陕西省咸阳市永寿县中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题

2024-2025学年陕西省咸阳市永寿中学高三（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数在复平面内对应的点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.若集合，，则(    ) A. B. C. D. 3.抛物线的准线方程是(    ) A. B. C. D. 4.等比数列的前n项和为，若，则(    ) A. 7 B. 5 C. D. 5.函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(    ) A. B. C. D. 6.如图，侧面展开图为扇形AOD的圆锥和侧面展开图为扇环ABCD的圆台的体积相等，且，则(    ) A. B. 2 C. 4 D. 8 7.已知正项等差数列满足，则(    ) A. 2 B. 1012 C. 2024 D. 4048 8.已知是定义在R上的奇函数，且当时，若，，则a的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了n份，将得分进行适当的分组每组为左闭右开的区间，画出如图所示的频率分布直方图，且竞赛成绩落在内的人数为10，则(    ) A. B. C. 估计参赛选手得分的平均分低于70分同组数据用该组区间的中点值作代表 D. 估计参赛选手得分的中位数在内 10.已知函数，则(    ) A. 为奇函数 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 的最大值为 11.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”.如图，曲线C：是双纽线，关于曲线C，下列说法正确的是(    ) A. B. C上存在点，使得 C. C上的点的纵坐标的最大值为 D. 若直线与C恰有一个公共点，则k的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若两个单位向量，满足，则______. 13.甲、乙、丙等5人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一侧，则不同的站法共有______种. 14.已知，且，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知， 求C的值； 求周长的最大值. 16.本小题15分 某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动.若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽中银奖，则可获得5元现金.已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为和，且每次中奖情况相互独立.现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会. 求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率； 记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为X，求X的分布列与期望. 17.本小题15分 如图，在多面体ABCDFE中，平面ABCD，平面平面ABCD，，，为等腰直角三角形，且， 证明：平面 求平面BEF与平面DEF的夹角的余弦值. 18.本小题17分 已知是椭圆上的一点，且E的离心率为，斜率存在且不过点A的直线l与E相交于P，Q两点，直线AP与直线AQ的斜率之积为 求E的方程. 证明：l的斜率为定值. 设O为坐标原点，若l与线段不含端点相交，且四边形OPAQ的面积为，求l的方程. 19.本小题17分 已知函数的定义域为Ⅰ，区间，若，，则称是在D上的不动点，集合为在D上的不动点集. 求函数在上的不动点集； 若函数在上有且只有一个不动点，求a的取值范围； 若函数在R上的不动点集为，求的取值范围. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：复数，在复平面内对应的点为，位于第一象限． 故选： 化简复数z，根据复数的几何意义求解． 本题考查复数的几何意义，属于基础题． 2.【答案】D  【解析】解：集合，， 因为，， 所以，故A错误； 因为，故B错误，C错误，D正确． 故选： 先求出集合A，B，再利用集合的基本运算逐项判断即可． 本题主要考查了元素与集合的关系，考查了集合的基本运算，属于基础题． 3.【答案】B  【解析】解：， 则， 故抛物线的准线方程是 故选： 根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解． 本题主要考查抛物线的性质，属于基础题． 4.【答案】D  【解析】解：设等比数列的公比为q， 因为，所以， 所以，所以， 所以 故选： 由等比数列基本量的运算计算即可． 本题考查等比数列前n项和的求法，属于基础题． 5.【答案】C  【解析】解：，函数在点处的切线斜率为， 切线方程为，切线与x轴交于点与y轴交于点 因此，切线与坐标轴围成的三角形面积为 故答案为： 根据导数求解曲线在某点上的切线方程． 本题考查了导数求解曲线在某点上的切线方程，属于中档题． 6.【答案】B  【解析】解：侧面展开图为扇形AOD的圆锥和侧面展开图为扇环ABCD的圆台的体积相等，且， 可得大圆锥与小圆锥的体积之比为 故选： 根据题意可得大圆锥与小圆锥的体积之比为，从而得解． 本题考查几何体的体积问题的求解，属基础题． 7.【答案】B  【解析】解：因为为等差数列，， 所以，， 则，则， 从而， 故 故选： 根据等差数列的性质即可求等差数列前n项和． 本题考查了等差数列的性质，属于中档题． 8.【答案】A  【解析】解：因为当时，，且是定义在R上的奇函数， 所以当时，，且， 所以， 当时，在R上单调递增，而恒成立，所以成立，即符合题意； 当时，在和分别单调递增，但在R上不具有单调性， 若且恒成立，则， 即，解得或，所以， 综上 故选： 先结合a的范围进行分类讨论，化简，结合单调性即可求解． 本题主要考查了函数单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题． 9.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查频率分布直方图，平均数、中位数、众数，属于基础题． 根据频率分布直方图的性质，平均数的概念，中位数的概念，针对各个选项分别求解即可． 【解答】 解：根据题意可得， ， 解得，故A正确； 又竞赛成绩落在内的人数为10，且该组的频率为， ，故B正确； 估计参赛选手得分的平均分为： ，故C错误； 前几组的频率依次为，，，， 估计参赛选手得分的中位数在内，故D正确． 故选： 10.【答案】AD  【解析】解：， 则， 所以为奇函数，A正确； ， 所以的最小正周期不是，B不正确； ， 所以的图象不关于直线对称，C不正确； ， 显然，且， 当时，， 由，得， 所以， 当时，，所以的最大值为，D正确． 故选： 先用二倍角公式化简，再利用函数的性质逐项判断即可． 本题考查三角函数性质，属于中档题． 11.【答案】ACD  【解析】解：由曲线C经过点，可得，解得，故A正确； 由，且，即有， 可得，故B错误； 由，化为， 解得， 设，即有，可得， 当，即时，取得最大值，即C上的点的纵坐标的最大值为，故C正确； 由代入曲线，可得， 由直线与C恰有一个公共点，即为原点，则，解得，或，故D正确． 故选： 由曲线C经过点，代入解方程可判断A；由，可得，可判断B；由二次方程的求根公式可得，通过换元和配方求得最大值，可判断C；联立和曲线的方程，考虑直线与C恰有一个公共点，即为原点，可得k的范围，判断 本题考查曲线与方程的关系，以及直线和曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解：由题意可得：， 又， 则， 则 故答案为： 由平面向量数量积的运算，结合平面向量数量积模的运算求解． 本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题． 13.【答案】40  【解析】解：根据题意，假设剩下的2人为A和B， 要求甲、乙不站在丙的同一侧，将甲、乙安排在丙的两侧即可， 则甲、乙、丙三人有2种安排方法， 将A安排在甲、乙、丙三人的空位中，有4种情况， 将B安排在4人的空位中，有5种情况， 则有种不同的站法． 故答案为： 根据题意，假设剩下的2人为A和B，先分析甲、乙、丙三人的站法，再分析A、B的站法，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：由，得， 即， 两边同时除以得，， 则， 因为，所以， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 又因为， 所以当取得最大值时，取得最小值， 此时， 即的最小值为 故答案为： 先利用两角和的正弦公式化简得，两边同时除以得，再结合基本不等式求出的最大值，此时取得最小值． 本题主要考查了两角和的三角函数，考查了同角三角函数间的基本关系，属于中档题． 15.【答案】解：因为，，所以， 则由正弦定理得：， 又，所以， 因为，所以，又因为，所以； 由可得， 所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以， 所以周长的最大值为  【解析】由正弦定理和三角恒等变换化简即可求得； 由余弦定理和基本不等式计算即可求得． 本题考查正、余弦定理的应用，三角恒等变换和基本不等式，属于中档题． 16.【答案】解：若甲抽中2次银奖，则由甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额，可知乙也得抽中银奖， 此时概率， 若甲至少抽中1次金奖，则甲抽奖获得的现金金额一定大于乙抽奖获得的现金金额， 此时概率， 故甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率； 记甲、乙两人抽奖获得的现金金额分别为Y，Z，则， 由题可知， ， ， ，， 则， ， ， ， 所以X的分布列为： X 15 25 35 45 P   【解析】本题主要考查离散型随机变量的均值期望，相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量的分布列，组合与组合数公式，属于中档题． 利用独立事件的概率乘法公式求解； 记甲、乙两人抽奖获得的现金金额分别为Y，Z，则，分别求出对应的概率，进而得到X的分布列，再结合期望公式求解即可． 17.【答案】证明：取CD的中点O，连接OB，OF， 因为为等腰直角三角形，且，所以， 又平面平面ABCD，平面平面， 所以平面ABCD， 因为平面ABCD，所以， 又平面ADE，平面ADE， 所以平面ADE， 因为，所以， 又，所以四边形ABOD为平行四边形，则， 因为平面ADE，平面ADE， 所以平面ADE， 又，所以平面平面ADE， 因为平面OBF，所以平面ADE； 解：由题可知AB，AD，AE两两垂直， 故以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 则，，， 设平面BEF的法向量为 则由，可得， 令，得， 设平面DEF的法向量为， 则由，可得， 令，得， 则， 即平面BEF与平面DEF的夹角的余弦值为  【解析】根据题设，利用线面平行的判定定理即可证明； 建立空间直角坐标系，求得平面BEF与平面DEF的法向量，利用向量夹角公式进行计算即可． 本题考查线面平行的判定，考查平面与平面所成角的余弦值求法，属中档题． 18.【答案】解：因为点是椭圆E上一点，且离心率为， 所以， 解得，， 则E的方程为； 证明：设直线l的方程为，，， 联立，消去y并整理得， 此时， 解得， 由韦达定理得，， 因为直线AP与直线AQ的斜率之积为， 所以 ， 整理得， 解得或， 若， 此时直线l过点A，不符合题意， 所以， 则l的斜率为定值； 由知，，， 因为l与线段不含端点相交， 所以， 此时， 易知点O到l的距离，点A到l的距离， 则四边形OPAQ的面积， 解得或舍去 故l的方程为  【解析】根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式求解即可； 设出直线l的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及斜率公式求证即可； 结合中信息，利用弦长公式、点到直线的距离公式以及四边形面积公式求解即可． 本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 19.【答案】解：由，得， 解得或， 故在上的不动点集为 由题可知，关于x的方程在上有且只有一个实数根， 令，则 若，则在上恒成立，在上单调递增． 因为，所以在上有且仅有一个零点， 即在上有且仅有一个不动点； 若，则在上恒成立在上单调递减， 因为，所以在上有且仅有一个零点， 即在上有且仅有一个不动点； 若，易知是上的偶函数，且在上单调递增． 因为，所以存在使得， 则当和时，，单调递增， 当时，，单调递减． 因为，所以要使得在上有且只有一个实数根， 则，解得 综上所述，a的取值范围为 由题可知，方程在R上存在3个实数根，，， 则， 从而， 令，则， 当和时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则，解得 因为， 所以的取值范围为  【解析】解方程，即可求出函数的不动点； 分，及三种情况讨论，构造函数，判断函数的单调性，由函数零点存在定理即可求解； 函数在R上有三个不动点，即方程有三个零点，构造函数，判断其单调性，再由零点存在定理及函数的极值求即可解． 本题考查了函数与方程的综合应用，考查了导数的综合应用，考查了函数思想及转化思想，属于难题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$