精品解析：广东省茂名市化州市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期期中学科素养测评 九年级数学试卷 注意事项： （1）本试题从1至4页共4页 （2）考试时间共120分钟，满分为120分 （3）全部答案必须在答题卡上完成，在本试题上作答无效 （4）答题卡必须保持整洁，考试结束后，只将答题卡交回 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出四个选项中，其中只有一个是正确的，把选出的答案填涂在答题卡上） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 2. 一元二次方程的两根分别为（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 下列说法中，不正确的是（ ） A. “a是实数，”是必然事件 B. 任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次 C. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率 D. 不可能事件发生的概率为0 4. 已知关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 5. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是（ ） A. 四边形由矩形变为平行四边形 B. 对角线的长度变大 C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变 6. 小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（ ） A. 5 B. 6 C. 3 D. 4 8. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 4.8 D. 5 9. 在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在，，三个区域中的豆子数的比．多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在中”记作事件，估计的概率（W）的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（　　） A. B. 50 C. D. 25 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将下列各题的正确答案写在答题卡相应的位置上） 11. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 12. 一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则袋中红色幸运星颗数约为_____颗． 13. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则__________． 14. 菱形的对角线，，则的长为________． 15. 如图，四边形、均为正方形，其中正方形面积为，若图中阴影部分面积为，则正方形面积为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，满分21分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. 解方程：x2+4x﹣1=0． 17. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．张琪和李荷是电竞游戏的爱好者，她们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为、、、四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域． （1）张琪购买门票在区观赛的概率为___________； （2）求张琪和李荷在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 18. 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米．求截去正方形的边长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，满分27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为p和q，且满足，求m的值． 20. 为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次抽样调查的学生人数是__________人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）； （2）计划在，，，，五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中，这两项活动的概率． 21. 如图所示，点O是菱形对角线的交点，，连接，交于F． （1）求证：四边形是矩形 （2）如果设，求的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，满分27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 23. 如图，正方形，点分别在上，与相交于点O．记． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，边长，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中学科素养测评 九年级数学试卷 注意事项： （1）本试题从1至4页共4页 （2）考试时间共120分钟，满分为120分 （3）全部答案必须在答题卡上完成，在本试题上作答无效 （4）答题卡必须保持整洁，考试结束后，只将答题卡交回 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出四个选项中，其中只有一个是正确的，把选出的答案填涂在答题卡上） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键． 2. 一元二次方程的两根分别为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程判断即可； 【详解】解：x2=2x，x2-2x=0，x（x-2）=0，解得：x=0或x=2， 故选： D． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程：将方程的右边化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 3. 下列说法中，不正确的是（ ） A. “a是实数，”是必然事件 B. 任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次 C. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率 D. 不可能事件发生的概率为0 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件的分类，发生可能性的大小，利用频率估计概率，以及概率的公式分别判断． 【详解】解：A．“a是实数，|a|≥0”是必然事件，题干正确，故该项不符合题意； B．任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数不一定是50次，题干错误，故该项符合题意； C．通过大量重复试验，可以用频率估计概率，题干正确，故该项不符合题意； D．不可能事件发生的概率为0，题干正确，故该项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了事件的分类，发生可能性的大小，利用频率估计概率，以及概率的公式，熟练掌握教材中各部分的知识是解题的关键． 4. 已知关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可． 【详解】解：由题意，， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键． 5. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是（ ） A. 四边形由矩形变为平行四边形 B. 对角线的长度变大 C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、四边形的不稳定性，弄清图形变化前后的变量和不变量是解答此题的关键．根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可． 【详解】解：A、因为矩形框架向右扭动，，，但不再为直角，所以四边形变成平行四边形，故A正确，不符合题意； B、向右扭动框架，的长度变大，故B正确，不符合题意； C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C错误，符合题意； D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，不符合题意， 故选：C． 6. 小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出树状图，共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有l种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：设自主阅读、体育活动、科普活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种， 小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为， 故选：． 【点睛】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，画出树状图表示所有等可能的情况是解题的关键． 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（ ） A. 5 B. 6 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答的关键．根据题意，由且求得m的取值范围，进而可得结果． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， ∴的最大整数值是4， 故选：D． 8. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 4.8 D. 5 【答案】C 【解析】 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键； 根据菱形的性质得出、的长，在求出，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， 在中 ∵， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 9. 在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在，，三个区域中的豆子数的比．多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在中”记作事件，估计的概率（W）的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何概率及频率估计概率，根据落在三个区域的豆子数比等于各部分面积比，用各个区域面积比估计概率计算即可． 【详解】解：落在，，三个区域中的豆子数的比等于，，的面积比． “豆子落在中”记作事件，估计的概率（W）的值， 故选：A． 10. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（　　） A. B. 50 C. D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知，过点作，交的延长线于点，根据等边三角形的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再根据的面积求解即可． 【详解】解：图1连接， 菱形中，， ， 是等边三角形， 对角线， ， ， 图3过点作，交的延长线于点， 是等边三角形， ， ， ， 的面积， 故选：D 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将下列各题的正确答案写在答题卡相应的位置上） 11. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 【答案】１ 【解析】 【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 12. 一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则袋中红色幸运星颗数约为_____颗． 【答案】35 【解析】 【分析】设袋中红色幸运星有颗，根据“摸取到红色幸运星的概率稳定在0.5左右”列出关于的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数． 【详解】设袋中红色幸运星有颗， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 故答案为：35． 【点睛】本题主要考查了已知概率求相关数量，正确列出方程是解题的关键． 13. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】解题考查一元二次方程根的定义（使方程左右两边相等的未知数的值），解题的关键是根据一元二次方程根的定义得，即可得解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 菱形的对角线，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键．利用菱形的面积公式求出，利用菱形的性质得到， ，，，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图， ， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，四边形、均为正方形，其中正方形面积为，若图中阴影部分面积为，则正方形面积为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法与图形面积，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积以及用平方差公式求解．根据正方形面积为，得出正方形边长为，将阴影部分面积根据三角形面积公式表示出来可得，即可求解． 【详解】解：∵正方形面积为， ∴正方形边长为， 设正方形边长为x，则， ∴，， ∵阴影部分面积为， ∴， 整理得：， ∴，解得：， ∴正方形面积为． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，满分21分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. 解方程：x2+4x﹣1=0． 【答案】x1=﹣2+，x2=﹣2﹣． 【解析】 【分析】方程变形后，利用配方法求出解即可． 【详解】方程变形得：x2+4x=1， 配方得：x2+4x+4=5，即（x+2）2=5， 开方得：x+2=±， 解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣． 17. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．张琪和李荷是电竞游戏的爱好者，她们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为、、、四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域． （1）张琪购买门票在区观赛的概率为___________； （2）求张琪和李荷在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果有4种， 小明和小张在同一区域观看比赛的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小张在同一区域观看比赛的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 由题意得，小明购买门票在区观赛的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 略 18. 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米．求截去正方形的边长． 【答案】截去正方形的边长为10厘米． 【解析】 【分析】设截去正方形的边长为x厘米，对于该长方形铁皮，四个角各截去一个边长为x厘米的小正方形，长方体底面的长和宽分别是：（60﹣2x）厘米和（40﹣2x）厘米，底面积为：（60﹣2x）（40﹣2x），现在要求长方体的底面积为：800平方厘米，令二者相等求出x的值即可． 【详解】设截去正方形的边长为x厘米，由题意得，长方体底面的长和宽分别是：（60﹣2x）厘米和（40﹣2x）厘米， 所以长方体的底面积为：（60﹣2x）（40﹣2x）=800， 即：x2﹣50x+400=0， 解得x1=10，x2=40（不合题意舍去）． 答：截去正方形的边长为10厘米． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，满分27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为p和q，且满足，求m的值． 【答案】（1）证明详见解析 （2）的值为或 【解析】 【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法： （1）先计算，从而可得结论； （2）由根与系数的关系可得，再代入，建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，得， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴的值为：或． 20. 为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次抽样调查的学生人数是__________人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）； （2）计划在，，，，五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中，这两项活动的概率． 【答案】（1）120，图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图，列表法或树状图法求简单随机事件的概率，理解条形统计图、扇形统计图中数量之间的关系以及列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提． （1）从两个统计图中可得样本中选择“：七巧板”的有36人，占调查人数的，即可求出答案，进而补全条形统计图； （2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可． 【小问1详解】 解：调查学生总数为（人）， 故答案为：120； 选择“：数学园地设计”的有（人）， 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：在，，，，五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下： —— —— —— —— —— 共有20种等可能出现的结果，其中恰好选中，这两项活动的有2种， 所以恰好选中，这两项活动的概率为． 21. 如图所示，点O是菱形对角线的交点，，连接，交于F． （1）求证：四边形是矩形 （2）如果设，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由，可证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得到，由此即可证明结论； （2）先根据菱形的性质得到，再根据矩形的性质和勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵四边形是矩形 ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，满分27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． 23. 如图，正方形，点分别在上，与相交于点O．记． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，边长，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）的值为． 【解析】 【分析】（1）作平行四边形，通过证得，即可证得结论； （2）过点作交于点，则四边形是平行四边形，得出根据勾股定理求得，进而求得，作，交延长线于，通过证，证得，，，继而证得，证得，从而证得，设则，根据勾股定理求得，进一步根据勾股定理求得． 【小问1详解】 证明：作平行四边形，则，，，如图， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作交于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 作，交延长线于， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 设，则， 在中，， 解得， ∴． 即的值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算．作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $