3.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2025年高考数学艺考生总复习（新教材新高考）

3.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【题型1】两角和与差的正弦公式 【基础知识】 正弦两角和差公式 【经典例题】 【例1】（2024·云南·模拟预测）计算：（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023·广东珠海·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，角的终边经过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2023·陕西宝鸡·一模）（    ） A． B． C． D．1 2（2023·重庆·一模）（    ） A． B． C． D．1 3（2024·河南新乡·模拟预测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D．0 4（2022·湖南长沙·模拟预测）若，则=（    ） A． B． C． D． 5已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 6（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知是单位圆上不同的两点，其中在第一象限，在第二象限，直线的倾斜角分别为，若点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 7（2024·江西新余·模拟预测）已知为锐角，，则（    ）. A． B． C． D． 8（2024·河南·三模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型2】两角和与差的余弦公式 【基础知识】 余弦两角和差公式 【经典例题】 【例1】（2023·江西赣州·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·宁夏石嘴山·三模）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024·四川达州·二模）（    ） A．1 B． C． D． 2（2024·全国·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 3（2023·江西上饶·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4（2022·四川绵阳·二模）已知角的终边过点，则（ ） A． B．0 C． D． 5（2022·江苏·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型3】 辅助角公式 【基础知识】 辅助角公式 其中. 熟记两个特殊角的化简过程 型，配 型，配 【经典例题】 【例1】（2022·内蒙古包头·一模）函数的最小正周期和最大值分别是（    ） A．和2 B．和 C．和 D．和2 【例2】（2024·福建厦门·三模）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024·江西新余·模拟预测）函数的最大值为：（     ）. A． B． C． D． 2（2022·全国·模拟预测）若“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3已知函数，则的（    ） A．最小正周期为，最小值为 B．最小正周期为，最小值为 C．最小正周期为，最小值为 D．最小正周期为，最小值为 4要得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【题型4】 两角和与差的正切公式 【基础知识】 正切两角和差公式 【经典例题】 【例1】（2024·山西吕梁·二模）已知角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2025·四川·专练） （    ） A． B．2 C．1 D． 2（2023·四川宜宾·二模）已知，则（    ） A．1 B． C． D． 3（2023·陕西榆林·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4如图，有三个相同的正方形相接，若，，则（   ） A． B． C． D． 5（2024·江苏苏州·模拟预测）设锐角与，若，，则（   ） A． B． C． D． 6（2025·四川·专练）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则＝（  ） A． B． C． D． 7（2024·江西·二模）已知，，则（    ） A．8 B． C． D． 【A组---基础题】 1（2023·湖南岳阳·模拟预测）计算（    ） A． B． C． D． 2（2024·浙江宁波·二模）若为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 3已知，则（    ） A． B． C． D． 4（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）若是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 5（2025·广东·专练）已知，则（    ） A．2 B． C． D． 6（2025·湖北·专练）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7（2024·四川宜宾·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 8（2024·四川南充·二模）已知角顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，则（    ） A． B． C． D． 9（2024·北京·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 10（2025·四川·专练）该函数的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 11（2025·广西·专练）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 12（2024·山东·二模）在平面直角坐标系中，角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 ． 13（2024·陕西铜川·二模）已知锐角满足，，则 . 14（2024·广东惠州·一模）若角的终边在第四象限，且，则 ． 15（2022·全国·模拟预测）若函数的最小正周期为4，则 ． 【B组---提高题】 1（2024·浙江·模拟预测）在中，和是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 2（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，锐角以为顶点，为始边.将的终边绕逆时针旋转后与单位圆交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 3（2024·湖南·二模）若锐角满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4（多选）（2025·黑龙江大庆·一模）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【题型1】两角和与差的正弦公式 【基础知识】 正弦两角和差公式 【经典例题】 【例1】（2024·云南·模拟预测）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需要通过诱导公式、两角和差公式即可得到答案. 【详解】， 故选：A. 【例2】（2023·广东珠海·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，角的终边经过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数定义得到，进而利用正弦差角公式求出答案. 【详解】由三角函数定义得，， 所以. 故选：C 【巩固练习】 1（2023·陕西宝鸡·一模）（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式计算可得. 【详解】解： . 故选：C 2（2023·重庆·一模）（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用诱导公式，逆用正弦和角公式计算出答案. 【详解】 . 故选：C 3（2024·河南新乡·模拟预测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】利用两角和的余弦公式化简，进而可求最大值. 【详解】由题意可得， 所以的最大值为． 故选：C. 4（2022·湖南长沙·模拟预测）若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再利用差角的正弦公式求解. 【详解】解：因为，，所以， 所以＝. 故选：D． 5已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角函数的定义求出，再根据两角差的正弦公式即可得解. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以. 故选：A. 6（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知是单位圆上不同的两点，其中在第一象限，在第二象限，直线的倾斜角分别为，若点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义，可得，， 即可利用和差角公式求解. 【详解】单位圆的方程为，将点的横坐标分别代入单位圆的方程，可求得， 根据三角函数的定义知，， 因此． 故选:D． 7（2024·江西新余·模拟预测）已知为锐角，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的和差公式展开，整理得，再利用三角函数的基本关系式即可得解. 【详解】因为， 所以， 即， 易知，所以，则， 又为锐角，所以. 故选：C. 8（2024·河南·三模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算，再根据和角公式计算即可. 【详解】因为， 又，即，则， 所以， 故. 故选：D 【题型2】两角和与差的余弦公式 【基础知识】 余弦两角和差公式 【经典例题】 【例1】（2023·江西赣州·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式和余弦两角和公式求解即可. 【详解】 . 故选：C. 【例2】（2024·宁夏石嘴山·三模）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方关系求出，然后由余弦的两角差公式可得. 【详解】因为，，，， 所以， 所以. 故选：A 【巩固练习】 1（2024·四川达州·二模）（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式计算可得. 【详解】 . 故选：D 2（2024·全国·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数关系及的范围得到，再利用两角和的余弦公式得到. 【详解】，，， ， 故选：A． 3（2023·江西上饶·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的正切值，求出正弦及余弦值，再结合两角和的余弦公式展开求解. 【详解】已知 ，则，. 则. 故选：B. 4（2022·四川绵阳·二模）已知角的终边过点，则（ ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数定义求出sinα和cosα，利用余弦的和角公式即可求. 【详解】由题可知， ∴. 故选：B. 5（2022·江苏·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的余弦公式化简，然后再化弦为切即可得解. 【详解】解：由得，, 所以,解得. 故选：A. 【题型3】 辅助角公式 【基础知识】 辅助角公式 其中. 熟记两个特殊角的化简过程 型，配 型，配 【经典例题】 【例1】（2022·内蒙古包头·一模）函数的最小正周期和最大值分别是（    ） A．和2 B．和 C．和 D．和2 【答案】C 【分析】根据辅助角公式，可得，再根据正弦函数的性质，即可求出结果. 【详解】因为， 所以函数的最小正周期为； 又，所以 所以函数的最大值为. 故选：C. 【例2】（2024·福建厦门·三模）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将化为正弦型，然后由平移规律可得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：A 【巩固练习】 1（2024·江西新余·模拟预测）函数的最大值为：（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角恒等变换的知识化简的表达式，进而求得的最大值. 【详解】 . 所以的最大值为. 故选：A 2（2022·全国·模拟预测）若“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出全称命题为真命题，利用辅助角公式求出，从而求出实数a的取值范围. 【详解】因为“，使得”为假命题， 则“，使得”为真命题， 因为， 所以实数a的取值范围是 故选：D 3已知函数，则的（    ） A．最小正周期为，最小值为 B．最小正周期为，最小值为 C．最小正周期为，最小值为 D．最小正周期为，最小值为 【答案】B 【分析】先化简函数，再结合周期公式求解周期，根据解析式求解最值. 【详解】因为， 所以最小正周期为,最小值为. 故选：B. 4要得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】先利用辅助角公式得到，进而利用左右平移满足“左加右减”进行求解. 【详解】， 把函数的图象向左平移个单位得到，满足要求，A正确， 其他选项均不合要求. 故选：A 【题型4】 两角和与差的正切公式 【基础知识】 正切两角和差公式 【经典例题】 【例1】（2024·山西吕梁·二模）已知角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义可得，即可利用和差角公式求解，或者根据特殊角得，代入求解. 【详解】方法一；由角终边经过点，可得，所以. 故选：A. 方法二：角终边经过点，故为第二象限角，，则， 则. 故选:A. 【巩固练习】 1（2025·四川·专练） （    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】逆用两角和的正切公式直接计算即可. 【详解】. 故选：A 2（2023·四川宜宾·二模）已知，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切的和差角公式即可代入求解. 【详解】， 故选：C 3（2023·陕西榆林·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正切公式计算即可求解. 【详解】由，解得. 故选：A. 4如图，有三个相同的正方形相接，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方体边长为1，由图可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【详解】设正方体边长为1，由图可得， 则且， 所以. 故选：B. 5（2024·江苏苏州·模拟预测）设锐角与，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切的和角公式求出，再结合角，均为锐角，即可求出的值. 【详解】因为，，所以， 又因为角，均为锐角，所以，所以. 故选：A. 6（2025·四川·专练）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则＝（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据任意角的三角函数求出，再求出的值，最后根据两角和的正切公式即可求出所需的值. 【详解】由任意角的三角函数公式可知，解得， 所以，所以， 故选：C 7（2024·江西·二模）已知，，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】由利用两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 【A组---基础题】 1（2023·湖南岳阳·模拟预测）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式进行变形后，根据两角和的余弦公式进行化简再计算即可. 【详解】因为 ， 故选：D. 2（2024·浙江宁波·二模）若为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角关系得，即可由和差角公式求解. 【详解】为锐角，,故， 所以， 故选：A 3已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知利用两角和与差的余弦公式化简，再将两式相减可求得结果. 【详解】由，得， 由，得， 所以，得， 故选：B 4（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）若是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用两角和的正切公式计算出，再用三角函数定义求得. 【详解】，得，解得. 是第二象限角, 终边取点，则. 故选：A. 5（2025·广东·专练）已知，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由正切函数的差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由正切的差角公式可得 . 故选：B 6（2025·湖北·专练）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据的范围确定，然后使用正切差公式. 【详解】由，知，故，从而. 所以. 故选：D. 7（2024·四川宜宾·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先对进行化简整理，得到，求得结果. 【详解】 ， 所以. 故选：A. 8（2024·四川南充·二模）已知角顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义求出，，再由两角和的余弦公式计算可得. 【详解】因为角的终边与单位圆相交于点， 所以，， 所以. 故选：C 9（2024·北京·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和与差的正弦公式以及同角三角函数的关系求解即可. 【详解】 ，即， ，即， ， ，解得， ， . 故选：D. 10（2025·四川·专练）该函数的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据辅助角公式化简结合三角函数的性质即得. 【详解】因为，又， 所以函数的最大值是2. 故选：C. 11（2025·广西·专练）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】D 【分析】化简，根据图象的平移可得结果. 【详解】函数， 故只需将函数的图象向左平移个单位， 得的图象． 故选：D． 12（2024·山东·二模）在平面直角坐标系中，角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 ． 【答案】/ 【分析】先利用角的终边所经过的点求出，再求. 【详解】因为角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点， 所以，； . 故答案为： 13（2024·陕西铜川·二模）已知锐角满足，，则 . 【答案】/ 【分析】利用同角三角函数关系可求得，代入两角和差余弦公式即可. 【详解】均为锐角，，， . 故答案为：. 14（2024·广东惠州·一模）若角的终边在第四象限，且，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数之间的基本关系可求得，再利用两角差的正切公式代入计算可得结果. 【详解】由可得， 又角的终边在第四象限，可得，即； 所以. 即. 故答案为： 15（2022·全国·模拟预测）若函数的最小正周期为4，则 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式及正弦函数两角差公式将函数化为正弦型函数，然后利用最小正周期求解． 【详解】解: ， 则，得． 故答案为：. 【B组---提高题】 1（2024·浙江·模拟预测）在中，和是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由韦达定理，，结合诱导公式、两角和的正切即可求解. 【详解】因为和是方程的两个根，所以由韦达定理有， 所以. 故选：A. 2（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，锐角以为顶点，为始边.将的终边绕逆时针旋转后与单位圆交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角的平方关系求出，结合三角函数的定义和两角和的正弦公式计算即可求解. 【详解】如图， 由，，得， 所以. 故选：D 3（2024·湖南·二模）若锐角满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式得，再由基本不等式求得的最小值. 【详解】. 于是，当且仅当时取等号， 则的最小值为. 故选：D. 4（多选）（2025·黑龙江大庆·一模）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用辅助角公式将函数化简，再由诱导公式判断A、B；求出函数的导函数，即可判断C；根据正弦函数的性质判断D. 【详解】因为， 则，故A错误； ，故B正确； 又，当，则， 所以， 所以，即，故C正确； 当，则，所以， 所以，故不使得，故D错误. 故选：BC 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$