江苏省如皋中学2024-2025学年高三上学期综合练习（四）数学试题

江苏省如皋中学2024~2025学年度第一学期高三年级综合练习（四） 高三数学 一、单项选择题： 徐州 1.，的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2.已知，若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D．2 3. 已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是（ ） A. B. C. D. 4.若幂函数在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．1或 5.已知为等比数列且各项均不为0，向量，且，则（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 6.在中，，，点C在双曲线上，则（ ） A． B． C． D． 7.若为一组从小到大排列的数，，，，，的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（ ） A. B. C. D. 8.已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题： 9.以下列说法中正确的是（    ） A．回归直线至少经过点，，…，中的一个点. B．相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关越强. C．已知随机变量x服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则. D．设服从正态分布N（0，1），若，则. 10.已知双曲线：的实轴长是2，右焦点与抛物线：的焦点重合，双曲线与抛物线交于、两点，则下列结论正确的是（ ） A．双曲线的离心率为 B．抛物线的准线方程是 C．双曲线的渐近线方程为 D． 11.已知，直线，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题： 12.函数的最小正周期为________. 13.在，，三个地区爆发了甲型流感，这三个地区分别有%，%，%的人患了甲流.假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人，这个人患甲流的概率是________.(用分数作答) 14.在正项数列中，，，记.整数m满足，则数列的前m项和为 . 四、解答题： 15. 已知数列的前项和为. （1）求； （2）求. 16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为,． （1）求的值； （2）若，求． 17.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，点E是棱上的一点． (1)求证：平面平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 18.设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3. （1）求椭圆的方程； （2）求椭圆的外切矩形的面积的取值范围. 19. 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数． (1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）； (2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围； (3)求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省如皋中学2024~2025学年度第一学期高三年级综合练习（四） 数学解析 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1.【答案】A【详解】根据全称命题的否定知，任意变存在，范围不变，结论相反， 故，的否定为，，故选：A. 2.【答案】D【分析】先利用复数的乘法化简复数，再根据纯虚数的定义求解. 【详解】解：， 因为，且为纯虚数，所以，解得，故选：D 3. 【答案】B【解析】 【分析】利用扇形的面积公式，底面圆周长等于扇形弧长，即得解.【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则 ，解得.故选：B 4.【答案】A【分析】根据幂函数的概念和单调性可求出结果. 【详解】因为函数为幂函数，且在区间上单调递增， 所以且，由，得或， 当时，，满足题意；当时，足，不符合题意. 综上.故选：A. 5.已知为等比数列且各项均不为0，向量，且，则（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】C【分析】用坐标表示向量的垂直和平行，列式即可求解. 【详解】由得，（对于非零向量的充要条件为） 又为等比数列，所以，又， 得．由得，即，所以.故选：C． 6.【答案】C点分C在双曲线的右支和左支上，利用双曲线的定义结合正弦定理求解.【详解】当点C在双曲线的右支上， 所以上，由正弦定理得， 当点C在双曲线的左支上，所以上， 由正弦定理得，故选：C 7.【答案】B【解析】【分析】根据百分位数的定义可得，再写出二项式的通项，可得常数项.【详解】由，可知，所以二项式为， 其展开式的通项为， 令，即，所以常数项为，故选：B. 8.【答案】C【解析】 【分析】由两角和正切公式及条件求得，然后化切为弦，结合两角差的余弦公式求得，从而利用两角和余弦公式得，从而利用二倍角公式可求解.【详解】由题意可得， 因为，所以， 由，得， 故， 所以. 故选：C. 二、多项选择题： 9.【答案】BCD 【分析】根据回归直线性质可判断选项A，根据相关系数与相关性的强弱关系可判断选项B， 根据二项分布的特征可判断选项C，根据正态分布的性质可判断选项D. 【详解】对AB，回归直线一定经过样本中心点，而样本中心点并不一定是（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个点， 故A错 相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关越强，B正确； 对C，E（X）＝np，D（X）＝np（1－p），所以30×（1－p）＝20，则p＝，故C对； 对D，，故D对， 故选：BCD 10.【答案】BC 【解析】由双曲线：的实轴长为2，可得， 又由抛物线：的焦点重合，可得双曲线的右焦点为，即， 则，可知双曲线：， 所以双曲线的离心率为，抛物线的准线方程是， 双曲线的渐近线方程为，所以A不正确；B、C正确， 联立方程组 ，解得， 所以，所以D不正确．故选BC． 【点睛】本题考查了抛物线与双曲线的几何性质,属于中档题. 11.【答案】ABD【解析】，且， 所以，当且仅当时等号成立，故A正确； ，当且仅当时等号成立，，故B正确； ，故C错误； ，当且仅当，即时等号成立，故D正确．故选：ABD. 三、填空题： 12.函数的最小正周期为________3___. 13.在，，三个地区爆发了甲型流感，这三个地区分别有%，%，%的人患了甲流.假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人，这个人患甲流的概率是________.(用分数作答) 【答案】【解析】设为“从这三个地区中任意选取一个人，这个人患甲流”， 设为“从这三个地区中任意选取一个人，该人为地区的人”， 为“从这三个地区中任意选取一个人，该人为地区的人”， 为“从这三个地区中任意选取一个人，该人为地区的人”， 则，，. 设为“地区的人患甲流”，为“地区的人患甲流”，为“地区的人患甲流”， 则，，. 故 ，故答案为：. 14.在正项数列中，，，记.整数m满足，则数列的前m项和为 . 【答案】【分析】由递推公式得是等差数列，得的通项公式，由不等式得，用裂项相消法求的前120项和. 【详解】因为，，所以是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，又因为，所以， 所以， 因为，， 整数m满足，所以， 的前120项和为 . 故答案为：. 四、解答题： 15. 已知数列的前项和为. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】【分析】（1）由与的关系化简得为等差数列后求解， （2）由裂项相消法求解． 【小问1详解】 ，可得， 可得，即数列为首项为2，公差为2的等差数列， 可得，由，可得； 【小问2详解】 ， 即有 . 16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为,． （1）求的值；（6分） （2）若，求．（6分） 【答案】（1） （2） 【解析】【分析】(1)利用余弦定理角化边即可求解;(2)根据弦化切将原等式变为，角化边即可得到，再结合可得，，利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】因为,结合余弦定理，得， 即，所以． 【小问2详解】 由， 即，即 即，又，所以，， 所以. 17.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，点E是棱上的一点． (1)求证：平面平面；（6分） (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的值．（6分） 【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）记，利用图形性质先证，再证平面即可证面面垂直；（2）根据得出，建立合适的空间直角坐标系，根据空间向量研究线面角计算可得点E位置. 【详解】（1）连接，记，再连接，如图所示． 因为四边形是菱形，，，所以O是的中点，，，．在中，，O是的中点，，所以，，又，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面； （2）若，，，所以，所以． 以O为坐标原点OA，OB，OP，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．所以，，，，所以，，设平面PAD的一个法向量，所以令，解得，，所以平面的一个法向量． 设，所以，设直线BE与平面PAD所成角的大小为θ， 所以， 解得，所以． 18.设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3. （1）求椭圆的方程； （2）求椭圆的外切矩形的面积的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）根据题意求出，进而可求出结果； （2）当矩形的一组对边斜率不存在时，可求出矩形的面积；当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设出直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解. 【详解】解：（1）由题设条件可得，，解得， ∴，所以椭圆的方程为 （2）当矩形的一组对边斜率不存在时，得矩形的面积 当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为， 设直线的方程为，与椭圆联立可， 由，得 显然直线的直线方程为，直线，间的距离 ，同理可求得，间的距离为 所以四边形面积为 （等号当且仅当时成立）又， 故由以上可得外切矩形面积的取值范围是 19. 【详解】（1）平方关系：； 和角公式：； 导数：． 理由如下：平方关系， ； ， 和角公式： 故； 导数：，； （2）构造函数，，由（1）可知， i．当时，由可知， 故，故单调递增， 此时，故对任意，恒成立，满足题意； ii．当时，令，， 则，可知单调递增， 由与可知，存在唯一，使得， 故当时，，则在内单调递减， 故对任意，，即，矛盾； 综上所述，实数a的取值范围为． （3），， 令，则， 令，则， 当时，由（2）可知，，则， 令，则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 因为， 即为偶函数，故在内单调递减， 则，故当且仅当时，取得最小值0. 学科网（北京）股份有限公司 $$