专题01 两角和与差的三角函数知识归纳与题型突破（8类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第二册）

专题01 两角和与差的三角函数知识归纳与题型突破 知识点1 两角和与差的余弦公式 1．两角差的余弦公式：C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； 2．两角和的余弦公式：C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ； 知识点2 两角和与差的正弦公式 1.两角和的正弦公式：S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； 2.两角差的正弦公式：S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ； 知识点3 两角和与差的正切公式 1、两角和的正切公式：T(α＋β)：tan(α＋β)＝； 2.两角差的正切公式：T(α－β)：tan(α－β)＝. 知识点4 变形公式及变换规律 1.变形公式： （1）tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)； （2）. （3）sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ， （4）cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ， （5）辅助角公式：函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ) 或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定． 2.适用条件： 公式Tα±β只有在α≠＋kπ，β≠＋kπ，α±β≠＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立，这是由正切函数的定义域决定的． 3.常见变换规律: （1）角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×，15°＝45°－30°＝60°－45°＝，β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)．－α＝－， －α＝－，＋α＝π－，＋α＝π－. （2）名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． 题型一 两角和与差的余弦公式的“正用” 【例1】（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【变式1-1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知. (1)化简求值：； (2)若是第一象限角，，且，求的值. 【变式1-2】（21-22高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知函数，（其中，）的最小正周期为10． (1)求的值； (2)设，，，求的值． 【变式1-3】（22-23高一下·湖南常德·阶段练习）已知. (1)若，求证：； (2)设，若，求的值. 题型二 两角和与差的余弦公式的“变用”“逆用” 【例2】（2021上·内蒙古鄂尔多斯·高二统考期末）已知，则 . 【变式2-1】（21-22高一·江苏·单元测试）（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（17-18高一上·湖南张家界·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（18-19高一下·湖南益阳·期末）（    ） A． B． C． D． 题型三 两角和与差的正弦公式的“正用” 【例3】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知锐角，满足，，求的值． 【变式3-1】（2023高一上·全国·专题练习）利用和（差）公式，求下列各式的值 (1) (2) 【变式3-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，，且为第一象限角，为第二象限角，求的值． 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，，且为第一象限角，为第二象限角，求的值. 题型四 两角和与差的正弦公式的“变用”“逆用” 【例4】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知，则 . 【变式4-1】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列各式中，计算结果为1的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一下·四川绵阳·期末）已知，则 . 题型五 两角和与差的正切公式的“正用” 【例5】（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【变式5-1】（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）若，则 . 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课后作业） ． 【变式5-3】（24-25高一上·天津南开·期末）已知、为锐角，，，则 . 题型六 两角和与差的正切公式的“变用”“逆用” 【例6】（24-25高一上·吉林·期末）利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【变式6-1】（2020·全国·统考高考真题）已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（    ） A．–2 B．–1 C．1 D．2 【变式6-2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（1996·全国·高考真题） 题型七 利用“角的变换”化简、求值 【例7】（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）（1）已知，，且为第一象限角，为第二象限角，求的值. （2）已知，，，求与的值. 【变式7-1】（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·吉林·期末）已知为第一象限角，，，则 . 【变式7-3】（21-22高一上·湖南娄底·期末）已知，，，，求. 题型八 三角函数式的化简、求值 【例8】（24-25高一上·上海·期末）已知角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 【变式8-1】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，则 ， . 【变式8-2】（24-25高一上·全国·课后作业）化简下列各式： (1)； (2). 【变式8-3】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）（1）求值：； （2）已知，求的值． 题型九 研究三角函数的图象和性质 【例9】（23-24高一上·湖南张家界·期末）设函数，其中，已知． (1)求的值； (2)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最值并写出取最值时的值. 【变式9-1】（多选）（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，函数在上单调递增，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-2】（多选）（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数，则（    ） A．的最大值为2 B．函数的图象关于点对称 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数在区间上单调递增 【变式9-3】（多选）（19-20高一上·山东枣庄·期末）设函数，则（    ） A．是偶函数 B．在上单调递减 C．的最大值为2 D．的图象关于直线对称 题型十 三角恒等式的证明 【例10】（22-23高一下·四川成都·阶段练习）已知，，且满足． (1)证明：； (2)求的最大值． 【变式10-1】（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)． 【变式10-2】（22-23高一下·山东烟台·期中）观察以下各式： ； ； ． 分析以上各式的共同特点，写出一个能反映一般规律的等式，并证明该等式． 【变式10-3】（23-24高一·上海·课堂例题）证明： (1)； (2)． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 两角和与差的三角函数知识归纳与题型突破 知识点1 两角和与差的余弦公式 1．两角差的余弦公式：C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； 2．两角和的余弦公式：C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ； 知识点2 两角和与差的正弦公式 1.两角和的正弦公式：S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； 2.两角差的正弦公式：S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ； 知识点3 两角和与差的正切公式 1、两角和的正切公式：T(α＋β)：tan(α＋β)＝； 2.两角差的正切公式：T(α－β)：tan(α－β)＝. 知识点4 变形公式及变换规律 1.变形公式： （1）tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)； （2）. （3）sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ， （4）cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ， （5）辅助角公式：函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ) 或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定． 2.适用条件： 公式Tα±β只有在α≠＋kπ，β≠＋kπ，α±β≠＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立，这是由正切函数的定义域决定的． 3.常见变换规律: （1）角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×，15°＝45°－30°＝60°－45°＝，β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)．－α＝－， －α＝－，＋α＝π－，＋α＝π－. （2）名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． 题型一 两角和与差的余弦公式的“正用” 【例1】（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）根据已知可求出，进而即可得出答案； （2）根据两角和的余弦公式，即可得出结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以. （2）由（1）得，，， 则. 【变式1-1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知. (1)化简求值：； (2)若是第一象限角，，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）先用诱导公式化简，再弦化切求值； （2）先求出、的正弦、余弦，再利用两角和与差的三角函数求值. 【详解】（1）原式. （2）由为第一象限角，且，故：，； 又，且，故. 所以：. 【变式1-2】（21-22高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知函数，（其中，）的最小正周期为10． (1)求的值； (2)设，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由余弦（型）函数的周期性求值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）由求值； （2）由，整理得，结合平方关系及余弦和公式求值即可. 【详解】（1）由得； （2）由整理得， ∵，∴， ∴. 【变式1-3】（22-23高一下·湖南常德·阶段练习）已知. (1)若，求证：； (2)设，若，求的值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【知识点】坐标计算向量的模、平面向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标表示、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）求出，利用模长公式列出方程，求出，证明出； （2）根据得到，平方相加后得到的值. 【详解】（1）， 故， 即， 化简得：， 故； （2）， 所以， 两式平方相加得：， 故. 题型二 两角和与差的余弦公式的“变用”“逆用” 【例2】（2021上·内蒙古鄂尔多斯·高二统考期末）已知，则 . 【答案】 【分析】利用三角函数的平方关系，结合余弦函数的和差公式即可得解. 【详解】因为， 所以， 两相加得，得. 故答案为：. 【变式2-1】（21-22高一·江苏·单元测试）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】特殊角的三角函数值、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、诱导公式五、六 【分析】使用诱导公式及逆用余弦的差角公式进行求解. 【详解】． 故选：D． 【变式2-2】（17-18高一上·湖南张家界·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】逆用两角差的余弦公式求解即可. 【详解】， 故选：B 【变式2-3】（18-19高一下·湖南益阳·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式二、三、四、特殊角的三角函数值、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据诱导公式和两角和的余弦公式的逆用变形即可得解. 【详解】由题： 故选：B 题型三 两角和与差的正弦公式的“正用” 【例3】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知锐角，满足，，求的值． 【答案】 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、给值求角型问题 【分析】首先利用同角三角函数基本关系式以及两角差的正弦公式求，再根据角的范围，即可求解. 【详解】由，，且，可知，，． ． 又，，，． 【变式3-1】（2023高一上·全国·专题练习）利用和（差）公式，求下列各式的值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】利用和（差）公式的三角函数公式求解. 【详解】（1）解：， ； （2）， ； 【变式3-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，，且为第一象限角，为第二象限角，求的值． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】根据同角关系可得，，即可根据正弦的和角公式求解. 【详解】因为为第一象限角，为第二象限角，，，所以，， 所以． 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，，且为第一象限角，为第二象限角，求的值. 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】根据同角关系可得，，即可根据正弦的差角公式求解. 【详解】因为为第一象限角，为第二象限角，，， 所以，， 所以. 题型四 两角和与差的正弦公式的“变用”“逆用” 【例4】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据题意，结合三角恒等变换的公式，求得，即可求解. 【详解】由， 可得，所以. 故答案为：. 【变式4-1】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】特殊角的三角函数值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数，化简得到，即可求解. 【详解】由. 故选：A. 【变式4-2】（多选）（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列各式中，计算结果为1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】诱导公式二、三、四、逆用和、差角的正切公式化简、求值、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】运用诱导公式、同角三角函数的基本公式、和差角公式及切化弦化简计算即可. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD 【变式4-3】（23-24高一下·四川绵阳·期末）已知，则 . 【答案】/ 【知识点】诱导公式五、六、辅助角公式、正弦函数图象的应用 【分析】利用辅助角公式得到，，从而得到. 【详解】由辅助角公式得， 其中， 又，故， 即， 则， 故，. 故答案为： 题型五 两角和与差的正切公式的“正用” 【例5】（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据两角和的正切公式化简可得，再根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 可得，即， 且，整理得， 又因为，当且仅当时，等号成立， 即，整理得， 解得或（舍去）， 所以的最小值为，当且仅当时取等号. 故答案为： 【变式5-1】（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）若，则 . 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由两角差的正切公式展开式可得结果. 【详解】， 故答案为：. 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课后作业） ． 【答案】 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据诱导公式化简代数式，利用正切函数的差角公式，可得答案. 【详解】， 故原式． 故答案为： 【变式5-3】（24-25高一上·天津南开·期末）已知、为锐角，，，则 . 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由求出，利用正切和角公式求出，结合、为锐角，得到. 【详解】因为，为锐角， 则，， 可得， 且、为锐角，则，所以. 故答案为：. 题型六 两角和与差的正切公式的“变用”“逆用” 【例6】（24-25高一上·吉林·期末）利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)0 (3) 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）逆用两角差的正弦公式计算即可； （2）逆用两角和的余弦公式计算即可； （3）由，再逆用两角和的正切公式求解即可. 【详解】（1）由公式，得. （2）由公式，得. （3）由公式及， 得. 【变式6-1】（2020·全国·统考高考真题）已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（    ） A．–2 B．–1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】，， 令，则，整理得，解得，即. 故选：D. 【变式6-2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用三角函数的诱导公式、正切函数的和差公式以及正弦函数的差角公式，可得答案. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，， 由，则 故原式，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，故原式，D错误． 故选：B. 【变式6-3】（1996·全国·高考真题） 【答案】 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值． 【详解】因为 所以， 所以 故答案为：. 题型七 利用“角的变换”化简、求值 【例7】（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）（1）已知，，且为第一象限角，为第二象限角，求的值. （2）已知，，，求与的值. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）利用平方关系及和角的正弦公式计算即得. （2）利用平方关系及和角的正余弦公式，结合配凑法计算即得. 【详解】（1）由，为第一象限角，为第二象限角， 得， 所以. （2）由，得， 由，， 得，， 所以 ； 而，所以. 【变式7-1】（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据正切的和差角公式即可求解. 【详解】 故选:C． 【变式7-2】（24-25高一上·吉林·期末）已知为第一象限角，，，则 . 【答案】/0.4 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由同角三角函数的基本关系，根据所给的三角函数式中的角与所求角的特征，合理凑角，然后用两角和的正切公式得到结果. 【详解】∵是第一象限角，∴ ∴， 又∵， 所以， 则， 所以 . 故答案为：. 【变式7-3】（21-22高一上·湖南娄底·期末）已知，，，，求. 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由已知结合商数关系、平方关系求，根据的范围及平方关系求，最后由结合差角余弦公式求值即可. 【详解】因为，所以，又，可得或， 而，所以， 由，且，解得， 因为，，则， 所以， 所以. 题型八 三角函数式的化简、求值 【例8】（24-25高一上·上海·期末）已知角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）根据角的终边过点求出角的三个三角函数值，代入求解即可； （2）由两角差的余弦公式和两角和的正切公式求解即可. 【详解】（1）因为角的终边过点，所以到原点的距离， 则，，， 所以； （2） . 【变式8-1】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，则 ， . 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据两角差的正切公式，即可求解；利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式，即可求解. 【详解】； . 故答案为：； 【变式8-2】（24-25高一上·全国·课后作业）化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）由两角差的正切公式即可求解； （2）由两角差的正切公式即可求解； 【详解】（1）原式. （2）原式 【变式8-3】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）（1）求值：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）利用诱导公式再将分子的“1”转化为，然后再进行化简； （2）两等式平方相加即可得到答案. 【详解】（1）原式 ． （2） ， 则. 题型九 研究三角函数的图象和性质 【例9】（23-24高一上·湖南张家界·期末）设函数，其中，已知． (1)求的值； (2)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最值并写出取最值时的值. 【答案】(1) (2)时取得最大值为；时取得最小值为 【知识点】辅助角公式、求图象变化前（后）的解析式、利用正弦函数的对称性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】 （1）化简的解析式，根据求得. （2）根据三角函数图象变换求得，根据三角函数最值的求法求得正确答案. 【详解】（1） ， ，，， 由于，所以. （2）由（1）得， 函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）， 得到，再将得到的图象向左平移个单位， 得到， 若，则， 所以当时，取得最大值为； 当时，取得最小值为. 所以时取得最大值为；时取得最小值为. 【变式9-1】（多选）（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，函数在上单调递增，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【知识点】辅助角公式、诱导公式二、三、四、利用余弦函数的单调性求参数 【分析】先将函数化为，先通过求出的大概范围，然后再根据题目所给单调区间列不等式求解即可. 【详解】， ，， 函数在上单调递增， ， ， ， ，解得， 则选项中的值可以是和， 故选：BC. 【变式9-2】（多选）（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数，则（    ） A．的最大值为2 B．函数的图象关于点对称 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数在区间上单调递增 【答案】AB 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】先用辅助角公式将函数变形为，结合正弦型函数的性质逐项判断正确与否即可. 【详解】函数， 对于选项A，，A正确； 对于选项B和C，将代入函数的解析式，得，函数的图象关于点对称，B正确，C错误； 对于选项D，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，D不正确； 故选：AB. 【变式9-3】（多选）（19-20高一上·山东枣庄·期末）设函数，则（    ） A．是偶函数 B．在上单调递减 C．的最大值为2 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的最值、cosx（型）函数的对称轴与单调性、最值的关系、辅助角公式 【分析】先利用辅助角公式化简为，再根据余弦函数的性质即可一一判断各选项. 【详解】， 对于A，，所以是偶函数，故A正确； 对于B，令，，得，， 当时，，∴在上单调递减，故B正确； 对于C，当，即时，有最大值，故C错误； 对于D，，是最小值，故D正确． 故选：ABD． 题型十 三角恒等式的证明 【例10】（22-23高一下·四川成都·阶段练习）已知，，且满足． (1)证明：； (2)求的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系、基本不等式求和的最小值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）由两角和的余弦公式展开后变形，再由商数关系可证； （2）由（1）利用平方关系化右侧为关于的二次齐次式，再弦化切，然后利用基本不等式得最大值． 【详解】（1）由已知， ， ∴； （2），则，， 由（1）得 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是． 【变式10-1】（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）运用恒等变换公式，同角三角函数的商数关系即可化简； （2）运用两角和的正切公式证明即可． 【详解】（1） ； （2） 【变式10-2】（22-23高一下·山东烟台·期中）观察以下各式： ； ； ． 分析以上各式的共同特点，写出一个能反映一般规律的等式，并证明该等式． 【答案】见解析 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、特殊角的三角函数值 【分析】利用两角和与差的正切公式即可证明. 【详解】，其中， 证明：， 则， 则左边 右边. 故等式成立. 【变式10-3】（23-24高一·上海·课堂例题）证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）（2）由两角和与差的余弦公式，结合条件求证即可． 【详解】（1） ， 即； （2） ， 即． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$