精品解析：四川省广元市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

广元市2024年秋季普通高中一年级期末教学质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟，试卷总分：150分） 注意事项： 1、本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 我们可以把看作每天的“进步”率都是，一年后是，而把看作每天的“落后”率都是，一年后是若大约经过n天后“进步”的是“落后”的100倍，则（ ）（参考数据：） A. 231 B. 243 C. 250 D. 266 6. 已知角的终边经过点，则（ ） A. 8 B. C. D. 7. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ） A. 16 B. 25 C. 36 D. 49 8. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得都分分，有选错的得0分. 9. 对于实数，下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 以下命题正确的是（ ） A. 已知幂函数在区间上单调递增，则 B. 若函数在区间内单调，则实数a的取值范围是 C. 若的解集为，则 D. 若函数，则对，不等式恒成立 11. 若函数的零点为，函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________． 13. 如图，在中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则____. 14. 已知，若，使得，则实数m的最大值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或． （1）当时，求和； （2）若，且，求实数a的取值范围． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 17. “金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为万元．若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元． （1）写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到万元以上； （2）该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（） 18. 函数为奇函数． （1）求a的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）解关于x的不等式： 19. 设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“T区间”． 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有． （1）分别判断区间是否为下列两函数的“T区间”； ①； ②； （2）若是函数的“T区间”，求m的取值范围； （3）已知定义在R上且图象连续不断的函数满足：对， ，有．求证：存在“T区间”，且使得不属于的所有“T区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广元市2024年秋季普通高中一年级期末教学质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟，试卷总分：150分） 注意事项： 1、本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再利用集合的运算即可求出结果. 【详解】因为集合，， 所以，则． 故选：D． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】“”的否定是“”. 故选：B 3. “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，；反之当时，或， 因此“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分段函数的单调性列式求解即得. 【详解】由函数在R上单调递增， 得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 5. 我们可以把看作每天的“进步”率都是，一年后是，而把看作每天的“落后”率都是，一年后是若大约经过n天后“进步”的是“落后”的100倍，则（ ）（参考数据：） A. 231 B. 243 C. 250 D. 266 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，列式再利用对数运算计算得解. 【详解】依题意，，两边取常用对数得， 所以. 故选：C 6. 已知角的终边经过点，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数定义得到正弦和余弦值，利用诱导公式化简，代入求值. 【详解】角的终边经过点，故，， 所以. 故选：A 7. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ） A. 16 B. 25 C. 36 D. 49 【答案】B 【解析】 【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答. 【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立， 又，即， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为25. 故选：B 8. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目条件得到，的一个周期为4，从而. 【详解】为奇函数，故， 又为偶函数，故， 中，令代替得， 结合得， 即，又， 故，的一个周期为4， 所以， 又时，． 故. 故选：D 【点睛】设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； （8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得都分分，有选错的得0分. 9. 对于实数，下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，利用特殊值判断C. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，当时，由可得， 当时，由可得， 综上可得若，则，故B正确； 对于C：当，，满足，但是，故C错误； 对于D：因为，，即， ，即， ，，，故D正确． 故选：ABD 10. 以下命题正确的是（ ） A. 已知幂函数在区间上单调递增，则 B. 若函数在区间内单调，则实数a的取值范围是 C. 若的解集为，则 D. 若函数，则对，不等式恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用函数为幂函数，得到方程，结合函数的单调性得到A正确；B选项，根据二次函数对称轴得到不等式，求出答案；C选项，转化为为方程的两个根，由韦达定理得到答案；D选项，作差法比较出大小. 【详解】A选项，由于为幂函数，故， 解得或， 当时，在区间上单调递增，满足要求， 当时，在区间上单调递减，不合要求， 故，A正确； B选项，函数的对称轴为， 在区间内单调，故或， 则实数a的取值范围是或，B错误； C选项，由题意得为方程的两个根， 故，解得，C正确； D选项， ，当且仅当时，等号成立， 故，D正确. 故选：ACD 11. 若函数的零点为，函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】AB选项，转化为图象交点横坐标问题，数形结合得到，，，故A错误，B正确；C选项，数形结合得到，C正确；D选项，在C基础上，由同角三角函数关系得到D正确. 【详解】AB选项，分别令得，， 所以函数的零点等价于与图象交点的横坐标， 函数的零点等价于与图象交点的横坐标， 其中，， 作出函数，和在上的图象，如图所示， 因为函数与在上的图象关于对称， 在上单调递减， 所以，，， 所以，故A错误，B正确； C选项，由图象可知，，故，C正确； D选项，由C知，，且，， 所以，即， 故，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：函数零点问题可以转化为两函数图象交点问题，数形结合进行求解，得到，，，进而判断出结论. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________． 【答案】18 【解析】 【分析】利用指数运算及指数式与对数式的互化关系计算得解. 【详解】. 故答案为：18 13. 如图，在中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用扇形半径表示直角三角形和扇形的面积，利用面积间的关系，列式求解. 【详解】设扇形的半径为r，则扇形的面积为， 在中， 则的面积为， 由题意得 所以，所以. 故答案为： 14. 已知，若，使得，则实数m的最大值是________． 【答案】0 【解析】 【分析】利用单调性求出函数在上的最小值，再利用不等式在上有解求出范围即可. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 于是，由，使得， 得，不等式成立，即，， 而函数在上单调递减，当时，，因此， 所以实数m的最大值是0. 故答案为：0 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或． （1）当时，求和； （2）若，且，求实数a的取值范围． 【答案】（1），或； （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集和并集概念求出答案； （2）先得到，，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 时，，又或， 故或， 或或； 【小问2详解】 ，故， ， 当时，，解得，与矛盾，舍去， 当时，，解得， 综上，实数a的取值范围为. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 【答案】（1）最小正周期为，递减区间为，； （2）最小值为，此时；最大值为1，此时. 【解析】 【分析】（1）先根据求出最小正周期，并整体法求出函数的单调递减区间； （2）先得到，从而得到函数的最值及此时x的值. 【小问1详解】 的最小正周期， 令，，解得，， 故的单调递减区间为，； 【小问2详解】 时，， 故当，即时，取得最小值， 最小值为， 当，即时，取得最大值， 最大值为， 所以在区间上的最小值为，此时； 最大值为1，此时. 17. “金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为万元．若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元． （1）写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到万元以上； （2）该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（） 【答案】（1），使用年后，盈利总额开始达到万元以上 （2）使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元. 【解析】 【分析】（1）先求得与之间的函数关系式，由此列不等式来求得正确答案. （2）先求得平均盈利额的表达式，然后利用基本不等式来求得最大值以及此时对应的的值. 【小问1详解】 依题意，， 由，得， 即，解得， 所以使用年后，盈利总额开始达到万元以上. 【小问2详解】 平均盈利额， 当且仅当时等号成立， 所以使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元. 18. 函数为奇函数． （1）求a的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）解关于x的不等式： 【答案】（1）1； （2）单调递增，证明见解析； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求出值； （2）借助指数函数单调性判断单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）由（2）脱去法则“f”，再解含参数的一元二次不等式. 【小问1详解】 函数的定义域为R，由为奇函数，得， 即，则， 所以a的值为1. 【小问2详解】 由（1）知，，函数在R上单调递增， ，， 由，得，则， 因此，即， 所以函数在R上单调递增. 【小问3详解】 由（1）知，，不等式， 则， 当时，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 若，解得或； 若，解得； 若，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“T区间”． 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有． （1）分别判断区间是否为下列两函数的“T区间”； ①； ②； （2）若是函数的“T区间”，求m的取值范围； （3）已知定义在R上且图象连续不断的函数满足：对， ，有．求证：存在“T区间”，且使得不属于的所有“T区间”． 【答案】（1）为的一个“T区间”，不是的一个“T区间”； （2） （3）对于任意的区间，，记， 由题意，，故在上单调递减， 故， 因为，所以，， 即的长度大于的长度，不满足性质1， 因此，如果为的“T区间”，需满足性质2，即， 即只需存在使得，或存在使得， 因为显然不恒成立，所以存在常数，使得， 若，取，区间，满足性质2， 若，取，区间满足性质2， 综上，一定存在“T区间”， 记，则的图象在R上连续不断，下证有零点， 因为在R上为减函数，所以在R上为减函数，记， 若，则为的零点， 若，则，即，， 由零点存在性定理，可知存在，使得， 若，则，即，， 由零点存在性定理，可知存在，使得， 综上，有零点， 因为的所有“T区间”都满足性质2，故， 故使得不属于的所有“T区间”． 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性求出相应的值域，得到，满足性质1，不满足性质1，也不满足性质2，得到答案； （2）分，两种情况，结合函数单调性求出函数值域，从而得到不等式，求出m的取值范围； （3）记，由单调性得到，变形得到，即的长度大于的长度，不满足性质1，因此需满足性质2，即，即只需存在使得，或存在使得，因为显然不恒成立，所以存在常数，使得，一定存在“T区间”，记，结合零点存在性定理得到有零点，故使得不属于的所有“T区间”． 【小问1详解】 时，，满足性质1， 故为的一个“T区间”； 由对勾函数性质得在上单调递增， 且时，，当时，， 故的值域为， 由于与的交集为，不满足性质1，也不满足性质2， 故不是的一个“T区间”； 【小问2详解】 若，在上单调递增， 又，故， 由题意得，即，解得或， 与取交集，得到， 若，在上单调递减，在上单调递增， 故， 其中， 若，即，与取交集得， 此时，故，满足要求， 若，即或，与取交集得， 此时，故， 由于，，显然不能满足性质1和性质2， 所以不合要求，舍去， 综上，； 【小问3详解】 略 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $