精品解析：河南省新乡市封丘县2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

封丘县2024—2025学年上学期九年级期中学情检测试卷 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）请把正确答案的代号填在括号中． 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，比例的性质，掌握以上知识得到是解题的关键． 根据题意运用比例的性质得到，代入后根据分式的性质计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D ． 2. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式可得答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选B． 3. 如图，在中，是的中位线，若的面积为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．由题意可得是的中位线，于是可得，，进而可得，则相似比为，然后根据面积比等于相似比的平方即可得解． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4. 小明在公园里看到一把椅子，他对椅子的结构很感兴趣．椅子的侧面示意图如图所示．已知，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．证明，推出，代入有关数据即可求出的长． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：B． 5. 方程经过配方后，所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，掌握配方法的计算是解题的关键． 找到一般式中一次项系数，等式两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上得，， ∴， 故选：D ． 6. 在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片．如图，小雨将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为，那么放大后的矩形的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似多边形，熟练掌握相似图形的相似比等宽的比、长的比是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解． 【详解】解：设放大后的长为． 由题意：， 解得：． 所以放大后的矩形的长为． 故选：A． 7. 已知是一元二次方程的解，则（ ） A. 8 B. C. 4 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入得到，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴把代入得到， 整理得， ∴， 故选：D． 8. 在数学实验课上，同学们用带有刻度的直尺在数轴上作图．如图，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段性质．根据平行线分线段成比例定理进行计算即可．熟练掌握行线分线段成比例定理，是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数是． 故选：C． 9. 剪纸是中国古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图，这是一张蕴含着轴对称图形的蝴蝶剪纸，点A和点B对称，点C与点D对称，将其放置在平面直角坐标系中，连接，得到四边形．若点，现将四边形沿着y轴向下平移3个单位长度，再沿着x轴向右平移4个单位长度，得到四边形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的平移，解题的关键是求出点坐标． 由点与点对称，求得对称轴为直线，再根据点与点对称，求出点坐标，即可求解． 【详解】解：∵对称， ∴对称轴为直线， ∵与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 点沿着y轴向下平移3个单位长度，再沿着x轴向右平移4个单位长度，得到． 故选：B． 10. 如图，在边长为4的正方形中，点在边上，且，连接，过点作，交于点．连接，并延长交的延长线于点，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质．根据正方形的性质可得，，由，可知，，接下来证明，根据相似三角形的性质表示出，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，正方形的边长为4 ，， ， ， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果最简二次根式与二次根式是同类二次根式，那么x的值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】先化简成最简二次根式，比较被开方数，相同即可． 本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由，且最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：5． 12. 凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并用相似三角形的性质进行解答是解题的关链；先证出四边形为矩形，得到，再 根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几； 【详解】解：由题意知，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 物体被缩小到原来的， 故答案为：； 13. 如图，乐器上的一根弦为，两个端点A，B固定在乐器的板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即），则支点C到端点B的距离为___________．（结果保留根号）     【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可． 本题考查了黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，为， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点B，C在x轴上（点B在点C的左侧），P为内的一点，连接．若，则___________°，的长为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据，，推出，即可求出；将绕点顺时针旋转到，点与点重合，连接，求出，由旋转的性质得，证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，再证明三点共线，直角三角形，利用勾股定理求出，，即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 如图，将绕点顺时针旋转到，点与点重合，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴三点共线， ∴直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴（负值舍去）， ∴， 在中，， ∴（负值舍去）， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等腰直角三 角形的判定和性质，坐标与图形性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活应用勾股定理进行计算是解决问题的关 键，正确地作出辅助线构造等腰直角三角形和全等三角形是解决问题的难点． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）2；（2）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程和二次根式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）先计算乘法，再进行加减运算即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ． （2） ∴， ∴， ∴， 解得：，． 17. 如图，在中，A，B，C三点的坐标分别是． （1）图中A，C两点坐标的特点是___________． A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 （2）画出关于x轴对称的． （3）以点A为位似中心，在点A的上方画出的位似，使它与的相似比为． 【答案】（1）C （2） 如图，即为所求作； （3） 如图，即为所求作． 【解析】 【分析】本题考查了轴对称作图和位似图形，掌握相关作图方法和步骤是解题的关键． （1）根据B，C两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，得B，C两点关于原点对称； （2）先作出点A，B，C关于x轴的对称点，再首尾连接即可； （3）先作出点B、C以点A为位似中心，且相似比为的对应点，再首尾连接A，即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴A、C两点关于原点对称， ∴是C选项； 故答案为：C； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 岳飞，字鹏举，相州汤阴（今河南省汤阴县）人，南宋时期抗金名将，中国历史上著名的军事家、战略家、民族英雄，位列南宋“中兴四将”之首．小明在学习了相似后，尝试用平面镜的反射原理测量岳飞铜像的高度．如图，是岳飞铜像，是水平地面，M是平放在地面上的一面平面镜，是眼睛到地面的距离，调整和M的位置，通过镜面反射（法线地面），当眼睛A正好在平面镜中看到铜像顶端C时，测出．求岳飞铜像的高度． 【答案】岳飞铜像的高度为 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用．证明，推出，代入有关数据即可求出的长． 【详解】解：，， ． ， ， ， ， ； 答：岳飞铜像的高度为． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：在线段上找一点，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1） 如图，点即为所求， （2）的长为． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图和相似三角形的性质，中等难度，熟悉尺规作图步骤和相似三角形的性质是解题关键． （1）结合相似三角形的判定与性质，作交于点，则点即为所求； （2）根据相似列比例式即可求解． 【小问1详解】 解：若则， 如图所示，作交于点， 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ， 的长为． 20. 如图，线段与相交于点，，三点在同一条直线上． （1）求证：． （2）当，时，求的值． 【答案】（1） 证明：， ， ， 又， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例的定理，相似三角形的判定与性质，熟练运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，运用平行线分线段成比例即可得到答案； （2）由，可得，得到即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴ ， ，， ， ∴ ， 的值为． 21. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱．一商场以20元每个的进价购进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出200个．经过市场调查发现，价格每涨1元，每周就少卖5个． （1）若商场计划一周的利润达到3000元，且要以更优惠的价格让利给消费者，销售价应定为多少元？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格的基础上，销售量稳步上涨，两周后销售量达到了每周216个，求这两周的平均增长率． 【答案】（1）销售价应定为40元 （2）这两周的平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设销售价应定为元，则每个利润为元，每周销售量为个，根据商场计划一周的利润达到3000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设这两周的平均增长率为，根据两周后销售量达到了216个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设销售价应定为元，则每个利润为元，每周销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：销售价应定为40元； 【小问2详解】 解：由（1）可知，当售价为40元时，每周销售量为150个， 设这两周的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为． 22. 如图，在菱形中，点E在边上，连接，交对角线于点F，过点E作，交于点G． （1）若，求的长． （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明： 由（1）同理可证：， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据平行线的性质可证，可得，根据可得，再根据，可得，，从而证得，且，从而求得的长； （2）由（1）同理可证：，得到，证明，得到，进而得到，从而证得． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ， ， 又四边形为菱形， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 23. 综合与实践 【问题情境】 如图1，在等边中，D为边上的一点，连接，再以为边作等边，连接．若等边的周长为，的长为7． 【初步探究】 （1）线段的长为___________． 【深入探究】 （2）“智慧小组”将图1变为图2．如图2，为等腰三角形，为边上的一点，以为边作等腰．若，试猜想与之间的数量关系，并证明． 【拓展探究】 （3）“联想小组”受“智慧小组”的启发，将图1变为图3．如图3，四边形是正方形，E是边上的一点，连接，以为边作正方形，对角线与交于点O，连接．若，请直接写出正方形的面积． 【答案】(初步探究)； （深入探究），证明如下；（拓展探究）400． 【解析】 【分析】（1）根据证明，得，根据等边的周长为，可得，再根据线段的和差即可解答； （2）设，如图2，过点D作交于G，设与交于点M，证明得即可解答； （3）如图3，过点O作于P，根据圆周角定理证明D、O、C、E在同一个圆上，则，所以和是等腰直角三角形，进而求得正方形的边长即可解答． 【详解】(初步探究) 解 ：∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等边的周长为，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为∶ ； （深入探究） 解：，证明如下∶ 设， 如图2，过点D作交于G，设与交于点M， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （拓展探究） 解：如图3，过点O作于P，则， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∴D、O、C、E在同一个圆上， ∴．， ∵和是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． ∴正方形的面积． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 封丘县2024—2025学年上学期九年级期中学情检测试卷 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）请把正确答案的代号填在括号中． 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，是的中位线，若的面积为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 4. 小明在公园里看到一把椅子，他对椅子的结构很感兴趣．椅子的侧面示意图如图所示．已知，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 方程经过配方后，所得的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片．如图，小雨将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为，那么放大后的矩形的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是一元二次方程的解，则（ ） A. 8 B. C. 4 D. 18 8. 在数学实验课上，同学们用带有刻度的直尺在数轴上作图．如图，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（ ） A. B. 2 C. D. 9. 剪纸是中国古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图，这是一张蕴含着轴对称图形的蝴蝶剪纸，点A和点B对称，点C与点D对称，将其放置在平面直角坐标系中，连接，得到四边形．若点，现将四边形沿着y轴向下平移3个单位长度，再沿着x轴向右平移4个单位长度，得到四边形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为4的正方形中，点在边上，且，连接，过点作，交于点．连接，并延长交的延长线于点，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果最简二次根式与二次根式是同类二次根式，那么x的值为___________． 12. 凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的__________． 13. 如图，乐器上的一根弦为，两个端点A，B固定在乐器的板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即），则支点C到端点B的距离为___________．（结果保留根号）     14. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点B，C在x轴上（点B在点C的左侧），P为内的一点，连接．若，则___________°，的长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 17. 如图，在中，A，B，C三点的坐标分别是． （1）图中A，C两点坐标的特点是___________． A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 （2）画出关于x轴对称的． （3）以点A为位似中心，在点A的上方画出的位似，使它与的相似比为． 18. 岳飞，字鹏举，相州汤阴（今河南省汤阴县）人，南宋时期抗金名将，中国历史上著名的军事家、战略家、民族英雄，位列南宋“中兴四将”之首．小明在学习了相似后，尝试用平面镜的反射原理测量岳飞铜像的高度．如图，是岳飞铜像，是水平地面，M是平放在地面上的一面平面镜，是眼睛到地面的距离，调整和M的位置，通过镜面反射（法线地面），当眼睛A正好在平面镜中看到铜像顶端C时，测出．求岳飞铜像的高度． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：在线段上找一点，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，求的长． 20. 如图，线段与相交于点，，三点在同一条直线上． （1）求证：． （2）当，时，求的值． 21. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱．一商场以20元每个的进价购进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出200个．经过市场调查发现，价格每涨1元，每周就少卖5个． （1）若商场计划一周的利润达到3000元，且要以更优惠的价格让利给消费者，销售价应定为多少元？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格的基础上，销售量稳步上涨，两周后销售量达到了每周216个，求这两周的平均增长率． 22. 如图，在菱形中，点E在边上，连接，交对角线于点F，过点E作，交于点G． （1）若，求的长． （2）求证：． 23. 综合与实践 【问题情境】 如图1，在等边中，D为边上的一点，连接，再以为边作等边，连接．若等边的周长为，的长为7． 【初步探究】 （1）线段的长为___________． 【深入探究】 （2）“智慧小组”将图1变为图2．如图2，为等腰三角形，为边上的一点，以为边作等腰．若，试猜想与之间的数量关系，并证明． 【拓展探究】 （3）“联想小组”受“智慧小组”的启发，将图1变为图3．如图3，四边形是正方形，E是边上的一点，连接，以为边作正方形，对角线与交于点O，连接．若，请直接写出正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $