湖南省湘潭市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024-2025学年湖南省湘潭市高二上学期期末考试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 2.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 3.首项为1的数列满足，则(    ) A. 2 B. 5 C. 21 D. 26 4.已知平面ABC的法向量，，则点P到平面ABC的距离为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.函数的极值为(    ) A. B. C. D. 3 6.过点作圆的切线，则切线的斜率为(    ) A. B. C. D. 7.设为椭圆的左焦点，A，B是C上的两个动点，若周长的取值范围为，则C的离心率为(    ) A. B. C. D. 8.记数列的前n项和为，已知，，，则(    ) A. 17 B. 19 C. 17或18 D. 18或19 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件"第一次摸出球的编号为奇数"，事件"摸出的两个球的编号之和为，事件"摸出的两个球中有编号为2的球"，则(    ) A. B. 事件A与事件B为独立事件 C. D. 事件B与事件C为互斥事件 10.设，分别为双曲线的左，右焦点，为C上一点，则(    ) A. C的焦距为4 B. 当时，为直角三角形 C. 当时，为直角三角形 D. 当时，为直角三角形 11.已知函数，则(    ) A. 在区间上单调递增 B. 点是曲线的对称中心 C. 曲线与x轴相切 D. 当在区间恒成立时，的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知正项等比数列满足，则其公比          . 13.已知函数是偶函数，则          . 14.已知抛物线，，，，过点M的直线l与C交于A，B两点，其申点A在第一象限，若四边形ANBT为梯形，则其面积为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知等差数列的前n项和为，， 求的通项公式; 设，求数列的前n项和 16.本小题15分 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，， 求 求和的值. 17.本小题15分 如图，四棱雉的底面ABCD为平行四边形，P在底面的射影在四边形ABCD内部，平面平面PBD，平面平面 证明：平面 若，，求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值. 18.本小题17分 在平面直角坐标系xOy中，A，B分别为椭圆的左，右顶点，P，Q是C上的两个动点，，直线PQ与y轴交于点 当P是C的上顶点时，求点Q的坐标; 求t的最小值. 19.本小题17分 已知函数 若，求a的值; 已知数列满足，且 ⅰ证明：数列为等比数列，并求的通项公式; ⅱ设的前n项积为，m为整数，若对任意的正整数n都有，求m的最小值.参考数据：，， 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：直线的斜率， 设倾斜角为，则， 因为 所以 2.【答案】C  【解析】解： ，解得：， ， ， 3.【答案】D  【解析】解：由题意可得，，， 故选 4.【答案】B  【解析】解：由题意可得点P到平面ABC的距离，故选 5.【答案】A  【解析】解：由题知的定义域为，且 当时，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值， 故选 6.【答案】C  【解析】解：由，可知该圆是以为圆心，3为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在，即为时，与圆显然不相切; 设过点的圆的切线为， 即， 故圆心到切线的距离，解得， 故选 7.【答案】A  【解析】解：当AB经过右焦点时，的周长为当AB不经过时， 因为，所以 综上，的周长的最大值为4a，即 又因为，所以，所以，，故离心率 故选 8.【答案】D  【解析】解：因为，所以，两式相除可得因为，所以， 所以当n为偶数时， 当n为奇数时，， 故 当k为奇数时，由可得 当k为偶数时，由可得 故选 9.【答案】AB  【解析】解：对于由古典概率的计算易得，故A正确; 对于因为，，，所以，即事件A与事件B为独立事件，故B正确;对于因为，故C错误; 对于易得当摸出的两个球编号为2，3时，事件B与事件C同时发生，故D错误， 故选 10.【答案】BCD  【解析】解：易得C的焦距为，故A错误; 由可得， 从而或，又因为，， 显然此时为直角三角形，故B正确; 由可得，取，，， 因为，所以，因此为直角三角形，故C正确; 由，，得，， 又因为，所以， 因此为直角三角形，故D正确， 故选 11.【答案】BCD  【解析】解：由题意可得，因为函数在区间上单调递增， 函数在区间上单调递减，由复合函数单调性可得在区间上单调递减，故A错误; 因为，所以，即的图象关于点中心对称，故B正确; 因为，所以，又，所以的图象与x轴相切，故C正确; 由，得，所以即 所以，所以，故D正确， 故选 12.【答案】3  【解析】解：依题意可得，，代入原式得 即，解得或，时，与题意矛盾舍去，故 故答案为 13.【答案】6  【解析】解：因为函数是偶函数，定义域为， 所以， 即  ， 所以 ， 所以 14.【答案】  【解析】解：设l为，，，与C联立可得，即， 则，整理得， 故若四边形ANBT为梯形，由对称性，不妨设上底为AT，且， 由梯形上下底平行得，，故，即点A在线段NT的中垂线上，故A的横坐标为1， 解得，故，梯形ANBT的面积为 故答案为 15.【答案】解：设的公差为d，因为，所以， 又，则，解得， 所以 由可得：   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解：因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，故 因为且A为内角，故， 故， 故， 故  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】证明：如图，设平面平面， 因为平面平面PBD，平面平面PBD，所以平面PBD， 因为底面ABCD为平行四边形，所以， 又因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC， 所以，故平面 以D为坐标原点，DA，DB方向分别为x轴，y轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面PAD，平面PCD的法向量分别为， 故，不妨令，则， ，不妨令，则， 设平面PAD与平面PCD夹角为，则， 故平面PAD与平面PCD夹角的余弦值为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：由题可知，，，则 因为，所以，则直线 将直线BQ与C的方程联立可得消去y可得， 所以， 所以，所以， 所以点Q的坐标为 由题易知直线AP，BQ的斜率均存在，且斜率均不为0， 设直线AP的方程为，则直线BQ的方程为 将直线AP的方程与C的方程联立可得消去x可得， 所以，，即 将直线BQ的方程与C的方程联立可得消去x可得， 所以，所以，即 因为P，Q，T共线，所以 整理得， 因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以t的最小值为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：由题意可得 若，则单调递增，当时，，不符合题意; 若，则，令得， 故当时，，单调递减，当时，，单调递增，此时为最小值，若，则有，不满足题意，若，则，故 由题意可得，即， 又，故是以首项为，公比为的等比数列， 故，得经检验时同样成立，故 由，且得即， 而，又， 由可得，则，当且仅当等号成立， 故， 故 ， 故，故m最小值为2  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$