精品解析： 广东省茂名市高州市2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省茂名市高州市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A 2 B. C. D. 2. 在中，已知，，则度数为（　　） A. B. C. D. 3. 根据下列表述，不能确定位置的是（　　） A. 北纬，东经 B. 教学楼三楼 C. 北偏东，20千米处 D. 5行3列 4. 如图，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知，以下对的估算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，由一个直角三角形和三个正方形组成，则图中字母A所表示的正方形的面积为（　　） A. 36 B. 4 C. 64 D. 8 8. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. “双减”政策落地，各地学校为了提升学生核心素养，把学生的综合评价分为学习、体育和艺术三部分，学习成绩、体育成绩与艺术成绩按计入综合评价．若珊珊学习成绩为分，体育成绩为分，艺术成绩为分，则他的综合评价得分为（　　） A. B. C. D. 10. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 化简：______． 12. 正比例函数y＝kx经过点（1，3），则k＝_____． 13. 长方形的长为，宽为，则长方形的面积为 _________________． 14. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则m的值为 _____． 15. 如图，直线与直线相交于点P，则方程组的解是 ____________________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 计算 （1）； （2）解方程组：． 17. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求两点的坐标； （2）求的面积． 18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标________； （2）在轴上找点，使得最小，并在轴上标出点的位置，直接写出点的坐标________． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 为了巩固我市创建“国家卫生城市”成果，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选名同学参加比赛，成绩分为A、B、C、D四个等级，对应的分数依次为分、分、分、分．学校将八年级的一班和二班的成绩整理并绘制如图的统计图： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 a b 二班 c （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整； （2）根据下表填空： ； ； ； （3）请从平均数和中位数或众数中任选两个对这次竞赛成绩的结果进行分析． 20. 如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件： ①；②；③；④.请你从中选三个作为题设，余下一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明. 解：我写的真命题是： 已知：____________________________________________； 求证：___________（注：不能只填序号） 证明如下： 21. 已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货7吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货8吨．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）某物流公司现有20吨货物要运输，计划同时租用A型车和B型车若干辆，一次运完，且恰好每辆车都满载货物，则物流公司有哪几种租车方案？请计算说理． （3）在（2）条件下，若A型车每辆租金100元/次，B型车每辆租金120元/次．请你帮该物流公司设计最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分 22. （1）如图1，在Rt△ABC 中，，D、E是斜边BC上两动点，且∠DAE=45°，将△绕点逆时针旋转90后，得到△，连接. （1）试说明：△≌△； （2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF的度数和DE的长；　 （3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE2的长. 23. 综合与实践 【问题情景】 某移动通讯公司有A、B两种手机收费方案供用户选择．A类收费方案是不管每月通话时长如何，每部手机每月先缴纳固定的基础费用，再按实际通话时间每分钟收取一定费用；B类收费方案则是按照通话时长分段进行收费，各有不同的单价．收费细则如下表： A B 每月基本服务费（元） 20 40 免费通话时间（） 0 150 通话每分钟收费（元） 0.2 0.3 备注 B类收费：当通话时长小于等于时每月费用固定40元；当通话时长超过时，超出部分每分钟加收0.3元． 【问题解决】 （1）分别写出A类、B类收费方案下每月应缴费用y（元）与通话时间之间的函数关系式，并在同一坐标系中画出它们大致的函数图象． （2）若某手机用户预计自己这个月通话时间为，分别计算按照A、B两种收费方案他应缴费多少元？通过比较，你建议他选择哪种收费方案更划算呢？ （3）小明也喜欢该公司的收费方案，请你结合第（1）小问的函数图象，给小明一个实惠的选择方案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年广东省茂名市高州市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，是无理数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，…（每两个8之间依次多1个0）等形式．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：A、2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意 B、分数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意； D、是无理数，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 在中，已知，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理； 根据三角形的内角和定理进行计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 3. 根据下列表述，不能确定位置的是（　　） A. 北纬，东经 B. 教学楼三楼 C. 北偏东，20千米处 D. 5行3列 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平面内确定点的位置的方法，牢记在平面内，一对有序实数确定一个点的位置是解题的关键．在平面内，要确定一个点的位置，必须是一对有序实数，对各选项进行逐一排除即可． 【详解】解：在平面内，一对有序实数确定一个点的位置，显然选项B中，不是有序实数对，故不能确定其位置． 故选：B． 4. 如图，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 根据平行线的性质定理判断求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故A、B、D不符合题意，C符合题意； 故选：C． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算及乘除运算，分别利用二次根式加减运算法则以及乘除运算法则化简判断得出即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、无法计算，故此选项错误，故不符合题意； B、，故此选项错误，故不符合题意； C、，故此选项正确，故符合题意； D、，故此选项错误，故不符合题意； 故选：C． 6. 已知，以下对的估算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握用放缩法估计无理数大小是解本题的关键．根据，即可得出． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：C． 7. 如图，由一个直角三角形和三个正方形组成，则图中字母A所表示的正方形的面积为（　　） A. 36 B. 4 C. 64 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理可得出的值即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，字母A所表示的正方形的面积为，， ∴， 故选：A． 8. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，解一元一次不等式的方法，掌握二次根式中被开方数为非负数时解题的关键． 根据二次根式被开方数为非负数即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：． 9. “双减”政策落地，各地学校为了提升学生核心素养，把学生的综合评价分为学习、体育和艺术三部分，学习成绩、体育成绩与艺术成绩按计入综合评价．若珊珊学习成绩为分，体育成绩为分，艺术成绩为分，则他的综合评价得分为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，根据加权平均数的定义列式计算可得答案． 【详解】解：根据题意，他的综合评价得分为（分）． 故选：D 10. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：设苦果有个，甜果有个，由题意可得， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的有关知识，正确找到相等关系是解决本题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟知是解题关键，据此进行化简即可求解 【详解】解：． 故答案为： 12. 正比例函数y＝kx经过点（1，3），则k＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】将点（1，3）代入解析式即可求解． 【详解】∵正比例函数y＝kx经过点（1，3）， ∴k＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 13. 长方形的长为，宽为，则长方形的面积为 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键明确长方形的面积长宽．根据长方形的面积长宽，代入数据计算即可． 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积为， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则m值为 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，列式计算即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，解得：． 故答案为：4． 15. 如图，直线与直线相交于点P，则方程组的解是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，由两个一次函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 方程组的解为P点的横纵坐标． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴方程组的解是． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 计算 （1）； （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答； （2）利用加减消元法进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 17. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求两点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是关键． （1）根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可； （2）由两点的坐标可知，，代入三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：在直线中，当时，；当时，， ∴，． 【小问2详解】 解：由两点的坐标可知，， ∴． 18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标________； （2）在轴上找点，使得最小，并在轴上标出点的位置，直接写出点的坐标________． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析； 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，写出点的坐标，根据轴对称的性质求线段和的最值问题； （1）根据轴对称的性质找到的对应点，，然后顺次连接，根据坐标系写出点的坐标； （2）连接交轴于点，则点即为所求，根据坐标系写出点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求， 故答案为：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 为了巩固我市创建“国家卫生城市”成果，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选名同学参加比赛，成绩分为A、B、C、D四个等级，对应的分数依次为分、分、分、分．学校将八年级的一班和二班的成绩整理并绘制如图的统计图： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 a b 二班 c （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整； （2）根据下表填空： ； ； ； （3）请从平均数和中位数或众数中任选两个对这次竞赛成绩的结果进行分析． 【答案】（1）见解析 （2） （3）一班与二班竞赛成绩的平均数相同，但是二班众数为分，一班众数为分，则二班成绩较好 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据总人数为人，求出等级C的人数，补全条形统计图即可； （2）求出一班竞赛成绩的中位数与众数得到a与b的值，求出二班竞赛成绩的众数得到c的值即可； （3）选择中位数或众数比较即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：一班竞赛成绩C级的人数为：（人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：∵一班竞赛成绩中最中间的两个数据为 ∴竞赛成绩的中位数为分，即， ∵一班竞赛成绩中分出现的次数最多， ∴竞赛成绩的众数为分，即， ∵二班竞赛成绩中分出现的次数最多， ∴二班竞赛成绩众数为分，即． 故答案为： 【小问3详解】 解：一班与二班竞赛成绩的平均数相同，但是二班众数为分，一班众数为分， 则二班成绩较好． 20. 如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件： ①；②；③；④.请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明. 解：我写的真命题是： 已知：____________________________________________； 求证：___________（注：不能只填序号） 证明如下： 【答案】已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：AB∥DE.证明见解析.或已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．求证：AC=DF．证明见解析. 【解析】 【分析】由BE=CF⇒BC=EF，所以，由①②④，可用SSS⇒△ABC≌△DEF⇒∠ABC=∠DEF⇒ AB∥DE；由①③④，可用SAS⇒△ABC≌△DEF⇒AC=DF；由于不存在ASS的证明全等三角形的方法，故由其它三个条件不能得到1或4． 【详解】解：将①②④作为题设，③作为结论，可写出一个正确的命题，如下： 已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF． 求证：AB∥DE． 证明：在△ABC和△DEF中， ∵BE=CF， ∴BC=EF. 又∵AB=DE，AC=DF， ∴△ABC≌△DEF（SSS） ∴∠ABC=∠DEF． ∴ AB∥DE. 将①③④作为题设，②作为结论，可写出一个正确的命题，如下： 已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AB∥DE，BE=CF． 求证：AC=DF． 证明：∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF. 在△ABC和△DEF中 ∵BE=CF，∴BC=EF. 又∵AB=DE，∠ABC=∠DEF， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴AC=DF． 【点睛】本题考查命题与定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 21. 已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货7吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货8吨．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）某物流公司现有20吨货物要运输，计划同时租用A型车和B型车若干辆，一次运完，且恰好每辆车都满载货物，则物流公司有哪几种租车方案？请计算说理． （3）在（2）的条件下，若A型车每辆租金100元/次，B型车每辆租金120元/次．请你帮该物流公司设计最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】（1）1辆A型车载满货物一次可运货2吨，1辆B型车载满货物一次可运货3吨 （2）有3种租车方案，见解析 （3）租用A型车1辆，租用B型车6辆最省钱，最少租车费为820元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程和方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）分别设1辆A型车、1辆B型车载满货物一次运货量为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设租用A型车m辆，租用B型车n辆，根据题意列关于m和n的二元一次方程并求其正整数解即可； （3）写出租车费用关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的可能取值，确定当m取何值时租车费用最少，求出其最小值即可． 【小问1详解】 解：设1辆A型车载满货物一次可运货a吨，1辆B型车载满货物一次可运货b吨． 根据题意，得， 解得． 答：1辆A型车载满货物一次可运货2吨，1辆B型车载满货物一次可运货3吨． 【小问2详解】 解：有3种租车方案，分别是：租用A型车1辆，租用B型车6辆；租用A型车4辆，租用B型车4辆；租用A型车7辆，租用B型车2辆．理由如下： 设租用A型车m辆，租用B型车n辆． ， ∴n=， ∵m和n均为正整数， ∴或或， ∴有3种租车方案，分别是： 租用A型车1辆，租用B型车6辆； 租用A型车4辆，租用B型车4辆； 租用A型车7辆，租用B型车2辆． 【小问3详解】 解：设租车费为W元，则， ， ∴W随m的减小而减小， ∵或4或7， ∴当时，W值最小，． 答：租用A型车1辆，租用B型车6辆最省钱，最少租车费为820元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分 22. （1）如图1，在Rt△ABC 中，，D、E是斜边BC上两动点，且∠DAE=45°，将△绕点逆时针旋转90后，得到△，连接. （1）试说明：△≌△； （2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF的度数和DE的长；　 （3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE2的长. 【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130 【解析】 【分析】由 得到 因为所以，可得，即， 从而得到 由△得到，再证明利用勾股定理即可得出结论. 过点作于,根据等腰三角形三线合一得， 或求出的长，即可求得. 【详解】 即 在和中， 设 解得： 故 过点作于,根据等腰三角形三线合一得， 或 或 或 23. 综合与实践 【问题情景】 某移动通讯公司有A、B两种手机收费方案供用户选择．A类收费方案是不管每月通话时长如何，每部手机每月先缴纳固定的基础费用，再按实际通话时间每分钟收取一定费用；B类收费方案则是按照通话时长分段进行收费，各有不同的单价．收费细则如下表： A B 每月基本服务费（元） 20 40 免费通话时间（） 0 150 通话每分钟收费（元） 0.2 0.3 备注 B类收费：当通话时长小于等于时每月费用固定40元；当通话时长超过时，超出部分每分钟加收0.3元． 【问题解决】 （1）分别写出A类、B类收费方案下每月应缴费用y（元）与通话时间之间的函数关系式，并在同一坐标系中画出它们大致的函数图象． （2）若某手机用户预计自己这个月通话时间为，分别计算按照A、B两种收费方案他应缴费多少元？通过比较，你建议他选择哪种收费方案更划算呢？ （3）小明也喜欢该公司的收费方案，请你结合第（1）小问的函数图象，给小明一个实惠的选择方案． 【答案】（1）A类：；B类；图见解析 （2）A类：60；B类：55；B类收费方案更划算 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用．根据题意，得到两种付费方式的关系式是解决本题的关键。 （1）A类收费方案下每月应缴费用每月基本费用通话时间；当时，B类收费方案下每月应缴费用，当时，B类收费方案下每月应缴费用超过150分钟的时间，进而根据取值范围和交点画出相关图形即可； （2）取，代入1中得到的函数解析式，求得对应的y的值，比较即可； （3）结合函数图象分别得到两种方式付费相同，A种付费方式合算，B种付费方式合算三种情况下相对应的通话时间即可． 【小问1详解】 解：A类收费方案下每月应缴费用：； B类收费方案下每月应缴费用： 当时，； 当时，； 【小问2详解】 解：当时，A类收费方案下每月应缴费用：； B类收费方案下每月应缴费用：， ∵， ∴B类收费方案更划算； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， 由函数图象可得：当通话时间为100分和250分时，两种方式付费相同； 当通话时间小于100分或超过250分时，A类收费方式合算； 当通话时间超过100分小于250分时，B类收费方式合算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$