3.7 函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质 2025年高考数学艺考生总复习（新教材新高考）

3.7 函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质 【题型1】 函数图象的变换 【基础知识】 (1) 平移变换 ① 将图像沿轴向左(右)平移个单位(左加右减)； ②将图像沿轴向上(下)平移个单位(上加下减). 解析 向左平移个单位，得到的函数不是， 而是. (2) 伸缩变换 ① 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍(伸长，缩短). ② 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍(缩短，伸长)； 问题 怎么理解呢？例：若将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那得到的函数是呢？ 解析 我们把的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，变大(与成反比，即变换后的函数应该是. 【经典例题】 【例1】（2025·广东·模拟测试）把函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，最后把图像向左平移个单位长度，则所得图像表示的函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024·江苏南京·二模）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 2（2025·广东·专练）为了得到的图象，只需把图象上所有点的（    ） A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 B．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 C．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 3（2025·广西·专练）将函数的图像上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，则所得图像对应的函数为 A． B． C． D． 4（2023·安徽蚌埠·三模）已知函数，则要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 5（2025·广东·模拟测试）函数的图象可以看成是将函数的图象（    ）得到的． A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 6（2025·湖北·模拟测试）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 7（2025·河南·模拟预测）已知曲线C1：y＝sin x，曲线C2：，则下列结论正确的是（    ） A．将曲线C1的图象向左平移个单位长度，得到曲线C2 B．将曲线C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到曲线C2 C．将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到曲线C2 D．将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到曲线C2 8（2025·广西·模拟测试）为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上（    ） A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 D．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度 9（2023·四川南充·三模）已知点是函数的一个对称中心，则为了得到函数的图像，可以将图像（    ） A．向右平移个单位，再向上移动1个单位 B．向左平移个单位，再向上移动1个单位 C．向右平移个单位，再向下移动1个单位 D．向右平移个单位，再向下移动1个单位 10（2022·四川泸州·一模）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度 B．先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度 C．先横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度 D．先横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位长度 【题型2】由图象求的解析式 【基础知识】 对的影响 影响函数的最值，影响函数周期()，影响函数水平位置. 【经典例题】 【例1】（2025·广东·模拟测试）若函数的部分图象如图所示，则其解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2025·广西·模拟测试）已知函数的部分图象如图所示．则的值为(    ) A． B．2 C． D． 2（2022·四川乐山·一模）函数的图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 3（2025·湖南·专练）函数的图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 4（2022·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 5（2020·四川广安·二模）函数（其中，，）的图象如图，则此函数表达式为（    ） A． B． C． D． 6 （2023·吉林通化·一模）函数（，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【题型3】 函数性质的综合应用 【经典例题】 【例1】（2023·北京丰台·一模）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数，求在区间上的最大值和最小值． 【巩固练习】 1（2025·湖南·专练）已知函数，图像的相邻两对称轴之间的距离为． （1）求的值；（2）若，求的值． 【A组---基础题】 1（2025·湖南·专练）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2（2025·广东·专练）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 3（2022·河南郑州·模拟预测）已知函数，为了得到函数的图象只需将y=f（x）的图象（    ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 4（2021·河南许昌·一模）要得到函数的图像，只而将函数的图像上所有的点的（    ） A．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 5（2025·湖南·专练）若函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 6（2025·广东·模拟测试）如图，函数的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 7（2025·湖北·专练）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．1 C． D． 8（多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数，，以下四种变换方式能得到函数的图象的是（    ） A.将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度 B.将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度 C.将函数的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 D.将函数的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 9（2025·河北·模拟测试）已知函数的部分图象，如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 10（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)若，方程有两个实数解，求实数m的取值范围． 11（2025·湖南·专练）已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）若函数在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围. 【B组---提高题】 1（2024·山东青岛·三模）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（     ） A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度 C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度 2（2020·陕西榆林·一模）已知函数满足如下条件： ①函数的最小值为-3，最大值为9； ②且； ③函数在区间上是单调函数，且的最大值为2. 试探究并解决如下问题： (1)求的值；(2)求在区间上的最小值. 3（2023·广东广州·三模）已知函数，. (1)若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的单调增区间； (2)若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.7 函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质 【题型1】 函数图象的变换 【基础知识】 (1) 平移变换 ① 将图像沿轴向左(右)平移个单位(左加右减)； ②将图像沿轴向上(下)平移个单位(上加下减). 解析 向左平移个单位，得到的函数不是， 而是. (2) 伸缩变换 ① 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍(伸长，缩短). ② 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍(缩短，伸长)； 问题 怎么理解呢？例：若将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那得到的函数是呢？ 解析 我们把的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，变大(与成反比，即变换后的函数应该是. 【经典例题】 【例1】（2025·广东·模拟测试）把函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，最后把图像向左平移个单位长度，则所得图像表示的函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数横坐标缩短到原来的，得到，再把纵坐标伸长到原来的倍，得到，再向左平移个单位长度，得到. 【详解】把函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的， 所得图像的函数解析式为， 再把纵坐标伸长到原来的倍， 所得图像的函数解析式为， 最后把图像向左平移个单位长度， 所得图像的函数解析式为. 故选B. 【点睛】本题考查余弦函数的横纵坐标的伸缩变换，和平移变换，属于简单题. 【巩固练习】 1（2024·江苏南京·二模）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【分析】根据正弦函数平移的原则即可得到答案. 【详解】， 则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可， 故选：A. 2（2025·广东·专练）为了得到的图象，只需把图象上所有点的（    ） A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 B．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 C．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 【答案】D 【分析】根据三角函数的图象变换即可得到结论. 【详解】将图象上所有的点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象. 故选：D. 3（2025·广西·专练）将函数的图像上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，则所得图像对应的函数为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据图像的变换原则即可得到结果 【详解】由题,将函数的图像上各点的纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,即得到, 故选：B 【点睛】本题考查三角函数图像变换,属于基础题 4（2023·安徽蚌埠·三模）已知函数，则要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【分析】利用三角函数的平移法则求解即可. 【详解】因为， 所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位即可， 故选：C. 5（2025·广东·模拟测试）函数的图象可以看成是将函数的图象（    ）得到的． A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】根据正弦型函数图象的变换规律进行求解即可. 【详解】因为， 所以函数的图象可以看成是将函数的图象向右平移个单位得到， 故选：B 6（2025·湖北·模拟测试）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】根据三角函数的图像变换求解. 【详解】因为， 所以， 故为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位长度. 故选:B. 7（2025·河南·模拟预测）已知曲线C1：y＝sin x，曲线C2：，则下列结论正确的是（    ） A．将曲线C1的图象向左平移个单位长度，得到曲线C2 B．将曲线C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到曲线C2 C．将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到曲线C2 D．将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到曲线C2 【答案】D 【分析】根据三角函数图象的变换，结合函数解析式，即可判断和选择. 【详解】将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 再将得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线. 故选：D． 8（2025·广西·模拟测试）为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上（    ） A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 D．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度 【答案】B 【分析】利用函数图象平移、伸缩变换的法则依次判定各个选择支的变化之后的函数解析式是否符合题目要求即可作出判定. 【详解】把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象， 接下来若向左平移个单位长度，得到函数的图象； 若向左平移个单位长度，得到函数的图象； 故A错误，B正确； C中的伸长到原来的本身说法矛盾，后面的平移参照A也是错误的，故C错误； D中伸长到原来的2倍，得到函数的图象，在无论怎样平移都得不到所要求的函数的图象，故D错误. 故选：B 9（2023·四川南充·三模）已知点是函数的一个对称中心，则为了得到函数的图像，可以将图像（    ） A．向右平移个单位，再向上移动1个单位 B．向左平移个单位，再向上移动1个单位 C．向右平移个单位，再向下移动1个单位 D．向右平移个单位，再向下移动1个单位 【答案】A 【分析】利用点是函数的一个对称中心，求出，在分析图像平移即可. 【详解】因为点是函数的一个对称中心， 所以， 所以， 又，所以， 所以 所以要得到函数的图像则只需将图像： 向右平移个单位，再向上移动1个单位， 故选：A. 10（2022·四川泸州·一模）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度 B．先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度 C．先横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度 D．先横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】根据三角函数图象的变换，结合函数解析式，即可直接判断和选择. 【详解】将的图象上所有的点先横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象， 再向左平移个单位长度得到的图象. 故选：B. 【题型2】由图象求的解析式 【基础知识】 对的影响 影响函数的最值，影响函数周期()，影响函数水平位置. 【经典例题】 【例1】（2025·广东·模拟测试）若函数的部分图象如图所示，则其解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象求得，分和分别求解即可. 【详解】由题意得，函数的周期， 所以，故A和B错误， 所以函数， 由题意得，函数最大值为， 当时，，则， 所以，取，则； 当时，，则， 所以，取，则； 显然，C选项可以表示该函数图象，D选项无法表示. 故选：C 【巩固练习】 1（2025·广西·模拟测试）已知函数的部分图象如图所示．则的值为(    ) A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据图像可知到的距离为该函数的个周期，据此即可求出ω. 【详解】由图可知－＝，故，故. 2（2022·四川乐山·一模）函数的图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像求出正弦型函数基本量，再由通过平移得解. 【详解】由图可知，过点，解得， 将的图像向右平移个单位 得到. 故选:D. 3（2025·湖南·专练）函数的图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的图象，依次求得和的值. 【详解】由图可知，， 则， 则当时，， 由于，所以. 故选：B 4（2022·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象求出A，最小正周期，进而求出，代入特殊点坐标，求出，从而求出函数解析式. 【详解】由图可知，，所以，解得. 故.因为图象过点， 所以，即，因为， 所以，故 故选：C 5（2020·四川广安·二模）函数（其中，，）的图象如图，则此函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象可以得到振幅，再计算出周期和初相位后可得函数的的解析式. 【详解】由图象知，，则， 图中的点应对应正弦曲线中的点， 所以，因为，故， 故函数表达式为. 故选：B. 【点睛】本题考查正弦型函数解析式的求法，此类问题，一般是“两看一算”，两看指看振幅与周期，算指利用图象的最高点或最低点或对称中心计算初相位，本题属于基础题. 6 （2023·吉林通化·一模）函数（，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】 由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，得出结论． 【详解】解：根据函数（其中，的图象， 可得，， 再根据五点法作图，可得，，． 故把图象向右平移个单位长度，可得到的图象， 故选：D． 【题型3】 函数性质的综合应用 【经典例题】 【例1】（2023·北京丰台·一模）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数，求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为和最小值为0 【分析】（1）由图象及三角函数的性质可以得到，进而得到的解析式； （2）根据三角恒等变换化简，进而分析在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1）由图象可知：， 将点代入得， ∴ （2） 由得 当时，即； 当时，即； 【巩固练习】 1（2025·湖南·专练）已知函数，图像的相邻两对称轴之间的距离为． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合对称性求出周期和即可． （2）利用换元法，结合三角函数的倍角公式进行转化即可． 【详解】（1）， 图象的相邻两对称轴之间的距离为， ，即，得． （2），， ，，得， 设，则，且， 【A组---基础题】 1（2025·湖南·专练）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可. 【详解】因为， 所以由函数的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象， 故选：C 2（2025·广东·专练）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 【答案】B 【分析】利用三角函数的伸缩变换可以得到答案. 【详解】因为把函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，就能得到函数的图象. 故选：B 3（2022·河南郑州·模拟预测）已知函数，为了得到函数的图象只需将y=f（x）的图象（    ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】C 【分析】根据诱导公式，即可得到平移方法. 【详解】函数， ， 所以为了得到函数的图象只需将y=f（x）的图象向左平移个单位. 故选：C 4（2021·河南许昌·一模）要得到函数的图像，只而将函数的图像上所有的点的（    ） A．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 【答案】B 【分析】先把化成，与比较后可得变换的途径. 【详解】可化为， 把曲线的上的点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 则可得到的图象，再将该图象向右平移个单位， 则可得的图象，故B正确. 故选：B. 5（2025·湖南·专练）若函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图像可得，，从而利用周期公式可求出的值，由函数图像的对称轴为，由此可求出的值. 【详解】由函数的部分图像可知，，故，所以即.。 由函数图像的对称轴为，所以， 因，故，所以， 故选：D. 【点睛】此题考查由三角函数的图像求函数的解析式，解题的关键是利用“五点法”作图，属于基础题 6（2025·广东·模拟测试）如图，函数的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将图像上特殊点的坐标代入选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】对于B选项，由于，不正确；对于C选项，由于，不正确；对于D选项，由于，不正确.故本题选A. 【点睛】本小题主要考查已知三角函数图像判断函数的解析式，利用特殊值排除法，可快速得出正确选项，属于基础题 7（2025·湖北·专练）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由函数的部分图象知，，，解得， 从而求出，又根据，求得，即可求得，代入即可得解. 【详解】由函数的部分图象知， ，，解得， ∴； 又， 可得，， 解得，， ∵，∴可得， ∴， ∴. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用三角函数的图像求三角函数的解析式，考查了振幅、周期等基本量所对应的图像中元素，考查了数形结合，计算量不大，属于基础题. 8（多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数，，以下四种变换方式能得到函数的图象的是（    ） A．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度 B．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度 C．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 D．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 【答案】BC 【分析】先利用诱导公式将函数变为正弦型三角函数；再利用三角函数图象间的变换规律即可得出答案. 【详解】 由三角函数图象间的变换规律知： 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数 的图象； 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． 故选：BC． 9（2025·河北·模拟测试）已知函数的部分图象，如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出，由最小正周期求出，并确定. （2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域. 【详解】（1）解：根据函数的部分图象 可得，，所以. 再根据五点法作图可得， 所以，. （2）将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. 由，可得 又函数在上单调递增，在单调递减 ，， 函数在的值域. 10（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)若，方程有两个实数解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)最小正周期，对称中心为 (2) 【分析】（1）先将通过和差、二倍角公式、辅助角公式化简，再套用周期和对称中心的公式即可. （2）结合正弦函数的图像即可求得答案. 【详解】（1）      =      =      = = 所以，最小正周期， 由，得 所以，对称中心为． （2）因为，所以， 由正弦曲线可得． 11（2025·湖南·专练）已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）若函数在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围. 【答案】（1）；（2）最大值为2，最小值为 ；（3）. 【解析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式对函数化简，再利用周期公式可求出周期； （2）由得，再结合正弦函数的图像和性质可求出函数的最值； （3）由函数在上单调递增，，在上单调递减，，从而可求出实数k的取值范围. 【详解】（1）由， 得的最小正周期为. （2）因为， 所以， 所以. 从而. 所以，当，即时，的最大值为2； 当，即时，的最小值为. （3）由，得，而函数在上单调递增， ，在上单调递减，， 所以若函数在上有两个不同的零点，则. 【点睛】此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查正弦函数图像和性质的应用，属于基础题 【B组---提高题】 1（2024·山东青岛·三模）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（     ） A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度 C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度 【答案】A 【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数的图象变换规律，得出结论． 【详解】， 由诱导公式可知： 又 则，即只需把图象向右平移个单位. 故选：A 2（2020·陕西榆林·一模）已知函数满足如下条件： ①函数的最小值为-3，最大值为9； ②且； ③函数在区间上是单调函数，且的最大值为2. 试探究并解决如下问题： (1)求的值； (2)求在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据最值得到，求出，利用三角恒等变换得到，根据的最大值为2得到，解得，求出； （2）根据（1）及求出，得到函数解析式，从而得到函数在上的最值. 【详解】（1）， ，解得. ， 在区间上是单调函数，且的最大值为2， ∴，解得， ，即. （2）由（1）得， ， ， ， 或. ， ∴， . 由，得， ， 故在区间上的最小值为. 3（2023·广东广州·三模）已知函数，. (1)若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的单调增区间； (2)若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，根据条件求出函数的周期和，即可求解单调区间. （2）根据函数的对称性和单调性建立不等式关系进行求解即可. 【详解】（1）， 因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为， 所以，则，所以，解得， 所以. 由，，解得 ， 因此的单调增区间是，. （2）由， 函数的图象关于对称， 所以，，所以，， 由，，则， 又函数在上单调， 所以，解得， 由，解得，此时. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$