精品解析：河北省石家庄市辛集市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年河北省石家庄市辛集市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是 A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 概率很小的事件不可能发生 B. 抛一枚硬币，第一次正面朝上，则正面朝上的概率为1 C. 必然事件发生的概率是1 D. 某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票一定会中奖 3. 如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（　　） A. 主视图的面积为5 B. 左视图的面积为3 C. 俯视图的面积为3 D. 三种视图的面积都是4 4. 如图所示的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字，0，，，若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不计录且重新转动），则两次记录的数字都是无理数的概率是（    ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 6. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2025 B. 2023 C. D. 7. 如图，把绕点顺时针旋转得到、与AC相交于点，，则的度数为（ ） A. 60° B. 30° C. 65° D. 35° 8. 二次函数满足以下三个条件：①；②；③，则它的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 对于题目“已知及圆外一点，如何过点作出的切线？”甲乙的作法如图： 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于两点，分别，以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，交于点．作直线．直线即为所求． 下列说法正确的是（ ） A. 乙的作法正确，甲的作法错误 B. 甲和乙的作法都错误 C. 甲的作法正确，乙的作法错误 D. 甲和乙的作法都正确 10. 如图所示，双曲线y＝上有一动点A，连接OA，以O为顶点、OA为直角边，构造等腰直角三角形，则三角形面积的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 11. 我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形中,的平分线交边于点,于点,则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 12. 清初曾传入中国两卷无作者的代数学书，被译为《阿尔热巴拉新法》，后由中国近代数学家李善兰改译为《代数学》．该书中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为的正方形，再以该正方形的边长为一边向外构造四个面积均为的矩形，则大正方形的面积为，则原方程的正数解为”．小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为156，则该方程的正数解为（ ） A. 6 B. 8 C. 16 D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是______． 14. 如图，函数，若，则x的取值范围是 _________________． 15. 如图，是圆O的弦，且，点C是弧中点，点D是优弧上的一点，，则圆心O到弦的距离等于_____． 16. 如图所示，P是正方形内一点，且，，，以B为旋转中心，将按顺时针方向旋转至，边与边重合，则正方形的面积为_______． 三、解答题：本题共8小题，共67分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题： 解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步） （1）小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的． （2）请写出此题正确的解答过程． 19. 如图，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，，． （1）点关于原点对称的点的坐标是______； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出旋转后的； （3）在旋转过程中，点经过的路径为，求的长（结果保留根号和）． 20. 贵阳东高铁站开通后，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打算购买从贵阳东到重庆西的高铁一等座车票（如图所示，一排中的座位编号为A，B，C，D，F）．假设系统已将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的． （1）“王某被分配到A 座位”的概率是 （2）利用画树状图或列表的方法，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率． 21. “周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） （1）求登山缆车上升的高度； （2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：，，） 22. 已知：如图，在中，与相切于点 B 和点 C ，与交于点 D ，与 交于点E ，连接． （1）若 ，则的半径为 ； （2）在（1）的条件下，求图中阴影部分的面积； （3）求证： 23. 如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段是竖直高度为米的平台，垂直于水平面，滑道分为两部分，其中段是双曲线的一部分，段是抛物线的一部分，两滑道的连接点为抛物线的顶点，且点的竖直高度为米，当甲同学滑到点时，距地面的距离为米，距点的水平距离为米． （1）求滑道所在抛物线的解析式； （2）求甲同学从点滑到地面上点时，所经过的水平距离； （3）在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道落地点与最高点连线与水平面夹角应不大于，且由于实际场地限制，，请直接写出长度的取值范围． 24. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为______； 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河北省石家庄市辛集市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可． 【详解】解：A．旋转180°，与原图形完全重合，是中心对称图形；故此选项正确； B．旋转180°，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形；故此选项错误； C．旋转180°，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形；故此选项错误； D．旋转180°，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形；故此选项错误； 故选：A． 【点睛】考点：中心对称图形． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 概率很小的事件不可能发生 B. 抛一枚硬币，第一次正面朝上，则正面朝上的概率为1 C. 必然事件发生的概率是1 D. 某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票一定会中奖 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率的意义，概率公式，随机事件，必然事件，不可能事件的特点逐一判断即可． 【详解】A．概率很小的事件也可能发生，故A不符合题意； B．抛一枚硬币，第一次正面朝上，则正面朝上的概率为，故B不符合题意； C．必然事件发生的概率是1，故C符合题意； D．某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票不一定会中奖，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了概率的意义，概率公式，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 3. 如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（　　） A. 主视图的面积为5 B. 左视图的面积为3 C. 俯视图的面积为3 D. 三种视图的面积都是4 【答案】B 【解析】 【分析】先得出这个几何体的三视图（主视图、左视图、俯视图），再根据正方形的面积计算即可． 【详解】这个几何体的三视图如下： A、从正面看，可以看到4个正方形，面积为4，此项错误 B、从左面看，可以看到3个正方形，面积为3，此项正确 C、从上面看，可以看到4个正方形，面积为4，此项错误 D、三种视图的面积不相同，此项错误 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图（主视图、左视图、俯视图），掌握三视图的相关概念是解题关键． 4. 如图所示的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字，0，，，若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不计录且重新转动），则两次记录的数字都是无理数的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用列树状图的方法解决概率问题；得到两次都摸出红球的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个数字都是无理数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： 共有16种等可能的结果，两个数字都是无理数的有4种情况， 两个数字都是无理数的概率是 故选：C 5. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由反比例函数的性质得，解得，即可做出判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴， 的取值可以是3， 故选：D 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数经过的象限是解题的关键． 6. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2025 B. 2023 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，能灵活运用根与系数的关系是本题的关键．先根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ， ∴， 故选：A． 7. 如图，把绕点顺时针旋转得到、与AC相交于点，，则的度数为（ ） A. 60° B. 30° C. 65° D. 35° 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵Rt△ABC绕点A顺时针旋转35°得到△AB′C′， ∴∠BAB′=35°，∠B′=∠B=60°，∠BAC=90°， ∴∠B′AD=90°-35°=55°， ∴∠ADB′=180°-60°-55°=65°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，勾股定理，能够证得∠BAD=∠B，AD=BD，构造直角三角形是解题的关键． 8. 二次函数满足以下三个条件：①；②；③，则它的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系及二次函数图象的性质．首先根据②可判断出函数图象与x轴有两个交点，再根据③判断出当时，函数值小于0，即在x轴下方，最后根据①分两种情况判断图象开口及抛物线与y轴交点情况，即可得出答案． 【详解】解：，即， ∴函数图象与x轴有两个交点，故选项A错误； ∵， ∴当时，函数值小于0，故选项B错误； ∵， ∴同号， 当时，则函数图象开口向上，与y轴交点在y轴正半轴， 当时，则函数图象开口向下，与y轴交点在y轴负半轴，故C选项正确，D选项错误； 故选：C． 9. 对于题目“已知及圆外一点，如何过点作出的切线？”甲乙的作法如图： 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于两点，分别，以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，交于点．作直线．直线即为所求． 下列说法正确的是（ ） A. 乙的作法正确，甲的作法错误 B. 甲和乙的作法都错误 C. 甲的作法正确，乙的作法错误 D. 甲和乙的作法都正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质和切线的判定方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．对于甲的作法，连接，利用基本作图得到垂直平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作法：利用基本作图得到，，由于，所以，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断乙的作法正确． 【详解】解：对于甲的作法： 连接 ． 由作法得垂直平分， ∴， ∴点为以为直径的圆与的交点， ∴， ∴， ∴为的切线，所以甲的作法正确； 对于乙的作法： 由作法得，， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，所以乙的作法正确； 故选：D． 10. 如图所示，双曲线y＝上有一动点A，连接OA，以O为顶点、OA为直角边，构造等腰直角三角形，则三角形面积的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形性质得出S△OAB＝OA•OB＝OA²，先求得OA取最小值时A的坐标，即可求得OA的长，从而求得△OAB面积的最小值． 【详解】解：∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝OB， ∴S△OAB＝OA•OB＝OA²， ∴OA取最小值时，△OAB面积的值最小， ∵当直线OA为y＝x时，OA最小， 解得或， ∴此时A的坐标为（1，1）， ∴OA＝， ∴S△OAB＝OA²＝＝1， ∴△OAB面积的最小值为1， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 11. 我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形中,的平分线交边于点,于点,则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定可得四边形ABFE是正方形，再根据正方形的性质可得，再根据黄金矩形的定义逐项判断即可得． 【详解】四边形ABCD是矩形， ， ，即， 四边形ABFE是矩形， 是的平分线，且， ， 四边形ABFE是正方形， ， 又四边形ABCD是黄金矩形，且， ， 设，则， ， ， ， 则，， 即，选项A正确； ，， 即，选项B正确； ，， 即，选项C错误； ，则选项D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质，掌握理解黄金矩形的定义是解题关键． 12. 清初曾传入中国两卷无作者的代数学书，被译为《阿尔热巴拉新法》，后由中国近代数学家李善兰改译为《代数学》．该书中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为的正方形，再以该正方形的边长为一边向外构造四个面积均为的矩形，则大正方形的面积为，则原方程的正数解为”．小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为156，则该方程的正数解为（ ） A. 6 B. 8 C. 16 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程的几何解法．根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积阴影部分的面积个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论． 【详解】解：先构造一个面积为的正方形，再以该正方形的边长为一边向外构造四个面积均为的矩形， ∵阴影部分的面积为156， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴， 则方程的正数解为， 故选：A． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．利用根与系数关系构建方程求解． 【详解】解：设另一个根为， 则有， ， 另一个根为， 故答案为： 14. 如图，函数，若，则x的取值范围是 _________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，先联立，求出一次函数与反比例函数的交点，画出示意图，再根据函数图象结合解答即可． 【详解】解：联立，则，即， 解得：， 则函数的交点为， 如图， 当时，x的取值范围是或． 故答案为：或． 15. 如图，是圆O的弦，且，点C是弧中点，点D是优弧上的一点，，则圆心O到弦的距离等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线． 连接，交于点E，则，根据垂径定理得出，进而得出，根据勾股定理可得，列出方程求出即可解答． 【详解】解：连接，交于点E， ∵， ∴， ∵点C是弧中点，， ∴， ∴，则， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：（负值舍去）， ∴圆心O到弦的距离等于， 故答案为：． 16. 如图所示，P是正方形内一点，且，，，以B为旋转中心，将按顺时针方向旋转至，边与边重合，则正方形的面积为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，然后根据勾股定理的逆定理可求，根据等腰直角三角形的性质可求，从而求出，再求得点共线，作于点，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵将按顺时针方向绕旋转得到，， ∴，， ∴； ∵将按顺时针方向绕旋转得到，， ∴，， 又，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点共线， 作于点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理等知识，掌握旋转的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共67分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1），（2）， 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，因式分解法解一元二次方程，熟知几个特殊角的三角函数值、因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）将特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）把方程化为：，再化为一次方程解方程即可． 【详解】解：（1） ， ， ； （2）， ∴， ∴， ∴， 或， ， 18. 小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题： 解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步） （1）小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的． （2）请写出此题正确的解答过程． 【答案】（1）配方；三 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据配方法解答即可． （2）根据配方法的基本步骤规范解答即可． 本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方法解方程是解题的关键． 【小问1详解】 根据题意，这种解方程的方法是配方法，配方时，在第三步时出现错误， 故答案为：配方法，第三步． 【小问2详解】 原方程可变形为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 19. 如图，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，，． （1）点关于原点对称的点的坐标是______； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出旋转后的； （3）在旋转过程中，点经过的路径为，求的长（结果保留根号和）． 【答案】（1） 如图，即为所求作的三角形， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、弧长公式、勾股定理、关于原点对称的点坐标等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接根据关于原点对称点的坐标特点即可解答； （2）先作出点A、B旋转后的对应点、，再依次连接各点即可解答； （3）先利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：点A关于原点的对称点的坐标是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 由图可知：的长为． 20. 贵阳东高铁站开通后，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打算购买从贵阳东到重庆西的高铁一等座车票（如图所示，一排中的座位编号为A，B，C，D，F）．假设系统已将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的． （1）“王某被分配到A 座位”的概率是 （2）利用画树状图或列表的方法，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式、列表法与树状图法等知识点，熟练掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）一排中的座位编号为A，B，C，D，F，然后根据概率的定义即可解答； （2）列出表格，得到系统分配给王某和李某相邻座位共有20种等可能的情况，其中相邻座位共有6种等可能情况，根据概率公式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：一排中的座位编号为A，B，C，D，F，则王某分配座位有5种可能，所以“王某被分配到A 座位”的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等情况数，其中相邻座位的情况数有6种， 则系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率是． 21. “周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） （1）求登山缆车上升的高度； （2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）根据直角三角形的边角关系求出，进而求出即可； （2）利用直角三角形的边角关系，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点M， 由题意可知，，，，， 在中，，， ， 答：登山缆车上升的高度为； 【小问2详解】 解：在中，，， 需要的时间 答：从山底A处到达山顶D处大约需要. 22. 已知：如图，在中，与相切于点 B 和点 C ，与交于点 D ，与 交于点E ，连接． （1）若 ，则的半径为 ； （2）在（1）的条件下，求图中阴影部分的面积； （3）求证： 【答案】（1）2 （2） （3） 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）先证明垂直平分，三线合一得到，进而求出的长即可； （2）分割法求出阴影部分的面积即可； （3）证明，得到，三线合一，得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵与相切于点 B 和点 C ， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即的半径为2； 故答案为：2 【小问2详解】 由（1）知：， ∴阴影部分的面积； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质，是解题的关键． 23. 如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段是竖直高度为米的平台，垂直于水平面，滑道分为两部分，其中段是双曲线的一部分，段是抛物线的一部分，两滑道的连接点为抛物线的顶点，且点的竖直高度为米，当甲同学滑到点时，距地面的距离为米，距点的水平距离为米． （1）求滑道所在抛物线的解析式； （2）求甲同学从点滑到地面上点时，所经过的水平距离； （3）在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道落地点与最高点连线与水平面夹角应不大于，且由于实际场地限制，，请直接写出长度的取值范围． 【答案】（1） （2）米 （3） 【解析】 【分析】（1）点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出点坐标．又因为点为抛物线的顶点，且点到地面的距离为米，当甲同学滑到点时，距地面的距离为米，距点的水平距离为米．据此可求出解析式； （2）依据前面的解析式求出、的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离； （3）先判断的最小值，再根据已知求出最大值即可． 【小问1详解】 解：依题意，点到地面的距离为米， 设点坐标为，，代入 ， 解得， 点距地面的距离为米，距点的水平距离为 米， 的坐标 ，， 由题意得：，， 故设滑道所在抛物线的解析式为 ， 将的坐标，代入，得 ， 解得：， 则 ； 【小问2详解】 令，， 解得： 不合题意，舍去， 又将 代入 ， 解得 ， 甲同学从点滑到地面上点时，所经过的水平距离为 米． 【小问3详解】 根据上面所得 ，， ，时，此时， 则点不可往左，可往右，则最小值为， 又， ， ． 长度的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想． 24. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为______； 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 【答案】问题发现：； 拓展探究：仍然成立．理由如下： 图1中，，， ∴， ∴， 图2中，由旋转可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 解决问题：或 【解析】 【分析】问题发现：先证，推出，利用等比的性质可得； 拓展探究：由旋转的性质可得，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解； 解决问题：分“点在线段上”和“点在线段延长线上”两种情况，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】问题发现 解：矩形中，， ， ，， ， 又， ， ， ， ，即， , 故答案为：； 拓展探究：略 解决问题 解：①如图3，当点在线段上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图4，当点在线段延长线上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $