精品解析：江苏省苏州市工业园区金鸡湖教育集团2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年江苏省苏州市工业园区金鸡湖教育集团八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共8小题，每题2分，共16分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 4. 在中，a、b、c分别是的对边，在下列条件中，不能确定的形状是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 6. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交边于D点．若，，则线段的长为（　　） A. 3 B. 5 C. D. 6 7. 在一次数学实践课上，老师拿出一张三角形纸片，他问学生：通过一次折叠，一定能折出三角形的中线、高线、角平分线中的哪些线？班里四个同学给出不同答案：小高说：高线和中线；小雪说：中线和角平分线；小琪说：高线和角平分线；小嘉说：高线、中线和角平分线都可以．他们答案正确的是（ ） A. 小高 B. 小雪 C. 小琪 D. 小嘉 8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作等边三角形，再把较小的两张等边三角形纸片按图的方式放置在最大等边三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　） A. 直角三角形的面积 B. 较小两个等边三角形重叠部分的面积 C. 最大等边三角形的面积 D. 最大等边三角形与直角三角形的面积和 二、填空题（共9小题，每题2分，共20分） 9. 要使得有意义，则的取值应满足________． 10. 魏晋时期，伟大的数学家刘徽通过“割圆术”得到圆周率的近似值为，则数据精确到百分位是______． 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 12. 下列五个数，，，，3.1415926中，是无理数的有 _____个． 13. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的两边长分别是3和9，则这的“优美比”为______________． 14. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是__________． 15. 如图， 的面积为，垂直的平分线于点P，则的面积为______． 16. 如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工.取，米，米，则，两点的距离是__________米. 17. 如图①，在中，，，点C沿折叠与上的点D重合，连接，可以探究得到：；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在中，，，若，点G是边上的动点，则的最小值为_____． 三、解答题（共8小题，共64分） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 已知是的算术平方根，的立方根是． （1）求，的值； （2）求的立方根． 21. 如图，方格中每个小正方形的边长都为1． （1）图①中正方形的面积为 ，边长为 ； （2）在图②的数轴上，用尺规准确地找出表示实数的点P的位置． 22. 如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 如图，P是等边三角形ABC内一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作，且，连接CQ． （1）求证：； （2）若，，，求PC长． 24. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 从而得到等式 化简便得结论 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者. 向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和 如图2放置，其三边长分别为a，b，c， 显然 （对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理 【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点， 可得， 则为 ， 边上的高为 ． （2）如图4， 在中， 是边上的高， 设 求x的值． 25. 如图，在中，，，P为线段上一点，点Q，P关于直线对称，于点D，与交于点E，连接，设， （1）若，求的长，并用含m的代数式表示的长； （2）在（1）的条件下，若，求m的值； （3）连接，若，与的面积之比为，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省苏州市工业园区金鸡湖教育集团八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共8小题，每题2分，共16分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个选项中，只有D选项中的图形是轴对称图形， 故选：D． 2. 下列二次根式中最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 3. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 4. 在中，a、b、c分别是的对边，在下列条件中，不能确定的形状是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，在三角形中若两较小的边的长的平方和等于较大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断B；根据三角形内角和是180度可判断C、D；由不能确定的形状是直角三角形，据此可判断A． 【详解】解：A、由不能确定的形状是直角三角形，故此选项符合题意； B、∵， ∴可设， ∴， ∴能确定的形状是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴能确定的形状是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，， ∴，∴能确定的形状是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 5. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 6. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交边于D点．若，，则线段的长为（　　） A. 3 B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，角平分线的性质，解题的关键是：利用基本作图得平分，过点作于，如图，根据角平分线的性质得到则，再利用勾股定理计算出，然后利用面积法得到，最后解方程即可． 【详解】解：由作法得平分， 过点作于，如图，则， 在中，， ， ， 即， ， ， 故选B． 7. 在一次数学实践课上，老师拿出一张三角形纸片，他问学生：通过一次折叠，一定能折出三角形的中线、高线、角平分线中的哪些线？班里四个同学给出不同答案：小高说：高线和中线；小雪说：中线和角平分线；小琪说：高线和角平分线；小嘉说：高线、中线和角平分线都可以．他们答案正确的是（ ） A. 小高 B. 小雪 C. 小琪 D. 小嘉 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形中的折叠问题，先折叠再根据三角形角平分线、中线、高线定义判断即可得到答案． 【详解】解：如图， 过折叠三角形纸片，使与重合，此时折痕即是过点的角平分线，经过了一次折叠； 先折出中点，再过中点和折叠三角形纸片，折痕即是过点的中线，经过了两次折叠； 过折叠三角形纸片，使在折痕两侧的部分在同一直线上，此时折痕即是过点的高线，经过了一次折叠； ∴通过一次折叠，一定能折出三角形的角平分线、高线，故小琪的说法正确， 故选：C． 8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作等边三角形，再把较小的两张等边三角形纸片按图的方式放置在最大等边三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　） A. 直角三角形的面积 B. 较小两个等边三角形重叠部分的面积 C. 最大等边三角形的面积 D. 最大等边三角形与直角三角形的面积和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 设三个正三角形面积分别为，，，，由勾股定理可得，由面积和差关系可求解． 【详解】设三个正三角形面积分别为，，，，两个小正三角形的重叠部分的面积为， ， ， 故答案为：B． 二、填空题（共9小题，每题2分，共20分） 9. 要使得有意义，则的取值应满足________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件．直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围． 【详解】解：由题意知，， 解得：， 故答案为：． 10. 魏晋时期，伟大的数学家刘徽通过“割圆术”得到圆周率的近似值为，则数据精确到百分位是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了近似数，“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式，熟练利用四舍五入求近似数是解决问题的关键． 【详解】解：精确到百分位是， 故答案为：． 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，如果两个最简二次根式的被开方数相同，那么这两个二次根式是同类二次根式，据此可得，解之即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：3． 12. 下列五个数，，，，3.1415926中，是无理数的有 _____个． 【答案】2 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可． 【详解】解：，，3.1415926是有理数， 无理数有，，共有2个． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 13. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的两边长分别是3和9，则这的“优美比”为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，先根据三边关系确定等腰三角形的底和腰，再根据“优美比”的定义，求解即可． 【详解】解：∵等腰的两边长分别是3和9， 当腰长为3时，，不能组成三角形，不符合题意， ∴腰长为9，底边为3， ∴； 故答案为：． 14. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是__________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用三角形的外角及等腰三角形的性质表示出，求得的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由三角形的外角定理得，， ， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图， 的面积为，垂直的平分线于点P，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式等知识．延长交于点，根据角平分线和垂线的定义，易证，得到，，进而得到，即可求出的面积． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 和等底同高， ， ， 的面积为， ， 故答案为：． 16. 如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工.取，米，米，则，两点的距离是__________米. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是准确作出辅助线．过点作于点，先求出，再求出的长度，最后根据勾股定理分别求出，即可求解． 【详解】如图所示：过点作于点，则， ， ， ∵米， 米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴米． 故答案为：． 17. 如图①，在中，，，点C沿折叠与上的点D重合，连接，可以探究得到：；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在中，，，若，点G是边上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质和等腰三角形的性质可得，有，即；作P点关于的对称点，作交于N点，交于点，连接，得出，得出此时的最小值为的长，求出的长即为解答． 【详解】解：如图：关于的对称点，作交于N点，交于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴，此时的最小值为的长， ∵， 在中，， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠变换、勾股定理、含30°角的直角三角形、轴对称−路线最短问题等知识点，正确作出辅助线构造轴对称−路线最短问题的基本图形求最短距离是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共64分） 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平方根和求立方根解方程： （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用零指数幂、负整数指数幂和算术平方根的定义计算即可求解； （）利用二次根式的性质、运算法则进行计算即可求解； 本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握实数和二次根式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， ． 20. 已知是的算术平方根，的立方根是． （1）求，的值； （2）求的立方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义； （1）根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义求出，即可解答； （2）将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【小问1详解】 解：是的算术平方根， ， 解得：， 的立方根是， ∴，即 解得：； 【小问2详解】 ，， ， 的立方根是． 21. 如图，方格中每个小正方形的边长都为1． （1）图①中正方形的面积为 ，边长为 ； （2）在图②的数轴上，用尺规准确地找出表示实数的点P的位置． 【答案】（1）17， （2） 点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，实数与数轴以及尺规作图: （1）由勾股定理可求正方形的边长，即可求正方形的面积； （2）连接，由勾股定理求出，再以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点P，即可得解． 【小问1详解】 解：由勾股定理得：， ∴正方形的面积为， 故答案为：17，； 【小问2详解】 解：如图②，连接， 由勾股定理得：， 以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点P， 点P即为所求． 22. 如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平根线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，然后利用等边对等角求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ ∵ ∴． 23. 如图，P是等边三角形ABC内一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作，且，连接CQ． （1）求证：； （2）若，，，求PC长． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴， ∴． 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】(1)先证明，即可证明△，根据全等三角形的性质，即可得证； (2)连接，证明，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，如图所示． ∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴．，， 在中，，，， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质与勾股定理，灵活应用勾股定理是解题的关键． 24. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 从而得到等式 化简便得结论 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者. 向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和 如图2放置，其三边长分别为a，b，c， 显然 （对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理 【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点， 可得， 则为 ， 边上的高为 ． （2）如图4， 在中， 是边上的高， 设 求x的值． 【答案】（1） 证明： ，，，， ， ， ； （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出 的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设边上的高为， 则， ， ， ， 即边上的高是， 故答案为：； 【小问3详解】 )在中，由勾股定理得 ， ， 在中，由勾股定理得， ， ． 【点睛】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 25. 如图，在中，，，P为线段上一点，点Q，P关于直线对称，于点D，与交于点E，连接，设， （1）若，求的长，并用含m的代数式表示的长； （2）在（1）的条件下，若，求m的值； （3）连接，若，与的面积之比为，求m的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理先求解，可得，结合P，Q关于对称，从而可得答案； （2）通过和，可得，进而即可列方程求解； （3）先证明，设，，求解，可得，，求解，，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， ∵P，Q关于对称， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵S△PDE＝3S△PEC， ∴， ∴， 设，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，化为最简二次根式，掌握直角三角形，角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $