3.6 正切函数的图象与性质 - 2025年高考数学艺考生总复习（新教材新高考）

3.6 正切函数的图象与性质 【基础知识】 注 表中的 图像 定义域 值域 最值 既无最大值也无最小值 周期性 对称中心 对称轴 无对称轴 单调性 在上是增函数 【经典例题】 角度1 定义域与周期性 【例1】（2025·广西·专练）求函数的定义域和周期． 【答案】，. 【分析】利用正切函数的定义域、周期求解即得. 【详解】函数中，，解得， 所以函数的定义域是,周期为. 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）函数的最小正周期为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正切函数的周期公式求出结果. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：D 2（2022·上海黄浦·模拟预测）下列函数定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数、对数函数、幂函数、正切函数的定义域逐一判断即可得解. 【详解】解：对于A，函数的定义域为， 对于B，函数的定义域为， 对于C，函数的定义域为， 对于D，函数的定义域为. 故选：C. 3（2025·广东·专练）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数的定义域，根据整体法即可求解. 【详解】令，解得， 故选：A 4（2025·广东·专练）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体代入法求得正确答案. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D 角度2 对称性 【例1】（2025·广东·模拟测试）函数的图像的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的对称中心是，求出的图像的对称中心，即可得到答案. 【详解】解：根据正切函数的对称中心是， 令，解得，； 所以函数的图像的对称中心为 故选：D 【巩固练习】 1（2025·广西·模拟测试）下列是函数的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】整体法求出函数的对称中心为，一一检验得到答案. 【详解】令，解得， 故函数的对称中心为， 故AB错误； 当时，，故对称中心为，D正确， 经检验，C不满足要求. 故选：D 2（2025·湖南·模拟测试）函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用正切型函数的性质，准确运算，即可求解. 【详解】由函数，令，解得， 令，可得，所以函数的一个对称中心有，其它不是对称中心. 故选：B． 3（2025·广东·模拟测试）函数的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程，，即得解. 【详解】函数中， 令，； 解得，； 所以时，的一个对称中心是，． 故选：A． 【点睛】方法点睛：求函数，只需解方程. 注意是不是. 角度3 单调性 【例1】（2025·山东·模拟测试）函数的递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可求出函数递增区间 【详解】由，得 ， 得， 所以函数的递增区间为， 故选：B 【巩固练习】 1（2025·广东·模拟测试）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性、单调性逐项判断可得答案. 【详解】对于A，定义域为，关于原点对称，因为， 所以为奇函数，且在区间上单调递减，故A错误； 对于B，定义域为，关于原点对称，因为， 所以为偶函数，故B错误； 对于C，定义域为，关于原点对称，因为， 所以为奇函数，且在区间上单调递增，故C正确； 对于D，定义域为， 所以在区间上不具备单调性，故D错误. 故选：C. 2（2025·河北·模拟测试）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用整体法即可结合正切函数的单调性求解. 【详解】由，得， 所以函数的单调递增区间为. 故选:B. 3（2025·广东·专练）函数的单调递增区间为（    ） A．， B．， C． ， D． ， 【答案】A 【分析】利用正切函数的单调递增区间，可令，求得x的范围，即得答案. 【详解】根据正切函数的单调性可得，欲求的单调增区间， 令 ，，解得 ，， 所以函数的单调递增区间为，， 故选：A. 4（2025·广东·模拟测试）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调区间求解． 【详解】由得，， 增区间为，． 故选：A． 角度4 值域 【例1】（2025·广东·专练）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，即可求解. 【详解】设，因为，可得， 因为正切函数在上的值域为， 即函数在的值域为. 故答案为：. 【巩固练习】 1（2025·广西·模拟测试）函数在上的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用正切函数的单调性可得在处取得最小值. 【详解】由正切函数的单调性可知，在上为单调递增， 所以其最小值为. 故选：D 2（2025·四川·模拟测试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作换元,根据已知求得的范围，然后根据正切函数的性质得到所求函数值域，进而作出判定. 【详解】设,因为，所以， 因为正切函数在上为单调递增函数，且, 所以． ∴函数的值域为， 故选：A． 3（2025·广东·专练）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的范围，再由正切函数的性质求出范围，再乘以3即可. 【详解】 故选：C. 【A组---基础题】 1（2025·广东·模拟测试）下列函数中，周期是，又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据周期公式和奇函数定义判断各个选项； 【详解】对于A.周期是，A错误； 对于B.周期是，因为是偶函数，B错误； 对于C.周期是，因为是偶函数，C错误； 对于D.周期是，又是奇函数，D正确； 故选：D. 2（2025·广东·专练）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案. 【详解】由题意可得：，解得， 函数的定义域为. 故选：A. 3（2025·四川·专练）下列坐标所表示的点不是函数的图像的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出对称点横坐标的表达式，改变系数的值即可得出对称中心. 【详解】解：由题意 在中， 令， 解得， 当时，， ∴函数的一个对称中心是，A正确. 当时，， ∴函数的一个对称中心是，D正确. 当时，， ∴函数的一个对称中心是，C正确. 故选：B. 4（2025·广东·模拟测试）若函数的最小正周期为1，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，结合正切函数的对称性计算即可得函数图象的对称中心. 【详解】，故， 当时，， 令，解得， 当时，， 令，解得， 故函数图象的对称中心为. 故选：B. 5（2025·河南·模拟测试）函数的单调区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数的性质可得，解得答案. 【详解】由，解得， 所以函数的单调区间是. 故选：A. 6（2025·河南·模拟测试）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式，可解得原函数的单调递增区间. 【详解】解不等式，可得， 因此，函数的单调递增区间是. 故选：B. 【点睛】本题考查正切型三角函数单调区间的求解，考查计算能力，属于基础题. 7（2025·湖南·模拟测试）下列关于函数的说法正确的是（    ） A．图象关于点成中心对称 B．图象关于直线成轴对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 【答案】A 【分析】根据三角函数的对称性、定义域、单调性等知识确定正确答案. 【详解】当时，，所以是函数的中心对称， 所以A选项正确，B选项错误. C选项，注意到时，，而不存在，所以C选项错误. D选项，注意到时，，而不存在，所以D选项错误. 故选：A 8（2025·广东·模拟测试）函数f（x）=tan2x在[-，]上的最大值与最小值的差为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据正切函数的单调性可得最值，进而即可求解． 【详解】解：函数f（x）＝tan2x在[，]上是单调递增函数， 可得f（x）max＝tan（2）； 可得f（x）min＝tan（﹣2）； ∴最大值与最小值的差为2； 故选A． 【点睛】本题考查正切函数的单调性的应用，属于基础题． 9（2025·广东·模拟测试）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切函数的定义域和值域，求得该函数的值域． 【详解】解：对于函数，，， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查正切函数的定义域和值域，属于基础题． 10（2025·山西·模拟测试）已知函数，则下列结论不正确的是（    ） A．是的一个周期 B． C．的值域为 D．的图象关于点对称 【答案】B 【分析】由正切函数的最小正周期可判断A选项的正误；求得和的值，可判断B选项的正误；利用正切函数的值域可判断C选项的正误；利用正切函数的对称性可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，所以是的一个周期，A选项正确； 对于B选项，，，B选项错误； 对于C选项，函数的值域为，C选项正确； 对于D选项，函数的图象关于点对称，D选项正确. 故选：B. 【点睛】本题考查有关正切函数基本性质的判断，属于基础题. 11（2025·广东·模拟测试）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在定义域内是增函数 B．是奇函数 C．的最小正周期是π D．图像的对称中心是， 【答案】D 【分析】根据题意结合正切函数性质逐项分析判断. 【详解】对于选项AC：因为的最小正周期是，可知在定义域内不单调，故AC错误； 对于选项B：，可知不是奇函数，故B错误； 对于选项D：令，解得， 所以图像的对称中心是，，故D正确； 故选：D. 12已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的值域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D． 【答案】D 【分析】根据解析式，求出的周期和值域以及对称中心，判断出和的正负，从而得到答案. 【详解】A：因为， 所以函数的最小正周期，故A正确. B：由正切函数的图像和性质可知函数的值域为，故B正确. C：由，， 得，， 当时，， 所以点是函数的图象的一个对称中心，故C正确. D：因为， ， 所以，故D不正确. 故选：D. 13已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．函数的定义域为 D．函数在区间单调递增 【答案】B 【分析】根据正切函数的周期性、对称性、定义域和单调性相应的理论进行求解判断即可. 【详解】对于A：根据正切函数周期公式，得函数的最小正周期为，故A错； 对于B：根据正切函数对称中心令， 所以当时得到图象的一个对称中心为，故B正确； 对于C：令， 得到的定义域为，故C错； 对于D，令时，，函数没有意义，故D错. 故选：B. 14（多选）已知函数，则下列命题中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．图象的对称中心为， D．的单调递增区间为， 【答案】ACD 【分析】根据正切函数的图象及性质解决即可. 【详解】由题知，函数， 所以的最小正周期为，故A正确； 的定义域满足，即 所以的定义域为，故B错误； 图象的对称中心应满足，即， 所以图象的对称中心为，，故C正确； 的单调递增区间应满足，即，, 所以的单调递增区间为，，故D正确； 故选：ACD 15函数的定义域是 . 【答案】 【分析】由正切函数的定义域，整体思想可求得函数的定义域. 【详解】由正切函数的定义域可得，，，得，， 故函数的定义域为. 故答案为：. 【B组---提高题】 1（2025·广东·模拟测试）已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的单调性确定，再根据复合函数的单调性即可求出的值域，即得答案. 【详解】令，则， 因为在上单调递增，且，所以， 又在上单调递减，且，所以， 即的值域是. 故选：C. 2（2023·广西桂林·模拟预测）在中，“”是“”的（） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】依题意可得，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在中， 由得不到，如时，即充分性不成立； 若，则，即由能够得到，即必要性成立， 所以在中，“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 3（2023·四川自贡·一模）函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据区间的定义以及的有界性确定的范围，然后再利用正切函数的单调性得到的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出即可. 【详解】，，， 根据函数在的最大值为7,最小值为3， 所以，即，根据正切函数在为单调增函数， 则，在上单调减函数， ，， 则，，，， ， 故选：B. 4（2025·广东·模拟测试）下列关于函数说法正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数为奇函数 C．函数的最小值为0 D．函数的最小正周期为 【答案】D 【分析】由解析式有意义列不等式求函数的定义域，判断A；根据偶函数的定义判断B；根据正切函数的性质作函数的图象，利用图象判断C，D. 【详解】对于选项A，函数的定义域为，故选项A错误; 对于选项B，函数的定义域为关于原点对称， 又，则函数为偶函数，故选项B错误; 对于选项C，根据函数的奇偶性结合正切函数的相关性质， 根据图象变换作出函数草图如下： 由图可知，函数没有最小值，最大值为0，故选项C错误; 对于选项D，同样由图可知函数的最小正周期为，故选项D正确. 故选：D. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.6 正切函数的图象与性质 【基础知识】 注 表中的 图像 定义域 值域 最值 既无最大值也无最小值 周期性 对称中心 对称轴 无对称轴 单调性 在上是增函数 【经典例题】 角度1 定义域与周期性 【例1】（2025·广西·专练）求函数的定义域和周期． 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）函数的最小正周期为（   ） A．4 B． C．8 D． 2（2022·上海黄浦·模拟预测）下列函数定义域为的是（    ） A． B． C． D． 3（2025·广东·专练）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4（2025·广东·专练）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 角度2 对称性 【例1】（2025·广东·模拟测试）函数的图像的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2025·广西·模拟测试）下列是函数的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 2（2025·湖南·模拟测试）函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 3（2025·广东·模拟测试）函数的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 角度3 单调性 【例1】（2025·山东·模拟测试）函数的递增区间是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2025·广东·模拟测试）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2（2025·河北·模拟测试）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3（2025·广东·专练）函数的单调递增区间为（    ） A．， B．， C． ， D． ， 4（2025·广东·模拟测试）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 角度4 值域 【例1】（2025·广东·专练）函数的值域为 . 【巩固练习】 1（2025·广西·模拟测试）函数在上的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 2（2025·四川·模拟测试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3（2025·广东·专练）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【A组---基础题】 1（2025·广东·模拟测试）下列函数中，周期是，又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2（2025·广东·专练）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3（2025·四川·专练）下列坐标所表示的点不是函数的图像的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 4（2025·广东·模拟测试）若函数的最小正周期为1，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 5（2025·河南·模拟测试）函数的单调区间是（    ） A． B． C． D． 6（2025·河南·模拟测试）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 7（2025·湖南·模拟测试）下列关于函数的说法正确的是（    ） A．图象关于点成中心对称 B．图象关于直线成轴对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 8（2025·广东·模拟测试）函数f（x）=tan2x在[-，]上的最大值与最小值的差为（　　） A． B． C．2 D． 9（2025·广东·模拟测试）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 10（2025·山西·模拟测试）已知函数，则下列结论不正确的是（    ） A．是的一个周期 B． C．的值域为 D．的图象关于点对称 11（2025·广东·模拟测试）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在定义域内是增函数 B．是奇函数 C．的最小正周期是π D．图像的对称中心是， 12已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的值域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D． 13已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．函数的定义域为 D．函数在区间单调递增 14（多选）已知函数，则下列命题中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．图象的对称中心为， D．的单调递增区间为， 15函数的定义域是 . 【B组---提高题】 1（2025·广东·模拟测试）已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2（2023·广西桂林·模拟预测）在中，“”是“”的（） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3（2023·四川自贡·一模）函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 4（2025·广东·模拟测试）下列关于函数说法正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数为奇函数 C．函数的最小值为0 D．函数的最小正周期为 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$