专题02 二倍角的三角函数知识归纳与题型突破（8类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第二册）

专题02 二倍角的三角函数知识归纳与题型突破 知识点1 二倍角的正弦公式 1.S2α：sin2α＝2sinαcosα 2.变形：sinαcosα＝sin2α； cosα＝； 1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2 知识点2 二倍角的余弦公式 1.C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2.C2α变形：cos2α＝＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 1＋cos2α＝2cos2α； 1－cos2α＝2sin2α； cos2α＝； sin2α＝． 知识点3 二倍角的正切公式 T2α：tan2α＝； 公式应用的条件：α≠且α≠kπ＋ (k∈Z)，当α＝kπ＋ (k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式 题型一 二倍角正弦公式的应用 【例1】（24-25高一上·河南三门峡·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式 【分析】首先将已知等式进行化简，得到关于的表达式，再换元利用二倍角公式求出的值. 【详解】由可得. 因为，变形为.得到. 两边同时平方得，即. 设，则，即.解得或. 当时，，得到，. 当时，，得到， 由于，这种情况舍去. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式二、三、四、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】先用诱导公式化简，后结合和角差角公式和二倍角公式计算即可. 【详解】因 ，解得， 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一上·广东广州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．± 【答案】A 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式 【分析】应用二倍角公式变形后再转化为关于的二次齐次式，化为的式子，然后代入计算． 【详解】． 故选：A． 【变式1-3】（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式 【分析】先利用题意得到的值，利用二倍角公式求得的值，进而可得的值，即可计算得到答案. 【详解】 ， ， 故选：B. 题型二 二倍角余弦公式的应用 【例2】（24-25高一上·广东广州·期末）已知角（）的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交于点． (1)若角是由角的终边顺时针旋转得到的，求的值； (2)若角满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据三角函数的定义求出、，再由，则，利用诱导公式及二倍角公式计算可得； （2）利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】（1）因为角的终边与单位圆交于点，所以，， 又角是由角的终边顺时针旋转得到的，即， 所以； （2）因为角满足， 所以. 【变式2-1】（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】由，而，得， 因此， 所以. 故选：B 【变式2-2】（24-25高一上·山东滨州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】应用和角正弦公式及已知可得、，再由差角正弦公式得，最后利用二倍角余弦公式求函数值. 【详解】由， 由，则， 所以，又， 而， 所以. 故选：C 【变式2-3】（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据同角三角函数的商数关系得，化简后根据平方关系得，即可求解的值； （2）根据同角三角函数的平方关系，结合角的象限得，再利用二倍角的正弦公式、余弦公式求值即可. 【详解】（1）由题意，得，则， 即，，解得. （2）由（1）知，又，所以， 所以. 题型三 二倍角正切公式的应用 【例3】（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】（1）先利用同角三角函数的关系求出，再利用两角差的余弦公式化简计算即可； （2）先求出，再利用正切的二倍角公式可求得答案. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以 ； （2）由（1）知，，， 所以， 所以. 【变式3-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知 ，且，则 . 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式、二倍角的正切公式 【分析】先根据诱导公式及二倍角的正弦公式可得，进而结合同角三角函数关系可得，进而根据二倍角的正切公式计算即可. 【详解】因为， 则 ， 则， 因为，所以， 则， 所以， 则. 故答案为：. 【变式3-2】（24-25高一上·广西柳州·期末）如图所示，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于两点，已知点的坐标为，点的坐标为. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正切公式 【分析】（1）由任意角三角函数定义结合题意可得答案. （2）由题结合诱导公式、二倍角正切公式可得答案. 【详解】（1）由题结合任意角三角函数定义可得： ，； （2）根据诱导公式化简可得： ， 由（1）知，，，则， 所以， 所以. 【变式3-3】（24-25高一上·天津河北·期末）已知，且是第二象限角. (1)求的值： (2)求的值： (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出； （2）利用两角和的余弦公式求解即可； （3）利用二倍角的正切公式求解即可. 【详解】（1）因为，且是第二象限角， 所以； （2）； （3）. 题型四 三角恒等式化简、求值问题 【例4】（24-25高一上·河北石家庄·期末）已知，求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）先根据对数运算求得，然后利用诱导公式，再化弦为切代入计算可得； （2）利用同角三角函数基本关系及二倍角的正余弦公式化简式子得，再化弦为切代入计算即可求得； 【详解】（1）因为， 所以； （2）. 【变式4-1】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式 【分析】（1）根据二倍角的正切公式求出，结合两角和的正切公式计算即可求解； （2）根据二倍角的正、余弦公式，结合切弦互化计算即可求解. 【详解】（1）， 所以； （2）原式. 【变式4-2】（24-25高一上·河北·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】（1）利用同角三角函数关系和余弦的二倍角公式求解即可； （2）利用结合正弦的两角和公式求解即可. 【详解】（1）由解得， 所以． （2）由，得， 则， 所以． 【变式4-3】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2)6 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】（1）利用两角和的正切可求； （2）利用诱导公式和二倍角的正弦结合弦切互化可求三角函数式的值. 【详解】（1）由解得． （2） ． 题型五 三角恒等式的证明问题 【例5】（23-24高一下·云南大理·阶段练习）证明： (1) (2) (3)已知，，求证． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、有条件的恒等式证明、无条件的恒等式证明 【分析】 根据题意，利用三角恒等变换的公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1） 证明：由 所以. （2） 证明：由 所以. （3） 证明：因为，可得， 把代入得， 即， 整理得，所以，所以 两边平方可得． 【变式5-1】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简； （2）证明：. 【答案】（1）1；（2）证明见解析. 【知识点】诱导公式五、六、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）利用二倍角公式、切化弦及诱导公式化简即可. （2）将等式的左边切化弦，通分并逆用差角的正弦公式、二倍角公式及诱导公式推理论证得右边. 【详解】（1）原式 . （2）左边 右边. 所以原等式成立. 【变式5-2】（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）（1）直接写出下列各式的值． ① ② ③ （2）结合（1）的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论． 【答案】（1）①，②，③，（2），证明见解析 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据余弦二倍角公式及特殊角的三角函数值可得结果； （2）结合（1）的结果，分析式子的共同特点，可得一般规律的等式，根据余弦二倍角公式及特殊角的三角函数值可得结果. 【详解】（1）① ， ② ， ③ ， （2）结合（1）的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式为： ， 证明如下： . 【变式5-3】（23-24高一·上海·课堂例题）证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）利用同角公式、二倍角的正余弦公式推理得证. （2）利用同角公式的平方关系、二倍角的正弦公式推理得证. 【详解】（1） . 所以. （2）， 所以. 题型六 求角问题 【例6】（24-25高一上·江西·阶段练习）已知、为锐角，，． (1)求的值： (2)求的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系以及二倍角的正切公式求解即可； （2）利用二倍角的正切公式以及和角的正切公式求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，所以， 所以； （2）因为，所以， 所以， 因为，且，所以； 因为，且，所以， 所以，所以. 【变式6-1】（2019·山西吕梁·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】结合二倍角公式和正切函数的性质化简即可得到答案. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 因为 所以， 即，其余选项无法确定， 故选：B. 【变式6-2】（24-25高一上·云南大理·期末）已知、为锐角，，. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系，求出，再利用二倍角的余弦公式和正弦公式以及两角和的正弦公式即可得到答案. （2）利用（1）的结论，先求的值，再结合的取值范围，可求的大小. 【详解】（1）因为，，所以， 所以， ， 所以. （2）因为，所以， 因为，且，所以 由（1）知，因为，且，所以； 所以， 所以，所以. 【变式6-3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，角的终边与单位圆的交点为，射线绕点按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点，记点的纵坐标关于的函数为，终边对应角 (1)若，，求； (2)对（1）中，若，，求 ； (3)若，的纵坐标为，的横坐标为，求. 【答案】(1) (2)1 (3) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据三角函数的定义求解即可； （2）根据诱导公式得，利用同角的平方关系求出，结合和两角差的正切公式计算即可； （3）根据三角函数的定义、同角的平方关系和二倍角的正余弦公式计算可得、，，结合和两角差的余弦公式计算即可求解. 【详解】（1）因为，且，点A在第三象限， 所以； （2）由于，得， 即，又， 得，所以， 得， 所以， 得； （3）易知，， 由可知，，，， 从而，，由， 可知，所以， 从而，易知， 故 题型七 研究三角函数的图象和性质 【例7】（23-24高二下·上海·阶段练习）记，其中为实常数． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值，并求取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)当时，． 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、cos2x的降幂公式及应用、sinxcosx的降幂公式及应用 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简解析式即可得出答案； （2）求出，再整体换元，找出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）． ∴函数的最小正周期为． （2）， ，则． 令，因为，则． 所以当，即时，． 【变式7-1】（20-21高一下·江苏徐州·期中）已知函数，则函数的对称轴的方程为 ． 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式、cos2x的降幂公式及应用、sinxcosx的降幂公式及应用 【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由可求得答案. 【详解】 ， 令，解得：． 故答案为： 【变式7-2】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数. (1)把化为的形式，并求的最小正周期； (2)求的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【知识点】求sinx的函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、cos2x的降幂公式及应用、sinxcosx的降幂公式及应用 【分析】（1）先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解； （2）由正弦函数的单调区间可得． 【详解】（1）（1）， 所以最小正周期为． （2）由，，解得，， 所以的增区间为． 【变式7-3】（23-24高一下·山东临沂·阶段练习）已知函数，最小正周期为． (1)求的值； (2)求函数的最大值及取得最大值时自变量的取值集合； (3)求函数的单调递减区间． 【答案】(1) (2)函数的最大值为2， (3)， 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、sinxcosx的降幂公式及应用、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据二倍角公式和辅角公式对函数进行化简，可得，再根据周期公式即可求出的值； （2）令，，由此即可求出结果； （3）令，由此即可求出结果. 【详解】（1）函数 ， 因为函数的最小正周期为，所以． （2）函数的最大值为， 此时，， 得，； 故函数的最大值为2，取得最大值时自变量的取值集合为； （3）令，， 得，， 故函数的单调递减区间为，． 题型八 二倍角三角函数的多选问题 【例7】（多选）（22-23高一下·江苏扬州·期中）下列各式中，值为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式 【分析】A选项，逆用正弦二倍角公式得到A错误；B选项，逆用正切和角公式得到B错误；C选项，逆用余弦二倍角公式得到C正确；D选项，变形，逆用正切二倍角公式得到D正确. 【详解】A选项，，A错误； B选项， ，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：CD 【变式8-1】（多选）（24-25高一上·江西景德镇·期末）化简下式，正确的是（ ） A．= B．= C． D．= 【答案】BD 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用三角恒等变换化简各选项即可确定正确答案. 【详解】A.，选项A错误. B.，选项B正确. C. ，选项C错误. D. ，选项D正确. 故选：BD. 【变式8-2】（多选）（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用正余弦倍角公式、差角正切公式及和角正弦公式判断各项的正误. 【详解】A：，错； B：，对； C：由， 所以，即，对； D：，错. 故选：BC 【变式8-3】（多选）（24-25高一上·福建莆田·期末）下列四个等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】对A，，利用两角和的正切公式化简求解；对B，利用二倍角正弦公式，再转化为齐次式弦化切求解；对C，利用二倍角余弦公式求解；对D，通分，再利用两角差的正弦公式化简. 【详解】对于A， ， ，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D， 故D错误. 故选：AB. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二倍角的三角函数知识归纳与题型突破 知识点1 二倍角的正弦公式 1.S2α：sin2α＝2sinαcosα 2.变形：sinαcosα＝sin2α； cosα＝； 1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2 知识点2 二倍角的余弦公式 1.C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2.C2α变形：cos2α＝＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 1＋cos2α＝2cos2α； 1－cos2α＝2sin2α； cos2α＝； sin2α＝． 知识点3 二倍角的正切公式 T2α：tan2α＝； 公式应用的条件：α≠且α≠kπ＋ (k∈Z)，当α＝kπ＋ (k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式 题型一 二倍角正弦公式的应用 【例1】（24-25高一上·河南三门峡·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·广东广州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．± 【变式1-3】（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型二 二倍角余弦公式的应用 【例2】（24-25高一上·广东广州·期末）已知角（）的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交于点． (1)若角是由角的终边顺时针旋转得到的，求的值； (2)若角满足，求的值． 【变式2-1】（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·山东滨州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 题型三 二倍角正切公式的应用 【例3】（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2). 【变式3-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知 ，且，则 . 【变式3-2】（24-25高一上·广西柳州·期末）如图所示，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于两点，已知点的坐标为，点的坐标为. (1)求的值； (2)求的值. 【变式3-3】（24-25高一上·天津河北·期末）已知，且是第二象限角. (1)求的值： (2)求的值： (3)求的值. 题型四 三角恒等式化简、求值问题 【例4】（24-25高一上·河北石家庄·期末）已知，求值： (1)； (2). 【变式4-1】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【变式4-2】（24-25高一上·河北·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式4-3】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知． (1)求； (2)求． 题型五 三角恒等式的证明问题 【例5】（23-24高一下·云南大理·阶段练习）证明： (1) (2) (3)已知，，求证． 【变式5-1】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简； （2）证明：. 【变式5-2】（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）（1）直接写出下列各式的值． ① ② ③ （2）结合（1）的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论． 【变式5-3】（23-24高一·上海·课堂例题）证明： (1)； (2)． 题型六 求角问题 【例6】（24-25高一上·江西·阶段练习）已知、为锐角，，． (1)求的值： (2)求的大小． 【变式6-1】（2019·山西吕梁·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·云南大理·期末）已知、为锐角，，. (1)求的值； (2)求的大小. 【变式6-3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，角的终边与单位圆的交点为，射线绕点按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点，记点的纵坐标关于的函数为，终边对应角 (1)若，，求； (2)对（1）中，若，，求 ； (3)若，的纵坐标为，的横坐标为，求. 题型七 研究三角函数的图象和性质 【例7】（23-24高二下·上海·阶段练习）记，其中为实常数． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值，并求取得最大值时的值． 【变式7-1】（20-21高一下·江苏徐州·期中）已知函数，则函数的对称轴的方程为 ． 【变式7-2】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数. (1)把化为的形式，并求的最小正周期； (2)求的单调递增区间. 【变式7-3】（23-24高一下·山东临沂·阶段练习）已知函数，最小正周期为． (1)求的值； (2)求函数的最大值及取得最大值时自变量的取值集合； (3)求函数的单调递减区间． 题型八 二倍角三角函数的多选问题 【例7】（多选）（22-23高一下·江苏扬州·期中）下列各式中，值为的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】（多选）（24-25高一上·江西景德镇·期末）化简下式，正确的是（ ） A．= B．= C． D．= 【变式8-2】（多选）（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（多选）（24-25高一上·福建莆田·期末）下列四个等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$