精品解析：江苏省扬州市江都区四校联考2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试题

2024年秋学期11月调研九年级数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在学习黄金分割时，小明同学发现一个矩形的宽与长之比为黄金比．已知长为，则它的宽约为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的应用，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比． 根据黄金分割的比值约为0.618列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为， ∴书的宽约为． 故选：B． 2. 把写成比例式，写错的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质及应用，解题的关键是利用“比例式中两内项之积等于两外项之积”，将每个选项的比例式转化为乘积式，与已知条件对比，判断其正确性． 根据比例基本性质，对每个选项分别计算“两内项之积”和“两外项之积”；若积等于，则该比例式正确；若积不等于，则该比例式错误． 【详解】解：根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，逐一分析选项： A、对于，内项为和，外项为和，则内项积，外项积； ∵， ∴此比例式正确，该选项不符合题意． B、对于，内项为和，外项为和，则内项积，外项积； ∵， ∴此比例式正确，该选项不符合题意． C、对于，内项为和，外项为和，则内项积，外项积； ∵， ∴此比例式正确，该选项不符合题意． D、对于，内项为和，外项为和，则内项积，外项积； 不一定相等 ∴此比例式错误，该选项符合题意． 故选：D． 3. 若，，则的度数为（　　） A. 30° B. 50° C. 40° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和三角形内角和定理，熟记相似三角形的性质是解决问题的关键．先根据三角形内角和计算出的度数，然后根据相似三角形的性质得到的度数． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 4. 下列说法：①任意两个等腰三角形都相似；②任意两个直角三角形都相似；③任意两个等边三角形都相似；④任意两个等腰直角三角形都相似，其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：①不正确，因为没有说明角或边相等的条件，故不相似； ②不正确，只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故不相似； ③正确，因为等边三个角都相等，故两三角形相似； ④正确，因为其三对角均相等，符合相似三角形的判定条件，故相似； 所以③④正确， 故选D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 5. 如图所示，是的边上的一点，连接，以下条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似．根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可． 【详解】解：A．能判定，符合两组对应边的成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； B．不能判定，不符合两组对应边的成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； C．能判定，符合有两组角对应相等的两个三角形相似； D．能判定，符合有两组角对应相等的两个三角形相似． 故选B． 6. 在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 都不相似 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，根据相似图形对应边成比例，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，故甲和乙不相似，不符合题意； B、，，故甲和丙相似，符合题意； C、，故乙和丙不相似，不符合题意； D、由B可知，甲和丙相似，故D不符合题意； 故选：B． 7. 如图，已知和均为等边三角形，D在上，与相交于点F，，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质．证明，找到与有关的比例式即可得解，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】解：和均为等边三角形， ，，， ， ， ， ，即， 解得， 故选：． 8. 如图，在正方形中，E是上一点，过点C作交的延长线于点F，连接，M是中点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则 ，正确的结论是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定与性质定理，相似三角形的判定与性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理和等腰三角形的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论. 【详解】解：四边形为正方形， , , ， , ， 在和中， , ， ， 的结论正确； , , 为等腰直角三角形， ， 四边形为正方形， , , ， , , ， , , , , 的结论正确； 如图，连接, 为等腰直角三角形，是中点， ,, , 为等腰直角三角形， , 四边形为正方形， , , ， ， , ， 的结论正确； 如图，在上取一点,使,连接, ,, , , , , , , , ，, , , , ，设, , , , ， 的结论正确， 综上，正确的结论有：①②③④， 故选：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握上述定理与性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键. 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 已知A、B两地的实际距离是，量得两地在地图上的距离是．若在该地图上量得A、C两地间的距离是，则A、C两地间的实际距离是___________． 【答案】480 【解析】 【分析】本题考查了比例尺“比例尺就是图上长度与实际长度的比”，熟练掌握比例尺的定义是解题关键．先求出比例尺，再根据比例尺的定义求解即可得． 【详解】解：由题意得：比例尺为， 则、两地间的实际距离是， 故答案为：480． 10. 已知线段，线段，则线段a与线段b的比例中项为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了成比例线段的定义，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负； 【详解】解：设比例中项为线段c， 由题意得，， ∵，， ∴， ∴或（舍去）， ∴线段a与线段b的比例中项为， 故答案为：． 11. 如图，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质等知识点，根据比例关系进行运算即可，熟练掌握其性质进行运算是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12. 如图，要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是____________（只写一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定条件进行求解即可． 【详解】解：添加条件：，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知两个角对应相等的三角形相似是解题的关键． 13. 如图，A、B两地被池塘隔开，在外取一点C，连接、，在上取点M，使，作，交于N，量得，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明，然后利用相似比即可求出的长，熟练掌握相似三角形的性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，AB∥CD∥EF，点C，D分别在BE，AF上，如果BC＝4，CE＝6，AF＝8，那么DF的长____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例的性质可以得到解答． 【详解】解：∵AB∥CD∥EF， ∴， ∴＝， ∴DF＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段的性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质并灵活应用是解题关键． 15. 如图，是的边上的一点，连接，若，，，线段___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形对应边成比例可知，即可得到线段的长． 【详解】解：， ， ，， ， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，过点作的垂线，交于点，，则的值为___________． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质；由矩形的性质可得结合可求得，再证，然后根据相似三角形对应边成比例列式可得即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上的一点，连接CD，过A点作AE⊥CD于点B，过B点作BF⊥GD于点F，若CD＝5，DF＝1，（CE＞DE）则线段AD的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】证明△CAE≌△BCF（AAS），得到AE=CF=6，再证明△AED△BFD，利用相似三角形的性质求得CE=BF=3，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵AE⊥CD，BF⊥CD， ∴∠CEA=∠BFC=∠ACB=90°， ∴∠CAE+∠ACE=90°，∠BCF+∠ACE=90°， ∴∠CAE=∠BCF， 在△CAE和△BCF中，， ∴△CAE≌△BCF（AAS）， ∴AE=CF，CE=BF， ∵CD=5，DF=1， ∴AE=CF=6， ∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF， ∴△AED△BFD， ∴， 设CE=BF=x，则DE=5-x， ∴， 解得：x1=2(舍去)，x2=3， 经检验，x=3是原方程的根，且符合题意， ∴DE=2， ∴AD=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是综合运用以上知识． 18. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过______秒钟，与相似． 【答案】2或5##5或2 【解析】 【分析】分和两种情况解答即可． 【详解】解：设P、Q运动时间为秒， 根据题意，，，则， 当时，则，即， 解得：； 当时，则，即， 解得：， 综上，当经过2或5秒钟，与相似． 故答案为：2或5． 【点睛】本题考查相似三角形的动点问题，理解题意，掌握相似三角形的性质，分类讨论是解答的关键． 三、解答题 19. 如图，在矩形中，点E、F分别在边上，，，，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质及勾股定理等知识点，先根据勾股定理求出的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长，熟知相似三角形的对应边成比例的知识是解答此题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， ， ，即， 解得． 20. 如图，在中，，，，．求： （1）求 的值． （2）求的长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据，得，从而得，由，把、的值代入即可得； （2）根据相似三角形的性质，得，把，，的值代入，即可求得的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ， ∵，， ∴， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ∵，，， ， ∴． 21. 如图，在中，，．分别在上，且，若，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）等边对等角，得到，平角和三角形的内角和定理，推出，即可得证； （2）勾股定理求出，进而求出，根据，得到，进行求解即可． 本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，中，是边上的高，且． （1）求证：； （2）求的大小． 【答案】（1） 证明：是边上的高， ， 又，即， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 在中，， ， ， 即：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，相似三角形的判定定理，相似三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 23. 如图，已知矩形的一条边，将矩形沿直线折叠使得顶点B落在边上的P点处． （1）求证：； （2）若与的比为，求边的长． 【答案】（1） 证明：由折叠的性质可知，, , 四边形为矩形， ， , , , ； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 利用“一线三直角”证明，继而得出； 利用相似三角形的性质求出的长，设,则,利用勾股定理列出方程，解方程即可求得的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：, 与的比为,, , , 设,则, 在中，, ,解得：, ． 24. 如图，在正方形中，为边上一点，是的中点，过点垂直于的直线与边的交点为，与的延长线的交点为．若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理；根据正方形的性质得出，，，进而求证，得出，根据勾股定理得出，则，求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，F是中点， ∴由勾股定理得：， ， ∴， 解得：， ∵， ∴． 25. 如图，中，，为斜边中线，以为直径作交于点E，过点E作，垂足为点F． （1）求证：为的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接． ， ， ，为斜边中线， ， ， ， ， ， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，所以，由已知直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，所以可以证得，，，即可得到为的切线； （2）连接，所以，因为，所以可以求得的长度，进而求得，的长度，再利用即可求得的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ， ，则， ， ， ∵， ∴ ∴，即： ， ， ， ∵， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了圆的相关性质，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点，正确做出辅助线是解题的关键． 26. 【感知】如图①，在中，点E为的中点，连接并延长的延长线于点F，求证：点D是的中点； 【应用】如图②，在四边形中，，，E是的中点，的延长线相交于点F，求的长． 【扩展】如图③，在中，点D是的中点， ，相交于点F，求的值． 【答案】 【感知】证明：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：点D是的中点； 【应用】； 【扩展】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，根据中点作辅助线构造全等三角形是解题关键． 感知:证即可； 应用:由题意得，垂直平分，推出;同理可证：，得，即可求解； 扩展:过点作，同理可证：，推出；证，得，即可求解； 【详解】感知:略 应用:解：∵， ∴； ∵E是的中点， ∴垂直平分， ∴； 同理可证：， ∴， ∴； 扩展:解：过点作，如图所示： 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 27. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，， ，，，则菱形的边长为______． 【答案】（1）证明：∵，， ∴． ∴． ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，则可得出结论； （2）证明，得出比例线段，则，求出，则可求出． （3）分别延长，相交于点G，证得四边形为平行四边形，得出，，，证明，得出比例线段，则，可求出，则答案可求出． 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴； （3）如图，分别延长，相交于点G， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 又∵， ∴ ∴ 则菱形的边长为． 【点睛】此题考查相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期11月调研九年级数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在学习黄金分割时，小明同学发现一个矩形的宽与长之比为黄金比．已知长为，则它的宽约为（　　） A. B. C. D. 2. 把写成比例式，写错的是( ) A. B. C. D. 3. 若，，则的度数为（　　） A. 30° B. 50° C. 40° D. 70° 4. 下列说法：①任意两个等腰三角形都相似；②任意两个直角三角形都相似；③任意两个等边三角形都相似；④任意两个等腰直角三角形都相似，其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ③④ 5. 如图所示，是的边上的一点，连接，以下条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 都不相似 7. 如图，已知和均为等边三角形，D在上，与相交于点F，，，则等于（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，E是上一点，过点C作交的延长线于点F，连接，M是中点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则 ，正确的结论是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 已知A、B两地的实际距离是，量得两地在地图上的距离是．若在该地图上量得A、C两地间的距离是，则A、C两地间的实际距离是___________． 10. 已知线段，线段，则线段a与线段b的比例中项为_______． 11. 如图，，则___________. 12. 如图，要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是____________（只写一种情况即可）． 13. 如图，A、B两地被池塘隔开，在外取一点C，连接、，在上取点M，使，作，交于N，量得，则的长为___________． 14. 如图，AB∥CD∥EF，点C，D分别在BE，AF上，如果BC＝4，CE＝6，AF＝8，那么DF的长____． 15. 如图，是的边上的一点，连接，若，，，线段___________． 16. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，过点作的垂线，交于点，，则的值为___________． 17. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上的一点，连接CD，过A点作AE⊥CD于点B，过B点作BF⊥GD于点F，若CD＝5，DF＝1，（CE＞DE）则线段AD的长为______． 18. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过______秒钟，与相似． 三、解答题 19. 如图，在矩形中，点E、F分别在边上，，，，求． 20. 如图，在中，，，，．求： （1）求 的值． （2）求的长． 21. 如图，在中，，．分别在上，且，若，． （1）求证：； （2）求的长． 22. 如图，中，是边上的高，且． （1）求证：； （2）求的大小． 23. 如图，已知矩形的一条边，将矩形沿直线折叠使得顶点B落在边上的P点处． （1）求证：； （2）若与的比为，求边的长． 24. 如图，在正方形中，为边上一点，是的中点，过点垂直于的直线与边的交点为，与的延长线的交点为．若，，求的长． 25. 如图，中，，为斜边中线，以为直径作交于点E，过点E作，垂足为点F． （1）求证：为的切线． （2）若，，求的长． 26. 【感知】如图①，在中，点E为的中点，连接并延长的延长线于点F，求证：点D是的中点； 【应用】如图②，在四边形中，，，E是的中点，的延长线相交于点F，求的长． 【扩展】如图③，在中，点D是的中点， ，相交于点F，求的值． 27. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，， ，，，则菱形的边长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $