专题03 第9章 平面向量（9大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第二册）

专题03 第9章 平面向量 题型1 平面向量共线定理及其推论 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角，，的对边分别为，，，其中，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河北·期末）在中，为线段上（不包含端点）不同的两个动点．若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 4．（多选）（24-25高三上·辽宁·期末）已知是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 5．（23-24高一下·福建·期中）如图，在中，点O 是BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=，AC=，则的最小值为 . 6．（23-24高一下·天津·期中）如图，在中，与BE交于点，，则的值为 ；过点的直线分别交于点设，则的最小值为 .    7．（24-25高一上·河北保定·期中）已知平面直角坐标系中，点，点（其中，为常数，且），点为坐标原点．    (1)设点为线段上靠近的三等分点，，求的值； (2)如图所示，设点，，，…，是线段的等分点，其中，， ①当时，求的值（用含，的式子表示）； ②当，时，求的最小值． （说明：可能用到的计算公式：，）． 8．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）如图，在边长为1的正三角形ABC中，O为中心，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N， (1)若P为内部一点（不包括边界），求的取值范围； (2)若，求AN的值； 题型2 平面向量基本定理 1．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知是的外心，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 3．（24-25高三上·河南·期末）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为 . 4．（24-25高三上·天津·期末）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则 ，的最小值为 ． 5．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知是边长为2的等边三角形，分别是上的点，且与交于点. (1)若，求与的值； (2)求. 题型3 向量数量积（几何意义法） 1．（2024·安徽安庆·三模）已知线段是圆的一条长为4的弦，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 2．（24-25高三上·江苏苏州·期中）如图，边长为1的正，是以为圆心，以为半径的圆弧上除点以外的任一点，记外接圆圆心为，则 . 3．（23-24高一下·山东·期中）在中，，，点O是的外心，则 ． 4．（23-24高三上·河南驻马店·期末）已知是边长为3的等边三角形，为上一点，为的中心，为内一点（包括边界），且，则的最大值为 . 5．（23-24高一下·浙江台州）已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4 向量数量积（自主建系法） 1．（2025·辽宁沈阳·一模）已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在校拔河比赛上某班荣获一枚奖牌，如图所示为边长为的正方形，为正六边形，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）在中，，设点D为的中点，点在上，且，则（    ） A．16 B．12 C．8 D． 4．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知梯形中，，，，，，点、在线段上移动，且，则的最小值为 . 5．（24-25高二上·湖北·期中）如图，在梯形中，，且，若是线段上的动点，且，则的取值范围为 .    6．（23-24高一下·广东中山·阶段练习）在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 题型5 向量数量积（极化恒等式法） 极化恒等式 ①平行四边形形式：若在平行四边形中，则 ②三角形形式：在中，为的中点，所以 1．（2024高三·全国·专题练习）已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知是圆上不同的两点，且．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知外接圆的半径为2，是的面积，分别是三个内角的对边，若不等式恒成立，则的最大值为 ；点为外接圆上的任意一点，当取得最大值时，的取值范围是 . 4．（24-25高三上·湖北·期末）如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则 .    题型6 向量的模 1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）在三角形中，，，向量在向量上的投影向量为，为上一点，且，则（    ） A．4 B． C． D．5 2．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 4．（23-24高二下·湖南常德·期中）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．9 B．2 C． D．8 5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，为单位向量，且，向量满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·北京通州·期中）已知平面向量，，，正实数，满足，与的夹角为，且，则的最小值为 . 7．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是非零向量，，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)求. 题型7 向量的夹角 1．（2024·湖北黄冈·一模）已知向量，且，则与夹角的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为 . 3．（24-25高三上·江西上饶·期中）如图，在矩形中，点是边的中点，点是边上的一点，且. (1)若点满足，求证：，，三点共线； (2)若，，求向量与的夹角的余弦值. 4．（24-25高二上·四川泸州·开学考试）如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点.设，. (1)用，表示，； (2)求的余弦值． 5．（23-24高一下·贵州·期中）已知向量是平面内的一组基底，且与的夹角为锐角， (1)求证三点共线． (2)设，若的最小值是，求锐角的值． 6．（23-24高一下·广东韶关·期末）数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如: 如图甲，在中，D 为BC的中点，则在 中，有，在中，有，两式相加得，因为 D 为 BC的中点，所以，于是如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点. (1)如图乙，请用“算两次”的方法证明：； (2)如图乙，若与的夹角为，求与的夹角的余弦值. 7．（23-24高一下·湖北省直辖县级单位·期中）在△ABC中，已知，，，，点N是AC的中点，AM，BN相交于点P. (1)求线段BN的长； (2)求； (3)求的余弦值． 题型8 两个向量成锐角（钝角） 1．（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知.若的夹角为钝角，则的范围为 . 2．（2024·四川德阳·一模）平面向量，满足 (1)若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值； (2)若为钝角，求实数t的取值范围． 3．（23-24高一下·福建漳州·阶段练习）已知向量，． (1)求的值； (2)，求； (3)若向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 4．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 5．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知向量． (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 题型9 向量中的新定义题 1．（多选）（23-24高一下·山东·阶段练习）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 2．（多选）（23-24高一下·江苏淮安·期末）如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，其中，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若，则有序数对叫做向量在夹角为的坐标系xOy中的坐标，记为.已知，则（    ）    A． B． C．为等腰三角形 D． 3．（多选）（23-24高一下·河北保定·期末）设Ox，Oy是平面内相交的两条数轴，其中（且），，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若平面向量满足，则有序数对称为向量在“仿射”坐标系xOy下的“仿射”坐标，记作，下列命题中是真命题的是（    ） A．已知，则 B．已知，，则 C．已知，，则 D．已知，，若，则 4．（多选）（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）已知两个非零的平面向量与，定义新运算，，则下列说法正确的是（    ） A． B．对于任意与不共线的非零向量，都有 C．对于任意的非零实数，都有 D．若，，则 5．（多选）（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量，的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量，的夹角；定义向量，的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量，的夹角，则下列说法正确的是（    ） A．若为非零向量，且，则 B．若四边形为平行四边形，则它的面积等于 C．已知点，，为坐标原点，则 D．若，则的最小值为 6．（多选）（23-24高一下·山东·阶段练习）定义:已知两个非零向量的夹角为，把两个向量的叉乘记作:，则以下说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于 D．若，则的最小值为 7．（2024·浙江绍兴·模拟预测）定义两个向量组，的运算，设，，为单位向量，向量组，分别为，，的一个排列，则的最小值为 . 8．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“@未来坐标系”．如左图所示，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量．若向量，则把实数对（x，y）叫做向量的“@未来坐标”，记．已知分别为向量的@未来坐标． (1)证明：； (2)若向量的“@未来坐标”分别为{1，2}，{2，1}，求向量的夹角的余弦值． (3)以0为原点，建立如右图平面直角坐标系，若在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的@未来坐标 9．（23-24高一下·江西萍乡·期末）设有维向量，，称为向量和的内积.记为全体由和1构成的维向量的集合. (1)若，存在，使得，写出所有满足条件的； (2)令，若，证明：为偶数； (3)若表示能从中选出向量的个数的最大值，且满足选出的向量互相之间的内积均为0，猜测的值，并给出一个实例. 10．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）对任意两个非零向量，定义新运算：． (1)若向量，求的值； (2)若非零向量满足，且，求的取值范围； (3)已知非零向量满足，向量的夹角，且和都是集合中的元素，求的取值集合． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 第9章 平面向量 题型1 平面向量共线定理及其推论 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量基本定理的应用、已知模求参数、平面向量共线定理的推论 【分析】将向量 归一化可得，结合向量的线性运算可得，结合题意列式求解即可. 【详解】设，则，且， 可得， 则，可得， 即，可得， 则， 因为，则，可得， 所以， 因为，解得， 所以实数x的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是以为基底表示出.本题的难点在于用表示出向量. 2．（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角，，的对边分别为，，，其中，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、平面向量共线定理的推论、三角形面积公式及其应用 【分析】根据题意，由，设，，则，所以三点共线，由等面积法可得的最小值. 【详解】根据题意，， 所以，即， 由， 设，，则， 所以三点共线，如图， 则的面积， ， 当时，最小，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：由，设，，则，所以三点共线. 3．（23-24高一下·河北·期末）在中，为线段上（不包含端点）不同的两个动点．若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、利用平面向量基本定理求参数、平面向量共线定理的推论 【分析】依题意设，根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理得到方程组，整理得解. 【详解】因为，所以， 设， 则 ， 又，且、不共线， 则，所以．    4．（多选）（24-25高三上·辽宁·期末）已知是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ABC 【知识点】条件等式求最值、平面向量共线定理的推论、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】依题意可得，根据平面向量共线定理的推论得到，再利用基本不等式一一判断即可. 【详解】因为为边的中点，所以， 又，，共线，所以，所以A项正确； 对于B项，因为0，所以，可得， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，所以B项正确； 对于C项，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4，所以C项正确； 对于D项，由得， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为，所以D项错误. 故选：ABC. 5．（23-24高一下·福建·期中）如图，在中，点O 是BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=，AC=，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】向量加法法则的几何应用、基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量共线定理的推论 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值. 【详解】根据题意，，所以， 所以， 又，， 所以， 因为三点共线，所以， 由图可知，， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 6．（23-24高一下·天津·期中）如图，在中，与BE交于点，，则的值为 ；过点的直线分别交于点设，则的最小值为 .    【答案】 4 【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量基本定理的应用 【分析】设，将分别代入，利用共线定理的推论列方程组求出，然后根据求解可得；将代入，根据共线可得，然后妙用“1”，利用基本不等式求解即可. 【详解】设，令， 因为，所以， 所以， 又与分别共线，所以，解得. 因为， 所以，即， 解得，即. 因为，    所以， 所以， 因为共线，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：4；. 7．（24-25高一上·河北保定·期中）已知平面直角坐标系中，点，点（其中，为常数，且），点为坐标原点．    (1)设点为线段上靠近的三等分点，，求的值； (2)如图所示，设点，，，…，是线段的等分点，其中，， ①当时，求的值（用含，的式子表示）； ②当，时，求的最小值． （说明：可能用到的计算公式：，）． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】平面向量共线定理的推论、数量积的运算律、平面向量的混合运算 【分析】（1）根据向量的线性运算化简即可得解； （2）①由特殊到一般，可得对满足条件的，，即可化简求向量的模； ②根据条件用表示出向量，再由数量积化简，转化为关于的式子，分类讨论求最值. 【详解】（1）因为 而点为线段上靠近点的三等分点， 则，可得，所以. （2）①由题意得，， ，， 所以， 事实上，对任意正整数，且时， ，， 有， 所以， 所以. ②当，时， ，， ， 令， 当，2，3时， 当或3时，上式有最小值为 当时， 当，6，7时，，当或6时，上式有最小值为 综上，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解题时要有特殊到一般的类比思想，发现一般性规律，化简所求复杂向量求和，对于第二问的第二小问，利用数量积化简后需要分类讨论，对能力要求很高. 8．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）如图，在边长为1的正三角形ABC中，O为中心，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N， (1)若P为内部一点（不包括边界），求的取值范围； (2)若，求AN的值； 【答案】(1) (2) 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、利用函数单调性求最值或值域、数量积的运算律、正弦定理解三角形 【分析】（1）取BC的中点D，，由的取值范围求的取值范围； （2）设，则，因为三点共线，所以，可求AN的值； 【详解】（1）取BC的中点D，连接PD， 正三角形ABC边长为1，则，， ，， ， 又，即，得， 故的取值范围. （2）延长AO交BC于D，因为O为正三角形的中心，所以D为BC的中点， 则有，由，得， 设，因为，所以，因为，所以， 可知， 因为三点共线，所以，解得，即AN的值为. 题型2 平面向量基本定理 1．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知是的外心，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由向量线性运算结果求参数、辅助角公式、数量积的运算律 【分析】结合图形，将原式两边平方得，由图形可知，、不能都是正数，利用三角代换，求函数的值域，即可判断选项. 【详解】如图，，所以， 因为，所以，，即， 如图可知，点在优弧上，所以、不能都是正数， 所以设，，，可得， 即. 故选：B. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】利用向量线性运算可得，根据平面向量基本定理得，即可得解. 【详解】因为，所以， 因为是的中点，所以， 所以， 又，所以，即. 故选：D. 3．（24-25高三上·河南·期末）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为 . 【答案】4 【知识点】平面向量基本定理的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】结合三点共线的向量形式，利用向量基本定理得，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为三点共线，所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以，由，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4. 故答案为：4 4．（24-25高三上·天津·期末）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则 ，的最小值为 ． 【答案】 / 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用平面向量基本定理求参数 【分析】由平行四边形的面积为，，可得，由已知得，然后根据三点共线即可得，从而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】因为平行四边形的面积为，， 所以，得， 如图，连接，则， 因为，又为平行四边形，则 ， 所以， 因为三点共线， 所以，得， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：；. 5．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知是边长为2的等边三角形，分别是上的点，且与交于点. (1)若，求与的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、用基底表示向量、平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数 【分析】（1）以为平面向量的一个基底，结合共线向量定理求出，再利用平面向量基本定理求出参数值. （2）由（1）中信息求出，利用向量数量积的运算律求解即得. 【详解】（1）由与交于点，得共线，共线， 设， 则， 又，由共线，得，使得，    即，又不共线，，解得， ，， 所以. （2）由（1）知， 则，而， 所以 .题型3 向量数量积（几何意义法） 1．（2024·安徽安庆·三模）已知线段是圆的一条长为4的弦，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】取中点，连接,根据向量的相关计算性质计算即可. 【详解】取中点，连接， 易知，所以. 故选：C． 2．（24-25高三上·江苏苏州·期中）如图，边长为1的正，是以为圆心，以为半径的圆弧上除点以外的任一点，记外接圆圆心为，则 . 【答案】/ 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】利用三角形外心的性质将转化为即可. 【详解】取的中点，因为为正三角形，故为的中垂线， 则外接圆圆心一定在上，如图所示， ， 故. 故答案为： 3．（23-24高一下·山东·期中）在中，，，点O是的外心，则 ． 【答案】/ 【知识点】平面向量数量积的几何意义、数量积的运算律 【分析】利用外心的性质及平面向量数量积的几何意义计算即可. 【详解】 如图所示，分别为边中点，则 易知， 由平面向量数量积的几何意义可知， 所以. 故答案为： 4．（23-24高三上·河南驻马店·期末）已知是边长为3的等边三角形，为上一点，为的中心，为内一点（包括边界），且，则的最大值为 . 【答案】3 【知识点】用基底表示向量、平面向量数量积的几何意义、数量积的运算律 【分析】由三点共线确定的位置，再利用向量投影的意义确定最值. 【详解】因为，，三点共线，所以，解得， 即为上靠近点的三等分点. 利用向量的投影定义，可知当位于点时，取得最大值， 最大值为. 故答案为：3 5．（23-24高一下·浙江台州）已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的几何意义、数量积的坐标表示 【分析】通过数量积定义得出与重合时取得最大值，与重合时，取得最小值，然后建立如图所示的平面直角坐标系，用坐标法求数量积． 【详解】如图，过作于，则，当与同向时为正，当与反向时为负， 分别过作，，为垂足， 则得当与重合（即与重合）时，取得最大值，当与重合（即与重合）时，取得最小值， 是正六边形，因此以为轴，为建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，是中点，则， ，，， ，， 所以的范围是， 故选：B． 题型4 向量数量积（自主建系法） 1．（2025·辽宁沈阳·一模）已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示、基本不等式求积的最大值 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标表示，结合基本不等式求出最大值及最小值即得. 【详解】在中，，则，即， 以点为原点，射线分别为轴建立平面直角坐标系， 则，， 由点P，Q是线段AB上的动点，设， 于是， 因此，当且仅当时取等号， 而，则当，即时，， 又，当且仅当或时取等号， 所以的取值范围是. 故选：D 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在校拔河比赛上某班荣获一枚奖牌，如图所示为边长为的正方形，为正六边形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】由题意可知，正六边形的边长为，且， 因为，则，所以，， 又因为，所以，、、三点共线， 根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，则，， 因此，. 故选：C. 3．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）在中，，设点D为的中点，点在上，且，则（    ） A．16 B．12 C．8 D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、利用数量积求参数 【分析】以为原点，建立如图坐标系，结合向量的坐标运算即可. 【详解】在中，，，，以为原点，建立如图坐标系， 则，，，，设， 则，，， 由题意可知，即，解得. 则，所以. 故选：A. 4．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知梯形中，，，，，，点、在线段上移动，且，则的最小值为 . 【答案】2 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】利用平面向量的坐标运算设出P，Q两点坐标，从而表示出的表达式，根据表达式求出最小值. 【详解】如图所示， 以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则，过A作于M， 因为，，所以，， 所以. 不妨设，则， 所以， ， 所以当时，取得最小值2. 故答案为：2 5．（24-25高二上·湖北·期中）如图，在梯形中，，且，若是线段上的动点，且，则的取值范围为 .    【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围． 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， ， ，则，设， 则（其中）， ， ，    所以，当时，取得最小值，当时取得最大值21. 故答案为：． 6．（23-24高一下·广东中山·阶段练习）在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值； （2）设，其中，求出向量、的坐标，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． （2）解：由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 题型5 向量数量积（极化恒等式法） 极化恒等式 ①平行四边形形式：若在平行四边形中，则 ②三角形形式：在中，为的中点，所以 1．（2024高三·全国·专题练习）已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用、数量积的运算律 【分析】作出图象，结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】设正方形的内切圆圆心为O，如图所示： 考虑是线段上的任意一点，，， 圆的半径长为1，由于是线段上的任意一点，则， 所以. 故选：A 2．（2024高三·全国·专题练习）已知是圆上不同的两点，且．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】由条件可得，，再由平面向量数量积的运算律可得，即可得到结果. 【详解】如图，取的中点，连接， 则，， 所以， ， 所以，即． 因为，，所以． 又，所以，即的取值范围为． 故选：D． 3．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知外接圆的半径为2，是的面积，分别是三个内角的对边，若不等式恒成立，则的最大值为 ；点为外接圆上的任意一点，当取得最大值时，的取值范围是 . 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、向量的线性运算的几何应用、数量积的运算律 【分析】由恒成立转化为，再利用余弦定理及面积公式证明，然后转化向量数量积为，由圆上动点到距离范围可得. 【详解】由题意要使不等式恒成立， 则， 由外接圆半径为，可知当为等边三角形时，， 且，则有. 下面证明对于任意的三角形都有. 证明过程如下： 由余弦定理与， 则 ，即. 当且时等号成立，即为等边三角形时等号成立， 故. 所以，当取得最大值，为等边三角形. 如图所示，取AB的中点D，且， 则有， 由图可得，     所以的取值范围是. 故答案为：；. 4．（24-25高三上·湖北·期末）如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则 .    【答案】8 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用、数量积的运算律 【分析】利用平面向量的四则运算，得到，可得，，再化简，即可求解. 【详解】 ， ， 故答案为： 题型6 向量的模 1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）在三角形中，，，向量在向量上的投影向量为，为上一点，且，则（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【知识点】已知数量积求模、求投影向量 【分析】先由向量在向量上的投影向量求出，接着由求得，再结合向量数量积运算律和模长公式即可计算得解. 【详解】由题得向量在向量上的投影向量为， 所以，又，故， 因为，所以， 所以， 所以 ， 所以. 故选：B. 2．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知数量积求模、用定义求向量的数量积、求二次函数的值域或最值 【分析】由已知只要将用与表示，展开利用数量积和模的运算得到关于的二次函数，求最值． 【详解】因为平面向量，满足，且与的夹角为， 则 ， 所以的最小值是； 故选：A. 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量模的坐标表示 【分析】由的最小值为可得的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得. 【详解】如下图所示： 在直线上取一点，使得， 所以，当时，取得最小值为，即； 又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形， 建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示： 又可得为的中点， 由以及可得在上， 可得， 所以，可得， 则， 令，由可得， 所以，， 由二次函数在上单调递增可得，. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用的最小值为判断出的形状，将向量坐标化并表示出模长表达式利用函数单调性可求得结果. 4．（23-24高二下·湖南常德·期中）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．9 B．2 C． D．8 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】设，，根据求出，再根据得到，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得. 【详解】依题意设，， 由，所以，则， 又，且， 所以，即， 所以，当且仅当时取等号， 即的最大值为. 故选：C. 5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，为单位向量，且，向量满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标计算向量的模、轨迹问题——圆、数量积的运算律 【分析】利用数量积的运算可得，从而得，于是利用平面向量的坐标运算设，结合坐标运算确定的轨迹，根据模长的坐标公式转化为两点距离，根据轨迹方程的特点求得最值即可. 【详解】因为，为单位向量，且， 所以，则， 所以，因为，则， 则不妨设， 因为，所以， 即点的轨迹为圆，且圆心为，半径为， 又， 设点，则， 根据点与圆的位置关系可得， 故的最小值为. 故选：A. 6．（23-24高一下·北京通州·期中）已知平面向量，，，正实数，满足，与的夹角为，且，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合二次函数最值求解即得. 【详解】由，得，而，与的夹角为， 则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 7．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是非零向量，，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知数量积求模、求投影向量、数量积的运算律 【分析】（1）根据条件得到，再利用投影向量的定义，即可求出结果； （2）利用（1）结果及数量积的运算律，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以，又，得到， 又，所以在方向上的投影向量为. （2）由（1）， 所以， 得到. 题型7 向量的夹角 1．（2024·湖北黄冈·一模）已知向量，且，则与夹角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量夹角的计算、已知切线求参数 【分析】根据平面向量数量积的运算，以及平面向量的几何表示，结合圆的性质求解. 【详解】 已知向量，， 即,即， 建立如图所示平面直角坐标系， 设，，，， 则，，， 又，则，即N的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 由图可知，当与圆相切时，最大，此时， 则的最大值为，即与夹角的最大值为. 故选： 【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量数量积的运算，关键通过数形结合的方法建立坐标系解决问题. 2．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为 . 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、余弦定理解三角形 【分析】根据题意利用余弦定理可得，即为直角三角形，建立平面直角坐标系利用向量夹角的坐标表示即可得出结果. 【详解】在中，由余弦定理可得，即； 因此满足，可得是以的直角三角形； 以为坐标原点，分别为轴，轴，如下图所示; , 易知即为向量的夹角， 所以. 故答案为： 3．（24-25高三上·江西上饶·期中）如图，在矩形中，点是边的中点，点是边上的一点，且. (1)若点满足，求证：，，三点共线； (2)若，，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、用基底表示向量、向量夹角的计算 【分析】（1）由向量的线性运算证明共线后即得； （2）用表示各向量，由已知数量积求得，再由向量夹角公式计算． 【详解】（1）由题意知， ， 又， 所以， ， 所以，所以，，三点共线. （2）由题意知， ， 所以 ， 所以. 所以 ， 又，， 所以. 4．（24-25高二上·四川泸州·开学考试）如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点.设，. (1)用，表示，； (2)求的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】用基底表示向量、向量夹角的计算 【分析】（1）结合图形，由向量的加法法则及数乘向量运算律求出结果即可； （2）由图形关系和向量的加法法则求出，再求出，然后由向量夹角的计算公式求出结果即可； 【详解】（1），，，，． ，， 为的中点，． （2）根据题意，，，， ， ， ， ． 5．（23-24高一下·贵州·期中）已知向量是平面内的一组基底，且与的夹角为锐角， (1)求证三点共线． (2)设，若的最小值是，求锐角的值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】（1）利用向量的线性运算，结合共线向量定理推理即得. （2）利用向量数量积的运算律及数量积的定义化简，再借助二次函数最值求解即得. 【详解】（1）由， 得，则， 即，又有公共点， 所以三点共线. （2）依题意， 令，函数是开口向上的二次函数， 则当时，，即， 整理得，则，所以锐角. 6．（23-24高一下·广东韶关·期末）数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如: 如图甲，在中，D 为BC的中点，则在 中，有，在中，有，两式相加得，因为 D 为 BC的中点，所以，于是如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点. (1)如图乙，请用“算两次”的方法证明：； (2)如图乙，若与的夹角为，求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】向量加法法则的几何应用、数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】（1）根据题意结合向量加法分析证明； （2）根据题意结合（1）可求，进而结合向量夹角公式运算求解. 【详解】（1）因为， 则， 且E，F分别为AD，BC的中点，则， 所以. （2）由题意可知：， 由（1）可知：，即， 则， ，即， 所以与的夹角的余弦值. 7．（23-24高一下·湖北省直辖县级单位·期中）在△ABC中，已知，，，，点N是AC的中点，AM，BN相交于点P. (1)求线段BN的长； (2)求； (3)求的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、向量夹角的计算、数量积的坐标表示 【分析】（1）解法一：根据线性运算得到，然后利用数量积的运算律求模长； 解法二：建系，利用坐标求模长； （2）解法一：利用线性运算进行转化得到，，然后利用数量积的运算律计算； 解法二：利用坐标求数量积； （3）解法一：利用线性运算和数量积的运算律得到，然后利用数量积的公式计算夹角； 解法二：利用坐标求夹角. 【详解】（1）解法一：由N为的中点得：． ，且， ； 解法二：（坐标法）：以A为原点建如图所示直角坐标系， 则，，,，， 故，， . （2）解法一：由知：， ， ； 解法二：. （3）解法一：由（2）知： ， 又，， ， 即； 解法二：， . 题型8 两个向量成锐角（钝角） 1．（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知.若的夹角为钝角，则的范围为 . 【答案】且 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、数量积的坐标表示 【分析】由已知且与不平行，结合向量的坐标运算可得出的取值范围. 【详解】若，的夹角为钝角，则，且与不平行， 即，且，求得且， 故答案为： 且. 2．（2024·四川德阳·一模）平面向量，满足 (1)若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值； (2)若为钝角，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、已知向量共线（平行）求参数、求投影向量 【分析】（1）根据投影向量的定义及数量积的运算律求解即可； （2）结合利用向量夹角的余弦与数量积的定义，及向量共线的表示求解即可. 【详解】（1）由题意得， 则，即， 因为，则， 所以， ， 所以，解得. （2）由（1）知，， 因为为钝角，所以，即， 若共线，设，即 则，解得或， 要使为钝角，则且， 即实数t的取值范围为． 3．（23-24高一下·福建漳州·阶段练习）已知向量，． (1)求的值； (2)，求； (3)若向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】(1)5； (2)； (3) 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、利用向量垂直求参数、坐标计算向量的模 【分析】（1）求出的坐标，再求出模即可； （2）求出和的坐标，再由，得到关于的方程，求解即可； （3）由向量与的夹角为锐角，得到且与不共线，从而建立关于的不等式关系，求解即可. 【详解】（1）由，知，所以． （2）由，知,, 因为， 所以，解得： （3）由题可得，，由已知有与的夹角为锐角， 故即是要且与不共线． 从而命题等价于，即，所以的取值范围是． 4．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、已知数量积求模、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】（1）利用向量共线定理得到方程组，解出即可； （2）根据向量数量积的运算律和定义计算即可； （3）根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可. 【详解】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 5．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知向量． (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、数量积的坐标表示 【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示可得； （2）由平面向量夹角的坐标表示，根据数量积及平行的坐标运算即可求得实数的取值范围． 【详解】（1）由题意可得，， 若向量与共线可得， 解得； （2）若向量与的夹角为钝角可得，且； 即可得，解得； 即实数的取值范围为. 题型9 向量中的新定义题 1．（多选）（23-24高一下·山东·阶段练习）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】AD 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量新定义、求投影向量 【分析】利用向量的线性运算，向量的模，向量垂直，投影向量的求法逐一验证即可. 【详解】依题意，，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，， 则在方向上的投影向量为，D正确. 故选：AD 2．（多选）（23-24高一下·江苏淮安·期末）如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，其中，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若，则有序数对叫做向量在夹角为的坐标系xOy中的坐标，记为.已知，则（    ）    A． B． C．为等腰三角形 D． 【答案】ABD 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量新定义 【分析】由已知可得，，根据向量的数量积运算与线性运算依次判断各选项即可． 【详解】由题可知，， ，， 对A：，故A正确； 对B：则，故B正确； 对C、D：， ， 可得，故D正确； ，显然不是等腰三角形，故C错误. 故选：ABD. 3．（多选）（23-24高一下·河北保定·期末）设Ox，Oy是平面内相交的两条数轴，其中（且），，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若平面向量满足，则有序数对称为向量在“仿射”坐标系xOy下的“仿射”坐标，记作，下列命题中是真命题的是（    ） A．已知，则 B．已知，，则 C．已知，，则 D．已知，，若，则 【答案】BD 【知识点】由向量共线（平行）求参数、已知数量积求模、用定义求向量的数量积、向量新定义 【分析】根据新定义，结合已学的向量的模长，向量运算，向量数量积，向量平行的定理可以逐一计算判断. 【详解】对于A，，则， 所以 ，故A错误； 对于B，已知，， 则，，， 则，故B正确； 对于C，，，则，， 所以 ，故C错误； 对于D，，，则，， 若，则当或时，或，满足； 当，则存在唯一，使得，则， 则，消元变形得到，故D正确. 故选：BD. 4．（多选）（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）已知两个非零的平面向量与，定义新运算，，则下列说法正确的是（    ） A． B．对于任意与不共线的非零向量，都有 C．对于任意的非零实数，都有 D．若，，则 【答案】ABD 【知识点】向量夹角的计算、向量新定义、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】对于A：根据题中定义即可判断；对于BC：根据题意结合数量积的运算律分析判断；对于D：分析可知，可得，进而可知，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为，， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当时，，故C错误； 对于选项D：若，， 则， 可得，则， 且，可知， 结合题意可知，，所以，故D正确； 故选：ABD. 5．（多选）（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量，的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量，的夹角；定义向量，的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量，的夹角，则下列说法正确的是（    ） A．若为非零向量，且，则 B．若四边形为平行四边形，则它的面积等于 C．已知点，，为坐标原点，则 D．若，则的最小值为 【答案】BC 【知识点】已知数量积求模、向量新定义、用定义求向量的数量积、向量夹角的坐标表示 【分析】对于AB：根据内积和外积的定义分析求解；对于C：根据数量积可得，，即可得结果；对于D：分析可知，，结合数量积分析求解. 【详解】对于A中，因为是非零向量， 由，可得， 即，可得， 且，解得或，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，因为，可知，则， 且，可得，所以，故C正确； 对于D中，因为，即， 可得，可知，可得，， 则， 所以，当且仅当时，等号成立，所以D错误； 故选：BC. 6．（多选）（23-24高一下·山东·阶段练习）定义:已知两个非零向量的夹角为，把两个向量的叉乘记作:，则以下说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【知识点】平行向量（共线向量）、数量积的运算律、基本不等式求和的最小值、向量新定义 【分析】根据给定两个向量的叉乘定义，逐项计算判断得解. 【详解】对于A，由，得，而，因此， 又，则或，所以，A正确； 对于B，，当时，， 当时，，B错误； 对于C，的面积，C正确； 对于D，由，得，由，得， 两式平方相加得，则， 当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 7．（2024·浙江绍兴·模拟预测）定义两个向量组，的运算，设，，为单位向量，向量组，分别为，，的一个排列，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、向量新定义 【分析】根据题意，分别讨论，以及且，根据的定义及向量的数量积的运算律，分别求得其最小值，即可求解. 【详解】当且时，可得； 当且，时，可得， 当且仅当时，等号成立； 同理可得：当且，或且，时， 此的最小值也为； 当且时， 可得， 由，设，可得，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 综上可得，的最小值为. 故答案为：. 8．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“@未来坐标系”．如左图所示，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量．若向量，则把实数对（x，y）叫做向量的“@未来坐标”，记．已知分别为向量的@未来坐标． (1)证明：； (2)若向量的“@未来坐标”分别为{1，2}，{2，1}，求向量的夹角的余弦值． (3)以0为原点，建立如右图平面直角坐标系，若在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的@未来坐标 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)（1，4）. 【知识点】向量夹角的计算、向量新定义 【分析】（1）因为，则计算即可证明； （2）由题意可得，根据向量夹角公式即可求解. （3）设，通过构建方程组即可求得答案. 【详解】（1）因为，， 所以 （2），， ， ， ， 所以． （3）平面直角坐标系中， 设 的@未来坐标为（1,4） 9．（23-24高一下·江西萍乡·期末）设有维向量，，称为向量和的内积.记为全体由和1构成的维向量的集合. (1)若，存在，使得，写出所有满足条件的； (2)令，若，证明：为偶数； (3)若表示能从中选出向量的个数的最大值，且满足选出的向量互相之间的内积均为0，猜测的值，并给出一个实例. 【答案】(1)，，，，，； (2)证明见解析 (3). 【知识点】向量新定义、垂直关系的向量表示 【分析】（1）根据定义写出满足条件的即可； （2）根据，结合定义，求出，即可得证； （3）利用反证法求证. 【详解】（1））由定义，只需满足， 故所有满足条件的有6个，为：，，，，，； （2）由题知，存在，与，，，使， 当时，；当时，，. 若有个，则有个，则， 所以为偶数； （3）猜测符合要求的4维向量最多有4个，即，举例如下： 不妨取，，，， 则有，，，，，， 若存在使，则或或， 当时，；当时，； 当时，，. 故找不到第5个4维向量与已知的4个向量满足互相之间的内积均为0，即. 10．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）对任意两个非零向量，定义新运算：． (1)若向量，求的值； (2)若非零向量满足，且，求的取值范围； (3)已知非零向量满足，向量的夹角，且和都是集合中的元素，求的取值集合． 【答案】(1)2； (2)； (3). 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、向量新定义 【分析】（1）利用给定的定义，结合数量积运算计算即得. （2）利用给定的定义求得，再由定义求解即得. （3）利用给定的定义，结合已知求得，再求出，由此求出的范围. 【详解】（1）向量，则，， 于是，而，则， 所以. （2）由，，得，则， 所以. （3）依题意，，而，，则，， 于是，显然存在，，则，因此， 即，则，显然，即，从而， 因此，又存在，使得，即， 解得，则， 所以的取值集合. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$