3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 -2025年高考数学艺考生总复习（新教材新高考）

3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 【题型1】 、与的“知一求二” 【基础知识】 同角三角函数基本关系式 【经典例题】 【例1】（2022·广东惠州·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由及解出与即可求解. 【详解】因为，且，， 所以，， 所以. 故选：A. 【巩固练习】 1（2024·吉林·模拟预测）已知，是第三象限角，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平方关系、第三象限角的余弦值符号即可得解. 【详解】由题意，是第三象限角，. 故选：A. 2（2021·陕西咸阳·二模）已知，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据同角三角关系运算求解，注意判断三角函数值的符号. 【详解】因为，则， 所以. 故选：B. 3（2025·广东·专练）已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角的三角函数关系计算可得结果. 【详解】因为，， 故，故， 故选：B． 4（2024·四川乐山·三模）已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角的平方关系与商数关系即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以，又为第二象限角，所以. 故选：A. 5已知，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的范围和余弦值求出角的大小，然后求出的值. 【详解】因为，，所以，. 故选：D. 6（2023·河北邯郸·模拟预测）若角为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，又角为第二象限角， 解得. 故选：B 7（2024·吉林·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用齐次式法求值，代入计算即可得答案. 【详解】由于，故. 故选：B 【题型2】、与的“知一求二” 【基础知识】 ； 【经典例题】 【例1】（2023·山西·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数基本关系式，以及三角函数在各个象限内的正负，可得，从而求出的值. 【详解】因为，所以，即，所以. 因为，所以，所以. 因为， 所以. 故选：B. 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）已知且，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：因,故,而,故.应选C. 考点：同角的三角函数关系及运用. 2 （2025·湖南·专练）已知，且，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知等式两边平方，利用三角函数的基本关系求得的值，结合的范围确定与的正负，再利用完全平方公式及三角函数的基本关系可求得的值. 【详解】因为，两边平方得， 故，所以与导号， 又因为，所以，， 所以. 故选：C. 3（2025·河北·专练）已知，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】利用同角三角函数基本关系式即可得出. 【详解】，与联立， 可得， 则 ， 故选：D. 【题型3】 诱导公式 【基础知识】 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限 (奇偶指的是中整数是奇数还是偶数，看象限时把看作锐角) 【例】 利用诱导公式化简以下式子：(1) ； (2)，(3) . 解析 (1) 视为锐角，在第三象限，第三象限符号是 (2) 视为锐角，在第三象限，第三象限符号是 (3) 视为锐角，在第四象限，第四象限符号是 3 常见结论 (1) ，； (2) . 【例】求的值. 解 ，. 【经典例题】 角度1 求已知角的三角函数值 【例1】（2025·广东·专练）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简求值 【详解】由诱导公式可知，. 故选：A 【巩固练习】 1（2025·山西·专练）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值，即可得答案. 【详解】由题意得， 故选：C 2（2025·广西·专练）化简的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式和常见三角函数值得出结论即可. 【详解】 故选：D 3（2022·内蒙古呼和浩特·二模）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式化简求值即可. 【详解】， 故选：A 4（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据分段函数求函数值的方法结合三角函数求值得出答案. 【详解】， ， 故选：C. 5（2024·天津河北·模拟预测）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入诱导公式，即可求解. 【详解】. 故选：D 6在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知求得点的坐标，再利用三角函数的定义求得正弦值即可. 【详解】依题意，角的终边经过点，则. 故选:C. 角度2 知值求值 【例1】（2022·安徽合肥·模拟预测）已知，则（    ） A．2 B．—2 C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式五、六可得，由同角三角函数的关系可得，结合诱导公式二计算即可. 【详解】由已知得， ， ∴. 故选：C 【巩固练习】 1（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式平方关系计算得到答案； 【详解】由诱导公式得，又由，可得． 故选：A. 2（2024·四川成都·二模）若角的终边位于第二象限，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出，再由诱导公式计算可得. 【详解】因为角的终边位于第二象限且， 则，所以. 故选：D． 3（2023·湖北·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的诱导公式即可求得. 【详解】由题意得： , , , 故选：B 4（2022·宁夏吴忠·三模）若，为第四象限角，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方关系及商数关系，结合诱导公式即可求值. 【详解】由题设，所以，则. 故选：C 5（2025·广东·专练）若，那么的值是（    ） A．- B． C． D． 【答案】A 【分析】通过诱导公式先化简，再求值. 【详解】，则. 故选：A 6（2025·湖南·专练）已知是第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据诱导公式化简，及同角三角函数的基本关系，计算即可得出结果. 【详解】,是第二象限角， , . 故选：D 【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数在化简求值中的应用，属于基础题. 7（2024·广东深圳·一模）若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可. 【详解】因为角的终边过点，所以，所以. 故选：A 【A组---基础题】 1（2022·广西南宁·二模）若是钝角且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据商数关系求出即可. 【详解】因为是钝角，所以．则． 故选：A. 2（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，为第一象限角，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用商关系和平方关系可求答案. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，； 因为为第一象限角，所以. 故选：A 3（2024·河南洛阳·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据切弦互化法计算即可求解. 【详解】因为， 所以． 故选：B． 4（2022·湖北武汉·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解. 【详解】，，，，， ，所以. 故选：C 5（2025·广东·专练）已知，则的值为（    ） A．﹣1 B．﹣2 C． D．2 【答案】D 【分析】先化简得，再利用同角三角函数的基本关系式,求得,即可得出结果. 【详解】解：对两边平方得：， 所以. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题. 6（2023·北京·模拟预测） 若角的终边在第三象限，则下列三角函数值中小于零的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数定义和诱导公式化简三角函数式，从而判断选项的正负. 【详解】因为角的终边在第三象限，所以 对于A， 对于B， 对于C，； 对于D， 故选：D 7（2023·河南·模拟预测）已知是第二象限角，则点（，）所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简再确定象限. 【详解】由题意知：，，进而得到，， 所以点（，）位于第三象限. 故选：C 8（2025·湖南·专练）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接用诱导公式可求解. 【详解】 故选：C 9（2025·广东·专练）已知角θ的终边过点，（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式可求得结果. 【详解】因为已知角θ的终边过点， 所以， 所以. 故选：A 10（2022·宁夏石嘴山·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简即得所求 【详解】 故选：A 11（2022·全国·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式进行求解. 【详解】. 故选：D. 12（2024·广东江门·一模）已知角α的终边上有一点，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义可求得的值，再利用诱导公式，即可求得答案. 【详解】由题意知角α的终边上有一点，则， 故，则， 故选：A 【B组---提高题】 1（2025·广东·专练）已知为的三个内角，下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为，逐个去分析即可选出答案． 【详解】由题意知，在中，， 对A选项，，故A选项正确； 对B选项，，故B选项正确； 对C选项，，故C选项正确； 对D选项，，故D选项不正确． 故选：D 2（2025·湖南·专练）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】先利用同角三角函数的基本关系转化为一元二次方程，进而因式分解解方程并结合可得的值. 【详解】由题意可得，即，即， 又，故. 故选：B. 3（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由，可得， 可得 则， 因为，所以与异号，可得为第二或第四象限， 当为第二象限角时，可得； 当为第四象限角时，可得. 故选：C. 4（2025·广东·专练）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式化简，再代入即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 5（2025·广东·专练）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，利用诱导公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：C 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 【题型1】 、与的“知一求二” 【基础知识】 同角三角函数基本关系式 【经典例题】 【例1】（2022·广东惠州·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024·吉林·模拟预测）已知，是第三象限角，则（　　） A． B． C． D． 2（2021·陕西咸阳·二模）已知，则=（    ） A． B． C． D． 3（2025·广东·专练）已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 4（2024·四川乐山·三模）已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 5已知，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6（2023·河北邯郸·模拟预测）若角为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 7（2024·吉林·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型2】、与的“知一求二” 【基础知识】 ； 【经典例题】 【例1】（2023·山西·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）已知且，则的值是（ ） A． B． C． D． 2 （2025·湖南·专练）已知，且，（    ） A． B． C． D． 3（2025·河北·专练）已知，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【题型3】 诱导公式 【基础知识】 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限 (奇偶指的是中整数是奇数还是偶数，看象限时把看作锐角) 【例】 利用诱导公式化简以下式子：(1) ； (2)，(3) . 解析 (1) 视为锐角，在第三象限，第三象限符号是 (2) 视为锐角，在第三象限，第三象限符号是 (3) 视为锐角，在第四象限，第四象限符号是 3 常见结论 (1) ，； (2) . 【例】求的值. 解 ，. 【经典例题】 角度1 求已知角的三角函数值 【例1】（2025·广东·专练）（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2025·山西·专练）（    ） A． B． C． D． 2（2025·广西·专练）化简的值是（    ） A． B． C． D． 3（2022·内蒙古呼和浩特·二模）（    ） A． B． C． D． 4（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数，则（    ） A．2 B． C． D．4 5（2024·天津河北·模拟预测）的值为（   ） A． B． C． D． 6在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 角度2 知值求值 【例1】（2022·安徽合肥·模拟预测）已知，则（    ） A．2 B．—2 C． D． 【巩固练习】 1（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2（2024·四川成都·二模）若角的终边位于第二象限，且，则（    ） A． B． C． D． 3（2023·湖北·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 4（2022·宁夏吴忠·三模）若，为第四象限角，则等于（    ） A． B． C． D． 5（2025·广东·专练）若，那么的值是（    ） A．- B． C． D． 6（2025·湖南·专练）已知是第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 7（2024·广东深圳·一模）若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【A组---基础题】 1（2022·广西南宁·二模）若是钝角且，则（    ） A． B． C． D． 2（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，为第一象限角，则的值为（    ） A． B． C． D． 3（2024·河南洛阳·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D．2 4（2022·湖北武汉·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5（2025·广东·专练）已知，则的值为（    ） A．﹣1 B．﹣2 C． D．2 6（2023·北京·模拟预测） 若角的终边在第三象限，则下列三角函数值中小于零的是（    ） A． B． C． D． 7（2023·河南·模拟预测）已知是第二象限角，则点（，）所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8（2025·湖南·专练）的值为（    ） A． B． C． D． 9（2025·广东·专练）已知角θ的终边过点，（    ） A． B． C． D．1 10（2022·宁夏石嘴山·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 11（2022·全国·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 12（2024·广东江门·一模）已知角α的终边上有一点，则=（    ） A． B． C． D． 【B组---提高题】 1（2025·广东·专练）已知为的三个内角，下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 2（2025·湖南·专练）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 3（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4（2025·广东·专练）已知，则（ ） A． B． C． D． 5（2025·广东·专练）已知，则（   ） A． B． C． D． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$