精品解析：山东省潍坊市安丘市潍坊国开中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

潍坊国开中学高二第一次月考数学试题 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知 ，向量，，，且，，则 的值为（ ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直、共线的坐标表示求出 可得答案. 【详解】因为向量，，， 由，则，解得， 由，则，解得， 则. 故选：A. 2. 关于空间向量，以下说法错误的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若 ，则与的夹角是锐角 C. 已知向量是不共面的向量，则也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则 四点共面 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量夹角的范围、空间基底的定义和空间向量基本定理的知识依次判断即可. 【详解】选项A：根据共线向量的概念可知，空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A说法正确； 选项B：若，则与的夹角是锐角或与同向，即夹角为0，B说法错误； 选项C：假设是共面向量，则存在使得， 因为向量是不共面的向量，所以无解，则也是不共面的向量，C说法正确； 选项D：因为，且，所以 四点共面，D说法正确； 故选：B 3. 下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A. 单位向量都相等 B. 若，则的长度相等而方向相同或相反 C. 若向量，满足，则 D. 相等向量其方向必相同 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 4. 如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解． 【详解】，，， 则． 故选：A． 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. （4，0，3） B. （4，0，3} C. （2，2，-1） D. （2，2，-1） 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影向量的概念求解即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：C 6. 将边长为的正方形沿对角线折成直二面角 ，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 是等边三角形 C. 点与平面 的距离为 D. 与 所成的角为 【答案】C 【解析】 【分析】设的中点为，证明 平面 ，再根据线面垂直的性质即可判断A；根据直二面角可得，利用勾股定理求出即可判断B；以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离即可判断C；利用向量法求线线夹角即可判断D. 【详解】对于选项A：设的中点为，则， 且，平面 ，可得 平面 ， 又因为平面 ，所以，故A正确； 对于选项B：由A的分析知即为二面角 的平面角， 故 ，即， 可知，则， 所以 是等边三角形，故B正确； 对于选项CD：以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面 的法向量为，则， 令，则，可得， 所以点与平面 的距离，故C错误； 又因为， 且与 所成的角取值范围为， 可知与 所成的角的余弦值为，所以与 所成的角为，故D正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：1．利用空间向量求空间角的一般步骤 （1）建立恰当的空间直角坐标系． （2）求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标． （3）结合公式进行论证、计算． （4）转化为几何结论． 2．利用空间向量求点到平面距离的方法 如图，设A为平面内的一点，B为平面外的一点，为平面α的法向量，则B到平面α的距离. 7. 如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为（ ） A. B. 34 C. 52 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性表示可达，即可由模长公式求解. 【详解】, 故, 故， 故， 故选：D 8. 设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，从而可得,的坐标，再利用空间向量的数量积运算求解的最小值，即可得的值． 【详解】，，，点在直线上运动， 可设， ，， ， 当时，取得最小值， . 故选：B． 二、多选题 9. 下列命题正确的是（    ） A. 若，则与，共面 B. 若，则共面 C. 若，则共面 D. 若，则 共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，由共面向量定理即可判断ABD，举出反例即可判断C. 【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的； 选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点， 所以共面； 选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量， 则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的； 选项D，由可得， 则，即， 则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的； 故选：ABD． 10. 已知，.若，则 与 的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】依题意利用空间向量平行的坐标表示，解方程即可得出结果. 【详解】根据题意，有且，得，解得，； 即可得，解得或 ； 因此 与 的值可以是或. 故选：AB 11. 如图，长方体中，AB＝BC＝2，，点P是底面ABCD所在平面内的动点，点R是线段的中点，点Q是直线上的动点，下列结论正确的有（ ） A. 的面积的最小值是 B. 四面体的体积为定值 C. 若 与所成角为，则动点P的轨迹是抛物线 D. 若点P在直线BD上，则PR与平面所成角的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项.可根据图中几何特征进行判断；对于B可根据等体积法进行判断；对于CD选项，建立如图建立以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，为z轴的空间直角坐标系，找到各点通过向量进行计算. 【详解】对于A.由图可知点Q与重合时，点Q到线段的距离最短，此时 的面积的最小，，故A正确； 对于B. 四面体的体积等价于四面体的体积，其中点到平面距离为定值，而的面积也是定值2， 故B正确； 对于C.如图建立以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，为z轴的空间直角坐标系. ，， ，， 整理可得：，显然动点P的轨迹不是抛物线 故C错误. 对于D. ，，，其中 ，，，， 设平面的法向量为 ，则 令，则，所以 PR与平面所成角的正弦为： 当时， 取最大值，此时PR与平面所成角的最大， 故PR与平面所成角的最大值为，D正确. 故选:ABD 【点睛】方法点睛： 空间直角坐标系中未知点的设立方式（以本题D选项中P点为例）： ①首先假设未知点坐标为 ②确定未知点所在直线，根据向量共线条件列式 ③找出直线的方向向量，将未知点的坐标值全部用 表示出来即可. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知向量与的夹角为，则在方向上的投影向量的模长为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】在方向上的投影向量的模长为： ， 故答案为：1. 13. 已知，，点在轴上，且，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】设出点P的坐标，利用两点间距离公式列出方程即可得解. 【详解】设点P的坐标为， 依题意得，解得， 所以点P的坐标为. 故答案为： 14. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线运算得解. 【详解】由，得，解得， 又，得，解得 ， 所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解； （2）根据条件得到，再利用，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 又，所以，得到. 【小问2详解】 因为，又，所以，解得 或， 所以的坐标为或. 16. 已知空间中三点，设. （1）若，且，求向量； （2）求以为一组邻边的平行四边形的面积. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行和向量模长的坐标表示列式求解即可； （2）利用向量数量积和向量模长的坐标表示求出夹角进而求面积即可. 【小问1详解】 由可得， 若，则， 又，所以，解得 ， 所以或. 【小问2详解】 由可得，， 所以，，， 所以，所以， 所以. 17. 如图，四边形 为矩形，为直角梯形，且垂直平面，且，． （1）求证：平面平面； （2）若，求证： ． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定可证 平面，平面，再由面面平行的判定证明结论； （2）由面面垂直的性质得平面 ，再由线面垂直的性质、判定证 平面，最后由线面垂直的性质证线线垂直即可. 【小问1详解】 因为，平面，平面， 所以 平面， 因为为矩形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又是平面 内两条相交直线， 所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面 ， 平面 ，所以 ， 又，平面，， 所以 平面，又平面， . 18. 如图，正方形和四边形 所在的平面互相垂直，，，，．求证： （1）平面； （2）平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设与交于点．连接，则可证明四边形为平行四边形，于是，故而平面； （2）以为原点建立空间坐标系，求出，，的坐标，通过计算，得出， ，故而平面． 【小问1详解】 设与交于点，连接，如图所示． 因为，且 ，， 即， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为正方形和四边形 所在的平面互相垂直，两平面的交线为，且，所以 平面． 如图，以为原点， ，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． 则，，，，． 所以，，． 所以，， 所以，， 即 ，． 又，且平面， 平面， 所以平面． 19. 如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是的中点. （1）求该圆柱体的体积； （2）证明： 平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） ∵是弧中点，∴ 由题可知 平面 ，且 平面 ， ∴ 又因为 ，平面， 平面 所以 平面. （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴截面为正方形可以很容易得到圆柱体的体积. （2）根据圆柱体的特点母线与底面垂直，和直径所对的圆周角为直角，从而得到对应的两个垂直，最终得到证明. （3）上下底面对应的直线平行且相等，则可转换所求的异面直线为与 ，再根据三角形的余弦定理则可求解. 【小问1详解】 由已知可得圆柱的底面半径 ，高， 故该圆柱体体积为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ∴或其补角是直线与所成角， 取弧 的中点，连接 ， , 在 中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潍坊国开中学高二第一次月考数学试题 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知 ，向量，，，且，，则 的值为（ ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 2. 关于空间向量，以下说法错误的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若 ，则与的夹角是锐角 C. 已知向量是不共面的向量，则也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则 四点共面 3. 下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A. 单位向量都相等 B. 若，则的长度相等而方向相同或相反 C. 若向量，满足，则 D. 相等向量其方向必相同 4. 如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. （4，0，3） B. （4，0，3} C. （2，2，-1） D. （2，2，-1） 6. 将边长为的正方形沿对角线折成直二面角 ，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 是等边三角形 C. 点与平面 的距离为 D. 与所成的角为 7. 如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为（ ） A. B. 34 C. 52 D. 8. 设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题正确的是（    ） A. 若，则与，共面 B. 若，则共面 C. 若，则共面 D. 若，则 共面 10. 已知，.若，则与的值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，长方体中，AB＝BC＝2，，点P是底面ABCD所在平面内的动点，点R是线段的中点，点Q是直线上的动点，下列结论正确的有（ ） A. 的面积的最小值是 B. 四面体的体积为定值 C. 若 与所成角为，则动点P的轨迹是抛物线 D. 若点P在直线BD上，则PR与平面所成角的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知向量与的夹角为，则在方向上的投影向量的模长为__________. 13. 已知，，点在轴上，且，则点的坐标为______. 14. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 四、解答题 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求 的值； （2）若，且，求的坐标. 16. 已知空间中三点，设. （1）若，且，求向量； （2）求以为一组邻边的平行四边形的面积. 17. 如图，四边形 为矩形，为直角梯形，且垂直平面，且，． （1）求证：平面平面； （2）若，求证： ． 18. 如图，正方形和四边形 所在的平面互相垂直，，，，．求证： （1）平面； （2）平面． 19. 如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是的中点. （1）求该圆柱体的体积； （2）证明： 平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $