精品解析：辽宁省丹东市宽甸县第一初级中学教育集团2024-2025学年九年级上学期期中监测数学试卷

2024-2025学年上学期 第一初中教育集团期中监测九年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题共10题，每题3分． 1. 同一枚硬币小明先抛一次，然后小亮再抛一次，两次都是反面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出树状图或是列表，求概率即可． 【详解】解：如下图： 由列表知：共有4种等可能的结果，其中两次都是反面朝上的结果有1种，所以． 故选：B 【点睛】本题考查用列表或是树状图求概率，根据相关要求解题是关键． 2. 如图是用围棋棋子在6×6的正方形网格中摆出的图案，棋子的位置用有序数对表示，如A点为（5，1），若再摆一黑一白两枚棋子，使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（　　） A. 黑（1，5），白（5，5） B. 黑（3，2），白（3，3） C. 黑（3，3），白（3，1） D. 黑（3，1），白（3，3） 【答案】D 【解析】 【分析】利用轴对称图形以及中心对称图形的性质即可解答． 【详解】如图所示：黑（3，1），白（3，3）． 故选D． 【点睛】此题主要考查了旋转变换以及轴对称变换，正确把握图形的性质是解题关键． 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法把方程变形即可. 【详解】用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17， 故选A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键． 4. 如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵， ∴； 故选A． 【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是找到对应线段成比例. 5. 下列两个三角形不一定相似的是（ ）． A. 有一个内角是的两个直角三角形 B. 有一个内角是的两个等腰三角形 C. 两条直角边的比都是的两个直角三角形 D. 腰与底的比都是的两个等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定方法分别判断得出答案． 【详解】解：A、有一个内角为50°的两个直角三角形，即有两个角对应相等的三角形一定相似，故此选项不合题意； B、有一个内角是50°的两个等腰三角形，因为50°是等腰三角形的顶角与底角不能确定， 则两个三角形不一定相似，故此选项符合题意； C、两条直角边之比为2：3的两个直角三角形可得它们的三边对应成比例，即可以得到两个直角三角形一定相似，故此选项不合题意； D、两个等腰三角形的腰与底边对应成比例，可以推导出两个等腰三角形的三边对应成比例，即有这两个等腰三角形必相似，故此选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，相似三角形的最常用的方法判断方法：1、两角分别对应相等的两个三角形相似；2、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；3、三边对应成比例的两个三角形相似． 6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在轴上，顶点B，C的坐标分别为(−6，0)，(4，0)，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在Rt△ABO中，求出OA即可解决问题． 【详解】解：∵B（-6，0），C（4，0）， ∴BC=10， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=DC=BC=10， 在Rt△ABO中，OA==8， ∴A（0，8）， ∵AD∥BC， ∴D（10，8）， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7. 如图，某小区规划在一个长、宽的长方形土地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分钟花草，要使每一块花草的面积都为，那么通道宽应设计成多少？设通道宽为，则由题意列得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通道的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30-2x）m，宽为（20-x）m，根据长方形面积公式即可列方程（30-2x）（20-x）=6×78． 【详解】通道的宽为xm，由题意得 （30-2x）（20-x）=6×78， 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键． 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可． 【详解】解：设CE=x，则BE=3-x， 由折叠性质可知， EF=CE=x，DF=CD=AB=5 在Rt△DAF中，AD=3，DF=5， ∴AF=， ∴BF=AB-AF=5-4=1， 在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2， 即(3-x)2+12=x2， 解得x=， 故选：D． 【点睛】本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键． 9. 当 时，代数式的值是(　　) A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为一元二次方程的根为，所以把原式变形为： ，再把x的值代入，由此即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∴当时，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用公式法求一元二次方程的解，解题的关键是理解一元二次方程的解的定义以及变形代入． 10. 如图1，在中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为，AP的长度为，y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分时t的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作的平分线交于点P，先证，再证，利用相似三角形的性质得出，求出，用P点移动的距离除以速度即可得出t的值． 【详解】解：如图，作的平分线交于点P，由图2知， ，， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 解得或（舍）， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定等，解题的关键是证明． 二、填空共5题，每题3分． 11. 关于的一元二次方程有实数根，则满足_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是掌握相关知识.根据题意得：，且，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得：，且， 故答案为：，且． 12. 甲、乙两人玩游戏，把一个均匀的小正方体的每个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，任意掷出小正方体后，若朝上的数字比3大，则甲胜；若朝上的数字比3小，则乙胜，你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？________． 【答案】不公平 【解析】 【分析】分别求出甲、乙获胜的概率比较即可得出答案. 【详解】∵掷得朝上的数字比3大可能性有：4，5，6， ∴掷得朝上的数字比3大的概率为：， ∵朝上的数字比3小的可能性有：1，2， ∴掷得朝上的数字比3小的概率为：=， ∴这个游戏对甲、乙双方不公平． 【点睛】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，设，得，代入进行计算即可． 【详解】解：设，得， ∴． 故答案为： 14. 如图，在长为，宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的，则所截去小正方形的边长是___． 【答案】2 【解析】 【分析】设所截去小正方形的边长是，再根据“留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的”建立方程，然后解方程即可得． 【详解】设所截去小正方形的边长是， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则所截去小正方形的边长是， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的几何应用，依据题意，正确建立方程是解题关键． 15. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边，上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是______． 【答案】7.5 【解析】 【分析】连接、、，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，即可求解． 【详解】连接、、，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当A、P、C三点共线时， ， ∴的最小值是7.5， 故答案为：7.5． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出的最小值是解题的关键． 三、计算题共2题，每题5分． 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）利用公式法求解即可； （2）先将方程化为一般形式，然后利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 ， ， ， 解得：． 四、解答题共7题，其中17、18、19、20题各8分，21题9分，22题10分，23题14分． 17. 已知关于x的方程． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程是一元一次方程二次项系数为0列式求解即可得到答案； （2）根据方程为一元二次方程保证二次项系数不为0列式求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得； 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握定义列等式或不等式． 18. 每年夏天全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某中学为确保学生安全，开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全竞赛．学校对参加比赛的学生获奖情况进行了统计，绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题． （1）参加此安全竞赛的学生共有 人， （2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为 ． （3）将条形统计图补充完整， （4）获得一等奖的学生中，1人来自七年级，1人来自八年级，2人来自九年级．学校决定从获得一等奖的学生中任选两名学生参加全市防溺水安全竞赛，请通过列表或树状图方法求所选两名学生中，恰好是一名七年级和一名九年级学生的概率 【答案】（1）40， （2） （3） 将条形统计图补充完整如下： （4） 【解析】 【分析】（1）由获得特等奖的人数除以所占的百分比即可； （2）由乘以获“三等奖”的人数所占的比例即可； （3）求得获得二等奖的人数，将条形统计图补充完整即可； （4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好是一名七年级和一名九年级学生的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 由题意可得：（人， 即参加此安全竞赛的学生共有40人， 故答案为：40； 【小问2详解】 ， 即在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 二等奖人数为：（人， 【小问4详解】 获得一等奖的学生中，用表示七年级学生，表示八年级学生，九年级的2名学生分别记为、， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好是一名七年级和一名九年级学生的结果有4种，即，，，． （恰好是一名七年级和一名九年级）， 答：两人恰好是一名七年级和名九年级的概率为． 【点睛】本题考查了树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图：利用树状图法展示所有等可能的结果数目，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率． 19. 甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件， （1）若该商场希望该商品每月能盈利11050元，且为了尽快减少库存，则该商品调整后的售价为多少元？ （2）按照此种降价促销方式，该商品月盈利能否达到12500元？_______（填“能”或者“不能”） 【答案】（1）该商品调整后的售价为33元 （2）不能 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该商品每件降价元，则该商品调整后的售价为元，每件的销售利润为元，每月可售出件，根据总利润单件利润月销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该商品每件降价元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，根据总利润单件利润月销售量，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该商品每件降价元，则该商品调整后的售价为元，每件的销售利润为元，每月可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：该商品调整后的售价为33元； 【小问2详解】 解：设该商品每件降价元，则每件的销售利润为元，每月可售出件， 依题意得：， 整理得：， △， ∴此方程无实数根， ∴该商品月盈利不能达到12500元． 故答案为：不能 20. 如图，和相交于点，，．点、分别是、的中点． （1）求证：； （2）当时，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：在与中， ∴， ∴， 又∵、分别是、的中点， ∴； （2） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）直接证明，得出，根据、分别是、的中点，即可得证； （2）证明四边形是平行四边形，进而根据，推导出是等边三角形，进而可得，即可证明四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21. 雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8m；然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB． 【答案】13.6m． 【解析】 【分析】由题意知，CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m，根据题意可得△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，根据相似三角形的性质得到，，可得，求得BD＝21m，得到，解得AB＝13.6m，从而求解． 【详解】解：由题意知，CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m， ∴FH＝2.8﹣1.5+1.7＝3m， ∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH， ∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH， ∴，， ∴，即， 解得：BD＝21m， ∴， 解得：AB＝13.6m． 即该校旗杆的高度AB为13.6m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用、相似三角形的判定与性质；根据题意得出方程是解决问题的关键，本题难度适中． 22. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）等腰三角形， 理由如下： 将代入方程，得：， 整理，得：， 即：， ∴， ∴为等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）将代入方程，进行整理即可判断的形状； （2）根据等边三角形三边相等，用表示，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ， 解得：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，以及解一元二次方程，同时考查了等腰三角形的判定和等边三角形的性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 23. 基础运用 （1）如图1，在正方形中，对角线和交于点，点是线段上的一个动点，且不与点和点重合． 连接和，将线段绕点旋转，点恰好落在边上的点处，点不与点重合． ①求证：； ②求证： 创新探究 （2）如图2，在菱形中，，对角线和交于点，点是线段上的一个动点，且不与点和点重合． 连接和，将线段绕点旋转，点恰好落在边延长线上的点处．求证：． 【答案】 （1）①证明：根据正方形对角线的性质， 垂直平分， 上的点到和B距离相等， ． ②证明：过点作于点，于点，如图 线段绕点旋转得到， ； 又， ； 又，，， 四边形是矩形， ； 是正方形， ， 则， ， ． （2）证明：根据菱形对角线的性质， 垂直平分， 上的点到和B距离相等， ； 又由旋转得到， ． 作交于点，交于E点，如图 则四边形是平行四边形，； 根据菱形性质：菱形的四条边都相等，及题意：， 得：， 和都是等边三角形； 作交于点， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据正方形对角线的性质，垂直平分，进而得出①结论；过点作于点，于点（如图），去证明四边形是矩形，，，从而推出结论； （2）根据菱形对角线的性质，证明出，作交于点，交于E点（如图），得出；根据菱形性质和题意，和都是等边三角形；作交于点，根据等腰三角形和等边三角形性质得出，，进而证明出结论． 【详解】（1）①略 ②略 （2）略 【点睛】本题主要考查了正方形、菱形、等腰、等边三角形的性质及旋转性质，根据题意作出正确的辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期 第一初中教育集团期中监测九年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题共10题，每题3分． 1. 同一枚硬币小明先抛一次，然后小亮再抛一次，两次都是反面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是用围棋棋子在6×6的正方形网格中摆出的图案，棋子的位置用有序数对表示，如A点为（5，1），若再摆一黑一白两枚棋子，使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（　　） A. 黑（1，5），白（5，5） B. 黑（3，2），白（3，3） C. 黑（3，3），白（3，1） D. 黑（3，1），白（3，3） 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 5. 下列两个三角形不一定相似的是（ ）． A. 有一个内角是的两个直角三角形 B. 有一个内角是的两个等腰三角形 C. 两条直角边的比都是的两个直角三角形 D. 腰与底的比都是的两个等腰三角形 6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在轴上，顶点B，C的坐标分别为(−6，0)，(4，0)，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某小区规划在一个长、宽的长方形土地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分钟花草，要使每一块花草的面积都为，那么通道宽应设计成多少？设通道宽为，则由题意列得方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（ ） A. 1 B. C. D. 9. 当 时，代数式的值是(　　) A. 0 B. C. D. 10. 如图1，在中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为，AP的长度为，y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分时t的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空共5题，每题3分． 11. 关于的一元二次方程有实数根，则满足_________． 12. 甲、乙两人玩游戏，把一个均匀的小正方体的每个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，任意掷出小正方体后，若朝上的数字比3大，则甲胜；若朝上的数字比3小，则乙胜，你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？________． 13. 若，则______． 14. 如图，在长为，宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的，则所截去小正方形的边长是___． 15. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边，上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是______． 三、计算题共2题，每题5分． 16. 解方程： （1） （2） 四、解答题共7题，其中17、18、19、20题各8分，21题9分，22题10分，23题14分． 17. 已知关于x的方程． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？ 18. 每年夏天全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某中学为确保学生安全，开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全竞赛．学校对参加比赛的学生获奖情况进行了统计，绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题． （1）参加此安全竞赛的学生共有 人， （2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为 ． （3）将条形统计图补充完整， （4）获得一等奖的学生中，1人来自七年级，1人来自八年级，2人来自九年级．学校决定从获得一等奖的学生中任选两名学生参加全市防溺水安全竞赛，请通过列表或树状图方法求所选两名学生中，恰好是一名七年级和一名九年级学生的概率 19. 甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件， （1）若该商场希望该商品每月能盈利11050元，且为了尽快减少库存，则该商品调整后的售价为多少元？ （2）按照此种降价促销方式，该商品月盈利能否达到12500元？_______（填“能”或者“不能”） 20. 如图，和相交于点，，．点、分别是、的中点． （1）求证：； （2）当时，求证：四边形是矩形． 21. 雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8m；然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB． 22. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 23. 基础运用 （1）如图1，在正方形中，对角线和交于点，点是线段上的一个动点，且不与点和点重合． 连接和，将线段绕点旋转，点恰好落在边上的点处，点不与点重合． ①求证：； ②求证： 创新探究 （2）如图2，在菱形中，，对角线和交于点，点是线段上的一个动点，且不与点和点重合． 连接和，将线段绕点旋转，点恰好落在边延长线上的点处．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $