2025年九年级中考数学复习训练 专题二 整式及因式分解

专题二 整式及因式分解 1.单项式的系数和次数分别是(    ) A. B. ， C. ， D. ， 2.下列运算错误的是(    ) A. B. C. D. 3.化简的结果是(    ) A. B. C. D. 4.有理数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为(    ) A. B. C. D. 5.把多项式分解因式，得，则，的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6.某商店在甲批发市场以每包元的价格进了包茶叶，又在乙批发市场以每包元的价格进了同样的包茶叶．如果商店以每包元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店(    ) A. 盈利了 B. 亏损了 C. 不盈不亏 D. 盈亏不能确定 7.下列分解因式正确的是    A. B. C. D. 8.下列变形是因式分解(    ) A. B. C. D. 9.已知的三边长分别为，，，且满足，则一定是(    ) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 10.若实数，，满足条件，则，，中  (    ) A. 必有两个数相等 B. 必有两个数互为相反数 C. 必有两个数互为倒数 D. 每两个数都不相等 11.已知，那么的值是(    ) A. B. C. D. 12.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 13.在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如记，；已知，则的值是(    ) A. B. C. D. 14.若与是同类项，则______． 15.若，，则的值为          ． 16.多项式的公因式是______． 17.若是一个完全平方式，则的值为          ． 18.多项式化简后不含项，则的值为          ． 19.若，，则的值为____． 20.若，，则           ． 21.已知，则          ． 22.若实数满足，则______． 23.已知，，，那么的值等于          ． 24.因式分解：          ． 25.探究其规律，，，，，按照上述规律，第个单项式是______． 26.一个各位数字都不为的四位正整数，若千位数字与十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个数为“对数”将千位数字与百位数字交换，十位数字与个位数字交换，得到一个新数并规定，若已知数为“对数”，设的千位数字为，百位数字为，且，若是一个完全平方数，则 ______，满足条件的的最小值为______． 27.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式的系数规律按的次数由大到小的顺序； 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______． 28.定义：两正数，之间的一种运算，记作：若，则例如：因为，所以． 根据上述规定，填空：___________；         _____________；  ，___________． 小明在研究这种运算时发现一个现象：． 小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法解决问题：已知、、均为正数，填空并证明等式：，____________ 29.分解因式；                                30.先化简，再求值，其中，． 31.化简求值：，其中． 32.先化简，再求值：，其中，． 33.先化简，再求值：，其中． 34.先化简，再求值：，其中，． 35.将完全平方公式适当变形，可以解决很多数学问题． 例如：，，求的值． 解：因为，，所以，， 所以，得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 若，，则 ______； 若，求的值； 如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，若，两个正方形的面积和为，求图中阴影部分的面积． 36.一般地，个相同的因数相乘，记为，如，此时，叫做以为底的对数，记为即一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为即如，则叫做以为底的对数，记为即 计算下列各对数的值：________；________；________． 观察中三数、、之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式； 由的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗 根据幂的运算法则：以及对数的含义说明上述结论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 13页 专题二整式及因式分解答案解析 1.单项式�� 2� 3 的系数和次数分别是( ) A. 13 B. 1 3�，2 C. 1 3�，3 D. 1 3�，4 【答案】C 解：单项式�� 2� 3 的系数是 � 3，次数是 3． 2.下列运算错误的是( ) A. (�2)3 = �6 B. �10 ÷ �9 = � C. �3 ⋅ �5 = �8 D. �4 + �3 = �7 【答案】D 【解析】解：�、(�2)3 = �6，正确； B、�10 ÷ �9 = �，正确； C、�3 ⋅ �5 = �8，正确； D、�4 + �3 = �4 + �3，错误； 3.化简(� − 2)2 + �(5 − �)的结果是( ) A. � + 4 B. 3� + 4 C. 5� − 4 D. �2 + 4 【答案】A 解：(� − 2)2 + �(5 − �) = �2 − 4� + 4 + 5� − �2 = � + 4． 4.有理数�、�在数轴上的位置如图所示，则化简 a − b + a + b 的结果为( ) A. −2a B. 2� C. 2� D. −2b 【答案】B 解：由数轴可知� < 0 < �，且|�| < |�|， ∴ � − � < 0，� + � > 0， ∵原式=− (� − �) + � + � =− � + � + � + � = 2�， 5.把多项式�2 + ax + �分解因式，得(� + 1)(� − 3)，则�，�的值分别是( ) A. � = 2，� = 3 B. � =− 2，� =− 3 C. � =− 2，� = 3 D. � = 2，� =− 3 【答案】B 解：∵ (� + 1)(� − 3) = �2 − 3� + � − 3 = �2 − 2� − 3， ∴ �2 + �� + � = �2 − 2� − 3， ∴ � =− 2，� =− 3． 故选 B． 第 2页，共 13页 6.某商店在甲批发市场以每包�元的价格进了 40 包茶叶，又在乙批发市场以每包�元(� > �)的价格进了同样 的 60 包茶叶．如果商店以每包�+�2 元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店( ) A.盈利了 B.亏损了 C.不盈不亏 D.盈亏不能确定 【答案】A 解：根据题意，在甲批发市场茶叶的利润为 40(�+�2 −�) = 20(� + �) − 40� = 20� − 20�； 在乙批发市场茶叶的利润为 60(�+�2 − �) = 30(� + �) − 60� = 30� − 30�， ∴该商店的总利润为 20� − 20� + 30� − 30� = 10� − 10� = 10(� − �)， ∵ � > �，∴ � − � > 0，即 10(� − �) > 0， 则这家商店盈利了． 7.下列分解因式正确的是( ) A. − �� + �� =− �(� + �) B. �� + �� + � = �(� + �) C. �(� − �) + �(� − �) = (� − �)� D. �� − �� + � = (� + �)(� − �) 【答案】C 解：− �2 + 4� =− �(� − 4); �2 + �� + � = �(� + � + 1); �(� − �) + �(� − �) = �(� − �) − �(� − �) = (� − �)2; �2 − 4� + 4 = (� − 2)2． 8.下列变形是因式分解( ) A. �(� + �) = �� + �� B. 6��2 = 2� ⋅ 3�2 C. �2 + 4� + 4 = (� + 2)2 D. �2 − 2� + 2 = (� − 1)2 + 1 【答案】C 【解析】解：�、�(� + �) = �� + ��是整式的乘法，故本选项不符合； B、6��2 = 2� ⋅ 3�2等式左边不是多项式，故本选项不符合； C、�2 + 4� + 4 = (� + 2)2把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项符合； D、�2 − 2� + 2 = (� − 1)2 + 1 没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合； 9.已知△ ���的三边长分别为�，�，�，且满足�2 − �� = �2 − ��，则△ ���一定是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 【答案】D 10.若实数�，�，�满足条件1�+ 1 � + 1 � = 1 �+�+�，则�，�，�中 ( ) A.必有两个数相等 B.必有两个数互为相反数 C.必有两个数互为倒数 D.每两个数都不相等 第 3页，共 13页 【答案】B 解： 1 �+ 1 � + 1 � = 1 �+�+�， 去分母并整理得：�2� + ��2 + �2� + ��2 + �2� + ��2 + 2��� = 0， 即：(�2� + 2��� + �2�) + (��2 + ��2) + (�2� + ��2) = 0， ∴ �(� + �)2 + �2(� + �) + ��(� + �) = 0， (� + �)(�� + �� + �2 + ��) = 0， (� + �)(� + �)(� + �) = 0， 即：� + � = 0 或� + � = 0 或� + � = 0， 必有两个数互为相反数， 11.已知� − 1� = 2 2，那么� + 1 �的值是( ) A. 2 3 B. ±2 3 C. −2 3 D. ± 6 【答案】B 12.下列运算正确的是( ) A. 5 − � 5 + � = �2 − 25 B. 1 − 3� 1+ 3� = 1 − 3�2 C. −4 − 3� −4 + 3� =− 9�2 + 16 D. 2�� − � 2�� + � = 4��2 − �2 【答案】C 13.在数学中，为了书写简便，18 世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑​ ”.如记 �=1 � �∑ = 1 + 2 + 3 +⋅⋅⋅+ (� − 1) + �， �=3 � (� + �)∑ = (� + 3) + (� + 4) +⋅⋅⋅+ (� + �)；已知 �=2 � (� + �)(� − � + 1)∑ = 2�2 + 2� + �， 则�+ �的值是( ) A. −40 B. −5 C. −6 D. 5 【答案】B 【解析】【分析】 此题考查了整式的混合运算，新定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用题中的新定义化简已知等式 左边，确定出�、�的值即可． 【解答】 解：∵ �2的系数是 2， ∴ � = 3， 根据题意得：(� + 2)(� − 1) + (� + 3)(� − 2) = �2 + � − 2+ �2 + � − 6 = 2�2 + 2� − 8 = 2�2 + 2� + �， 第 4页，共 13页 则� =− 8． ∴ � + � =− 8 + 3 =− 5， 故选 B． 14.若 3���5与 4�2��+1是同类项，则�+ � =______． 【答案】6 【解析】解：∵ 3���5与 4�2��+1是同类项， ∴ � = 2，� + 1 = 5， 解得：� = 2，� = 4 ∴ � + � = 6． 故答案为 6． 根据同类项的定义(所含字母相同，相同字母的指数相同)列出方程� = 2，� + 1 = 5，求出�，�的值，再代 入代数式计算即可． 本题考查同类项的定义、方程思想，是一道基础题，比较容易解答． 15.若�� = 3，�� = 5，则�2�+�的值为 ． 【答案】45 【解析】解：∵ �� = 3，�� = 5， ∴ �2�+� = �� 2·�� = 9 × 5 = 45． 故答案为：45． 直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 16.多项式 8�3�2 + 6��3�的公因式是______． 【答案】2��2 【解析】解：多项式 8�3�2 + 6��3�的公因式是 2��2，故答案为：2��2． 根据公因式的确定方法解答即可． 本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 17.若�2 − 2�� + 9 是一个完全平方式，则�的值为 ． 【答案】3 或−3 【解析】解：因为�2 − 2�� + 9 是一个完全平方式， 所以−2� =± 6， 解得：� = 3 或−3． 故答案为：3 或−3． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定�的值． 第 5页，共 13页 本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解 题非常重要． 18.多项式 2�2 − 5��� − 3�2 + �� − 5 化简后不含��项，则�的值为 ． 【答案】− 15/− 0.2 【解析】本题考查了整式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据整式的加减运算法则将原式化 简，然后根据化简后不含��项，可知��项的系数为 0，即可解题． 【详解】解：2�2 − 5��� − 3�2 + �� − 5 = 2�2 − 5��� − 3�2 − �� − 5 =− �2 − 5� + 1 �� − 5， ∵多项式化简后不含��项， ∴ − 5� + 1 = 0， 解得� =− 15， 故答案为：− 15． 19.若� = � + 3，�� = 4，则�2 − 3�� + �2的值为____． 【答案】5 【解析】【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式．根据完全平方公式，将�2 − 3�� + �2变形为 � − � 2 − �� 是解题的关键． 先将� = � + 3 变形为� − � = 3，再将�2 − 3�� + �2变形为 � − � 2 − ��，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ � = � + 3 ∵ � − � = 3 ∵ �� = 4 ∴ �2 − 3�� + �2 = � − � 2 − �� = 32 − 4 = 5 故答案为：5． 20.若 � + � 2 = 25，� − � = 1，则�� = ． 【答案】6 21.已知2� = 8�+1，则3� ÷ 27� = ． 【答案】27 22.若实数�满足�2 − � − 1 = 0，则�3 − 2�2 + 2021 =______． 【答案】2020 第 6页，共 13页 【解析】解：∵ �2 − � − 1 = 0， ∴ �2 = � + 1，�2 − � = 1， �3 − 2�2 + 2021 = �(� + 1) − 2�2 + 2021 = �2 + � − 2�2 + 2021 = � − �2 + 2021 =− 1 + 2021 = 2020． 故答案为 2020． 由等式性质可得�2 = � + 1，�2 − � = 1，再整体代入计算可求解． 本题主要考查因式分解的应用，将等式转化为�2 = � + 1，�2 − � = 1 是解题的关键． 23.已知� = 2021� + 2020，� = 2021� + 2021，� = 2021� + 2022，那么�2 + �2 + �2 − �� − �� − ��的值等 于 ． 【答案】3 【解析】【分析】 本题考查了代数式求值、因式分解的应用等有关知识，先利用完全平方公式得到原式= 12 [(� − �) 2 + (� − �)2 + (� − �)2]，再分别计算(� − �)、(� − �)、(� − �)的值，然后利用整体代入的方法计算，即可求解． 【解答】 解：�2 + �2 + �2 − �� − �� − �� = 12 (2� 2 + 2�2 + 2�2 − 2�� − 2�� − 2��)， = 12 [(� − �) 2 + (� − �)2 + (� − �)2]， ∵ � = 2021� + 2020，� = 2021� + 2021，� = 2021� + 2022， ∴ � − � =− 1，� − � =− 1，� − � = 2， ∴原式= 12 [( − 1) 2 + ( − 1)2 + 22] = 3． 故答案为 3． 24.因式分解：�2 − 4�2 − 2� + 4� = ． 【答案】(� − 2�)(� + 2� − 2) 【解析】【分析】 此题主要考查分解因式分解的方法−分组分解法．当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分 解．�2 − 4�2可用公式分为一组，再提公因式． 【解答】 解：�2 − 4�2 − 2� + 4� 第 7页，共 13页 = (� + 2�)(� − 2�) − 2(� − 2�) = (� − 2�)(� + 2� − 2) 25.探究其规律�，− 32 � 2， 5 3 � 3，− 74 � 4， 9 5� 5，⋯按照上述规律，第 2024 个单项式是______． 【答案】− 40472024 � 2024 【解析】解：由题知， 所给单项式的系数依次为 1，− 32 , 5 3 , − 7 4 , 9 5，…， 所以第�个单项式的系数可表示为( − 1)�+1 ⋅ 2�−1� ； 所给单项式的次数依次为 1，2，3，4，5，…， 所以第�个单项式的次数可表示为�， 所以第�个单项式可表示为：( − 1)�+1 ⋅ 2�−1� ⋅ � �． 当� = 2024 时， 第 2024 个单项式是：− 40472024 � 2024． 故答案为：− 40472024 � 2024． 根据所给单项式，观察其系数及次数的变化规律即可解决问题． 本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据题意发现所给单项式的系数及次数的变化规律是解题的关 键． 26.一个各位数字都不为 0 的四位正整数�，若千位数字与十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这 个数�为“对数”.将千位数字与百位数字交换，十位数字与个位数字交换，得到一个新数�′并规定�(�) = �−�′ 101 ，若已知数�为“对数”，设�的千位数字为�，百位数字为�，且� ≠ �，若 �(�) 5 是一个完全平方数，则� − � = ______，满足条件的�的最小值为______． 【答案】5 6161 【解析】解：� = 1000� + 100� + 10� + � = 1010� + 101�，�′ = 1000� + 100� + 10� + � = 1010� + 101�， ∴ �(�) = �−�′101 = (1010�+101�)−(1010�+101�) 101 = 9(� − �)， ∴ �(�)5 = 9(�−�) 5 = 9 5 (� − �)． ∵ 95 (� − �)为完全平方数， 又∵ �，�不相等，0 < � < 10，0 < � < 10，且都为整数， ∴ � − � = 5． ∵ �为最小， 第 8页，共 13页 ∴ �为满足条件的最小值， ∴ � = 6，� = 1， ∴ � = 6161． 故答案为：5，6161． 由题意可知� = 1000� + 100� + 10� + � = 1010� + 101�，�′ = 1000� + 100� + 10� + � = 1010� + 101�， 从而可求出�(�) = 9(� − �).再根据�(�)5 是一个完全平方数，�，�不相等，0 < � < 10，0 < � < 10，且都为 整数，即得出� − � = 5.最后由�为最小，说明�为满足条件的最小值，即得出� = 6，� = 1，从而得出� = 6161． 本题考查新定义运算，整式的混合运算等知识．理解新定义的概念是解题的关键． 27.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了(� + �)�(� = 1,2,34…)的展开式的系数规律(按�的次数由大到小的顺序)； 请依据上述规律，写出(� − 2� ) 2017展开式中含�2015项的系数是______． 【答案】−4034 【解析】解：(� − 2� ) 2017展开式中含�2015项的系数， 由(� − 2� ) 2017 = �2017 − 2017 ⋅ �2016 ⋅ ( 2� ) + … 可知，展开式中第二项为−2017 ⋅ �2016 ⋅ ( 2� ) =− 4034� 2015， ∴ (� − 2� ) 2017展开式中含�2015项的系数是−4034， 故答案为：−4034． 首先确定�2015是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 本题考查整式的混合运算、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题，属于中考常考题型． 28.定义：两正数�，�之间的一种运算，记作(�, �)：若�� = �，则(�, �) = �.例如：因为32 = 9，所以(3,9) = 2． (1)根据上述规定，填空：(5,1) =  ___________； (2, 14 ) =  _____________； (2,4) + (2,8) = (2， ___________)． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：(2�, 3�) = (2,3)． 小明给出了如下的证明：设(2�, 3�) = �，则根据定义，得(2�)� = 3�，即(2�)� = 3�所以2� = 3，即(2,3) = �， 所以(2�, 3�) = (2,3)． 请你尝试运用这种方法解决问题：已知�、�、�均为正数，填空并证明等式：(�,�) + (�, �) = (�，____________) 第 9页，共 13页 【答案】解：(1)0；−2；32； (2)��． 证明：设(�,�) = �，(�, �) = �， ∴ �� = �，�� = �， ∴ ��+� = ��·�� = ��， ∴ (�,��) = � + �， ∴ (�,�) + (�, �) = (�,��)． 【解析】【分析】 此题考查了同底数幂的乘法的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键． (1)分别计算左边与右边式子，即可做出判断； (2)设(�,�) = �，(�, �) = �，根据同底数幂的乘法法则即可求解． 【解答】 解：(1)根据题意： ∵ 50 = 1， ∴ (5,1) = 0； ∵ 2−2 = 14， ∴ (2, 14 ) =− 2； ∵ (2,4) = 2，(2,8) = 3， ∴ (2,4) + (2,8) = 5， ∵ 25 = 32，∴ (2,32) = 5， ∴ (2,4) + (2,8) = (2,32)． 故答案为 0；−2；32； (2) (�,�) + (�, �) = (�,��)， 故答案为��． 证明见答案． 故答案为(1)0；−2；32；(2)��． 三、计算题：本大题共 1 小题，共 6 分。 29.分解因式(1)�3 − 6�2 + 9�； (2)�2(� − �) + 4(� − �). 【答案】解：(1)原式= �(�2 − 6� + 9) = �(� − 3)2； (2)原式= �2(� − �) − 4(� − �) = (� − �)(�2 − 4) = (� − �)(� + 2)(� − 2)． 第 10页，共 13页 【解析】(1)原式提取�，再利用完全平方公式分解即可； (2)原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 此题考查了因式分解−分组分解法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 四、解答题：本题共 7 小题，共 56 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 30.(本小题 8 分) 先化简，再求值[(2� + �)2 + (� − �)(� + �) − 2�(� − �)] ÷ − 12 � ，其中� =− 1，� = 1 2． 【答案】解：原式= 4�2 + 4�� + �2 + �2 − �2 − 2�2 + 2�� ÷ − 12 � = 4�2 + 4�� + �2 + �2 − �2 − 2�2 + 2�� ÷ − 1 2 � = 3�2 + 6�� ÷ − 1 2 � =− 6� − 12�， 当� =− 1，� = 12时， 原式= −6 × −1 − 12 × 12 = 6 − 6 = 0． 【解析】【分析】 本题考查了整式的混合运算−化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式 以及整式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右按顺序运算；若有括号，先小再 中最后大，依次计算.首先利用完全平方公式和平方差公式对中括号中的式子进行运算，然后去括号合并同类 项，再根据多项式除以单项式的法则计算，最后代入已知数据进行求解即可． 31.(本小题 8 分) 化简求值：(2� + 3)(2� − 3) − (� + 2)2 + 3(� + 2)，其中� = 2． 【答案】解：原式= 4�2 − 9 − (�2 + 4� + 4) + 3� + 6 = 4�2 − 9 − �2 − 4� − 4 + 3� + 6 = 3�2 − � − 7， 将� = 2代入得，3 × ( 2)2 − 2 − 7 = 3 × 2 − 2 − 7 =− 1 − 2． 【解析】先对原式进行化简，再将� = 2代入即可求解． 本题主要考查了整式的化简求值，属于基础题． 第 11页，共 13页 32.(本小题 8 分) 先化简，再求值：(� − 2�) ​ 2 − (� + �)(� − �) − 5�2，其中� = 12，� =− 2． 【答案】解：原式= �2 − 4�� + 4�2 − �2 + �2 − 5�2 =− 4��． 当� = 12，� =− 2 时，原式=− 4 × 1 2 × ( − 2) = 4． 33.(本小题 8 分) 先化简，再求值：(12�3 − 6�2 + 3�) ÷ 3� − (2� + �)(2� − �)，其中� = 12 , � =− 1． 【答案】解：(12�3 − 6�2 + 3�) ÷ 3� − (2� + �)(2� − �) = 4�2 − 2� + 1 − (4�2 − �2) = 4�2 − 2� + 1 − 4�2 + �2 =− 2� + �2 + 1， 当� = 12 , � =− 1 时，原式=− 2 × 1 2 + ( − 1) 2 + 1 =− 1+ 1 + 1 = 1． 【解析】先利用平方差公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后把�，�的值代入化简后的式子进行计 算，即可解答． 本题考查了整式的混合运算−化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 34.(本小题 8 分) 先化简，再求值：(2� − 3�)(2� + 3�) − (� − 2�)2 + (� − �)(� + 2�)，其中� =− 2，� = 12． 【答案】解：原式= 4�2 − 9�2 − (�2 − 4�� + 4�2) + (�2 + �� − 2�2) = 4�2 − 9�2 − �2 + 4�� − 4�2 + �2 + �� − 2�2 = �2 + 5�� − 12�2 当� =− 2，� = 12时， 原式= 4 + 5 × ( − 2) × 12 − 12 × 1 4 = 4 − 5 − 3 =− 4． 【解析】根据整式的运算法则即可求出答案． 本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 35.(本小题 8 分) 将完全平方公式(� ± �)2 = �2 ± 2�� + �2适当变形，可以解决很多数学问题． 例如：� + � = 3，�� = 1，求�2 + �2的值． 第 12页，共 13页 解：因为� + � = 3，�� = 1，所以(� + �)2 = 9，2�� = 2， 所以�2 + �2 + 2�� = 9，得�2 + �2 = 7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若�� = 5，� − � = 8，则�2 + �2 = ______； (2)若(� − 7)(� − 9) = 10，求(� − 7)2 + (� − 9)2的值； (3)如图，点�是线段��上的一点，以��，��为边向两边作正方形����和正方形����，若�� = 5，两个正方 形的面积和为 15，求图中阴影部分的面积． 【答案】74 【解析】解：(1) ∵ � − � = 8，�� = 5， ∴ (� − �)2 = 64，2�� = 10， ∴ �2 + �2 − 2�� = 64，得�2 + �2 = 74， 故答案为：74； (2)设� − 7 = �，� − 9 = �， 则�− � = 2，�� = 10， ∴ �2 + �2 = (� − �)2 + 2�� = 22 + 2 × 10 = 24，即(� − 7)2 + (� − 9)2 = 24； (3)设正方形����的边长为�，正方形����的边长为�， 则� + � = 5，�2 + �2 = 15， ∴ 2�� = (� + �)2 − (�2 + �2)，即 2�� = 52 − 15， 解得：�� = 5， ∴ �△��� = 1 2 �� = 5 2． (1)根据完全平方公式计算； (2)设� − 7 = �，� − 9 = �，得到�− � = 2，�� = 10，根据完全平方公式计算； (3)设正方形����的边长为�，正方形����的边长为�，得到� + � = 5，�2 + �2 = 15，根据完全平方公式求 出��，再根据三角形面积公式计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 36.(本小题 8 分) 一般地，�个相同的因数�相乘� ⋅ � ⋅ ⋯ ⋅ �，记为��，如 2 × 2 × 2 = 23 = 8，此时，3 叫做以 2 为底 8 的对数， 记为log28(即log28 = 3).一般地，若�� = �(� > 0 且� ≠ 1，� > 0)，则�叫做以�为底�的对数，记为log��(即 log�� = �).如34 = 81，则 4 叫做以 3 为底 81 的对数，记为log381(即log381 = 4). (1)计算下列各对数的值：log24 =________；log216 =________；log264 =________． 第 13页，共 13页 (2)观察(1)中三数 4、16、64 之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264 之间又满足怎样的关系式； (3)由(2)的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗? (4)根据幂的运算法则：�� ⋅ �� = ��+�以及对数的含义说明上述结论． 【答案】解：(１)2，4，6； (2)4 × 16 = 64，log24 + log216 = log264； (3)log��+ log�� = log���． (4)证明：log�� = �，log�� = �， 则� = ��，� = ��， ∴ �� = �� ⋅ �� = ��+�， ∴ log��� = log���+� = �+ �， 故log�� + log�� = log���． 【解析】【分析】 本题考查了同底数的幂的乘法，正确理解题意，理解对数的定义是关键． (1)根据对数的定义求解； (2)认真观察，不难找到规律：4 × 16 = 64，log  24 + log  216 = log  264； (3)有特殊到一般，得出结论：log  ��+ log  �� = log  �(��)； (4)首先可设 log  �� = �  ​ 1，log  �� = �  ​ 2，再根据幂的运算法则：�  � ⋅ �  � = �  �+�以及对数的含义证明 结论． 【解答】 解：(1) ∵ 4 = 22，16 = 24，64 = 26， ∴ log24 = 2；log216 = 4；log264 = 6． (2)4 × 16 = 64，log24 + log216 = log264 (3)log��+ log�� = log���． (4)见答案， 专题二 整式及因式分解答案解析 1.单项式的系数和次数分别是(    ) A. B. ， C. ， D. ， 【答案】C 解：单项式的系数是，次数是． 2.下列运算错误的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：、，正确； B、，正确； C、，正确； D、，错误； 3.化简的结果是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解： ． 4.有理数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  解：由数轴可知，且， ，， 原式， 5.把多项式分解因式，得，则，的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B  解：， ， ，． 故选B． 6.某商店在甲批发市场以每包元的价格进了包茶叶，又在乙批发市场以每包元的价格进了同样的包茶叶．如果商店以每包元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店(    ) A. 盈利了 B. 亏损了 C. 不盈不亏 D. 盈亏不能确定 【答案】A  解：根据题意，在甲批发市场茶叶的利润为； 在乙批发市场茶叶的利润为， 该商店的总利润为， ，，即， 则这家商店盈利了． 7.下列分解因式正确的是    A. B. C. D. 【答案】C  解： ． 8.下列变形是因式分解(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：、是整式的乘法，故本选项不符合； B、等式左边不是多项式，故本选项不符合； C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项符合； D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合； 9.已知的三边长分别为，，，且满足，则一定是(    ) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D  10.若实数，，满足条件，则，，中  (    ) A. 必有两个数相等 B. 必有两个数互为相反数 C. 必有两个数互为倒数 D. 每两个数都不相等 【答案】B  解：， 去分母并整理得：， 即：， ， ， ， 即：或或， 必有两个数互为相反数， 11.已知，那么的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  12.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  13.在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如记，；已知，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 此题考查了整式的混合运算，新定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用题中的新定义化简已知等式左边，确定出、的值即可． 【解答】 解：的系数是， ， 根据题意得： ， 则． ， 故选B． 14.若与是同类项，则______． 【答案】  【解析】解：与是同类项， ，， 解得：， ． 故答案为． 根据同类项的定义所含字母相同，相同字母的指数相同列出方程，，求出，的值，再代入代数式计算即可． 本题考查同类项的定义、方程思想，是一道基础题，比较容易解答． 15.若，，则的值为          ． 【答案】  【解析】解：，， ． 故答案为：． 直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 16.多项式的公因式是______． 【答案】  【解析】解：多项式的公因式是，故答案为：． 根据公因式的确定方法解答即可． 本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 17.若是一个完全平方式，则的值为          ． 【答案】或  【解析】解：因为是一个完全平方式， 所以， 解得：或． 故答案为：或． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值． 本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 18.多项式化简后不含项，则的值为          ． 【答案】  【解析】本题考查了整式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据整式的加减运算法则将原式化简，然后根据化简后不含项，可知项的系数为，即可解题． 【详解】解： ， 多项式化简后不含项，  ， 解得， 故答案为：． 19.若，，则的值为____． 【答案】  【解析】【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式．根据完全平方公式，将变形为是解题的关键． 先将变形为，再将变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 20.若，，则           ． 【答案】  21.已知，则          ． 【答案】  22.若实数满足，则______． 【答案】  【解析】解：， ，， ． 故答案为． 由等式性质可得，，再整体代入计算可求解． 本题主要考查因式分解的应用，将等式转化为，是解题的关键． 23.已知，，，那么的值等于          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了代数式求值、因式分解的应用等有关知识，先利用完全平方公式得到原式，再分别计算、、的值，然后利用整体代入的方法计算，即可求解． 【解答】 解：， ， ，，， ，，， 原式． 故答案为． 24.因式分解：          ． 【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查分解因式分解的方法分组分解法．当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．可用公式分为一组，再提公因式． 【解答】 解： 25.探究其规律，，，，，按照上述规律，第个单项式是______． 【答案】  【解析】解：由题知， 所给单项式的系数依次为，，， 所以第个单项式的系数可表示为； 所给单项式的次数依次为，，，，，， 所以第个单项式的次数可表示为， 所以第个单项式可表示为：． 当时， 第个单项式是：． 故答案为：． 根据所给单项式，观察其系数及次数的变化规律即可解决问题． 本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据题意发现所给单项式的系数及次数的变化规律是解题的关键． 26.一个各位数字都不为的四位正整数，若千位数字与十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个数为“对数”将千位数字与百位数字交换，十位数字与个位数字交换，得到一个新数并规定，若已知数为“对数”，设的千位数字为，百位数字为，且，若是一个完全平方数，则 ______，满足条件的的最小值为______． 【答案】    【解析】解：，， ， ． 为完全平方数， 又，不相等，，，且都为整数， ． 为最小， 为满足条件的最小值， ，， ． 故答案为：，． 由题意可知，，从而可求出再根据是一个完全平方数，，不相等，，，且都为整数，即得出最后由为最小，说明为满足条件的最小值，即得出，，从而得出． 本题考查新定义运算，整式的混合运算等知识．理解新定义的概念是解题的关键． 27.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式的系数规律按的次数由大到小的顺序； 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______． 【答案】  【解析】解：展开式中含项的系数， 由 可知，展开式中第二项为， 展开式中含项的系数是， 故答案为：． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 本题考查整式的混合运算、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题，属于中考常考题型． 28.定义：两正数，之间的一种运算，记作：若，则例如：因为，所以． 根据上述规定，填空：___________；         _____________；  ，___________． 小明在研究这种运算时发现一个现象：． 小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法解决问题：已知、、均为正数，填空并证明等式：，____________ 【答案】解：；；； ． 证明：设，， ，， ， ， ．  【解析】【分析】 此题考查了同底数幂的乘法的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键． 分别计算左边与右边式子，即可做出判断； 设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解． 【解答】 解：根据题意： ， ； ， ； ，， ， ，， ． 故答案为；；；  ， 故答案为． 证明见答案． 故答案为；；；． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 29.分解因式；                                【答案】解：原式； 原式．  【解析】原式提取，再利用完全平方公式分解即可； 原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 此题考查了因式分解分组分解法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 30.本小题分 先化简，再求值，其中，． 【答案】解：原式 ， 当，时， 原式 ．  【解析】【分析】 本题考查了整式的混合运算化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式以及整式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右按顺序运算；若有括号，先小再中最后大，依次计算首先利用完全平方公式和平方差公式对中括号中的式子进行运算，然后去括号合并同类项，再根据多项式除以单项式的法则计算，最后代入已知数据进行求解即可． 31.本小题分 化简求值：，其中． 【答案】解：原式 ， 将代入得， ．  【解析】先对原式进行化简，再将代入即可求解． 本题主要考查了整式的化简求值，属于基础题． 32.本小题分 先化简，再求值：，其中，． 【答案】解：原式． 当，时，原式．   33.本小题分 先化简，再求值：，其中． 【答案】解： ， 当时，原式．  【解析】先利用平方差公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 本题考查了整式的混合运算化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 34.本小题分 先化简，再求值：，其中，． 【答案】解：原式 当，时， 原式 ．  【解析】根据整式的运算法则即可求出答案． 本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 35.本小题分 将完全平方公式适当变形，可以解决很多数学问题． 例如：，，求的值． 解：因为，，所以，， 所以，得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 若，，则 ______； 若，求的值； 如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，若，两个正方形的面积和为，求图中阴影部分的面积． 【答案】  【解析】解：，， ，， ，得， 故答案为：； 设，， 则，， ，即； 设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， ，即， 解得：， ． 根据完全平方公式计算； 设，，得到，，根据完全平方公式计算； 设正方形的边长为，正方形的边长为，得到，，根据完全平方公式求出，再根据三角形面积公式计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 36.本小题分 一般地，个相同的因数相乘，记为，如，此时，叫做以为底的对数，记为即一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为即如，则叫做以为底的对数，记为即 计算下列各对数的值：________；________；________． 观察中三数、、之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式； 由的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗 根据幂的运算法则：以及对数的含义说明上述结论． 【答案】解：，，； ，； ． 证明：，， 则，， ， ， 故．   【解析】【分析】 本题考查了同底数的幂的乘法，正确理解题意，理解对数的定义是关键． 根据对数的定义求解；  认真观察，不难找到规律：，   ；  有特殊到一般，得出结论：   ；  首先可设  ，  ，再根据幂的运算法则：   以及对数的含义证明结论． 【解答】 解：，，， ；；． ， ．  见答案， 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 4页 专题二整式及因式分解 1.单项式�� 2� 3 的系数和次数分别是( ) A. 13 B. 1 3�，2 C. 1 3�，3 D. 1 3�，4 2.下列运算错误的是( ) A. (�2)3 = �6 B. �10 ÷ �9 = � C. �3 ⋅ �5 = �8 D. �4 + �3 = �7 3.化简(� − 2)2 + �(5 − �)的结果是( ) A. � + 4 B. 3� + 4 C. 5� − 4 D. �2 + 4 4.有理数�、�在数轴上的位置如图所示，则化简 a − b + a + b 的结果为( ) A. −2a B. 2� C. 2� D. −2b 5.把多项式�2 + ax + �分解因式，得(� + 1)(� − 3)，则�，�的值分别是( ) A. � = 2，� = 3 B. � =− 2，� =− 3 C. � =− 2，� = 3 D. � = 2，� =− 3 6.某商店在甲批发市场以每包�元的价格进了 40 包茶叶，又在乙批发市场以每包�元(� > �)的价格进了同样的 60 包茶叶．如果商店以每包�+�2 元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店( ) A.盈利了 B.亏损了 C.不盈不亏 D.盈亏不能确定 7.下列分解因式正确的是( ) A. − �� + �� =− �(� + �) B. �� + �� + � = �(� + �) C. �(� − �) + �(� − �) = (� − �)� D. �� − �� + � = (� + �)(� − �) 8.下列变形是因式分解( ) A. �(� + �) = �� + �� B. 6��2 = 2� ⋅ 3�2 C. �2 + 4� + 4 = (� + 2)2 D. �2 − 2� + 2 = (� − 1)2 + 1 9.已知△ ���的三边长分别为�，�，�，且满足�2 − �� = �2 − ��，则△ ���一定是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 10.若实数�，�，�满足条件1�+ 1 � + 1 � = 1 �+�+�，则�，�，�中 ( ) A.必有两个数相等 B.必有两个数互为相反数 C.必有两个数互为倒数 D.每两个数都不相等 11.已知� − 1� = 2 2，那么� + 1 �的值是( ) A. 2 3 B. ±2 3 C. −2 3 D. ± 6 12.下列运算正确的是( ) 第 2页，共 4页 A. 5 − � 5 + � = �2 − 25 B. 1 − 3� 1 + 3� = 1 − 3�2 C. −4 − 3� −4 + 3� =− 9�2 + 16 D. 2�� − � 2�� + � = 4��2 − �2 13.在数学中，为了书写简便，18 世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑​ ”.如记 �=1 � �∑ = 1 + 2 + 3 +⋅⋅⋅+ (� − 1) + �， �=3 � (� + �)∑ = (� + 3) + (� + 4) +⋅⋅⋅+ (� + �)；已知 �=2 � (� + �)(� − � + 1)∑ = 2�2 + 2� + �，则�+ � 的值是( ) A. −40 B. −5 C. −6 D. 5 14.若 3���5与 4�2��+1是同类项，则�+ � =______． 15.若�� = 3，�� = 5，则�2�+�的值为 ． 16.多项式 8�3�2 + 6��3�的公因式是______． 17.若�2 − 2�� + 9 是一个完全平方式，则�的值为 ． 18.多项式 2�2 − 5��� − 3�2 + �� − 5 化简后不含��项，则�的值为 ． 19.若� = � + 3，�� = 4，则�2 − 3�� + �2的值为____． 20.若 � + � 2 = 25，� − � = 1，则�� = ． 21.已知2� = 8�+1，则3� ÷ 27� = ． 22.若实数�满足�2 − � − 1 = 0，则�3 − 2�2 + 2021 =______． 23.已知� = 2021� + 2020，� = 2021� + 2021，� = 2021� + 2022，那么�2 + �2 + �2 − �� − �� − ��的值等 于 ． 24.因式分解：�2 − 4�2 − 2� + 4� = ． 25.探究其规律�，− 32 � 2， 5 3� 3，− 74� 4， 9 5� 5，⋯按照上述规律，第 2024 个单项式是______． 26.一个各位数字都不为 0 的四位正整数�，若千位数字与十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个 数�为“对数”.将千位数字与百位数字交换，十位数字与个位数字交换，得到一个新数�′并规定�(�) = �−�′101 ， 若已知数�为“对数”，设�的千位数字为�，百位数字为�，且� ≠ �，若�(�)5 是一个完全平方数，则� − � = ______， 满足条件的�的最小值为______． 27.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了(� + �)�(� = 1,2,34…)的展开式的系数规律(按�的次数由大到小的顺序)； 请依据上述规律，写出(� − 2� ) 2017展开式中含�2015项的系数是______． 28.定义：两正数�，�之间的一种运算，记作(�, �)：若�� = �，则(�, �) = �.例如：因为32 = 9，所以(3,9) = 2． (1)根据上述规定，填空：(5,1) =  ___________； (2, 14 ) =  _____________；(2,4) + (2,8) = (2，___________)． 第 3页，共 4页 (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：(2�, 3�) = (2,3)． 小明给出了如下的证明：设(2�, 3�) = �，则根据定义，得(2�)� = 3�，即(2�)� = 3�所以2� = 3，即(2,3) = �， 所以(2�, 3�) = (2,3)． 请你尝试运用这种方法解决问题：已知�、�、�均为正数，填空并证明等式：(�,�) + (�, �) = (�，____________) 29.分解因式(1)�3 − 6�2 + 9�； (2)�2(� − �) + 4(� − �). 30.先化简，再求值[(2� + �)2 + (� − �)(� + �) − 2�(� − �)] ÷ − 12 � ，其中� =− 1，� = 1 2． 31.化简求值：(2� + 3)(2� − 3) − (� + 2)2 + 3(� + 2)，其中� = 2． 32.先化简，再求值：(� − 2�) ​ 2 − (� + �)(� − �) − 5�2，其中� = 12，� =− 2． 33.先化简，再求值：(12�3 − 6�2 + 3�) ÷ 3� − (2� + �)(2� − �)，其中� = 12 , � =− 1． 34.先化简，再求值：(2� − 3�)(2� + 3�) − (� − 2�)2 + (� − �)(� + 2�)，其中� =− 2，� = 12． 第 4页，共 4页 35.将完全平方公式(� ± �)2 = �2 ± 2�� + �2适当变形，可以解决很多数学问题． 例如：� + � = 3，�� = 1，求�2 + �2的值． 解：因为� + � = 3，�� = 1，所以(� + �)2 = 9，2�� = 2， 所以�2 + �2 + 2�� = 9，得�2 + �2 = 7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若�� = 5，� − � = 8，则�2 + �2 = ______； (2)若(� − 7)(� − 9) = 10，求(� − 7)2 + (� − 9)2的值； (3)如图，点�是线段��上的一点，以��，��为边向两边作正方形����和正方形����，若�� = 5，两个正方 形的面积和为 15，求图中阴影部分的面积． 36.一般地，�个相同的因数�相乘� ⋅ � ⋅ ⋯ ⋅ �，记为��，如 2 × 2 × 2 = 23 = 8，此时，3 叫做以 2 为底 8 的对 数，记为log28(即log28 = 3).一般地，若�� = �(� > 0 且� ≠ 1，� > 0)，则�叫做以�为底�的对数，记为log��(即 log�� = �).如34 = 81，则 4 叫做以 3 为底 81 的对数，记为log381(即log381 = 4). (1)计算下列各对数的值：log24 =________；log216 =________；log264 =________． (2)观察(1)中三数 4、16、64 之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264 之间又满足怎样的关系式； (3)由(2)的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗? (4)根据幂的运算法则：�� ⋅ �� = ��+�以及对数的含义说明上述结论．