精品解析：福建省福州市马尾区2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

2024—2025学年第一学期期中学情调研 九年级数学 （全卷共6页，三大题，25小题，考试时间：120分钟，满分：150分） 友情提醒：所有答案都必须填写在答题卡相应的位置上 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 3. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，若将点绕原点O顺时针旋转得点Q，则点Q的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是3 C. 抛物线开口向上 D. 顶点坐标为 8. 若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是直径，是弦，点E在弦上．是的中点，，，若四边形为平行四边形，则的半径是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（   ） A. 1     B. －1   C. 2    D. －2 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分） 11. 一元二次方程的根是_________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 13. 写出一个两根之和为2，两根之积为的一元二次方程：______． 14. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为________． 15. 如图，是半圆O的直径，C，D是半圆O的两点，且满足，连接，则的度数为______ 16. 如图，在中，，，，线段绕点逆时针旋转到，连，为的中点，连接，则的最大值为______． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：x(x－2)＋x－2＝0． 18. 无论p取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，． （1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 20. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，求的长． 21. 如图，中，，将绕点按顺时针方向旋转到，使点落在边的点处． （1）在图中作出旋转后的． （2）连接，若，求的度数． 22. 如图，计划用长为米的绳子围一个矩形围栏，其中一面是墙（墙足够长）．设矩形围栏与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边为（单位：），面积为（单位：）． （1）直接写出与，与之间的函数关系（不要求写出的取值范围）； （2）当为何值时，矩形围栏的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由． 23. 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时与的长． 24. 如图，、均为等边三角形，，．将绕点A沿顺时针方向旋转，连接、． （1）在图1中求证：； （2）如图2，当时，连接，求的面积； （3）在的旋转过程中，直接写出的面积的取值范围． 25. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）过A，B两点作，交抛物线于点D（点D在对称轴右侧），若，求点M的坐标； （3）如图2，点Q是抛物线对称轴上，纵坐标为的点，点E是对称轴上抛物线下方的动点，以点Q为圆心，为半径作圆交抛物线于点F（点F在对称轴右侧），求证：直线与抛物线有唯一公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中学情调研 九年级数学 （全卷共6页，三大题，25小题，考试时间：120分钟，满分：150分） 友情提醒：所有答案都必须填写在答题卡相应的位置上 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．将已知根代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，将代入方程得： 化简得： 解得， 故选：B． 3. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 4. 如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5. 在平面直角坐标系中，若将点绕原点O顺时针旋转得点Q，则点Q的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立坐标系，根据旋转定义即可找到点Q的坐标． 【详解】解：如图所示，建立坐标系，点，将点绕原点O顺时针旋转得点Q，则点Q坐标为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，解题关键在于建立坐标系，利用旋转的性质求出相应的点的位置，再根据点的坐标特征确定点的坐标． 6. 某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设年平均增长率为x，根据2020年底森林覆盖率＝2018年底森林覆盖率乘，据此即可列方程求解． 【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得： ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，列出方程即可． 7. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是3 C. 抛物线开口向上 D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求解． 【详解】解：， 对称轴为直线，最大值为，顶点坐标为， ∵， ∴开口向下， 故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 8. 若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键．先根据二次函数的对称性可得时的函数值与时的函数值相等，即为，再根据二次函数的增减性求解即可得． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴时的函数值与时的函数值相等，即为， ∵二次函数的开口向上， ∴当时，随的增大而减小， 又∵点，，在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 9. 如图，是直径，是弦，点E在弦上．是的中点，，，若四边形为平行四边形，则的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形的中位线定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．连接，先根据圆周角定理可得，根据平行四边形的性质可得，再证出，根据等腰三角形的三线合一可得，然后证出是的中位线，根据三角形的中位线定理可得，，最后证出点共线，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴，即， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴（等腰三角形的三线合一）， 又∵， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴点共线， ∴， 即的半径是， 故选：D． 10. 二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（   ） A. 1     B. －1   C. 2    D. －2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据角抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4，利用抛物线对称性得到抛物线在1＜x＜2这段位于x轴的上方，而抛物线在2＜x＜3这段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（2，0）然后把（2，0）代入y＝a(x－4)2－4(a≠0)可求出a=1. 故选A 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分） 11. 一元二次方程的根是_________． 【答案】， 【解析】 【分析】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解． 【详解】解：由题意可知：或， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： 故答案为：2 13. 写出一个两根之和为2，两根之积为的一元二次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．设这个一元二次方程为，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，求出当时，的值，由此即可得． 【详解】解：设这个一元二次方程为， ∵这个一元二次方程的两根之和为2，两根之积为， ∴，， ∴当时，， ∴此时这个一元二次方程为， 故答案为：． 14. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移1个单位所得抛物线的解析式为：． 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 15. 如图，是半圆O的直径，C，D是半圆O的两点，且满足，连接，则的度数为______ 【答案】56 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知圆内接四边形的对角互补；三角形内角和是是解题的关键． 先根据圆内接四边形的性质得出的度数，再由等腰三角形的性质得出的度数，根据三角形内角和定理得出的度数即可． 【详解】解：四边形是圆内接四边形，， ， ， ， ． 故答案为：56． 16. 如图，在中，，，，线段绕点逆时针旋转到，连，为的中点，连接，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理、旋转的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线定理是解题关键．取的中点，连接，先根据含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据旋转的性质可得，然后根据三角形的中位线定理可得，最后根据当点共线时，取得最大值，由此即可得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转到， ∴， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵（当点共线时，等号成立）， ∴的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：x(x－2)＋x－2＝0． 【答案】， 【解析】 【分析】把方程中的x-2看作一个整体，利用因式分解法解此方程． 【详解】解：(x－2）(x+1)=0， ∴x－2=0或x+1=0， ∴x1=2，x2=-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，属于基础题． 18. 无论p取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由． 【答案】 无论p取何值，方程（x－3）（x－2）－p²＝0总有两个不等的实数根，理由如下： 原方程可以化为，， ∴＝＝＝25－24＋4p²＝1＋4p²， ∵p²≥0， ∴1＋4p²＞0，即＞0， ∴原方程总有两个不等的实数根． 【解析】 【分析】先把原方程化成，然后利用一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根，当，方程有两个相等的实数根，当，方程没有实数根． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，． （1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 【答案】（1） 解：如下图所示： （2）40 （3）(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键． （1）将点A，B，C分别绕点D旋转得到对应点，即可得出． （2）连接，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可． （3）根据网格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，， ∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问3详解】 ∵根据网格信息可得出，， ∴是等腰三角形， ∴也是线段的垂直平分线， ∵B，C的坐标分别为，， ∴点， 即．（答案不唯一） 20. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，求的长． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．先根据垂径定理可得，再利用勾股定理可得，然后根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：∵是的直径，是的弦，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，中，，将绕点按顺时针方向旋转到，使点落在边的点处． （1）在图中作出旋转后的． （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 解：如图所示： ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）由旋转的性质可得：，，，从而得到，，由三角形内角和定理计算出，最后由计算即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： ， 由旋转的性质可得：，，， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了画旋转图形、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 22. 如图，计划用长为米的绳子围一个矩形围栏，其中一面是墙（墙足够长）．设矩形围栏与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边为（单位：），面积为（单位：）． （1）直接写出与，与之间的函数关系（不要求写出的取值范围）； （2）当为何值时，矩形围栏的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 不能， 理由：当时，， ， ， ∴原方程无实数根， ∴矩形围栏的面积不能达到 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，二次函数的实际应用，一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出函数解析式 （2）将代入函数中，根据判别式即可判断求解； 【小问1详解】 解：由劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田可得： ， ， ， ； 【小问2详解】 略 23. 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时与的长． 【答案】（1） 建立如图所示的平面直角坐标系， （2）的长为4米，的长为2米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据垂直平分，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可； （2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可． 【小问1详解】 解：∵所在直线是的垂直平分线，且， ∴． ∴点B的坐标为， ∵， ∴点P的坐标为， ∵点P是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：． ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点D，E在抛物线 上， ∴设点E的坐标为， ∵，交y轴于点F， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， 根据题息，得， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． ∴， 答：的长为4米，的长为2米． 24. 如图，、均为等边三角形，，．将绕点A沿顺时针方向旋转，连接、． （1）在图1中求证：； （2）如图2，当时，连接，求的面积； （3）在的旋转过程中，直接写出的面积的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵、均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）过点作于点，过点作，交延长线于点，先求出，再在和中，分别求出和的长，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （3）分两种情况：①过点作于点，当与在同一条直线上，且点在的外部时，的面积最大；②过点作于点，当与在同一条直线上，且点在的内部时，的面积最小，先求出的长，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 如图，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵、均为等边三角形，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∴点到的距离等于点到的距离，即为， ∴的面积为． 【小问3详解】 解：①如图，过点作于点，当与在同一条直线上，且点在的外部时，的面积最大， 由（2）已得：，， ∵， ∴， ∴的面积的最大值为； ②如图，过点作于点，当与在同一条直线上，且点在的内部时，的面积最小， 由（2）已得：，， ∵， ∴， ∴的面积的最小值为； ∴的面积的取值范围为． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的性质、二次根式的应用、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，较难的是题（3），正确找出最大与最小两个临界位置是解题关键． 25. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）过A，B两点作，交抛物线于点D（点D在对称轴右侧），若，求点M的坐标； （3）如图2，点Q是抛物线对称轴上，纵坐标为的点，点E是对称轴上抛物线下方的动点，以点Q为圆心，为半径作圆交抛物线于点F（点F在对称轴右侧），求证：直线与抛物线有唯一公共点． 【答案】（1），， （2）或 （3） 证明：二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 则点的坐标为， 设点的坐标为，点的坐标为， 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，连接， ∴，，， 在中，，即， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 联立直线和抛物线的解析式得：， 将②代入①得：，即， 这个方程的根的判别式为，这个方程有两个相等的实数根， ∴直线与抛物线有唯一公共点． 【解析】 【分析】（1）分别求出当时，的值；当时，的值，由此即可得； （2）求出圆心必在的垂直平分线上，即在直线上，设点的坐标为，分两种情况：①点在轴上方和②点在轴下方，再通过全等三角形的性质求出点的坐标，代入二次函数的解析式求出的值，由此即可得； （3）先求出点的坐标为，设点的坐标为，点的坐标为，再过点作直线的垂线，垂足为点，连接，在中，利用勾股定理可得，从而可得点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立直线和抛物线的解析式，由此即可得证． 【小问1详解】 解：对于二次函数， 当时，，解得或， 当时，， ∵抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点， ∴，，． 【小问2详解】 解：二次函数的对称轴为直线， ∵过两点作， ∴圆心必在的垂直平分线上，即在直线上， 设点的坐标为， ①如图，当点在轴上方时，则， 过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入二次函数得：， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴，位于对称轴右侧，符合题意， ∴此时点的坐标为； ②如图，当点在轴下方时，则， 过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， ∴，，，， 同理可证：， ∴，， ∴，， ∴，即， 将点代入二次函数得：， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴，位于对称轴右侧，符合题意， ∴此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、勾股定理、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的根的判别式等知识，综合很强，正确分类讨论，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $