第6章 实数（8大重难点题型）（专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

第6章 实数（8大重难点题型） 题型一 非负数应用的常见题型 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，则的倒数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的求解，涉及了绝对值和算术平方根的非负性，算术平方根的求解以及倒数的概念，解题的关键是灵活运用相关基本知识进行求解． 根据绝对值和算术平方根的非负性，得到关于的二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即，化简可得， ①+②得：，解得， 将代入①得，，解得， ∴， ∴的倒数是， 故选：C 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）若与互为相反数，则 . 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的定义和非负数的性质：如果几个非负数的和为0，那么每一个非负数都为0．由于与互为相反数，那么它们的和为0，然后根据非负数的性质即可得到它们每一个等于0，由此即可得到关于a、b的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 而， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·广东广州·期末）若，则的值是 ． 【答案】或/2或3 【分析】该题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，解题的关键是确定出算术平方根等于本身的数是1或0． 根据题意得出或，求解即可． 【详解】解：依题意得，或， 解得：或． 故答案为：或． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若a，b为实数，且，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根和偶次方的非负性、求算术平方根，熟练掌握算术平方根的非负性是解题关键．根据算术平方根和偶次方的非负性可得，从而可得的值，再代入计算算术平方根即可得． 【详解】解：∵为实数，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 5．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意得，，解方程即可求出m，n的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， ， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了利用算术平方根的非负性解题，解一元一次方程，代数式求值，有理数的乘方运算等知识点，熟知几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 6．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足，则的值为 ． 【答案】16 【分析】此题主要考查了绝对值的性质以及算术平方根的性质．直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， 则， 故答案为：16． 7．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ， 故答案为：． 8.[2024六安校级月考] 若 ，其中，均为整数，则 _________. 【解析】因为，其中， 均为 整数，， . ①当， 时， ， ， 所以 ； ②当， 时， 或， ， 所以 或 ； ③当， 时， 或， ， 所以 或 . 综上所述， 的值为0或2或4. 9．（24-25七年级下·全国·期末）已知是实数，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【详解】本题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程组，求平方根．根据非负数的性质可得关于x，y的方程组，求出x，y的值，即可求解． 解：与互为相反数， ， ， 解得， ， 的平方根为． 10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，求的算术平方根． 【答案】3 【分析】根据非负性确定a，b的值，再计算的算术平方根． 本题考查了实数的非负性，算术平方根，熟练掌握非负性和算术平方根是解题的关键． 【详解】解：，，， ，， ，， ， 的算术平方根为3． 11．（24-25八年级上·四川广安·期末）已知，若m满足，求m的值． 【答案】 【分析】题目主要考查被开方数的非负性，不等式组及二元一次方程组，根据题意得出，然后由得到，进而整体代入求解即可． 【详解】解：由题意，得 解得． ①＋②，得， 即， 解得． 12.[2024杭州期中] 已知有理数，， 满足，求 的平方根. 【解】因为 ，且 ，， ， 所以，，，解得 ， ，.所以 . 因为4的平方根为，所以的平方根为 . 13.已知，都是有理数，且 ，求 的立方根. 【解】由题意得且 , 所以.所以 . 所以的立方根为 . 【方法点睛】解决条件中被开偶次方数的式子互为相反数问题的方法：若条件中被开偶次方数的式子互为相反数，只有它们都等于 0 时，这两个式子才都有意义. 14.已知为有理数，求式子 的值 【解】因为，所以 . 所以原式 . 15.[2024衢州期中] 设，为有理数，定义一种新运算“ ”：当时，；当时， . （1）计算：____， ___. （2）若，满足 . ①请直接写出， 的值； ②求 的值. 【解析】（1）-1；1 （2）①a=3,b=−2 . ②【解】因为,， ， 所以 . 因为 ， 所以 . 题型二 巧用无理数和实数相关概念解题 1. [2024重庆万州区月考] 下列各组数中互为相反数的是( ) A. 5与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．正数有且只有一个立方根 C．的立方根是 D．立方根是它本身的只有 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解题即可． 【详解】解：A：负数有立方根，故此选项不合题意； B：正数有且只有一个立方根，故此选项符合题意； C：的立方根是，故此选项不合题意； D：立方根是它本身的有和和，故此选项不合题意． 故选：B ． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于实数，小丁说：“有平方根．”小张说：“不一定有平方根．”小刘说：“一定有平方根．”他们中说法正确的是（    ） A．小丁和小刘 B．小丁和小张 C．小张和小刘 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查平方根，根据正数和零有平方根，而负数不存在平方根解题即可． 【详解】解：当时，没有平方根，小丁说法错误； 当为正数时，没有平方根，小张说法正确； 因为，所以一定有平方根，小刘说法正确； 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果一个数的绝对值为，那么数a在图中数轴上对应的点不可能是（   ） A．点M B．点O C．点P D．点N 【答案】A 【分析】此题考查立方根定义及绝对值的非负性，解题关键在于掌握其性质，根据绝对值的非负性，即可解答． 【详解】解：一个数的绝对值应该大于等于零，即， 所以数a在数轴上对应的点不可能是点M， 故选：A． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的有（   ） ①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根；②64的平方根是，立方根是；③表示a的平方根，表示a的立方根；④不一定是负数． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【分析】考查了平方根、立方根的定义及其表示方法， ①根据一对相反数的立方根仍是一对相反数即可判定；②分别求出64的立方根与平方根，然后即可判定；③理清非负数平方根的表示方法；实数立方根的表示方法即可判定；④考虑数0即可判定． 【详解】解：①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根，故说法①正确； ②64的立方根是4，故说法②错误； ③表示a的算术平方根，故说法③错误； ④，则不一定是负数，故说法④正确； 故选：C． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，的算术平方根为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根和算术平方根，解题的关键先根据算术平方根的定义求得a的值，然后再依据平方根的定义得到b的值． 【详解】解：∵的算术平方根为，， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列说法正确的是（   ） A．一定没有平方根 B．的平方根是 C．9的平方根是3 D．3是9的一个平方根 【答案】D 【分析】本题考查的是平方根的含义，根据平方根的含义逐一分析判断即可． 【详解】解：A，当，则，0的平方根为0，故本选项错误，不合题意； B，没有平方根，故本选项错误，不合题意； C，9的平方根是，故本选项错误，不合题意； D，3是9的一个平方根，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）下列正确的是（　　） A．6是36的算术平方根，即 B．6是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即± D．是4的平方根，即 【答案】B 【详解】本题考查平方根、算术平方根的概念，根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A．6是36的算术平方根，即，因此选项A不符合题意； B．6是的算术平方根，即，因此选项B符合题意； C．是49的平方根，即，因此选项C不符合题意； D．是4的平方根，即，因此选项D不符合题意． 故选：B． 9．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若的平方根是它本身，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵的平方根是它本身， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 10.已知实数， 在数轴上对应点的位置如图所示，化简： . 【解】由数轴知，， ， 所以原式 . 11.[2024临沂期末] 半径为1个单位长度的圆上有一点A 与数轴上表示−1 的点重合. （1）若圆沿数轴向右滚动一周，圆上的点A 恰好与数轴上的点B重合，设点B对应的实数是b，则b=_______________. (结果保留π) （2）求 的算术平方根.结果保留 （3）若圆沿数轴向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次运动的情况记录如下：+2，−4，+3，−2 . 当圆结束运动时，点A运动的路程共有多少？此时点A 所表示的数是多少？(结果保留π) 【解析】 【2】由（1）可得 ， 所以 .所以 的算术平方根为 . 【3】由题意得，圆共滚动了 （周）， 所以点的运动路程为 （个）单位长度. 因为 ， 所以点表示的数为 . 题型三 实数的大小比较 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）在0，，，，五个数中，最大的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数大小比较，掌握无理数的估算是解题的关键．根据实数的大小比较求解即可，四个数中正数比0和负数大，即只比较，，即可． 【详解】解：， 在0，，，，五个数中，最大的数是， 故选：D． 2．若实数a满足，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用特殊值法分别求解，进而比较大小即可． 【详解】解：采用特殊值法，取，则，，， 所以， 故选：B． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）比较的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是实数的比较大小，根据开方和乘方互为逆运算将无理数化为有理数，然后比较大小是解决此题的关键． 先分别求出这三个数的六次方，然后比较它们的六次方的大小，即可比较这三个数的大小． 【详解】解：∵，，， 而， ∴． 故选：D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）比较与的大小（参考数据：）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据得，，再根据两个负数比较大小其绝对值大的反而小得，进而可得结论． 【详解】解：， ． 因为， 所以， 所以． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键． （1）先比较与的大小，再根据实数的大小比较的方法比较即可； （2）先比较与的大小，再根据实数的大小比较的方法比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）比较大小： (1)与2.42； (2)2与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查比较实数大小，熟练掌握比较实数大小的方法以是解题的关键． （1）通过估算无理数大小进行比较即可； （2）比较两数的立方大小即可求解； （3）比较两数绝对值的立方大小即可求解； （4）利用作差法求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，且， 所以． （2）解：因为，而， 所以． （3）解：因为，而， 所以， 所以． （4）解：因为，而， 所以， 所以， 所以． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法． （1）利用作差法比较即可； （2）利用作差法比较即可． 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为，且， 所以，即， 所以． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各数表示在数轴上，比较它们的大小，并用“”连接． ． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了在数轴上表示实数的方法，以及实数大小比较．首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据数轴的特征：当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把所给的各数用“”号连接起来即可． 【详解】解：， 各数表示在数轴上，如图所示： 故． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）在数轴上表示下列各数，并将其中的无理数用“<”连接． 的算术平方根，． 【答案】数轴见解析，． 【分析】先化简数，再用数轴上的点表示同意这此数，然后找出无理数，利用数轴比较其大小即可． 【详解】解：∵ ，，的算术平方根为2， ∴在数轴上表示各数为： ∵无理数有：，， ∴无理数用“<”连接为：． 【点睛】此题综合考查了数轴、绝对值，算术平方根，无理数比较大小等知识，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 题型四 数轴与实数运算 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）数轴上与表示的点相距的点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴上的点与数的对应关系是解题的关键．根据“向左动就减，向右动就加”计算求解． 【详解】解：当点在的左边时，此点表示的数为， 当点在的右边时，此点表示的数为， 故答案为：或． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若将三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，解题的关键在于得出无理数的取值范围．首先利用估算的方法分别得到，，前后的整数（即它们分别在那两个整数之间），从而可判断出被覆盖的数． 【详解】解：，，，且墨迹覆盖的范围是， 能被墨迹覆盖的数是． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）（新考向）一个工人师傅在测量如图所示的正方形零件边（）时，测量了好几遍都没有测出一个较为准确的数，取近似值又会影响到零件的使用，十分发愁．小迪过去看了看，发现该零件是由边长为2的正方形沿各边中点连线切去四角得到的，以原点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，．请根据图形解答： (1)想到数学课上刚学的实数，小迪很快就知道的长度了，聪明的你知道吗？并说明理由； (2)点表示的实数是______； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)的长度为，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了实数与数轴，利用平方根求解方程，三角形的面积公式等． （1）根据正方形的面积公式和三角形的面积公式，即可求出正方形的面积，根据求一个数的平方根的方法即可求解； （2）根据题意可得，即可得出点表示的数； （3）根据题意得出，结合图形和三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：的长度为． 理由：根据题意，得， ． （2）解：∵， ∴， 故点表示的实数是． 故答案为：． （3）解：，三角形中边上的高为， ． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周（无滑动），圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a． (1)求a的值； (2)求的算术平方根； (3)利用计算器计算时，按键，显示结果是_______． 【答案】(1)； (2)2； (3)0． 【分析】本题主要考查了实数的运算，实数与数轴： （1）根据题意可知，点A与原点的距离为该圆的周长，据此求解即可； （2）根据（1）所求结合实数的运算法则求解即可； （3）根据题意只需要计算出的结果即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵ ∴ ， ∴的算术平方根为2； （3）解：由题意得按键表示的是． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）小云的作业中有这样一道题： 请画出数轴并把实数，，，在数轴上表示出来，再把这几个数按照从小到大的顺序排列． (1)你认为表示的点在______到______之间（填整数）； (2)如图是小云所画的数轴，请你帮助小云完成剩下的任务． 【答案】(1)2；3 (2)图见解析， 【分析】本题考查无理数的估算、在数轴上表示实数．（1）根据估算的取值范围即可； （2）先化简绝对值，并估算，然后把数值表示在数轴上表示出来． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：2；3； （2）解：． ， ， ． 将4个实数在数轴上表示出来如图所示． 由图可知． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m． (1)实数m的值为_______； (2)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．请计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数与数轴、平方根、非负数的性质，正确理解题意是解题关键． （1）根据向右爬了2个单位长度则在起点基础上加，即可得到m的值； （2）根据非负数的性质得到c，d的值，代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为， ∴， 故答案为：； （2）解：因为与互为相反数， 所以， 因为与均为非负数， 所以， 所以， 所以原式． 题型五 程序设计与实数运算 1. [2024合肥校级月考] 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x=16时，输出的y 等于( ) A. B. C. 4 D. 【答案】A 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图是一个数值转换器，当输入x的值为9时，则输出y的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，实数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据程序第一步计算，，再次计算得，，是无理数，直接输出即可． 【详解】解：根据程序第一步计算， 再次计算得， 是无理数，直接输出， 故选：C． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入的值是64时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键熟练掌握实数的运算法则．首先求出64的平方根，然后再计算出其立方根即可． 【详解】解：由题意得当输入x的值是64时， ，， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）如图是一个数值转换器，当输入的值为256时，则输出的值是 ． 【答案】 【分析】如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，再代入计算即可求解． 本题考查算术平方根，无理数的含义，程序流程图，关键是掌握算术平方根的定义． 【详解】解：输入x的值为256时，256的算术平方根是16， 16是有理数，再输入可得： 16的算术平方根是4， 4是有理数，再输入可得： 4的算术平方根是2， 2是有理数，再输入可得： 2的算术平方根是， 是无理数，则输出y的值是． 故答案为：． 5.在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数x(|x|<20)的运算程序，如图，若输出的y值为√2 ，则输入的实数x 可取的负整数值是__________. 【答案】−2或−14 6.有一个数值转换器,原理如图. （1） 当输入的x为81时，输出的y 是多少？ （2）是否存在输入有效的x值后，始终输不出y 值？如果存在，请写出所有满足要求的x 的值；如果不存在，请说明理由. （3）小明输入某个数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？ （4）若输出的是，试判断输入的 值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个. 【解析】（1）当时，，， 是无理数，故 . 【2】存在.当x=0或1时，始终输不出y 值. 【3】因为负数没有算术平方根，所以输入的数据可能是负数. 【4】输入的x 值不唯一，例如5和25（举例不唯一）. 题型六 实数运算的应用 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）七年级（一）班在大课间开展了一个叠报纸游戏，将两张面积为的正方形报纸放在地上，每张报纸上站一个人，他们与对方相互猜拳（剪刀石头布），输掉的人须将脚下的报纸对折后再站在上面，谁的脚先落地则游戏失败．若一个人猜拳输了两次后叠成的报纸仍为正方形，此时报纸的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是算术平方根的应用，先求出两次对折后的正方形的面积，根据算术平方根得出结论即可． 【详解】解：∵正方形报纸的面积为，对折两次后仍为正方形， ∴此时报纸的面积为， ∴此时报纸的边长为， 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）要制作一只如图所示容积为的小玻璃杯，涉及正方体内壁时，内壁边长大致长度在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】C 【分析】本题考查立方根的应用，立方根的估算，熟练掌握立方根的估算方法是解题的关键．设正方体内壁的边长为，得，求出，再利用立方根的估算方法估算即可． 【详解】解：设正方体内壁的边长为， 根据题意，得：， 解得：， ∵，，，， ， 且， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）小鹿有一块长方形的彩色卡纸，卡纸的长宽之比为，其面积为，则卡纸的周长是 ． 【答案】70 【分析】本题考查了算术平方根，设长方形纸片的长为，宽为，依题意得出方程，求出长方形的长和宽，即可求出周长． 【详解】解：设卡纸的长为，宽为， ∴，得， ∴（负值不符合题意，已舍去）， ∴，， ∴卡纸的周长是（）． 故答案为：70． 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块可以锻造为一个边长为 的立方体铁块（不计锻造过程中的损耗）． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，设立方体的棱长为，设立方体的棱长为，则，根据立方根的概念求解即可，正确理解立方根的概念是解题的关键． 【详解】解：设立方体的棱长为， 则， ∴， ∴， ∴立方体棱长为， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，两个正方体叠放到一起，已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，点E在上，一只蚂蚁从E点去觅食，则蚂蚁的最短行进路线为 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了利用立方根的性质解决实际问题，利用正方体的体积公式，由立方根的定义分别求出大正方体和小正方体的棱长，再相加即可求解． 【详解】解：由题图可知，最短路线为大正方体的棱长和小正方体棱长的和，大正方体的棱长为，小正方体的棱长为， 所以蚂蚁的最短行进路线为从垂直下到，最短路径长． 故答案为：7． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①为一种球形容器，它受力均匀，承载能力高，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气体时很受欢迎，图②为其示意图，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是 ．（注：球的体积计算公式为） 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，解答本题的关键在于熟练掌握立方根的概念及运算．根据球的体积计算公式，进行求解即可． 【详解】解：设容器的半径是，则 ， 解得， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）小明家新买一套面积为的房子，他打算用块相同的正方形地砖铺地，每块地砖的边长为多少？ 【答案】每块地砖的边长为 【分析】本题主要考查算术平方根的运用，掌握算术平方根的计算是解题的关键． 根据题意可得每块正方形地砖的面积，再根据算术平方根的计算即可求解． 【详解】解：由题意得，每块地砖的面积为， ∴每块地砖的边长为． 答：每块地砖的边长为． 8．（24-25八年级下·全国·单元测试）用电器的电阻，功率，与它两端的电压之间的关系为．某一用电器的电阻是，现测得该用电器的功率是6000W，求该用电器两端的电压是多少伏． 【答案】该用电器两端的电压是． 【分析】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用．根据，得到，代入数据故可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴该用电器两端的电压是． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）这几年，垃圾变废为宝的推进力度在持续加强．某废铁加工厂决定将回收的如图①所示的一个长为，宽为，高为的废弃长方体铁坯，加工成如图②所示的正方体铁块（假设加工过程中无损失），求加工后正方体铁块的棱长． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根的应用，设加工后正方体铁块的棱长为，根据题意列方程并解方程即可解决． 【详解】解：设加工后正方体铁块的棱长为， ∵长方体铁坯的长为，宽为，高为， ∴， ∴， 解得， ∴加工后正方体铁块的棱长为． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）小林想测量一个铅球的半径，先将铅球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铅球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铅球的半径． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，根据球的体积公式，可得答案． 【详解】解：设铅球的半径为， ∵铅球的体积（）， ∴， 解得， ∴铅球的半径为． 11．（22-23七年级下·四川广安·阶段练习）已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？ 【答案】 【分析】本题考查实数的实际应用，先根据正方体的体积公式求出第一个正方体水箱的体积，进而得到第二个正方形水箱的体积，根据立方根的定义即可求出第二个水箱的棱长，进而根据正方形的表面积公式即可求解． 【详解】解：第一个正方体水箱的体积为， 所以第二个正方体水箱的体积为， 所以第二个正方体水箱的棱长为， 所以需要铁皮为． 答：第二个水箱需要铁皮． 12.[2024安庆校级模拟] 某农场有一块用铁栅栏围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形的长、宽之比为3:2 . （1）求该长方形的长、宽各为多少. （2）农场打算把长方形空地沿边的方向改造成两块不相连的正方形试验田，且两块正方形试验田的边长比为4:3 ，面积之和为500平方米，请问能改造出这样两块不相连的正方形试验田吗?说明理由. 【解析】【1】因为长方形的长、宽之比为3:2 ， 所以设该长方形的长为3x米，宽为2x 米， 依题意,得3x⋅2x=600 ， 解得x=10或x=−10 （不合题意，舍去）. 所以3x=30，2x=20 . 所以该长方形的长为30米，宽为20米. 【2】不能改造出这样两块不相连的试验田.理由如下： 因为两块正方形试验田的边长比为 ， 所以设大正方形试验田的边长为 米，则小正方形试验田的 边长为米，依题意，得 ， 所以，所以 ， 所以或 （不合题意，舍去）， 所以， . 因为（米） 米， 所以不能改造出这样两块不相连的试验田. 13.阅读材料，解答下列问题. 例：当a>0时，如a=6，|a|=|6|=6，故此时a 的绝对值是它本身； 当a=0时，|a|=0，故此时a 的绝对值是零； 当a<0时，如a=−6，|a|=|−6|=6=−(−6)，故此时a 的绝对值是它的相反数. 因此综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即 这种分析问题的方法渗透了数学中的分类讨论思想. （1）请仿照上面的分类讨论，分析 的结果； （2）猜想与 的大小关系. 【解析】【1】当时，如，，故此时 等于它本身； 当时，，故此时 等于零； 当时，如， ，故此时 等于它的相反数. . 14．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）教材第页的合作学习，首次利用图形引进了带开平方符号的无理数．请用教材中同样的方法思考解答下列问题（设每一方格的边长为个单位）． (1)求方格（图）中阴影正方形的面积和它的边长； (2)求方格（图）中阴影正方形的边长． 【答案】(1)阴影正方形面积为，阴影正方形边长为； (2)阴影正方形边长为． 【分析】（）先出阴影部分的面积，然后根据算术平方根的定义求解即可； （）先出阴影部分的面积，然后根据算术平方根的定义求解即可； 本题考查了算术平方根的应用，掌握算术平方根的概念是解题的关键． 【详解】（1）解：由于每一方格边长为，可得图中阴影正方形面积为： ， 所以，阴影正方形边长为； （2）解：由于每一方格边长为，可得图中阴影正方形面积为： ， 所以，阴影正方形边长为． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】的值为7或 【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以， 解得， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为7或． 16．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 题型七 与实数运算有关的规律探究 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．由得到，即可求解． 【详解】解：，， ， 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根与数字变化规律题，解题关键是得出．先计算出前4个式子，进而得出规律，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， …… 观察发现， ， 故答案为：，． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）根据算术平方根的定义得， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 所以由可知， 故答案为：0.245； ②∵， ∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64， ∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m， 解得，， 所以的值为600． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）认真观察下表，试用含a的式子来表示b； 9 16 25 36 … 2 3 4 5 … （2）利用上述结论解决问题： 当时，__________； 当时，__________ 【答案】（1）；（2）11，121 【分析】本题主要考试算术平方根的运用，理解表格信息，找出规律，掌握算术平方根的计算方法是解题的关键． （1）根据算术平方根的计算找出规律即可求解； （2）把分别代入（1）中的式子计算即可． 【详解】解：（1）， ∴， 故答案为：； （2）， ， ∴，且， ∴， 故答案为：． 5．（2025七年级·全国·专题练习）定义：对于任意实数表示不大于x的最大整数．如：． (1)_______； (2)对数65进行如下运算：①；②；③．这样对数65运算3次后的值就为1，一个正整数总可以经过若干次这样的运算后值为1，则数255经过_______次这样的运算后值为1． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟记1至25的平方，在初中阶段非常重要，在解决本题时可提高效率． （1）根据表示不超过的最大整数计算，可得答案． （2）先估算要被开方的数的取值在那两个整数之间，根据表示不超过的最大整数对，255进行此类运算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 故答案为：． （2）解：∵，，， ∴，，即对255经过了3次运算后结果为1， 故答案为：3． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1)0.01，100 (2) (3)当或时，；当或或时，；当或时， 【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． （1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：（1）；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：0.01、100； （2）已知，若，用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3），，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或或时，； 当或时，． 7.[2024安庆期末] 观察下列各式： ， ，② 请利用你所发现的规律，解决下列问题： （2）计算 . 【解析】【1】 【2】由规律可得，原式 . 题型八 新定义下的实数运算 1．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对50进行如下操作：，这样对50只需进行3次操作后变为1，类似地，对1000最少进行（    ）次操作后变为1． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是明确表示不大于x的最大整数． 表示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可． 【详解】解：， ∴对1000最少进行4次操作后变为1， 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，．对数99进行如下操作：，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似地，使数2024变为1需要进行操作的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据表 示不大于x的最大整数，结合定义的新运算和无理数的估算进行求解． 【详解】解：． ∴对只需进行4次操作后变为1． 故选：B． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）对于任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，则； ③若则所有可能的值为6和7； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了实数的运算．根据表示不超过的最大整数，称为的小数部分，计算，再逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴所有可能的值为6和7，③正确； 若， 那么， ． ，故④不正确； 故选：B． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算，，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解： ， 故选：B． 5．（24-25九年级上·重庆綦江·期末）在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义运算“新运算操作”，正确理解“新运算操作”是解题关键． 根据数轴可知，，则有，结合“新运算操作”可得，即可判断说法①；结合可得，即可判断说法②；推导，易得，可知，即可判断说法③；根据“新运算操作”可知所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，即可判断说法④． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴，故说法①正确； ∵， ∴，故说法②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0，说法③错误； 可能的“新运算操作”有， ， ， ， ， ， ， ∴所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，说法④错误． 故选：D． 6．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ， ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 【答案】 3 4 4，5，6，7，8 【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义： （1）根据新定义可得，估算出，即可得到； （2）根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：（1）由题意得，； ∵， ∴， ∴， 故答案为：3；4； （2）∵， ∴，即， ∴满足题意的的整数值为4，5，6，7，8． 故答案为：4，5，6，7，8 7．（24-25八年级上·四川成都·期末）对于实数a，b，定义运算“#”： 例如，因为，所以． 若x， y满足方程组，则 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、新定义运算等知识点，理解新定义运算是解题的关键． 先解方程组求得x、y的值，然后根据新定义运算法则计算即可． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·重庆万州·期末）在实数范围内定义运算：“”：，例如：． (1)若，，计算的立方根； (2)若，求的值． 【答案】(1)5 (2)或． 【分析】本考查主要考查了新定义运算、立方根和平方根的性质等知识点，理解新定义运算是解题的关键． （1）直接根据新定义运算法则计算，然后根据立方根的定义即可； （2）根据题意得到，然后整理后利用平方根的性质求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ∴的立方根是5； （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴或． 9．（2024七年级上·浙江·专题练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为． （3）对连续求根整数， 次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】 ，， 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数大小估算等知识点，读懂题意，理解根整数的定义是解题的关键． （1）先估算和的大小，再根据新定义即可得出答案； （2）根据定义可得，进而可得到满足题意的的整数值； （3）根据定义对连续求根整数，即可得出答案； （4）由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进而可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，于是得解． 【详解】解：（1）∵，，， ， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）∵，且， ∴， ∴满足题意的的整数值为：，，， 故答案为：，，； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， 故答案为：； （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中最大的是，理由如下： 由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∴对一个正整数进行次连续求根整数运算后结果为，这个正整数最大值为， 故答案为：． 10．（2025七年级·全国·专题练习）定义：对于任意实数表示不大于x的最大整数．如：． (1)_______； (2)对数65进行如下运算：①；②；③．这样对数65运算3次后的值就为1，一个正整数总可以经过若干次这样的运算后值为1，则数255经过_______次这样的运算后值为1． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟记1至25的平方，在初中阶段非常重要，在解决本题时可提高效率． （1）根据表示不超过的最大整数计算，可得答案． （2）先估算要被开方的数的取值在那两个整数之间，根据表示不超过的最大整数对，255进行此类运算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 故答案为：． （2）解：∵，，， ∴，，即对255经过了3次运算后结果为1， 故答案为：3． 11.阅读下列材料，并回答问题： 任意两个有理数进行加、减、乘、除运算（除数不为零），结果还是有理数，我们称这种性质为有理数的四则运算封闭性. 例如：，，， ，运算结果5，，6， 都是有理数.小陈在学习无理数时发现，无理数都不具有四则运算封闭性，并且还发现： ①任意一个有理数与无理数的和为无理数；②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数；③零与无理数的积 为零.由此可得：如果ax+b=0，其中a，b为有理数，x 为无理数，那么a=0且b=0 . 运用上述知识解决下列问题： （1）实数是否具有封闭性？ （2）如果，其中， 为有理数，那么 ___. （3）如果，其中， 为有理数，求 的值. 【解】【1】因为任意两个实数进行加，减，乘，除运算（除数不为零），结果还是实数，所以实数具有封闭性 【2】因为，其中, 为有理数, 所以, ， 解得,,所以 . 【3】等式整理得 , 由有理数的四则运算封闭性可得 所以 . 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 实数（8大重难点题型） 题型一 非负数应用的常见题型 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，则的倒数是（   ） A．2 B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）若与互为相反数，则 . 3．（23-24七年级下·广东广州·期末）若，则的值是 ． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若a，b为实数，且，则 ． 5．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）若，则的值为 ． 6．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足，则的值为 ． 7．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，则 ． 8.[2024六安校级月考] 若 ，其中，均为整数，则 _________. 9．（24-25七年级下·全国·期末）已知是实数，且与互为相反数，求的平方根． 10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，求的算术平方根． 11．（24-25八年级上·四川广安·期末）已知，若m满足，求m的值． 12.[2024杭州期中] 已知有理数，， 满足，求 的平方根. 13.已知，都是有理数，且 ，求 的立方根. 14.已知为有理数，求式子 的值 15.[2024衢州期中] 设，为有理数，定义一种新运算“ ”：当时，；当时， . （1）计算：____， ___. （2）若，满足 . ①请直接写出， 的值； ②求 的值. 题型二 巧用无理数和实数相关概念解题 1. [2024重庆万州区月考] 下列各组数中互为相反数的是( ) A. 5与 B. 与 C. 与 D. 与 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．正数有且只有一个立方根 C．的立方根是 D．立方根是它本身的只有 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于实数，小丁说：“有平方根．”小张说：“不一定有平方根．”小刘说：“一定有平方根．”他们中说法正确的是（    ） A．小丁和小刘 B．小丁和小张 C．小张和小刘 D．不能确定 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果一个数的绝对值为，那么数a在图中数轴上对应的点不可能是（   ） A．点M B．点O C．点P D．点N 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的有（   ） ①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根；②64的平方根是，立方根是；③表示a的平方根，表示a的立方根；④不一定是负数． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，的算术平方根为，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列说法正确的是（   ） A．一定没有平方根 B．的平方根是 C．9的平方根是3 D．3是9的一个平方根 8．（2025七年级下·全国·专题练习）下列正确的是（　　） A．6是36的算术平方根，即 B．6是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即± D．是4的平方根，即 9．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若的平方根是它本身，则的值是 ． 10.已知实数， 在数轴上对应点的位置如图所示，化简： . 11.[2024临沂期末] 半径为1个单位长度的圆上有一点A 与数轴上表示−1 的点重合. （1）若圆沿数轴向右滚动一周，圆上的点A 恰好与数轴上的点B重合，设点B对应的实数是b，则b=_______________. (结果保留π) （2）求 的算术平方根.结果保留 （3）若圆沿数轴向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次运动的情况记录如下：+2，−4，+3，−2 . 当圆结束运动时，点A运动的路程共有多少？此时点A 所表示的数是多少？(结果保留π) 题型三 实数的大小比较 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）在0，，，，五个数中，最大的数是（   ） A．0 B． C． D． 2．若实数a满足，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）比较的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）比较与的大小（参考数据：）． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）比较大小： (1)与2.42； (2)2与； (3)与； (4)与． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各数表示在数轴上，比较它们的大小，并用“”连接． ． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）在数轴上表示下列各数，并将其中的无理数用“<”连接． 的算术平方根，． 题型四 数轴与实数运算 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）数轴上与表示的点相距的点表示的数是 ． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若将三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 ． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）（新考向）一个工人师傅在测量如图所示的正方形零件边（）时，测量了好几遍都没有测出一个较为准确的数，取近似值又会影响到零件的使用，十分发愁．小迪过去看了看，发现该零件是由边长为2的正方形沿各边中点连线切去四角得到的，以原点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，．请根据图形解答： (1)想到数学课上刚学的实数，小迪很快就知道的长度了，聪明的你知道吗？并说明理由； (2)点表示的实数是______； (3)求三角形的面积． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周（无滑动），圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a． (1)求a的值； (2)求的算术平方根； (3)利用计算器计算时，按键，显示结果是_______． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）小云的作业中有这样一道题： 请画出数轴并把实数，，，在数轴上表示出来，再把这几个数按照从小到大的顺序排列． (1)你认为表示的点在______到______之间（填整数）； (2)如图是小云所画的数轴，请你帮助小云完成剩下的任务． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m． (1)实数m的值为_______； (2)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．请计算的值． 题型五 程序设计与实数运算 1. [2024合肥校级月考] 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x=16时，输出的y 等于( ) A. B. C. 4 D. 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图是一个数值转换器，当输入x的值为9时，则输出y的值是（   ） A．3 B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入的值是64时，输出的值是 ． 4．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）如图是一个数值转换器，当输入的值为256时，则输出的值是 ． 5.在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数x(|x|<20)的运算程序，如图，若输出的y值为√2 ，则输入的实数x 可取的负整数值是__________. 6.有一个数值转换器,原理如图. （1） 当输入的x为81时，输出的y 是多少？ （2）是否存在输入有效的x值后，始终输不出y 值？如果存在，请写出所有满足要求的x 的值；如果不存在，请说明理由. （3）小明输入某个数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？ （4）若输出的是，试判断输入的 值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个. 题型六 实数运算的应用 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）七年级（一）班在大课间开展了一个叠报纸游戏，将两张面积为的正方形报纸放在地上，每张报纸上站一个人，他们与对方相互猜拳（剪刀石头布），输掉的人须将脚下的报纸对折后再站在上面，谁的脚先落地则游戏失败．若一个人猜拳输了两次后叠成的报纸仍为正方形，此时报纸的边长是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）要制作一只如图所示容积为的小玻璃杯，涉及正方体内壁时，内壁边长大致长度在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）小鹿有一块长方形的彩色卡纸，卡纸的长宽之比为，其面积为，则卡纸的周长是 ． 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块可以锻造为一个边长为 的立方体铁块（不计锻造过程中的损耗）． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，两个正方体叠放到一起，已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，点E在上，一只蚂蚁从E点去觅食，则蚂蚁的最短行进路线为 ． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①为一种球形容器，它受力均匀，承载能力高，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气体时很受欢迎，图②为其示意图，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是 ．（注：球的体积计算公式为） 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）小明家新买一套面积为的房子，他打算用块相同的正方形地砖铺地，每块地砖的边长为多少？ 8．（24-25八年级下·全国·单元测试）用电器的电阻，功率，与它两端的电压之间的关系为．某一用电器的电阻是，现测得该用电器的功率是6000W，求该用电器两端的电压是多少伏． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）这几年，垃圾变废为宝的推进力度在持续加强．某废铁加工厂决定将回收的如图①所示的一个长为，宽为，高为的废弃长方体铁坯，加工成如图②所示的正方体铁块（假设加工过程中无损失），求加工后正方体铁块的棱长． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）小林想测量一个铅球的半径，先将铅球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铅球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铅球的半径． 11．（22-23七年级下·四川广安·阶段练习）已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？ 12.[2024安庆校级模拟] 某农场有一块用铁栅栏围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形的长、宽之比为3:2 . （1）求该长方形的长、宽各为多少. （2）农场打算把长方形空地沿边的方向改造成两块不相连的正方形试验田，且两块正方形试验田的边长比为4:3 ，面积之和为500平方米，请问能改造出这样两块不相连的正方形试验田吗?说明理由. 13.阅读材料，解答下列问题. 例：当a>0时，如a=6，|a|=|6|=6，故此时a 的绝对值是它本身； 当a=0时，|a|=0，故此时a 的绝对值是零； 当a<0时，如a=−6，|a|=|−6|=6=−(−6)，故此时a 的绝对值是它的相反数. 因此综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即 这种分析问题的方法渗透了数学中的分类讨论思想. （1）请仿照上面的分类讨论，分析 的结果； （2）猜想与 的大小关系. 14．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）教材第页的合作学习，首次利用图形引进了带开平方符号的无理数．请用教材中同样的方法思考解答下列问题（设每一方格的边长为个单位）． (1)求方格（图）中阴影正方形的面积和它的边长； (2)求方格（图）中阴影正方形的边长． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 16．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 题型七 与实数运算有关的规律探究 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）认真观察下表，试用含a的式子来表示b； 9 16 25 36 … 2 3 4 5 … （2）利用上述结论解决问题： 当时，__________； 当时，__________ 5．（2025七年级·全国·专题练习）定义：对于任意实数表示不大于x的最大整数．如：． (1)_______； (2)对数65进行如下运算：①；②；③．这样对数65运算3次后的值就为1，一个正整数总可以经过若干次这样的运算后值为1，则数255经过_______次这样的运算后值为1． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 7.[2024安庆期末] 观察下列各式： ， ，② 请利用你所发现的规律，解决下列问题： （2） 计算 . 题型八 新定义下的实数运算 1．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对50进行如下操作：，这样对50只需进行3次操作后变为1，类似地，对1000最少进行（    ）次操作后变为1． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，．对数99进行如下操作：，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似地，使数2024变为1需要进行操作的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）对于任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，则； ③若则所有可能的值为6和7； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025七年级下·全国·专题练习）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 5．（24-25九年级上·重庆綦江·期末）在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ， ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 7．（24-25八年级上·四川成都·期末）对于实数a，b，定义运算“#”： 例如，因为，所以． 若x， y满足方程组，则 8．（24-25八年级上·重庆万州·期末）在实数范围内定义运算：“”：，例如：． (1)若，，计算的立方根； (2)若，求的值． 9．（2024七年级上·浙江·专题练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为． （3）对连续求根整数， 次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ． 10．（2025七年级·全国·专题练习）定义：对于任意实数表示不大于x的最大整数．如：． (1)_______； (2)对数65进行如下运算：①；②；③．这样对数65运算3次后的值就为1，一个正整数总可以经过若干次这样的运算后值为1，则数255经过_______次这样的运算后值为1． 11.阅读下列材料，并回答问题： 任意两个有理数进行加、减、乘、除运算（除数不为零），结果还是有理数，我们称这种性质为有理数的四则运算封闭性. 例如：，，， ，运算结果5，，6， 都是有理数.小陈在学习无理数时发现，无理数都不具有四则运算封闭性，并且还发现： ①任意一个有理数与无理数的和为无理数；②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数；③零与无理数的积 为零.由此可得：如果ax+b=0，其中a，b为有理数，x 为无理数，那么a=0且b=0 . 运用上述知识解决下列问题： （1）实数是否具有封闭性？ （2）如果，其中， 为有理数，那么 ___. （3）如果，其中， 为有理数，求 的值. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$