第6章 实数（数学活动·信息技术应用·数学史话）（教学课件）数学新教材沪科版七年级下册

数学活动·信息技术应用·数学史话 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 第6章 实数 数学活动 探究将无限循环小数化为分数 1.请你将下列分数化成小数形式: = = = = = = 0. 0. 0. 0. 0. 0. 观察上面各算式，你发现了什么规律? 分子 循环节所表示的整数 分母 循环节有几位，分母就写几个9 2.请根据你发现的规律将下列小数写成分数的 形式，并验算结果是否正确: 0.= 0.= 0.= 4 （1）0.扩大10倍是______， 0.扩大100倍是______. （2）3.- 0. 的结果是______. （3） 19.- 0. 的结果是______. 你能否利用方程的方法，写出上述小数的分数形式? 3. 19. 3 19 循环节消失了. 探究 先阅读下面材料，再完成任务： 【阅读理解】你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？ 下面的解答过程会告诉你方法. 例题：利用一元一次方程将 化为分数. 解：设，则 ，而 ， 新知探究 所以 ，化简得，解得 .所以 . 【问题探究】 仿照上述方法把 化成分数为__； 6 (2)请类比上述方法，把循环小数 化为分数，写出解题过程； 解：设，则 . 而，所以 ， 解得 . 所以 . 【拓展延伸】 (3)把 化成分数为____. 将 0. ，3.化为分数的形式 . 解：设 0. = x ，则 3.=10 x . 10 x -x= 3 解得 x = 9 x = 3 10x = 3 即 0.= 即 3.= 3 将 0.，19. 化为分数的形式 . 解：设 0.= x ，则 19.=100 x . 100 x -x= 19 解得 x = 99 x = 19 100x = 19 即 0.= 即 19.= 19 方法总结: ① 设纯循环小数(整数部分为0)为 x 当循环节为1位时，乘10 当循环节为2位时，乘100 当循环节为3位时，乘1000 当循环节为n位时，乘______ 10n ······ ②列方程 10nx-x = 循环节所表示的整数 ③解方程 x = 分数能约分的记得约分 纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的循环小数. n个9 练一练 0. = 1. = 1.写出下面纯循环小数的分数形式. 0= 0. 02= 1 2.请你利用上面解一元一次方程的方法，写出下面混循环小数的分数形式. 0.0= 0.21= 混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数. 0.0×10× = 0.× = × = 2.请你利用上面解一元一次方程的方法，写出下面混循环小数的分数形式. 0.0= 0.21= 0.21×100× = 21× = (21+0)× = (21+ )× = 混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数. 3.请你利用上面解一元一次方程的方法，写出下面混循环小数的分数形式. 0.0= 0.21= 分数形式 混循环小数 纯循环小数 练一练 0.1= 1.2= 3.写出下面混循环小数的分数形式. 0= 2.0= 1 2 信息技术应用 (1)我们知道，若一个面积为2的正方形的边长为，那么 是一个无理数，我们用 “逼近法”可以逐步求出 的取值范围是 .类似地，若一个面积为5 的正方形的边长为，请你逐步探求出的取值范围(精确到 ). 解：由题意可知， . 因为，，所以 . 因为， ， 所以 . 因为， ， 所以 . 17 (2)阅读材料： ①因为，即 ， 所以.所以的小数部分为 . ②因为，即 ， 所以.所以 的整数部分为1，小数部分为 . 请利用材料中的方法，求 的小数部分. 解：因为，即 . 所以的整数部分为9，所以的小数部分为 . 18 (3)除上述方法外，小明还搜集到了以下方法，请补充完整： ①我们知道面积是2的正方形的边长是 ，且， 设 ，画出如下示意图： 由图形面积可得______ . 因为的值很小，所以更小，略去 ， 得方程________________， 解得 _______(精确到 )， 即 _______. 2. 19 ②请仿照上述探究过程探究 的大小. 已知： ，在下图中画出示意图，并标出相关数据. 结论：_______.(精确到 ) 如图. 20 数学史话 无理数漫谈 公元前5世纪左右,在古希腊哲学家和数学家毕达哥拉斯(Pythagoras,前580 至前 570 之间-约前 500)的领导下,成立了一个秘密会社,也就是后人所称的毕达哥拉斯学派，这个学派的基本信条是“万物皆数”。他们所说的数仅仅指整数和分数,其中分数被看成两个整数之比。 毕达哥拉斯学派发现一个既不是整数,又不是整数之比的数,它就是边长为1的正方形的对角线的长度。这一发现动摇了毕达哥拉斯学派的基本信条，引起数学史上第一次基础理论的危机. 在此后的2000多年里,人们对无理数进行了孜孜不倦的探索。一直到19世纪人们才真正对无理数有了一个全面的认识. “有理数”“无理数”这两个名词是由英文翻译过来的，有理数一词的英文是“rationalnumber”,其中“rational”有两层含义:一是“比率”二是“合理”。从数学含义来说应该取前者所以有理数实际上应该是“比数”,而无理数“irrational number”应该是“非比数”。在我国,徐光启(1562-1633)李善兰(1811-1882)把它们译成“有理数”“无理数”,这一译名又流传到日本。经过长时间的使用，大家也习惯了,所以沿用至今 假设是有理数,那么有互素的两个正整数 m，n,使= 下面给出 不是有理数的证明: 所以有 也就是=2 由于上式的右边 2m² 是偶数,故左边n²也是偶数,因而n应是偶数, 可设n=2k(k取整数)，代入上式，得4k²= 2m²，即2k² =m². 这就得出 m 也是偶数,由于n也是偶数,因此n与m不互素,与假设矛盾,即、2不是有理数· 上述这种证明问题的方法,叫作反证法。它是数学中的一种重要的推理方注在以后的学习中我们出会经常用到它 请阅读下面运用反证法证明 不是有理数的过程，并解决问题. 【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互素的正整数和 ，使得， 两边平方得 ，即 .① 练一练 因为 是偶数，所以 是偶数. 因为只有偶数的平方才是偶数， 所以也是偶数.设取整数，代入①得， ，即 . 由是偶数，可得 是偶数，所以也是偶数，则和都是偶数，不互素. 这与假设和 互素矛盾. 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即 不是有理数. 25 【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明 不是有理数. 解：假设是有理数，那么存在两个互素的正整数和 ， 使得，两边立方得，即 .① 故是偶数.因为只有偶数的立方才是偶数，所以 也是偶数. 设取整数，代入①得，，即 . 所以也是偶数，则和都是偶数，不互素.这与假设和 互素矛盾. 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即 不是有理数. 26 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 感谢聆听 $$