解】①，，，恒有， 所以在上单调递增； ②，， 所以是偶函数；所以在上递减； ③，； 不等式可转化为或， 所以不等式的解集是. 故答案为： 【点睛】 14. 若正数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得的取值范围，从而求得的最大值. 【详解】因为正数，满足，所以，即， 则， 当且仅当且，即时取等号， 此时取得最小值9，则的最大值为． 故答案为： 四、解答题（本大题包括5小题，其中15题13分，16、17每题15分，18、19每题17分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）根据对数及指数幂的运算法则求解； （2）利用诱导公式化简求解. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 16. 已知函数，记集合A为的定义域. （1）求集合A； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2）为奇函数，证明如下： 由（1）知的定义域关于原点对称， 又， 故为奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用对数型复合函数定义域的求法即可得解； （2）利用函数的奇偶性判断即可； （3）令，利用二次函数与指数函数的单调性求复合函数的值域即可. 【小问1详解】 对于， 有，解得，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，则其图象开口向上，对称轴为，又， 所以在上单调递增， 当时，；当时，； 所以，又在上递减， 所以，即 故的值域为. 17. 已知函数． （1）求在上的最大值； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，再利用整体法求最大值； （2）利用齐次式化简求值； （3）利用配凑角结合两角差的余弦公式计算. 【小问1详解】 ， ， 则，故在上的最大值为； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 由（1）当则， ， 故. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期及的值； （2）求的最值及取得最值时对应x的值； （3）直线与函数的图象分别交于M，N两点，求的最大值． 【答案】（1）的最小正周期为； （2） 时，取到最大值1； 时，取到最小值. （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及二倍角公式化简解析式，求解最小正周期和函数值即可； （2）根据题意结合余弦函数最值分析求解； （3）利用题意把线段长度表示为三角函数，利用三角函数的性质求解最值即可. 【小问1详解】 因为， 所以，的最小正周期为. 【小问2详解】 因为， 当，即时，取到最大值1； 当，即时，取到最小值. 【小问3详解】 由题意可知，两点的坐标为，， 则，即， 故 ， 因为，所以， 所以， 所以在时的最大值为. 19. 已知函数． （1）解关于的不等式； （2）若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围； （3）若将区间划分成2022个小区间，且满足，试判断和式是否为定值，若是，请求出这个值，若不是请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值，1 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的单调性，即可求得答案； （2）将在上有实数解，转化为在上有实数解，结合对数函数单调性求函数值域，即可求得答案； （3）利用在区间上是增函数，化简已知和式，脱掉绝对值符号，即可求得答案. 【小问1详解】 解：由得，得，， 所以不等式的解集为； 【小问2详解】 解：在上有实数解， 在上有实数解， 因为在上是单调递增函数， 故， 则，即， 解得或； 所以实数的取值范围为 【小问3详解】 解：由知，在区间上是增函数， 对任意划分， 均有， 所以 ++ ， 所以此和式为定值1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $