第二章第06讲 相交线与平行线单元提升卷-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

第06讲 相交线与平行线单元提升卷 （范围：全章，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则的余角是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，被直线所截，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．下列所示的四个图形中，和是同位角的是（    ） A．②④ B．①②④ C．①②③ D．①④ 4．如图，直线、相交于点O，，垂足为O，．则的度数为（   ）    A． B． C． D． 5．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 7．如图，三角形ABC中，，于点D，若，则点C到直线的距离是（   ） A． B．3 C．4 D．5 8．用尺规过的边上一点C（图①）作（图②）．作图步骤如下： ①作射线； ②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点N，M； ③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q； ④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P．下列排序正确的是（　　） A．④③②① B．④③①② C．②③④① D．②④③① 9．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则为（   ） A． B． C． D． 10．如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11．用剪刀剪东西时，剪刀张开的角度如图所示，若，则的度数为 ． 12．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，应在铁路上处建设才能使李庄到铁路的距离最短，这样做依据的数学道理是 ． 13．如图，于点O，直线经过点O，且，则的度数为 ． 14．如图，直线，点，位于直线上，点，位于直线上，且，如果的面积为，那么的面积为 ．    15．如图，，则结论：①；②；③；④中，正确的结论为 ．（填序号）． 16．如图，直线与相交于点O，，平分，，平分．若射线从射线的位置出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请写出旋转时间t的值为 秒．（旋转过程中，，都只考虑小于的角）    三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分. 17．如图，直线和直线被直线所截，，，那么与平行吗？请说明理由． 18．如图所示，是的平分线，是的平分线． (1)如果，与互余，求． (2)如果与互补，求． 19．如图，已知，． ‍ (1)与是什么关系？为什么？ (2)若要与相等，则与要满足什么关系？为什么？ 20．如图，把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变． (1)请指出的同位角的有哪些？ (2)若，测得，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯的的度数为多少？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 21．填空：如图，，，，求的度数． 解：∵， ∴________，（两直线平行，同位角相等）． 又∵， ∴（等量代换）， ∴（________）， ∴________（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴________． 22．用无刻度直尺在网格中画图（图中的点都在网格的格点上）： (1)过点画直线，使得且，标出点的位置（请用铅笔或黑色水笔加黑加粗）； (2)在直线上画出点，使最小． 23．如图，，与交于点P．    (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 25．已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 相交线与平行线单元提升卷 （范围：全章，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则的余角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角的单位与角度制、求一个角的余角 【分析】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键：如果两个角的和等于，则这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角． 根据余角的定义即可直接得出答案． 【详解】解：，则的余角是， 故选：D． 2．如图，直线，被直线所截，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用邻补角互补求角度、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查平行线的性质，由邻补角的性质求出，由平行线的性质推出．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．下列所示的四个图形中，和是同位角的是（    ） A．②④ B．①②④ C．①②③ D．①④ 【答案】B 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】此题在于考查同位角的概念，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，所以①②④符合要求．判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 【详解】解：图①、②、④中，与在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； 图③中，与的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：B． 4．如图，直线、相交于点O，，垂足为O，．则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解、利用邻补角互补求角度、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了垂直的定义，求一个角的邻补角，余角等知识点，根据邻补角求得，根据余角的定义即可求得的度数，熟练掌握其性质，数形结合是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 5．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 根据平行线的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】A．因为， 所以，不能判断，故本选项不符合题意； B．因为， 所以，能判断，故本选项符合题意； C．因为， 所以，不能判断，故本选项不符合题意； D．因为， 所以，不能判断，故本选项不符合题意． 故选：B． 6．如图，是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可，熟练掌握平行线的判定，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点，，在同一直线上， 故选：． 7．如图，三角形ABC中，，于点D，若，则点C到直线的距离是（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离:直线外一点到直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离， 根据定义可知点C到直线的距离即垂线段的长即可解答． 【详解】解：∵，， ∴点C到直线的距离是， 故选A． 8．用尺规过的边上一点C（图①）作（图②）．作图步骤如下： ①作射线； ②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点N，M； ③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q； ④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P．下列排序正确的是（　　） A．④③②① B．④③①② C．②③④① D．②④③① 【答案】D 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查的知识点是简单的尺规作图，直接根据利用尺规作图的方法，作一个角等于已知角的作图顺序即可得出正确的排列顺序．本题的解题关键是掌握“尺规作图：画一个角等于已知角” 【详解】解：正确的排序为：②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点N，M； ④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P； ③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q． ①作射线； 故选：D． 9．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行得到，进而求出的度数，求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出结果． 【详解】解：，都与地面l平行， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 10．如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，由平行得到，再根据余角的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与互余， 故②正确； ∵， ∴， ∵平分交于点E， ∴，， ∵， ∴与不一定相等，即不一定成立， 故③错误； ∵，，， ∴，即平分， 故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11．用剪刀剪东西时，剪刀张开的角度如图所示，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角，首先判断所求与的关系，然后利用对顶角的性质求解． 【详解】解：由图知：与是对顶角， 又， ∴， 故答案为：． 12．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，应在铁路上处建设才能使李庄到铁路的距离最短，这样做依据的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，进行作答即可． 【详解】解：这样做依据的数学道理是：垂线段最短； 故答案为：垂线段最短． 13．如图，于点O，直线经过点O，且，则的度数为 ． 【答案】/144度 【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查的是平角、垂线的定义，解题的关键是找到互余、互补的两个角．根据，得到，再由，结合，求出，最后根据平角的定义即可得到的度数． 【详解】解：， ，即， ， ， 直线经过点O， ， 故答案为：． 14．如图，直线，点，位于直线上，点，位于直线上，且，如果的面积为，那么的面积为 ．    【答案】20 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线间间距相等可得点C到与点B到的距离相等，设点C到与点B到的距离为h，则可得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴点C到与点B到的距离相等， 设点C到与点B到的距离为h， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为20， 故答案为：20． 15．如图，，则结论：①；②；③；④中，正确的结论为 ．（填序号）． 【答案】①②③ 【知识点】根据平行线判定与性质证明、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了垂直、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．根据平行线的判定可得，由此即可判断③正确；根据平行线的性质即可判断①正确；过点作，则，根据平行线的性质可得，再根据垂直的定义可得，，由此即可判断②正确；假设，则，再根据平行线的性质可得，从而可得，由此即可判断④错误． 【详解】解：∵， ∴，则结论③正确； ∴，则结论①正确； 如图，过点作， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，则结论②正确； 假设， ∵， ∴， ∴， 由①②可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，但根据已知条件不能得出， ∴假设不成立，即结论④错误； 综上，正确的结论为①②③， 故答案为：①②③． 16．如图，直线与相交于点O，，平分，，平分．若射线从射线的位置出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请写出旋转时间t的值为 秒．（旋转过程中，，都只考虑小于的角）    【答案】1或13或25 【知识点】与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】利用角平分线求出，，求出，，求出，由角平分线，求出，，再分平分，平分，平分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 分情况讨论： ①当平分时，    ∵， ∴，即：， ∴， ∴； ②平分时，    则：， ∴， ∴； ③当平分时：    则：， ∴， ∴点旋转的角度为：， ∴； 综上：的值为：1或13或25． 故答案为：1或13或25． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角的和差关系，是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分. 17．如图，直线和直线被直线所截，，，那么与平行吗？请说明理由． 【答案】平行，理由见解析． 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 由已知结合等式的性质，可得，根据同位角相等，两直线平行可得． 【详解】解：， 理由如下： （已知）， ， 即， （同位角相等，两直线平行）． 18．如图所示，是的平分线，是的平分线． (1)如果，与互余，求． (2)如果与互补，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差运算等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）由角平分线的定义可得， ，再由角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可解答； （2）由与互补，可得，结合角平分线的定义可得，进一步即可解答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∵与互余， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）解：∵与互补， ∴， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴ 19．如图，已知，． ‍ (1)与是什么关系？为什么？ (2)若要与相等，则与要满足什么关系？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角的概念．若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补．熟练掌握余角和补角的概念是解题的关键． （1）根据同角的余角相等解答即可； （2）根据同角的余角相等解答即可． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：，， ． 20．如图，把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变． (1)请指出的同位角的有哪些？ (2)若，测得，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯的的度数为多少？ 【答案】(1)， (2) 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了对同位角定义的应用，平行线的性质，主要考查学生的理解能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．平行线的性质：（1）两直线平行同位角相等；（2）两直线平行内错角相等；（3）两直线平行同旁内角互补． （1）根据同位角的定义（两条直线被第三条直线所截，处于两条直线的同旁，位于第三条直线的一侧的两个角叫同位角）逐个判断即可． （2）根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：与是同位角的有，； （2）解：∵， ． ∵， ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 21．填空：如图，，，，求的度数． 解：∵， ∴________，（两直线平行，同位角相等）． 又∵， ∴（等量代换）， ∴（________）， ∴________（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴________． 【答案】；内错角相等，两直线平行；；． 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由，得到，从而得到，则，即可求解，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；． 22．用无刻度直尺在网格中画图（图中的点都在网格的格点上）： (1)过点画直线，使得且，标出点的位置（请用铅笔或黑色水笔加黑加粗）； (2)在直线上画出点，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】垂线段最短、用直尺、三角板画平行线、画垂线 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，垂线段最短； （1）根据题意过点画直线，使得且，即可求解； （2）根据垂线段最短，找到的格点，连接，则交点为，则点即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； ∵ ∴当垂足时，最小， 23．如图，，与交于点P．    (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质得出，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据平行线的性质得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴．    五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)不改变，恒为，理由见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数；同理：当，用含的式子表示即可； （2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到进而得出，进而完成解答； （3）根据，得出，进而得，根据，进而求得的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴ ∴； 若， ∵，． ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：不变．恒为，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， 当时，则有， ∴， ∴， ∴． 25．已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)①或；②，，， 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、几何问题(一元一次方程的应用)、三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据题意可得，由平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，角的和差关系，可得的度数． （2）①根据题意分成在内部时，在外部时两种情况分别讨论，结合角平分线的定义，一元一次方程即可求解． ②当时，分成两种情况和当时，分成两种情况，共四种情况分别讨论，结合平行线的性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵，，三角板中含， ∴， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． （2）解：①若在内部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ； 若在外部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ， 综上，或． ②当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； 当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； ∴当边与三角板的一条直角边平行时，的值为，，，． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$