山西省太原市山西大学附属中学校2024-2025学年高一下学期2月开学考试数学试题

山西大学附中 2024～2025学年第二学期高一（2月）开学考试（总第一次） 数 学 试 题 考查时间：120分钟 满分：150分 考查内容：必修一全部 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 4．已知，，则下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 5．已知函数（，且）满足对任意当时，都有，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 6．已知，则的最小值为（  ） A． B．6 C． D． 7．如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（  ） A． B． C． D． 8．已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下列命题中正确的是（   ） A．化成弧度是 B．关于的不等式的解集为，则 C．命题“，”的否定是， D．若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 10．设，函数，则（    ） A．函数的最小值是0 B．函数的最大值是2 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 11．已知函数，其中，下列命题中正确的是（   ） A．若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 B．若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6 C．若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是 D．若在上有且仅有5个零点，则在单调递增 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知，则_____. 13．已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则_____. 14. 已知，，，，则_____. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分)（1）已知用表示； （2）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. 求的值. 16．(本小题满分15分)已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在上的最值． 17．(本小题满分15分)已知，，，，求： (1)的值； (2)的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 18．(本小题满分17分)已知函数． (1)证明函数为奇函数； (2)设函数，若，使得，求实数的取值范围． 19．(本小题满分17分)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质. (1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论：_____________.（只写出结论即可，不要求证明）； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论. 山西大学附中 2024～2025学年第二学期高一（2月）开学考试（总第一次） 数学评分细则 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．A 3. D 4．B 5.D 6.D 7.A 8.C 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.AC 10. BCD 11.ABD． 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 13.0 14.1 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（1）因为所...................................2分 所以..............................6分 （2）........................8分 .........................................10分 因为角的终边经过点，所以...........................11分 所以...........................................................13分 16.（1）因为 .........6分 所以函数的最小正周期，...........................................................................7分 由，得：， 所以的单调递减区间为..............................................................9分 （2）因为，所以.............................................................................11分 所以当，即时...............................................................................13分 所以，即时..............................................................................15分 17.（1）因为，， 所以，，.............................................................................2分 所以，.....................................................................4分 ，..............................................................................6分 所以............................................................................7分 ............................................................................................9分 （2）因为，， 所以， 所以，....................................................................................12分 所以.........................................................15分 18.（1）由，得，解得， 即的定义域为，关于原点对称，....................................................................2分 ，..........................................................................4分 所以函数为奇函数......................................................5分 （2）由题意得，，..............................................................................7分 由（1）知，，由为上的增函数，为增函数， 所以在上单调递增，............................................................................................9分 故.................................................................................................................11分 ， 令，，................................................................................................................12分 所以,..........................................................................................................................13分 对称轴为，所以当,即时 ，............................................................................................................15分 由题意得，......................................................................16分 解得，即实数的取值范围为......................................................................17分 19.（1）................................2分 （2）依题意，，不等式....3分 函数在上单调递增，，令，.................................4分 显然函数在上单调递减，在上单调递增，，.................5分 又， 于是，，...............................................6分 因此，，...........................................................................................7分 显然函数在上单调递减，........................................................................8分 当时，，........................................................................... ...............................9分 从而，所以实数的取值范围是.....................................................................10分 （3），..........................................................................11分 证明:依题意，， ，........................................................................................ .....12分 当时，， 于是，而，因此，......................14分 当时，，则，， 即，而，因此，.........................16分 于是，，所以..................17分 $$